北京市昌平区2024-2025学年高一年级下册期末质量抽测数学试卷（含答案解析）

北京市昌平区2024-2025学年高一下学期期末质量抽测数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.在复平面内，复数Z对应的点的坐标是（-2,-1）,则Z的共挽复数z二（）

A.-2-iB.-2+iC.-l-2iD.-1+2i

2.在VABC中，a<3,6-yi6>cibH~•XIA

A.5B.弓C.*或筋D.*或皂

6aai6h

3.下列函数中，最小正周期为兀且是奇函数的为（）

xx

A.>=sm-c.B.y=kinlx

D.y=cos2x-sin2x

4.已知。，。是不重合的平面，〃?，〃是不重合的直线，下列命题中正确的是（）

A.若机//a,机//。，则。〃6B.若〃？//n，m//a,则〃〃a

C.若机JLa,ml.p,则aJ_GD.若〃zJLa,机//£,则aJ_G

5.将函数y=sin（x+W）的图象向右平移:个单位长度后，得到的图象关于），轴对称，则0的

值可以为（）

6.函数，—j的部分图象如图所示，则（）

A.\2sm（2j-B.i-】、1nC—一|

6

C.v2sin(x+—)D.y2sm(x--|

7.在矩形A8CO中・32.IDI.Df:,点尸在边3c上.若外“-\则让D/

一

8.在V人BC中，4・；,则“sm8v*”是“a?+〃2Vs''的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.“三斜求积术”是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的

三边长a,b,C求三角形面积s,即s・jc以旱斗王现有面积为e的VABC满足

sinsin/?MnC*I<12，贝3ABC最大边的边长为•：）

A.2^2C.4J2

10.已知正三棱锥尸-xsr,PA-PB-PC・3日18:6,点。在VABC内部运动（包

括边界），则下列四个结诒中褶银的是（）

A.户AJL平面PBC

B,线段PO长度的最小值为

C.存在点O,使得OP=OA=on=OC=3

D.点。到三条侧棱PA,PB,PC的距离的平方和的最小值为12

二、填空题

11.若复数二=则3二

1

TT、

12.已知向勤，7满足“=2,卜=1,《力）二600,则协々一。二.

13.以边长为2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个圆柱，则

该圆柱的体积是；表面积是.

14.已知函数/（J=sin&（②>0）,苟Q）的最小正周期为:，则①;；若存在

为,为2£［兀，2兀］,使削=T,则。的最小值为.

15.已知函数"x）=、in1+：、in人」给出下列四个结论：

2?

试卷第2页，共4页

①函数人。是奇函数:

②函数f(x)在区间(:；)上是增函数：

③函数/U)在区间・4,4］内恰有3个不同的零点;

④函魁(、)""的值域为［”.31.

sinx4A

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

16.在平面直角坐标系xQy中，角。的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2).

(1)求tana及ian2a的值;

(、求cm%♦、in”々的值

17.如图，在三棱柱人BC-ABiG中，AB=ACfCC(1AC,平面4CCA_L平面ABC，D,

E,尸分别为8C,AB,AG的中点.

(1)求证：AD±DCI；

(2)求证：七///平面4。。.

18.已知函数/(1)-八"\sin(、•：)<j

(I戌的值;

(2)求/U)的单调递增区间；

(3)若对任意一I-.都有.八求〃？的最大值.

19.在VA8C中，«tan=2bsinA.

⑴求B的俏:

试卷第3页，共4页

《北京市昌平区2024-2025学年高一下学期期末质量抽测数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BACDDABCBC

I.B

【分析】根据复平面内点的坐标得到复数z,再根据共辑复数的定义求出z的共规复数云即

可.

【详解】因为复数Z对应的点的坐标是（一2,一I）,

所以复数z二H-i,

所以z的共枕复数z=-2+i.

故选：B

2.A

【分析】由正弦定理求得sinA,结合大边对大角，即0<A<6,求得答案.

【厅际】由加8—,></?<«,则8二*,

不立

由正弦定理,而/=竺吧=上工=L

b瓜2

又a<b,则0<A<8,故/=工.

故选：A.

3.C

【分析】利用正余弦函数1勺周期性及奇偶性逐项判断即可.

【洋第】对于A,的最小正周期为2兀，A不是；

对于B,函数y=|sin2x是偶函数，B不是；

对于C,函数y二ccq：v+；）-smh最小正周期为兀且是奇函数，C是；

对于D,y=cos?x-sin2K=cos2丫是偶函数，D不是.

故选：C

4.D

【分析】对于A,由/〃//a,m//P,分析出cr〃8或。，6相交，即可判断；对于B,由/〃〃/?,

m//a,分析出〃〃a或〃ua,即可判断；对于C,由帆_Lcr,分析出a〃。，即

答案第1页，共12页

可判断：对于D,过加做平面"，设Z?ny=/,由加//，根据线面平行的性质定理可知〃"//,

又由mJ_a,可得/J_a,根据线面垂直的判定定理可得=_1〃，即可判断D.

【详解】若〃?//a,则a〃夕或a,夕相交，故A错误；

若小〃〃，mHa,则〃〃a或〃ua,故B错误；

若〃」a,U0,则。偿，故C错误：

过加做平面y,设£njz=/,若机//£,则由线面平行的性质定理可知加/〃.

因为机J_a,所以/_La,乂因为/L〃，所以由线面垂直的判定定理可得a_L£,

故D正确.

故选：D

5.D

【分析】求出平移的图象对应函数的解析式，再利用偶函数的意义求解.

【详解】依题意，平移后所得解析式为；m,因此;**«•/,

解得e=当&二1时,s=D可以，

n6

不存在整数&，使得夕取;二,：，ABC不可以.

n4Z

故选：D

6.A

【分析】根据给定的函数图象，利用周期及最大值点求出⑦夕即可.

【详解】观察函数图象，得这个函数的最小正周期7则二，

又当时，％=2,则+0=wZ,而则《二u.a二

’322n

所以l2sin(2x")

故选：A

7.B

【分析】由点“在边BC上，可设鼠尸1二不75,才£[0/根据e”・；可求得才的值，用不小

和；TQ--表示出入7和£7，结合数量积的运算律即可求解.

【详解】

答案第2页，共12页

•・•点F在边BC上,・••设=值7=/不，

•・・<。”-；,in（i/j|=A]，瓶♦/小；〃）=[=；

：.BF^-AD

i

VDE^-DC

2,

足加=（?乱/见解^痛）三脑\5痛44=;丁咛。—）

故选：R.

8.C

【分析】先判断"】8<4是否能推出"+从</,再判断标+b2<c2能否推出sinG（即

44

可求解.

[ilW]由/■1.sin^<—.所以所以4.6V工+：=彳，所以「>+，

2444——

所以cos（-'-U.即/+b~<c<2.

即C>g,又I。1

由"+b2<c2有。2+tr-cr<o,由余弦定理有8sc<0

所以/♦「>?.所以B=x-（H-（卜,smS<y

所以一、mH<“/+/<的充分必要条件,

故选：C.

9.B

【分析】利用正弦定理角化边，再借助给定的面积公式求解.

【详解】在V4BC中，由而/.E8sme*172:2.得ahc=141?，

则c=2a,b=JLi,因此5■加fa：二2"q：；.:，

解得〃=2,所以VABC最大边的边长c=2a=4.

故选：B

答案第3页，共12页

10.c

【分析】利用线面垂直的判定推理判断A；利用等体枳法求出点到平面距离判断B；求出三

楂锥外接球半径判断C；构造长方体求解判断D.

【详解】对于A,在正三棱锥尸一A8C中，PA-PB=PC=3Q、AB“6,贝U

PA2+PB2=36=AB-,所以同理PA_LPC,而PBDPC=平面尸8C,

则94_L平囿P8C,A止确；

对于B,由选项A知，正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，设点尸到平面A/3C距离为力，

由%c=匕-P8c，得;■世x6h』・（3W解得方-,因此线段PD长度的最小值为无，

B正确；

对于C,正三棱锥P—A8C与以PA,P8,PC为棱的正方体有相同的外接球，

该球半径/?=工力/+/心.球心到点A,B,C,P的距离都等于圣，

又正三棱锥P—A8C的外接球是唯一的，C错误；

对于D,由选项B知，正三棱锥P—ABC的三个侧面两两垂直，

当点。在4ABC内部时，令点。到正三楂锥P—ABC的三个侧面的垂线段长分别为a,Ac,

点户是以这3条垂线段为棱的长方体的顶点，即线段尸。为这个长方体的体对角线，

PD2=a2+b2+c2，

则点D到三条侧极/>A,PBQC的距离的平方和等于这个长方体共点的3条面对角线的平方

和，

即S2+/）+（从+C2）+（/+/）=2P。>12,当且仅当尸。_L平面ABC时取等号,

当点。在△人BC的边上时，可得点D到三条侧棱PA.尸仇PC的距离的平方和等于2PD2>12,

D正确.

答案第4页，共12页

11.-；5

【分析】利用复数的除法求出z,进而求出其模.

【详解】依题意.二=土2=27.所以I小厅TTh二行

I

故答案为：、三

12.3

TT

【分析】利用数量积的定义求出，再利用数量枳的运算律求解.

【详解】依题意，〃./>=2xlxcos6O=1，所以r；.(4—〃)="—ti.b=3.

故答案为：3

13.8兀16兀

【分析】由题意可知圆柱的底面半径r=2,高力=2,再根据圆柱的体积公式V=S庆x/?=〃2/?

及表面积公式S=2s底+S㈣=2兀/」2兀/力计算即可.

【详解】由题意可知圆柱£勺底面半径r=2,高h=2,

所以圆柱的体积为V=S底Xh=冗/h=Rx22x2=8n,

表面积为S=2s底+=2itr2+2兀”?=2x7：xr+2xjix2x2=16兀.

故答案为：8兀;16兀

5

14.4

【分析】根据正弦函数的底期公式7=及⑦的范围即可求出⑦的值；由存在M,应£［n,27r］,

使得f(M)•/&)=—1，分析出f(M)和/(&)一个为I，另一个为一1，也就是［Q次2@］至

少包含半个周期长度，并且能取到最值点，进而列出不等式组求解即可.

【详解】因为/(x)的最小正周期为:，所以7:3;微，

又因为@)>0,所以①=4.

若存在打超£卜,2兀］,使得/*(xJ./GO=-1，

因为正弦函数的值域为［—1」］,

所以/'(修)和/")必然一个为1，另一个为一1.

因为LrwL，2兀］,所以@XW［G，2。］,

答案第5页，共12页

要使/"(x)=sin6在上能取到1和一1,

也就是至少包含半个周期长度，并且能取到最值点,

3寅

"*53

所以[.解得24m4工

一

所以②的最小值为1.

4

故答案为：4；

15.①@@

【分析】利用奇函数定义判断①；求出判断②；利用和角的正弦及二倍角式化简

f(x),求出零点判断③；借助二次函数求出值域判断④.

【讣解'】函数'一1sm2A---11UVGR,

43

对于「1'/(”=、向x)-i、m•sin|-3.T>=/(T|,函数,/HI是奇函数，①正确;

什小哈，入6.36&IG2Al

对于2,•/|・•-,〃)•一・♦・♦-・

7V24474226M2

而3&3927289I2®1即g例号

而---<----=—<—=—»»—<4-.即/(二)>/(：)・误；

44520201025247

对于③,sin3,v=sin2xcosx+cos2xsinx=sin.v(4cos2x-1),

/(jr)=sinx>smxcos.t♦^stnx(4cos;xl)=^sinx(4co5:x+3cos*2).

3.23

而4a»'x+3cOT+2=(2awx+T'+——>0.由Xx)=0,得sinx=o,

416

当x£[7,4],解得xW{F,0,7t},凡r)在[-4,4]内恰有3个不同的零点，③正确;

对于④，当sinx¥0,即一1<coax<I时.鼠小犯」4«»5：x+3co/2)

KinrX

115115171

=(2cmxi♦—,z1i'-Q时，g⑶_=元.g")<3,即函数g(x)的值域为

④正确.

故答案为：①③④

16.(I)lancr■2itan2a=-

答案第6页，共12页

【分析】（1）设角。的终边经过点P（l,2）,先求出r-依4-4,再根据三角函数的定义求

出tana的值，再根据二倍角的正切公式即可求出tan2a的值；

.r3寅]

（2）先根据三角函数的定义求出sina,cosa的值，再将节、旧？利用二倍角公式

及诱导公式变形，再将sina.cosa的值代入计算即可.

【详解】（1）设角a的终边经过点p（l,2）,则r\（）r/,

所以由三角函数的定义可知una二'二2,

口-I、I.2tana2x24

l-un2/yI-227

（2）由（1）根据三角函数的定义可知!wn”-=^.a»a=-=—.

r5r5

所以口心以♦</♦[-a»su

■使[6363*6

5555

17.（1）证明见详解

（2）证明见详解

【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得CGJ_平面人8C,再由线面垂直的判定定理证明

AOJL平面8CC5,进而得证;

（2）连接EQ,可证四边形OEFG是平行四边形，可得EF//DG,利用线面平行的判定定

理得证.

【详解】（I）因为平面4CGAJ_平面ABC,平面ACCAn平面/WC=AC,CQu平面

ACCA,CC,1AC,

所以CGJ•平面ABC,又A。「平面ABC,

所以CG~LA。，

又/IB=AC,。是BC的0点，所以ADU.BC,

又CG,8CU平面BCG",CCtri8C=c,

所以人Q_L平面BCGBI，

答案第7页，共12页

又DC、L平面3CG4,所以AO_1_QG.

(2)如图，连接ED,

因为。,£尸分别是8C,AAA|G的中点，

所以。/)£=；＜「，又4C//A|G，AC=A}Cif

所以力E//产G，DE=FC\,

所以四边形OErG是平行四边形，故EFIIDC、,

又EF丈平而ADC.,DC.r-平面ADC,,

18.I2：

[2)卜得+A贡.wZh

%.

【分析】(1)代入函数式求出函数值.

(2)利用和角的正弦、二倍角公式及辅助角公式化简函数/*),再利用正弦函数单调性求

出递增区间.

(3)求出在指定区间内相位的范围，再利用恒成立的不等式列式求解.

【详解】⑴依题意./⑴二185%11(乙―当一6=4x由6=，

fifiX2

2函数/(x)=4cosx(^sinJ♦^cojx)-6,2Mnx8Sx+

yfilCQSi-1)

ssin2jr*73COS2.X=2sm(2x*：,

由-：♦2H42x♦14：♦2kx.keZ(川4xM*AwZ.

答案第8页，共12页

所以函数/(x)的单调递增区间为［:/\

1212

13'当尸w［—,iw］时.2x+q.Im♦^|,而/(—：)=—4，

而)，:sin］在［・：，；］上单调递增，在比单调递减，

由/(x)N—得-：<2nt*：4.解WOVS5，

所以/〃的最大值是：.

19.(I)：

(2)答案见详解

【分析】(1)利用正弦定理及商数关系将atanB=2/，sinA变形化简，再结合角A,8的范围

即可求出角B；

(2)若选择条件①，由余弦定理可得/-6c+11=0,此时AvO,方程无实数解，VABC不

存在；若选择条件②，先由cosA求出sinA,由正弦定理求出/“再求出sinC,即可根据三

角形的面枳公式求出VABC的面积；若选择条件③，设BC的中点为。，则在448。中，由

余弦定理求出A8的值，即可根据三角形的面积公式求出VA8C的面积.

【详解】(1)因为atan3=2bsinA,所以由正弦定理可得wn.I空或=2sm」由

8ss

在VABC中，因为AI£(O,兀)，所以sinA>0,sin8>0,

所以COSA-1,所以H:;

(2)若选择条件①：h=5,

则a=6,h=5,8二;，

22

则由余弦定理"=a+c-2accosB,可得25=36+J-2，6,c；,

整理口「得r2-6r4-11=0,此时A=(-6)--4x1I=-X<0,

方程无实数解，所以VABC不存在；

若选择条件LC2孑

因为A£(0,7T),所以、mIv'l-c(»s:1^11

又因为a=6,"=：，

答案第9页，共12页

6_b

所以由正弦定理二可得3.耳，解得。=x/5・

sin/<inHT

52

又因为C=兀-（A+8）,

所以=sin(.4>H)-”n/cos8.cos/sing(它.

525210

所以VABC的面积,S二।jhsmC=-x6x5/3x—-----------?।

，，in?

若选择条件③：8c边上的中线的长为、不，,

设8c的中点为/）,则以）二:二3,jg,

X-*

则在△A3。中，由余弦定理AD2=AB2+BD--2AB.BD.cosB

可得卜R[加+）?-"4〃7二.

整理可得A"-3AB-10=0,解得A8=5或A8=-2（舍屋

所以VABC的面积、■।-6•5•、'■・°3

2222

20.（1）证明见解析；

（2）（i）证明见解析；Gi）存在，G,W=—.

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判断推理得证.

（i）利用线面平行的判定性质证得HM/化尸即可得证；Gi）利用锥体体积公式列式求解.

【详解】（1）在等腰梯形人BCD中，AD//BC,由4£_18。,。尸_1_8。，得人E//DF,

在图（2）中，AE_LEF,AEd_EG,EFnEG=E,EF,EG3^FG,贝UAE_L平面£”G,

而GFU平面EFG,则AE±FG,由=/G=0•"-ID-2.得初,+=E/，

于是EG_LR7,而4EDEG=E,AE,EGL平面AEG,贝ijFG_L平面AEG,

又FGL平面G,所以平面AEG_L平面O/G.

（2）G）由力。//石凡石/仁平面EFG,4。丈平面E/G,得4。//平面EFG,

ADL平面AO”,平面EFG0平面月。〃二〃M,因此HM//A。//E/，

而〃为EG的中点，所以M为G尸的中点.

答案第10页，共12页

II）由DF_LFG,得SGNN.GV。"，

由人E/IDF,DFrYiftlDFG,AE丈平面。“G,得八E//平面DFG,

点A到平而QPG的距离等于点E到平面。FG的距离,

由（1）同理可得EG±平面。"G，三棱锥A-DMG的体枳I，•SG・匕M•跖,

三棱锥人-〃MG的体积I…