2026届高考数学一轮复习：集合 专项训练【含答案】

2026届高考一轮复习专题1：集合

一、单选题

1.已知集合M={可匚6N*,且QWZ},则M等于()

A.{2,3}B.[1,2,3,4}C.{1,2,3,6}D.{-1,2,3,4}

2.设全集U={x|0<x<10,xEZ}",B是U的两个真子集，(Cy/4)n(QB)={1,9},AdB=2,(QA)CB=

{4,6,8),则()

A.5W力，且5W8B.5WA,且5W8

C.5WA,且5W5D.5任A,且5W8

3.集合M={x\x=2k,k€Z},N={x\x=2k+l,kGZ),0=[x\x=4k+l,k€Z},则对任意的mGM,nE

N,oe0,有下列四种说法：①m・ne。；@m+ne0；③o-?nwN；④。・nw。，其中一定正确的个

数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.已知集合A=[xI10x<2025,xWN},B=[y\y=2X],则4n8=()

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{1,2}D.{2}

5.已知U=R,A={x\x2-4x+3<0},B={x\\x-3|>1],则力U(QB)=()

A.[x|l<x<4}B.{x|2<x<3}C.{x|l<x<2}D.{x\2<x<3}

6.已知集合力={x|3x2-14x+15<0},B={x\y=Jlogo,5(轨-7)}则{nF=

A.亭2]B.[2,3]C.[|,3]D4,2]

7.设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被4除余1的自然数从小到大组成数列他“},设这两

个数列的公共项构成集合4则集合AA{n\n<2025,nGN*}中元素的个数为()

A.167B.168C.169D.170

8.集合A={x|xV-1或%岂3},B={x|ax4-1<0},若8GA,则实数a的取值范围是()

A.昌,I)B・卜洌

C.(-oo,-l)U[0,+8)D.[-i,0)U(0,l)

9.已知集合M={x\x2-2mx-3m2<0},N={x|x2+mx-2m2<0},定义b-a叫做集合{x|a<x<b]

的长度若集合MnN的长度为2,则MUN的长度为()

A.3B.4C.5D.6

10.设集合力={x\x2+2x-3>0},集合B={x\x2-2ax-l<0,a>0},若力nB中恰含有一个整数，则实

数G的取值范围是（）

A.捐）B.（0,5）C.g,+co）D.（1,+co）

11.记RQ4）为非空集合力中的元素个数，定义4*B=您那一。条曾[亍。朋若入={L2}，B={x|（x2+

⑪）。2+。％+5）=0},且4*B=1,设实数Q的所有可能取值组成的集合是S,则R（S）等于（）

A.1B.2C.3D.4

12.已知集合P,Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P,Q中的元素都为正数；②对于任意

a,beQ（a工匕），都有称eP；③对于任意a,beP（a^b）,都有abeQ,则下列说法正确的是（）

A.若产有2个元素，则Q有3个元素B.若P有2个元素，则PUQ有4个元素

C.若P有2个元素，则户nQ有1个元素D.存在满足条件且有3个元素的集合产

13.设集合S,T,SEN*,TEN*,S,T中至少有两个元素，HS,7满足：

①对于任意％,yES,若x。y,都有xy£7；

②对于任意x,yET,若％<y,则1eS；

下列命题正确的是（）

A.若S有4个元素，贝IJSUT有7个元素B.若S有4个元素，则SU7有6个元素

C.若S有3个元素，则SUT有5个元素D.若S有3个元素，则SUT有4个元素

14.已知集合A={x|好■《：!},集合B={x|x2—（a+2）x+2aV0},若“x£A”是“xeB”的充分不必

要条件，则实数a的取值范围（）

A.B.（-8,一1C.[-1,2）D.（-^,2）

二、多选题

15.已知集合A={x6R\x2-3x-18<0}»B={x6R\x2+ax+a2-27<0},则下列命题中正确的是（）

A.若/!=B,则以=-3

13.若418,则Q=-3

C.若B=。，则Q<一6或a>6

D.若B茎4时，则一6<a<一3或a>6

16.设集合时={%|。<x<3+a],N=<2或x>4},则下列结论中正确的是（）

A.若。<一1,则MGN8.若。>4,则MGN

C.若MUN=R,则1<a<2D.若Mn/V工0,则1<a<2

17.已知非空数集M具有如下性质：①若%,yEM,②若x,yEM,则x+”机下列说法中

正确的有()

A.-1eMB.2025eM

C.若x,yEM,则€MD.若x,yEM,则x-yWM

18.设集合A={x|%2—x—6<0},B={x\x2+bx+c<0],若24nB=(-2,2],则()

A.i7>0B.Z?<0C.c<-4D.2b+c=-4

x

19.已知有限集A=…,>2,nGN),如果力中元素a4=1,2,…,n)满足的+a2+…+%=«i

a2x-xan,就称力为“完美集”.下列结论中正确的有()

A.集合{-1,，-1+/1}是“完美集”；

B.若％、。2是两个不同的正数，且{%,。2}是“完美集”，则由、。2至少有一个大于2;

C.二元“完美集”有无穷多个；

D.若见WN・,则“完美集”力有且只有一个，且n=3；

三、填空题

2().已知集合力={0,2Q-1,Q2},B={a-5,1—a,9},且9€(4nB),则。=.

21.Q,beR,集合{l,a+b,a}={0,，,b},贝IJQ2024+^2025=

22.己知集合4={xWN4<：3x+i<27},B={x\x2-3x+m=0],若l£4n8,则力U8的子集的个数

为.

23.设U=R,4={无|血/+4无+2=0}.若(：1/4=〃，则m的取值范围为:集合力中有两个元素的充要

条件是.

四、解答题

24.设全集为R,A={x\2<x<4},={x|3x-7>8-2x}.

⑴求AU8；

(2)^C={A|U-1<X<U+3},(CR/4)GC=C,求实数a的取值范围.

25.已知函数/(%)="二5一德的定义域为集合4B=[x\2<x<10},C=[x\a<x<2a+l}.

(1)求4UB,(C«i4)nB

(2)若BUC=B,求实数a的取值范围.

26.已知集合。={%|%2-g+a2-i9=o},集合B={1,2,3},集合C={0,1,2},且集合。满足。=8H0,

DC\C=0.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】因为集合时={3三£旷，且a£Z},

所以5—Q可能为1,2,3,6»

对应a的值为4,3,2,-1,

所以M={4,3,2,—1}.

故选Q.

2.【答案】4

【解析】由题意，U={x\0<x<10,xGZ}={1,2,3,456,7,8,9},

可借助Perm图解决：

.••56/4,5cB.

故选A.

3.【答案】3

【解析】因为

7n=2/q,n=2k24-1»o=4/c3+1»kltk2,k3GZ,

所以自&+且自七+

m•n=2kx•(2k24-1)=2(2kJ,2EZf

所以m'neM,m-n0；

又又自+七不一定是的倍数，

m+n=2(/q+k2)+1EN,2

所以m+几不一定属于集合。：

因为。—Tn=2(2心—kJ+1»且2k3—gEZ»所以。-mEN；

因为

o-n=(4k3+1)(2ZC2+1)=2(4k2k3+k2+2k3)+1,4k2k3+k2+2k36Z,

所以。•n6N,又4k2k3+B+2七不一定是2的倍数，所以o•ri不一定属于集合。.

所以只有③一定正确，

则一定正确的个数为1.

故选：A.

4.【答案】B

【解析】因为函数y=10”在R上单调递增，10°=1V2025,101=10<2025,102=100<2025,103=

1000<2025,104=10000>2025,且xWN,所以集合力二{0,1,2,3}.

集合B={y|y=2'},由丁•指数函数y=2邛勺值域是(0,+8),所以集合8={y|y>0}.

那么ACB={1,2,3).

故选:B.

5.【答案】A

【解析】因为A={%|14％43),B={x\x>4或％<2},

所以Q8={%|2<x<4},AU(Cyfi)={x|l<x<4},

故选:A.

6.【答案】D

【解析】4={x\3x2-14x+15<0]=<%<3}

B={x\y=Jlogo.s(4x-7)}={x|^<%<2}

力n8={x|(<x<2}.

7.【答案】C

【解析】由题意可知，数列{每}：2、5、8、11、14、17、20、23、26、29..........

数列{%}：1、5、9、13、17、21、25、29、33、37、...»

将集合力中的元素由小到大进行排序，构成数列{金}：5、17、29、…，

易知数列{c〃}是首项为5,公差为12的等差数列，则金=5+12何-1)=12几一7,

由d=12n-7<2025,可得几<浮=169+

因此，集合力n{n\n<2025,nGN1中元素的个数为169.

故选：C.

8.【答案】A

【解析】4=[x\x<-1>3},={x\ax4-1<0},

当a=。时，1<0不成立，

所以8=。，所以满足；

当时，因为所以工工--,

G>0QX+1W0,a

又因为BG4

所以—!<—1，所以0VQV1；

a

当G<0时，因为QX+1<0,所以X>—

a

又因为"U4,

综上可知:a€[-1,1).

故选：4

9.【答案】C

【解析】/一2mx-3而=o的两根为一抽，3m,

/+mx-2m2=o的两根为帆，-2m：

当m=0时，易知MCN={0}；

当ri>0时，M={x|-mWxW3m}»N={x\-2m<x<m}.

Mr\N={x\—m<x<m}：

当n<。时，M=[x\3m<x<-m},N={x\m<x<—2m},

MClN={x\m<x<-m].

由MnN长度为2得，2ni=2或-2m=2,

：•m=1或m=-1,

当m=1时，M={x|-1WxW3},N={x\-2<x<1},

MU/V={x|-2<x<3}：

当m=-1时，M={x|-3<%<1},N={x\-1<x<2},

M\JN={x\-3<x<2].

・•.MUN的长度为5.

故选：C.

10.【答案】A

【解析】由4中不等式变形得：(x-l)(x+3)>0,

解得：x<一3或x>1,即4={x\x<-3或x>1},

函数y=/(x)=x2-2ax-1的充称轴为％=a>0,

/(-3)=6a+8>0,

/(-I)=2a>0,

/(€')<0,f(l)<0,

故其中较小的根为(-1,0)之间，另一个极大于1，

要使力n8恰有一个整数，即这个整数解为2,

•••f(2)W0且/(3)>0,

uijf4_4a_1<0

%-6a-1>0;

r、3

a>7

解得：:，

(a<3

即1<n<

43

则a的取值范围为居).

故选A.

11.【答案】C

【脩析】由定义得R(4)=2,结合4*8=1,可知R(B)=1或R(B)=3,

由方程Q2+ax)(x2+QX+5)=。，得/+ax=0或/+ax+5=0,

当R(B)=1时,方程(/+ax)(x2+ax+5)=0只有一个实数根，

而方程/+a%=0有一根为0,则另一根必为0,-a=0,此时产+QX+5=0无实根，因此a=0.

当A(8)=3时，必有aH0,方程产+ax=。内两个不相等的实数根%1=0,x2=-a,

并且=0,x2=一。都不是方程/+QX+5=0的根，

显然方程/+QX+5=0有两个相等的实数根，且异于=0,x2=-a,

于是A=a2-20=0,解得Q=2〃或一2后.

当G=2G时，方程(/+QX)(%2+。％+5)=o的根为仇一2，耳.­/5,满足题意，

当G=-2\/~5时，方程(7++。*+5)=o的根为0,24，，石，满足题意，

因此Q=2，^或a=—2V~5,

综上5={0,-26,2，§},故R(S)=3.

故选：C.

12.【答案】C

【解析】若P有2个元素，设P={atb],(a>0,b>0,a*b)则ab6Q.

•••Q至少有2个元素，••・集合Q中除油外至少还有一个元素，

不妨设xEQ,x■/-ab,则冗>0,且京七WP,

%=3则/=四)2,

v%>0,ab>0,x=ab,与假设矛盾，

故茄力工，♦..靛=a，"=b或m=b，T=a.

若T=a&=b,则％=a,ab=1,•••b=-,

abxa

若G=1,则b=a=l,与aH匕矛盾，aH1,同理bH1.

此时P={a,J,Q={a,1},PUQ={a,；,1},PCQ={a}；

若嘉=b，B=a，则x=b,ab=1,a=',

若G=1,则b=a=l,与aHb矛盾，aH1,同理bH1.

此时P={b,3,Q={b,1},PUQ={b^lj.PnQ={b}；

综上，若P有2个元素，则Q有2个元素，PUQ有3个元素，「口(2有1个元素，

故A错误，8错误，C正确；

假若P有3个元素，设0=世为4},则a,b,c为互不相等的正数.根据③，有abWQ,beeQ,aceQ.

由于a,b,c都是正数，且两两不相等，所以M,be,ac两两不相等.

由条件②可得，然都是集合夕=口”}的元素.

C£/(4CCZU

•••a,6,c为互不相等的正数，.•.色,？,匕匕£”都是不等于1的正数.

cbacaD

.a±bacbe

,,尹7172工不

・：b,C为不相等的正实数，考虑到"涉户,

若3,则：上日为互不相等的正数，由2H2两边取到数得£H舟

cabaccaab

所以二是与W，2”不相等的正数，由于£,齐2”都是集合户的元素，所以集合P至少有四个元素，与初始

abacabac

假设矛盾；

同理可得2#，2时矛盾.

Q0ClC

因此考虑2=-=2的情况，所以小=儿，同理可得=四，c2=ab,所以M=b3=c3=abc,

acabac

所以Q=b=c,这与集合中元素的互异性矛盾，所以集合P有3个元素不可能成立，故。错误.

故选：C.

13.【答案】A

【解析】取：5={1,2,4},则7={2,4,8},SU7={1,2,4,8},4个元素，排除C；

S={2,4,8},则7={8,16,32},SU7={2,4,8,16,32},5个元素,排除D；

S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},SUT={2,4,8,16,32,64,128},7个元素，排除B；

对于S={a,b,c,d}且aVbVc<d,a,b,c,dEN\集合T的元素如下：

砂且％Hyx=ax=bx=cx=d

y=a一abacad

y=bab—bebd

y=cacbe—cd

y=dadbdcd—

由表得：T={ab,ac,be,ad,bd,cd}^.ab<ac<min{bc,ad}<max{bc,ad}<bd<cd,

此时要满足x<y,有（6S,如下表:

(且％<yx=abx=acx=bex=adx=bdx=cd

y=ab—一—一—一

c

y=ac—————

b

cb

y=be—♦—一

aa

dd

y=ad*一——

bc

dbddb

y=bd.一一

aac7a

cdddcc

y=cd—

ababab

当儿AQd,上表第一列有且均属于集合S而S=®瓦Gd},矛盾;

当儿Vad,上表第一列有与>&>£>[,且均属于集合S,而5={。,4c,d},矛盾;

anaaD

当儿=ad时,则蟾[疝碟且均属于集合S,

而5={见瓦勒©，此时只需满足当

可得S={a,a2,,a3,a4},且T={a3,a4,a5,a6,a7},

注意a=1,

SUT={a,a2a3a4a5a6a7卜故共有7个元素.

故选：A.

14.【答案】A

【解析】4={对若41}={x|-J4无<2),5={x|(x-a)(x-2)<0),

乂•：“X€4”是“X6夕’的充分不必要条件，

•••a<-

故选A.

15.【答案】ABC

【解析】由题意得A={xeR\-3<x<6],

若4=8,则a=-3且a?-27=-18,解得a=—3,故A正确；

故当a=-3时，A=故。不正确；

若4GB,则(-3)2+。•(-3)+/一27WO且62+6。+。2-27工0,解得a=-3,故8正确；

当B=。时，得小一4(02-27)W0,解得a工一6或aN6,故C正确.

故选：ABC.

16.【答案】ABC

【解析】对于•力，若Q<-1,贝I」3+Q<2,则MGN,故A正确；

对于B,若Q>4,显然对于任意X6M,x>4,则x€N,故MGN,故B正确；

对于C,若MUN=R,则{£：：'>4解得1<。<2,故C正确；

对于。，若MCiN=0,贝ij{£4不等式无解，故若MnN于。，则故。错误.

故选ABC.

17.【答案】BC

【解析】对于力，若一1EM,令x=y=-l,则j=leM,x+y=-2e

令x=-1,y=1,则:=—1GM,x+y=0GM,令x=1,y=0,不存在*即yH0,矛盾，所以一1CM,

故A错误；

对于B,由于集合M非空，取任意元素％WM,根据性质①，得再根据性质②，

得1+1=2€M,进而1+2=36M,…，2024GM,2025GM,故8正确；

对干C,因为1EM,xGM,所以因为y€M,所以q=xy£M,故C正确；

对于0,若x=Ly=2,则%—？=一1£M,故。错误.

故选：BC.

18.【答案】ACD

【解析】A=[x\x2—x—6<0}={x|—2<x<3},

若AcB=(-2,2],

说明2是方程/+bx+c=0的一个根，

设方程X2+hx+c=0的另一个根为a,则8=(x\x0<x<2},

由于4HB=(-2,2],所以无o<—2,

则根据韦达定理可得：2+x0=-b,2x0=c,

因为%oW—2,b=—(2+%o)>那么b=-2—x()N0,所以A正确，8借误；

由2%o=c且%oW-2,可得c=24工一4,C正确；

由方程M+bx+c=O有一个实数根为2,得4+2b+c=0,即26+c=-4,故。正确，

故选：ACD.

19.【答案】BCD

【解析】已知有限集A=｛a1,a2r-,an｝(n>2,nGN),如果月中元素=1,2,1九)满足%+a2+…+0n=

xa2x…xan,就称A为“完美集”.

故对于4集合｛-1,一，亨,-1+>/"W｝是"完美集"，由于-1—V~3—1+V-3=—2H(―1)x(―\*r3)x

(-1+V3),故4错误：

对于B.%、02是两个不同的正数，且｛外,&｝是“完美集”，

则设由+a2=ar-a2=t>0,

根据根和系数的关系小和%相当于/-比+£=0的两根，

所以4=d一及>0,解得t>4或tVO,所以t>4,

所以由、a2至少有一个大于2,故4正确.

C根据8一元二次方程根和系数的关系与和%相当于产一出+£=0的两根，

所以4=/一牝>o,解得t>4或CVO,所以£>4,

对任意的£>4,都有对应的方程/-tx+t=0的两根%和也，

所以二元“完美集”有无穷多个，故C正确.

。.设药<a2<a3<•••<an,

则满足%+%+…+an=%xx•••xan,

因为%显然〃=2不满足，故？1之3,

故Gi(z2a3…Q”<nan,

整理得的。2a3…4i-i<九，

当”=3时,。1。2<3,

由于由EN*,所以%=1,a2=2,

由丁%十织+以3=ula2a3,解得：%=3,

当儿>4时,2a3…«n-i>(n-l)(n-2)•••2•1>(n-1)(九-2),

又(几—l)(n—2)—n=n2-4n4-2=n(n-4)+2>0,即(〃-l)(n—2)>n,

即Gi。2a3…斯-1>"，矛盾，故，24不满足条件，

所以若aiEN)则“完美集”4有且只有一个，且n=3,

此时的完美集为｛1,2,3｝,故。正确.

故选BCD.

2().【答案】5或-3

【解析】9wQ4nB)；•••9EA；，2。-1=9,或小=%

•••a=5,或a=±3：

①a=5时,A={0,9,25},B={0,-4,9),满足条件;

②a=3时，F={-2,-2,9),不满足集合元素的互异性；

③。=-3时，={0,-7,9},B={-8,4,9),满足条件；

故答案为5或-3.

21.【答案】2

【解析】由分母不为0可知aH0,

所以a+b=0,则a=-b,即2=-1,

a

所以集合{l,0,Q}={0,-l,b},

所以a=-1»b=1,

故々2024+b2025=(-1)2024+12025=1+1=2.

故答案为:2.

22.【答案】8

【解析】由题意知4={xG/V||<3X+1<27}={0,1},

又1W4CB,所以168,所以12-3+血=0,解得租=2,

所以8={x\x2-3x+2=0]={1,2}.

所以AU8={O,1,2},

所以AUB的子集的个数为23=8.

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