2026新高考数学一轮复习：双曲线及其性质（解析版）

新高考数学一轮复习

第讲双曲线及其性质

双曲线的方程、图形及性质

2222

标注方程=-《=1(。>0力>0)2__£.=i(fZ>o,z?>o)

a-b~a-b-

图形1I6历T.

焦点坐标6(-c,0),g(c,0)K(O,-c),6(0,c)

对称性关于1,y轴月戈轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标4(。,0)A(OM),A2(O,-«)

范围国”\y\^a

实轴、虚轴实轴£为2。,虚轴长为2b

=-=Jl+^r(e>i)

离心率e=

aVa'

令4-与=0=了=±%，Ay2x2..,a

4--r--r=0=>y=±-x,

渐近线方程a,lraa-b-b

焦点到渐近线的距离为〃焦点到渐近线的距离为〃

>1,点［,%）在双曲线内

>1,点（小,y0）在双曲线内

，2（含焦点部分）0*>

点和双曲线-厂-->,■（含焦点部分）

2-»--厂,

/--h=1,点优）,%）在双曲线上2

的位置关系/b=1,点（如%）在双曲线上

<1,点（/，为）在双曲线外

<1,点（/，）o）在双曲线外

共焦点的双2222

二-----^-=\(-a2<k<b2)

曲线方程a2+kb2-k矿+kb--k

共渐近线的摄一营WO）5/=〃60)

双曲线方程

=1,(%,%)为切点

切线方程~邛A=L(%,%)为切点cro

a-lr

对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中V换为小X,），2换成

切线方程

yoy便得•

誓一袈=1,（%为）为双曲线

切点弦所在crir=l，（"o，）b）为双曲线外一点

6rb

直线方程外一点

点（%,为）为双曲线与两渐近线之间的点

设直线与双曲线两交点为4/y）,8（乙,为），L=k.

则弦长|阴=一巧|=J1+（一%|伙工0）,

弦长公式

归-司=&+9）2-4R天喑，其中"'是消"），”后关于“X”的一元二次方程

的“丁，，系数.

通径通径（过焦点且垂直于耳£的弦）是同支中的最短弦，其长为竺

a

双曲线上一点「（毛,为）与两焦点£,巴构成的AP4居成为焦点三角形，

27>2

设尸6=6,pe|=q,1尸周=4，则cose=l-丝，

r\rl

Fi）01\Fiy

焦点三角形

1.八sin。，2"fc•闾,焦点在%轴上

S\PFR=/加”—os/不同，焦点在），轴上，

2

考点三角形中一般要用到的关系是

归用-归以|=2。（2〃>2。）

•5A.=；匹卜归周sin/"PE

忻用2=1明2+|P用2一2归用|p用cos/"入

等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线0〃=。。离心率e=&=

等轴双曲线

两渐近线互相垂直=渐近线方程为y=±x=方程可设为%2-V="%=0）.

题型一：双曲线的定义与标准方程

【典例1・。己知耳,巴是平面内两个不同的定点,则“11叫1-1加玛||为定值”是“动点M的轨迹是以K，

人为焦点的双曲线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】充分性:当“IIMEI-IM号II为定值”,但“IIM用-1知居制GKI”时，”动点M的轨迹不是双曲线”,

不满足充分性；

必要性：以《，鸟为焦点的双曲线上的动点M满足“IIM不-1用8||为定值"，满足必要性；

因此“II岫I-IM/y为定值”是“动点M的轨迹是以K,F2为焦点的双曲线”的必要不充分条件.

故选:B.

【典例1・2】双曲线C：［一/=1(〃>0.沙>0)的两个焦点为6、6，点4(6,1)在双曲线C上，且满足

A尸6=0,则双曲线C的标准方程为一.

【答案】£-X=i

22

【解析】由题，设耳(一。,0),8(G。)，因为4(6,1),

所,以AFt=(—c—y/3,—\),AF2=(c--\/3,-l)>

因为44.4a=0,

所以44四8=3-《2+1=0,解得。=2,

2_1=1

因为“b°»解得.2=〃=2，

b2+a2=c2

所以，双曲线C的标准方程为二一£=1.

22

故答案为：—-^-=1.

22

【方法技巧】

求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：

(I)在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数。，c,即利用待定系数法

—-4--XO

求力程.

(2)根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义

法求方程.

题型二：双曲线方程的充要条件

22

【典例2・1】双曲线方程为高-R=l,则攵的取值范围是()

因一25-k

A.k>5B.2<k<5C.-2<k<2D.一24<2或左>5

【答案】D

22

【解析】由方程骷+S=1表示双曲线，可得(闵-2乂5-曲<0,

当1N0时,可得(2-2)(2-5)>0,解得0)女<2或无>5；

当2<0时，可得化+2)化―5)v0,解得-2<&<0,

综上可得,实数k的取值范围为(-2,2)J(5,-Ko).

故选：D.

【方法技巧】

—+—=1表示椭圆的充要条件为：ni>0,n>0,m^n；

mn

二十£=i表示双曲线方程的充要条件为：，加<o；

mn

22

土+匕=I表示圆方程的充要条件为：〃?=〃>().

mn

【变式2・1】方程上+上=1表示双曲线的必要不充分条件可以是()

m+3m-\

A.〃2£(—3,1)B.e(—3,—l)u(—1,1)

C.〃蚱(-3,+8)D.zne(-3,-l)

【答案】C

【解析】如果方程上+上=1表示双曲线，则(m+3)(m-1)<0,解得：—3<机<1,

m+3m-1

则方程工+上=1表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含1}.

m+3-1

只有选项C满足题意.

故选：C.

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题

【典例3・1】设丹石为双曲线三-工=1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且/大产5=90,则

42

KP用的面积为.

【答案】2

解法一：如图，由二一上•二1”「知，a=2,b=>/2.c=\/6,

42

设|。制二X,\PF2\=y(x>y),由定义x-y=2a=4,

2

•・•NF/R=90f+=(2c)=24,

222

2xy=x+y-(x-y)=8,/.xy=4,：.»,FXPF2的面积为:冲=2.

S_〃_/Tf

解法二：如图，.耳。鸟的面积为1一0-tan45

tan—

2

故答案为：2.

22

【典例3・2】已知双曲线C的方程为上-上=1,其左右焦点分别为K，尸门已知点P坐标为(4,2),双曲

169

QF.PF.F.F.PF.

线C上的点Q(%,%)(见＞0,设.。£片的内切圆半径为,，则厂二

%>°)满足诲FW,

设收£片的内切圆与三边的切点分别为，E,G,如图，

则|田二|如=£E|.|巴七|=|EGI,

。在双曲线右支上,由双曲线定义得|。制-|。勾=2〃=8,展开即得,

|0D|+|N|-(|ea+|G玛|)=|班|-|G闾=|m|一|%|=勿,

又|防|+但玛|=2c,故|班卜a+c,因"(—c,0),则得E(a,0),

即，鹤内切圆的圆心横坐标为。,

QF\PF\_FRPF\|Q川川cosN/V；Q_|f；f；|.|PFi|cosZP^F,

由防|归用得M=M

可得/尸耳。=/夕匕5，即夕耳为/Q£5的角平分线,

由于点P坐标为(4,2),月内切圆的圆心横坐标为。=4,

则。即为40^5内切圆的圆心，E为切点，则内切圆半径为IPEI=r=2；

S.“o—5,g+S"=9(|Q£HQq+lEK|)=：x2x(2a+2c)

=^x2x(8+10)=18.

故答案为:2；18.

【方法技巧】

对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即归国一归国=2々，在焦点三角形

面积问题中若已知角，则用尸周sin。，仍用一忸修=2。及余弦定理等知识；若未知

角，则用SA"的=g.2。•瓦卜

【变式3・1】已知双曲线£-(=1的左、右焦点分别为6，尸2,过招的直线交该双曲线于点A、B,且

AFAF2=O,F2B+2F2A=O,则的面积为_.

【答案】24

【解析】设|八国="0,则根据题意可知|明|=力，|AB|=3f,

所以|A周=/+2々，忸制=2f+2a,又易知M_L48,

在Rt△6AB中,由勾股定理可得:(f+2a『+(3/『=(2f+2a)2,

解得，号，又。=3,

所以|4用=/+2〃=与=8,|A却=3/=2a=6

所以《巴48的面积为gx8x6=24.

故答案为：24

【变式3・2】已知点。在双曲线C：E-f=1上，F、,居分别是双曲线C的左、右焦点，若42耳尸,的面积

6436

为45,则|尸用+|P周=一.

【答案】25

【解析】设尸在双曲线右支上,则|P周一|尸周=2x8=16,

附f+|p周2平周2_Qp用|p修『―旧图2+2匹"周

由余弦定理得cos5=

21M.i叫2俨酊|「用

2

4/-4c+2\PF^\PF2\2\PF^明-4〃

=21mHp周=2附|.|P段’

所以归附忖用=1-CO^PF2="急"=7，

22

乂S叫巴=；归周/周sinN£Pg=《T^.2sin美丝.笥竺

sin

b2

二-ZEPF,

tan——■——-

2

....-....=45NFfE4sinZ.F.PF,、、

所以，4F\PF2°,解得tan—1r-=£=—焉言，结合sh?/片2吊+COS?/£夕用=I,

tan——'---25cosZ^P/s

.纳匕16

则nlll£1112―7-=-,

241

附HP和二配=甯=暇

2

乂归国-归周=2x8=16,

故（|历|+归用『=（归/-归用丫+4|刊讣归用=256+369=625,

故|P用+|P6|=25.

故答案为：25

题型四：双曲线上两点距离的最值问题

【典例4・1】已知P是双曲线C：H-£=〃/l>0)上任意一点，若/，到。的两条渐近线的距离之积为目,

843

则。上的点到焦点距离的最小值为.

【答案】75-72

22

【解析】所求的双曲线方程为三-£=〃％>()),则渐近线方程为X土&)，=(),

84

22

设点P(用,%)，则——=/=X；-2y：=82,

84

点响,的两条浙近线的距离之枳为亨黑.号含二十号号

解得：A=1故双曲线。方程为：片-），2=1,

42'

故”=0,c=6,故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c-a=6-

故答案为：\f5—y/2.

22

【典例4・2】双曲线上-工=1（〃>0,〃>0）的离心率是2,左右焦点分别为士，0P为双曲线左支上一点,

mn

则制的最大值是（）

A-IB.2C.3D.4

【答案】C

【脩析】由焦半径公式得譬|二件二1=卜-二^

xe(-oo,-a],则当x=-a时,

四|\ex+a\|ex+a

故选：C.

【方法技巧】

利用几何意义进行转化.

【变式4-1】已知双曲线C：卷一（=|的左焦点为产，且/>是双曲线上的一点，则|尸耳的最小值为,

【答案】2

【解析】设「（%,%），且W—g=l，/（一5,0）,

916

又|。阡=（七+5『+片=4+10.%+25+161，—1]=（$。+3）,

乂・%«-3或.023,

所以|PFL卡、（-3）+3卜2

即户目的最小值为2,当点。为双曲线左定点时去最小值.

故答案为：2.

【变式4・2】已知片、鸟为双曲线工->2=1的左、右焦点，。为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若

.尸内切圆的圆心为/,则圆心/到圆Y+(y-1尸=1上任意一点的距离的最小值为.

【答案】I

【解析】设.尸耳外内切圆与，尸耳尸2的三边尸匕、。鸟、转入的切点分别为O、N、M,根据圆的切线性质，可

2

得0M=2,即可得答案.由双曲线上-)，2=1,则〃=2,。=1"=6.

4-

设，PFE内切圆与，班人的三边PF^PF^F^的切点分别为。、N、M、

根据圆的切线性质，可得2a=4,

乂因为KM+EMn々EnZjS,J.RMnJS+Z,即QM=2,

二内切圆圆心/在直线x=2上.又因为圆f+(),_l)2=i的圆心为Qi),半径厂=1,

•••圆心/到圆/+(y-l)2=1上任意一点的距离的最小值为2-1=1.

故答案为：1

题型五：双曲线上两线段的和差最值问题

【典例5・1】若点尸是双曲线右支上的一点，点A是圆E:f+(y_5)2=l上的一点，点B是圆

F:(x+5)2+/=1上的一点，则|刚+|M|的最小值为一.

【答案】5应+6/6+51

【解析】双曲线C：£—1=1,则。=4,人=3,所以0=行存=5,设右焦点为6(5,0),

圆E:3+(y-5)2=l,圆心为E(0,5),半径11,

圆尸:(X+5>+)，2=1,圆心为尸(一5,0),半径4=1,

且F(-5,0)恰为双曲线的左焦点，区周二5及，

又点尸是双曲线C右支上的一点,则|尸尸|二|尸用+2々=归用+8,

所以|E4|+|尸耳之|?£|+伊用一彳一弓=忸国+|?段+8-2之年图+6=5五+6,

当口仅当七、尸、八三点共线(P在£鸟之间)时取等号.

故答案为：5夜+6

N分另U是圆(x+5f+9=4和(x—5)2+9=1上的

点，则|PM|-|PN|的最大值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】易得双曲线二-£=1的焦点分别为K(-5,0),F2(5,0),且这两点刚好为两圆的圆心，由题意

916

可得，当且仅当P与M、6三点共线以及P与N、八三点共线时所求的值最大，此时=

(归E|+2).(|P£|・l)=6+3=9

【方法技巧】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如

果发现动点夕在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解.

【变式5-1】过双曲线。一£=1的右支上一点p,分别向圆G：(x+4f+y2=4和圆6：(1-4)2+)，2=1作

15

切线，切点分别为M,N,则|PN『的最小值为_；此时。点坐标为一.

圆C,:(x+4『+/=4的圆心为(T0),半径为4=2；

22

圆C2:(x-4)+y=1的圆心为(4,0),半径为r2=l.

设双曲线炉一马=1的左、右焦点分别为6(TO),6(4,0),连接尸片,明,£M,F2N,

15

可得|PM|2-|PN|2=（附1272Hl*2_川=（同2―4卜（|「用\）

二怛国2-归人「-3=（归用一归号）.（归用+归周）-3=2闻班|+归身）一322〃2-3=2x1x2x4-3=13,

当且仅当户为双曲线的右顶点时，取得等号，即|PA4-|PN「的最小值为13,

此时Q点坐标为（1,0）.

故答案为：13,（0,1）.

题型六：离心率的值及取值范围

方向1：利用双曲线定义去转换

【典例6・。已知双曲线C:》太=9。…）的左、右焦点分别为％F：过点片作倾斜角为3。。的

直线，与C的左、右两支分别交于点P,\F2P-F2Q)-0,则。的离心率为（)

A.垃B.73D.痘

【答案】A

【解析】依题意，由篇+禺，（死尸一5Q）=。，

EJGQ。尸=0,即的平分线与直线尸。垂直,

得।钥眼il

设NP^Q的平分线6。与直线尸。交于点。，如图,

则“居。=/。鸟。，NF?DP=NF/Q=90,又|/）周=|。周，

所以△尸。鸟也△。。工，所以|叫=|04，|%|=|Q闾.

由题得”（—0）,片（G。），设|明=〃,图=S,|历|=F,

在Rlz^Of；居中，/£。鸟=90,N。66=30,则〃=c,用=福,

\\QFi\-\QFA=\PQ\+t-s=2a..

由双曲线的性质可得=；_；=2a，解得|P。=4%

则|町=|。0=勿，所以在R3Q。乃中，片商+面,

又1=用一W=6c-2a,所以J*?+（2〃）2-（石c-2〃）=2a,

即历南'=辰，整理得为2“2,所以c=,0.

故选：A

【变式6-1】已知双曲线C：W-M=1（。>。，力>。）的左、右焦点分别为石，鸟，焦距为2%>0）.若双曲线

a£oz

C右支上存在点P,使得|p段=4n,且S明月=1加2,则双曲线C的离心率6=（）.

A.75B.|C.V6+1D.V13

【答案】D

【解析】由双曲线的定义可知得，耳|-|尸耳=2〃

因为忸玛|=4。，于周=6%

设/《尸乙=6,则SPFF、=：*俨6卜俨周xsin9=；x6ax44xsin£=12/sin夕=I

.,.sin6=1,。«0,乃）,

二.?£心为直角三角形

.■.卜丹『+|尸尸2「二,人匕

/.36/+16/=4c二，即52a2=4c2，

.".e=\J\3

故选：D

方向2：建立关于4和C的一次或二次方程与不等式

【典例7・1】已知双曲线C：21工=1（4>0/>0）的上、下焦点分别为“P是C上支上的一点

/h2

（不在y轴上），尸乙与4轴交于点4,VPA£的内切圆在边A片上的切点为&若|阴>»,则C的离心

率的取值范围是（）

A.（1岑）B.（冬+00）C.（1,1）D.（1,+o

【答案】A

【解析】设该内切圆在尸件丛上的切点分别为。，E,则有|禺=|A£|,|叫=|PE|,忸同=忸口,

又归玛|一|尸耳=勿，|A周=|A段,则|以|+|A耳|一|尸制=9,即2|45|二勿，解得陷二%

由|A用>给，即〃>助，得所以《=.更）.

故选:A

]+=1Q（UA0）的渐近线与圆（x—2y+y2=3没有公共点，刻双曲线。

【变式7・1】若双曲线C：

的离心率的取值范围为（）

A.律,TB.

(2,+oo)C.(1,2)D.

【答案】B

【解析】•,•双曲线渐近线为灰土缈=0,且与圆。=2）2+），2=3没有公共点，

2brr

所以圆心到渐近线的距离大于半径，即/,,,>6.•.加>3/,.•方=。2一/>3/,.“=£c>2.

yja~+b-a

故选：B.

方向3：坐标法

【典例8・1】设分别为双曲线C:/-/=l（a>0力>0）的左右焦点，过点F?的直线交双曲线右支于

点交>轴于点N,且人为线段例2的中点，并满足耳例_LF；N,则双曲线C的离心率为（）

A.B.73+1C.2D.x/5+l

2

【答案】A

【解析】由题意，耳（一。,0）,玛（。,0）,设则N（O,-y）,

因为尸2为线段肠V的中点，所以x=2c,即M（2c,y）,则耳M=（3c,y）,0N=（c,-y）,

因为EMJ,£N,所以书N=3C2-）,2=。，BP/=3C2,

又…匕=1（。＞0,。＞0）双曲线上，所以手"-=

结合b2=c2-a2整理得4?-Sc2a2+/=0,所以4/一8片+1=0，

解得/=1+且或/=1一走（舍去），由e＞l,解得e=史上1.

222

故选：A

【变式8・1】已知双曲线C:%2—E=iS〉o）的左焦点为F,过坐标原点。作C的一条渐近线的垂线/,直

b'

线［与C交于A,6两点，若△/吃的面积为述，则C的离心率为（）.

3

A.3B.75C.2D.6

【答案】B

【解析】由题意可知：«=l.c=y/a1+b~=V1+b2»则/（一C,0），

不妨取一条渐近线为），=6，则//=-处,

x=-by

b

联立方程,J解得3=

、=1cylb2

由对称性可知：点。为线段AB的中点，

h2x/3

则*3"=2SAAOF—xrx—,=------,

2c4b^\3

即虑7=苧，解得。=2,则。=后层二后,

所以c的离心率为。=£=逐.

a

故选:B.

方向4：找几何关系，利用余弦定理

【典例9・1】已知双曲线C:/-/l(a>0/>0)的左、右焦点分别是。鸟,

过点好的直线与。交于A8

两点，且现将平面人片入沿K6所在直线折起，点A到达点P处,使面不入,面明冷若

cosZP/^B=|,则双曲线C的离心率为.

因为所以P^_L耳鸟，BF.IF^

乂平面平面8片鸟，平面P耳八Q平面8斤5=匕鸟，且Pf；u面2石鸟

所以P1_L平面4"鸟，又平面3月6，所以P^J.而；,

所以|尸却:|尸用\忸用2=(生f/rY2//

4-

+(2c1=「+4c2=|B周二

|P图2=|P用?+忻周2=kJ

因为cosNPgB=：,

所以由余弦定理有|P3「=|P用2+忸可2.归用忸用cosN/Y*,

2/?4b4b4〃4+45,

BP-=—+4c2+—+4?-2—

a'")\a-)5

所以16a2c2=5b4=51_a?j,即(5/一寸)(/_5/)=0,

所以。5或旨4又离心率七>1,

所以e=£=6,

a

故答案为：亚.

【变式9・1】已知K为双曲线C:二-与=1（〃＞0力＞0）的左焦点，。为双曲线C左支上一点，

a-b~

2。£。=1,2|。制=77市，则双曲线。的离心率为（）

A.3B.2C.75D.巫±1

3

【答案】D

【解析】设5为双曲线的右焦点，由余弦定理可得

I明2=|6段2+的、2年用.以防9府+兴―2x2cx；cx；=%，所以匹|=芈一

/7T[C_2_V13+1

由双曲线的定义可得IQKHQGI=为，即"C-L,=24,故双曲线C的离心率e-力-而工—-丁

2

故选：D.

方向5：找几何关系，利用正弦定理

【典例10・1】（多选题）已知双曲线，=1（方＞。＞0）的左、右焦点分别为£,工，双曲线上存在点

P（点户不与左、右顶点重合），变得/P入£=3/尸匕鸟，则双曲线C的离心率的可能取值为（)

A.巫B.73C.—

D.2

22

【答案】BC

【解析】•••》＞〃＞（），则离心率e=/^＞及,则排除A；

记/?£玛=。（0。＜0＜45。），归耳=〃?，归段=〃，

则/PF?F\=3ajn-n=2a,

由正弦定理结合分比定理可知:

sin3asinasin4asin3a-sinasin3a-sina

sin4a2sin2acos2a=2cosaw("2),

则”sin3a-sinasin(2a+a)-sin(2a-a)

所以B,C是正确的，D不正确.

故选：BC.

【变式10・1】已知甚、鸟分别为双曲线C：强■=l（〃＞0力＞0）的左、右焦点，。为原点，双曲线上的

..sinZ.PF.F今

点P满足gm且;;^y=3,则该双曲线C的离心率为（)

A.0C.2D.73

B-T

【答案】D

【解析】因为6,入分别为双曲线的左右焦点,

由正弦定理得到P周

sin/尸片居sin/P玛丹

sinNP//~|PF,|_

又因为sin/尸d得西［二3

乂•••||”卜|西||=2%

.•.|尸盟=%|"|二%,

在,OPK中，|。耳|=c,|尸用=*］。尸|=方,

...202片=90。，cosZP^O=^l=-

a-+4c--9a~a~+4c-9a-

在△尸耳入中，cos/P^O

2-rt•2(?4ac

所以1a式

4ac

化简得c=£=G.

a

故选：D.

方向6：利用基本不等式

【典例11・1】已知双曲线C:「-与=1（。＞0力＞0）,r为右焦点，过点r作/＜4_Lx轴交双曲线于第一象限

crb-

内的点A,点3与点A关于原点对称，连接A8,BF,当乙48b取得最大值时，双曲线的离率为

【答案】学

【华仔斤】如图,

设直线mI厂的倾斜角为a,°,

/.Dir•/小tana-tan2k「k、1,近

!

tan/.ABF=tan(a—£)f=----------------=—~7-=------------<—

l-tanatan/71+2^+J^4

1

当且仅当《三上一三走时等号成立，

1lac2

b2=>/2ac»c1—a2=x/2ac»e2—x/2e-1=0，X>I

V6+x/2

・•e=,

2

故答案为：巫31.

2

【变式11・1】如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐・金筐宝钏团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺

,＞2

天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线。:/-£=1,＞（）力＞（））的部

分的旋转体.若该双曲线上存在点P,使得直线用，PB（点4,3为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为

4,则该双曲线离心率的取值范围为.

【答案】（1，6）

【解析】设点户（/，方），其中无工土明

易知点火一&0）,8（砌,且有%普=1,则片―+七,

当点P在第一象限时，/>〃，必>（）,

则^PA=~~~>°，kpB=———>°,且“尸八"kpB,

XQ+CJAQ-<7

由基本不等式可得即A+k,,H>2Ax'=子,

•・•存在点P，使得直线以，尸8的斜率之和为4,

I）

则呼<4,即。<上<2,

故答案为：（1，石）.

方向7：利用双曲线第三定义

【典例12-1］（多选题）己知双曲线C：5-，=1（。>0,〃>0）的左焦点为人过点尸作C的一条渐近线

的平行线交。于点A,交另一条渐近线于点从若用=2A4,则下列说法正确的是（）

A.双曲线C的离心率为百

B.双曲线。的渐近线方程为'=±岳

C.点A到两渐近线的距离的乘积为生

4

D.。为坐标原点，则团1乙4。6=巫

4

【答案】ABD

【解析】双曲线的渐近线方程为）=±2x,不妨设过左焦点尸的直线与直线y=2x平行，交C于点A

aa

对于A：设双曲线半焦距为c,过点尸（-c,0）与直线），=，x平行的直线的方程为y=*x+c）,与丁=-外

联立，解得（与亭］，

\22a）

che

设A（x,），），由FA=2AB，可得。+加），）=2（一耳一巷五一），），

所叫A一2c号b⑤e],

所以焉-Q=l'即%=3,

所以双曲线。的离心率为e=6,故选项A正确;

对于B：由二=3,可得卫=2,所以"应,

a~a1a

所以渐近线方程为）:土&x,故选项B正确;

四八一也,恒+SR__产

对J-c：A到两渐近线距离的乘积44一(5+町于，故选项C错误;

对于D：勉='=

\2

所以OA_LAB,|OA|=\\AB\=£+Z,+

I23J

所以tan/AO8=M=YI,故选项D正确.

\OA\4

故选:ABD.

【变式12-1］双曲线°：/一/=1（./>0）的左右顶点为A8,过原点的直线/与双曲线C交于M,N两点,

若AWA/V的斜率满足3MMAN=2,则双曲线C的离心率为.

【答案】6

【解析】由题意知：4（—。,0）,6（〃,0）,

若。为坐标原点，则|3|=|冲，|OM|=|ON|,四边形AMZW为平行四边形,

.'.AN//BM,即kAN=kRM,kAM-kAN=kAM-kBM=2；

设〃伍,几），则与-患=1（°"）,

1

--%---)'。-=_先.=-----==2'

BM222

x0+axQ-aXQ-aXQ-aa

・••双曲线C的离心率e=j+乌=6.

故答案为：75.

方向8：利用对应焦点焦半径的取值范围［c-a,+8）

【典例13・1】已知双曲线E:/-/=1（〃>0/>0）的左、右焦点分别为点7>在£上，若

\PF^\PF2\>4a-^f则E的离心率的取值范围为（）

“、f,2V7-21|~2疗-2，［*277-2

A.（2收）B.1.---C.---,2D.---

'7333

\」L//

【答案】D

【解析】由题意，不妨设点尸在E的右支上，由双曲线的定义可得|?制一|?周二2-

即归用=|尸闾+2%

由归用+归闾24〃-劭，可得2归周+2〃2痴一4/7,即归用之/_»,

又由|也|的最小值为一（当点。为双曲线右顶点时取得最小值），可得c-a2a-»,即为-C42/2.

当2a—c<0,即£之2时，显然成立：

a

当2a-c>0,即1<工<2时，（勿可得2?^2^工£<2.

a3a

综上可知，双曲线E的离心率的取值范围为［宏|3,+8.

故选:D.

【变式13・1】己知圆G：/+丁=>0）与双曲线0,：£一二=1（〃>0力>0）,若在双曲线G上存在一点

ab~

P，使得过点P所作的圆C1的两条切线，切点为A,B,且乙4。3二3，则双曲线G的离心率的取值范围是

c.(1,75]D.[6+8)

【答案】B

【解析】连接OA、OB、OP,则O4_LA/LOBIBP,

由切线长定理可知，|必|=|尸8|,乂因为|Q4HO8|,|OP|=|OP|,

所以，AOPBOP,所以，ZAPO=ZBPO=iZAPB=,

26

则|OP|二2|OA|=2b,

b2x2

设点尸（苍>）,则丁=-b2>且国之。，所以,

求离