2026新高考数学一轮复习：直线、平面垂直的判定与性质（解析版）

新高考数学一轮复习

第讲直线、平面垂直的判定与性质

------------------------、，「如果一条直线和这个平面内的任意一条

直线与平面垂直的定义），直线都垂直，那称这条直线和这个平面

------------------------/\相互垂直.

一条直线与一个平面内的两条相

直线与平面垂直的判定定理交直线都垂直，则该直线与此平

面垂直

垂直于同一平面的两条直线平行

直线与平面垂直的性质定理垂直于同一直线的两个平面平行

直线、平面垂直的如果一条直线垂直于一个平面，则

判定与性质该直线与平面内所有直线都垂直

--------------、Z如果两个相交平面的交线与第三个平面

平面与平面垂直的定义｛垂直，又这两个平面与第三个平面相交

\所得的两条交线互相垂直.

平面与平面垂直的判定定Q.谭罪就靠的垂

平面与平面垂直的性质定理）蠹禽553金个或需垂直于

题型一：垂直性质的简单判定

【典例14】设44为两条不同的直线，%,4为两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若4〃四，《〃火，则4〃4

B.若44与%所成的角相等，则4//A

C.若必，。21]〃。|，4〃a2，则l\-L12

D.若弓,贝1"，，2

【答案】D

【解析】对于A,平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误；

对于B,44与%所成的角相等，则44可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，

对于C,/%，/J/4,则乙4可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误；

对FD,q_L%/_1_%/,则4_L4，D正确.

故选：D.

【典例1・2】（多选题）如图，在正方体中，。为底面的中心，尸为所在棱的中点，M,N为正方体的

顶点.则满足MN_LO尸的是（）

【答案】BC

【解析】设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接AC,则必V//4C,

故NPOC（或其补角）为异面直线OP，MN所成的角，

在直角三角形OPC,0C=&,CP=\,故lan/POC=」==^

故MNJ.OP不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取AT的中点为。，连接OQ,则OQJLNT,PQLMN,

由正方体SBCM-NADT可得SN，平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故SNJ.O0,而SNRMN=N,故。。_1•平面SN7M,

又MNu平面SN7M,OQ1MN、而OQC1PQ=Q，

所以MN_L平面OPQ,而POu平面OPQ,故MN1OP,故B上确.

对于C,如图（3）,连接30,则由B的判断可得OP_L3D,

故0PtMN,故C正确.

CT

图⑶

对于D,如图(4),取人。的中点。，A8的中点K,连接4CPQ,OQ,QK,OK,

贝|」AC//MV.

因为//=PC,故PQ//AC,椒PQHMN,

所以4QPO或其补角为异面直线PQMN所成的角，

图(4)

因为正方体的棱长为2,故PQ=：AC=夜，OQ=y)AO2+AQ2=V1+2=V3»

PO=^PK2+OK2=74+1=5/5♦QO-<PQ-+OP2,故NQPO不是更角，

故PO,MN不垂直，故D错误.

故选：BC.

【方法技巧】

此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除.

【变式1・1】已知〃?，〃是两条不重合的直线，名夕是两个不重合的平面，下列命题正确的是()

A.若m"a,n!甲、alip,则m//n

B.若mua、nua,m///、nH0,则a〃#

C.若〃?-La,m"n,a±p,则〃_L6

D.若加la,〃JL4，〃?JL〃，则a_L〃

【答案】D

【解析】对于A,若〃。"夕，则〃//。或〃ua,则小，"相交、平行、异面都有可能，A错误；

对于B,若加费比〃a,m//p,nfif^则。与£相交或平行，B错误；

对于C,若m工则〃_La,乂aJL尸，则，〃/或〃u",C错误;

对于D,由，得〃〃a或〃ua,若〃〃a,则存在过〃的平面与a相交,

令交线为/，则〃〃/,而〃于是/，夕，夕；若〃ua,而〃_L〃，则二,夕，

因此a_L夕，D正确.

故选：D

【变式1・2］如图已知正方体ABC。-A4G2,M,N分别是4。，A8的中点，则（）

A.直线A。与直线仅8垂直，直线MN//平面A8CO

B.直线A。与直线。出平行，直线MN_L平面双）。蜴

C.直线4。与直线。"相交，直线MN//平面A3CO

D.直线4。与直线RB异面，直线MN_L平面BOR与

【答案】A

连AR,在正方体ABC。-44GA中,

M是A。的中点,所以M为AA中点,

又N是。力的中点，所以MN//AB,

M/V（X平面ABCD,A8u平面ABCD.

所以MNH平面ABCD.

因为AB不垂直8。，所以MV不垂直8。

则MN不垂直平面4，所以选项B.D不正确;

在正方体A8c。―A片G2中，A"J_A。，

4B_L平面M2。，所以A8_LAQ,

AD^AB=A,所以4。，平面43R,

。/<=平面48。1,所以

且直线是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确.

故选:A.

题型二：证明线线垂直

【典例2・1】如图，在四棱锥尸-A3CD中，叫_L平面A8CQ,底面48CO为正方形，E为线段AB的

【解析】证明：•••A4J•平面48CD,ADu平面4BCZZ.♦.以J_8Z）.

又底面A8c。为正方形，."DL4c.

又PADAC=4,且24,4。匚平面以。，，8£）/平面以。，

•••比<=平面心。，..8。_12。.

【典例2・2】如图，多面体4BCOM中，已知面48co是边长为4的正方形，△F8C是等边三角形,

EFf/AB,EF=；AB,平面F8CL平面

求证：EF1BF；

【解析】由A8CO是正方形，得44_L6C,而平面F8CL平面A4CQ,平面依Cfl平面A3c£>=4C,

ABu平面ABCD,则A4_L平面FBC,又FBu平面FBC,于足AB1FB,又EF//AB,

所以防_LBE.

【方法技巧】

三线合一（有等腰三角形就必用）

共面=勾股定理（题目中线段数据多）

证明4_Lq

其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）

异面=考虑用线面垂直推导异面垂直n找重垂线n在重垂线对应平面内找垂直

【变式2・1]如图，已知多面体A4C。-ASGA的底面A8CD是菱形，侧棱34_L底面ABCO,且

CC|=2M=4BB；=4DD；.

证明：A.CLBD.

【解析】因为2A<=丽瓦，所以Bq〃AA，

又因为BqJL平面ABC。，所以JL平面ABC。，

又因为3Ou平面48c。，所以AA_L3。，

因为四边形ABC。是菱形，所以8O_LAC,

又因为4。^例=4,AC,明仁平面A41C,

所以皿)工平面AAC，

又因为ACu平面AAC，

所以5。_1_40：

【变式2・2】如图所示，在三棱锥P-A8C中，平面尸AC_L平面ABC,PA1AB,NPAC为锐角.

证明：AB1AC；

【解析】在平面A4C中，过点P作AC的垂线，垂足为O.

平面P4CJ■平面A8C，且平面PAC。平面A8C=4C,PZ)u平面APC,

故P/)_L平面人8C,乂48u平面PAC,所以PZ)_L4?

又P4J_A3,PA[yPD=P,PDu平面E4C,PAu平面PAC,

所以AAJ•平面PAC,又ACu平面PAC,故A8_ZAC.

题型三：证明线面垂直

【典例3・1】如图，平行六面体人8CO-4与GR中，底面44。是边长为2的菱形，且/阴。=60。,

M=g幺A8=幺AP,A4,与平面A8CO所成的角为45°,AC与BO交于0.

证明：4。_1平面48。。；

•「底面A4CO是边长为2的菱形，AB=AD.

・・・卬8二与他相二相，

.,.△AAB纭AAZV.B\=D\.

•・.点0为线段8£＞中点，...4。iBD.

•.•48。/)为菱形，..4。，8。4。八4。=。，4。，4。匚平面44。，/.47)_1平面44。

又BOu平面A8C。，，平面AAC_L平面A8CO,

•••4A在平面A48上的射影为AC,

•••必A。为直线例与平面"CO所成的角，即NAA。=45。.

在上A八O中，/U,=46,AO=^AC=j3,ZA.AO=45°,

/“八叵M'+OA2-^2人八r-

:.cosZA)AO=—=-------------------------,/.\p-V3.

22x%AxOA

则M=OH+AO1.AOIOA.

又OAfl4。=aOAu平面ABCD、RDu平面ABCD,

二.AOI平面ABCO.

【典例3・2】在VAAC中，Z4BC=90°,AB=BC=6,D为边AB上一点,4)=2,石为AC上一点,

DE//BC,将VAOE沿OE翻折，使A到/V处，/。48=90。.

证明：川3_1_平面4力石；

【解析,】证明：由题意知OE_L4。，DE±BD,

又A'DCBD=D,所以OE_L平面A'BO,

又MBu平面ABD，所以DE1AB，

又HO_LAB,DE(^\ArD=D,所以AB_L平面A'DE

【方法技巧】

方法一：线面垂直的判定.

线线垂直=线面垂比，符号表示为：a_LA,aJ_c/ua,cua,Acc=?，那么a_La.

方法二：面面垂直的性质.

面面垂直=线面垂直，符号表示为：a1^cc^/3=bya^a,a±b,那么

【变式3・1】如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3C=2G,PC=AB=6,P3=回,/A6C=9(r,£＞为

AC上的动点.

若AZ)=V5,求证：PO_L平面人BC；

在RtZ\A8C中，AB=6、BC=2右,则4。=46，

又PA=2瓜PC=6,所以AC2=PC?+%2

由勾股定理可得△APC为直角三角形，ZAPC=90\

所以tan/PAC===G,所以/PAC=60

PA

在△AAO中，因为4力=6，由余弦定理可得：

PD1=AP2+AD2-2APAD-COSZPAD=（2百了+（厨一2x2&x6xcos60=9

贝1」2£>2+4£>2=%2,所以尸OJ_A。，

又。。=3后,-48=60：,在△OC8中由余弦定理可得：

I3D2=BC2十CD2-2I3C-CDcosAACI3=（2百『十（30，-2K26x375xcos60=21,

则»+8£>2=必2，所以「。_L5。.

又ADcBD=D,AOu平面ABC,8£>u平面ABC,

所以PZ）_L平面ABC

【变式3・2】四棱锥中，AP=AC,底面/WC。为等腰梯形，CO〃/W,

AB=2CD=2BC=2,七为线段尸C的中点，PC1CB.

证明：4£_1,平面PC4；

【解析】因为AP=AC,E为线段PC的中点，所以Af_LPC,

在等腰梯形A8c。中，i^CFlABJ-F,则由A8=2CO=28C=2得用二（以？,

BF1

所以cos/CA4=—=一,所以8A=60°,//。8=30,

BC2

因为AB=28C,所以黑=空=4，所以△BCF~4B4C,

ADDC2

所以=-84C=30、，所以/4C8=90，所以ACJ_AC,

因为PCJLC氏PCc4C=C,PC,ACu平面PC4,所以BC_L平面PC4,

因为AE在平面PC4内，所以8CJ_AE,

因为PCcBC=C,PC；HC在平面PCS内，所以A£_L平面PC8.

题型四：证明面面垂直

【典例4・1】在三棱台ASC-A/iG中，底面VA8C是等边三角形，侧面4ACG是等腰梯形，。是

AC的中点，片。是两异面直线用8和AC的公垂线，且A8=9A4=2X/5,8始=2夜.

证明：侧面平面与AC：

【解析】由是两异面直线与AC的公垂线可得，B.O1AC

又VA8C是等边三角形，。是AC的中点，所以AC_L8O,

因BOcBQ=O,BO,BQu平面BB。,故得AC_L平面用BO,

又"Bu平面用BO,则AC_Lq8,

因8乃_L，ACn3,0=0.AC,B,Ou平面用AC、故_L平面3,AC,

又8乃u平面AmA,所以侧面ABB,A,±平面6AC.

【典例4・2】如图，在三棱柱A8C-A4G中，底面A3C是等边三角形，ZA,AB=ZAIAC,D为BC

的中点，过4G的平面交棱AB于E,交AC于E

求证：平面A'。，平面EBC产；

【解析】证明：连接A8,AC

因为Z>41A4=//\AC,AB=AC,=AA]

所以△AA4且△AAC,所以A8=AC.

因为。为4C的中点，所以8C_LA。.

因为八8=AC,。为8C的中点，所以BCJ.A。.

因为AOnAQ=D,A。，ADu平面AAO

所以6C_L平面4AO.

又B\C\〃BC,所以AG，平面AAQ.

又8Cu平面E4G产

所以平面A4。_L平面EB\C\F.

【方法技巧】

主要证明方法是利用面面垂直的判定定理(线面垂直=面面垂直).证明时，先从现有的直线中寻找

平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.

【变式4・1】如图，在四棱锥中，平面总6_L平面A6CD,底面A6CD为菱形，

Z4BC=60°,AB=4iPA=4iPB=2,E是C。的中点.

B----------

(1)证明：平面PBC,平面八定.

(2)求点A到平面PHE的距离.

【解析】连接AC.因为底面ABCD为菱形，4BC=60。，所以“16是正三角形.

又E为CD的中点，所以AE_LCO,则AE_LA8.

因为平面平面48cD,平面Q48c平面A3CD=A4,AEu平面A4co.

所以AE1平面F44.

因为PBu平面所以AEJ_PB.

因为A8=&PA=&PB=2，所以f片+月长二人4，则PA_LPB.

因为PAC|AE=A,PA,AEcz平面PUT,所以PB_L平面PAE.

又PBu平面PBC，所以平面P"C_L平面幺£.

【变式4-2］如图，在三棱柱A8C-A4G中，人儿与8片的距离为百，AB=AC=A,B=2,

A,C=BC=2y/2.

证明：平面AA8q_L平面ABC：

【解析】取楂4A中点。，连接8Q,

因为48=4,8,所以8O_L4A

囚为三棱柱AZ?c-44G，所以M〃4与

所以8O_LB4,所以8。=造

因为/\B=2»所以AT)=1,AA,=2:

因为AC=2,AC=2&,

所以4c2+人升二A。。

所以AC1AA，

同理AC_LAB,

因为A41nAB=A,且AA，A8U平面八/5与，所以ACJ.平面A,48用，

因为ACu平面ABC,所以平面A,ABB{J"平面"C；

题型五：面面垂直的性质定理

【典例5-。在四棱锥夕一ABC。中，平面PA/)_L平面A8CD,AB//CD,ABrBC,DC=BC=2,

证明：BDA.AP.

【解析】因为A8_L8C,DC=3C=—=2,所以80=2拒，N。8A=；,

由余弦定理可得4。=2+|BD|2-2|A^||BZ)|cos^=^16+8-2x4x272x^=2>/2»所以

AD2+BD2=AB2，则4)_1_g

因为平面%£>1平面ABC。，且平面QAOc平面A8CD=AO,AOu平面P4Q,

所以工平面PAD.

因为人Qu平面附。，所以QJLAP.

【典例5・2】如图，在三棱锥尸-48C中，期_1_底面/仍为A8上一点，且平面2481平面

2

PCD、AC=BC=PD=6三棱锥P-ABC的体积为

求证：。为AB的中点；

【解析】过A作A〃_L〃D于•点M,由平面PA8_L平面PCO.

平面PABr\平面PCD=PD,：.AMJ■平面PCD,

,：C£)u平面PCD,:.AM±CD,

又丁_L底面A8C,CDu平面PAD

PA±CD,,-AMnPA=A,AMPAu平面PAD,

所以CD1底面PA。」「A"u平面PAD，/.ABLCD,

又・.・AC=BC,:.D为AS的中点；

【方法技巧】

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

【变式5・1】如图，在三棱锥P-ABC中，。为4C的中点，平面POB_L平面A8C4A8C是等腰直角

三角形，ABA.BC,AC=PA=6,PB=6.

R

c

证明：PA=PC；

【解析】证明：因为VABC是等腰直角三角形，A3_L8C,O为八C的中点,

所以AC_LOB,ACu平面A8C,

又因为平面尸OB1平面ABC,平面尸。8。平面A3C=O4,

所以ACJ_平面POB

因为尸Ou平面PO3,所以ACJ.PO,又。为AC的中点,

所以△抬。是等腰三角形，故P4=PC.

【变式5・2】如图，四棱锥夕-/SC。，侧面见。是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面A8CO

PM

是乙ABC=60的菱形，M为棱PC上的动点且穿=A(AG[0,1]).

aKx

(1)求证：△P5C为直角三角形；

2

(2)试确定/I的值，使得三棱锥。-4V”)的体积为

【解析】(1)证明：取八。中点0,连结。尸0cAe

因为四边形ABC。为菱形，且NA8c=60、

所以均为等边三角形，

因为△PA。也为等边形三角形，

所以OC_LAr).O尸_LAO.

又因为OCD。o=。OCu平面POC,OPu平面POC,

所以A/)_L平面POC,

又PCu平面POC,所以AO_LPC,

因为BC//AQ,所以BCJ.PC,

即NPCB=90,从而△P8C为直角三角形；

(2)由(1)可知PO_LAD,

乂平面P4)_L平面A8CO,平面引De平面ABC。=AO,POu平面力。,

所以PO_L平面ABC。，

因为M为棱oC上的动点且芸=〃义£。1]),

1L

所以^P-AMD=^M-PAD=^C-PAD=^P-ACD，

因为△9/),△人8都是边长为2的正三角形,

所以尸o=oc=J5,

所以/“,〉=%"PoJx且X4XG=],

产■八LD3A/IL〃34

2

因为三棱锥P-43的体枳为:,

所以％=；2.

题型六：垂直关系的综合应用

【典例6・1】如图，在直三棱柱A8C-A4G中，ZBAC=90°,AB=AC=\.试在平面48c内确定

一点“，使得A”_L平面ABC,并写出证明过程；

【解析】取棱8c的中点。，连接A。，AD.在等腰直角3c中，AD1BC,

乂A/1_L平面A8C,BCu平面ABC，所以5C_LA4，

ADQAA^=AAD,4Au平面ADA,,故BC1平面A"A.

又BCu平面ABC,故平面ABCJ.平面A%,这两个平面的交线为A。.

在△4Z)A中，作A”1A0,47u平面ADA,

则有47_L平面ABC；

【典例6-2】如图，在四棱锥P-/1AC。中，底面ABC。是边长为2的菱形且/4BC二四，

3

(1)求PO的值；

(2)若丽=义而，是否存在4,使得平面COH_L平面243?若存在，求出4的值；若不存在，请说明理

由.

【解析】(1)取线段48的中点E,连接C£、PE，

因为四边形A4CO是边长为2的菱形，则4C=2,BE=\,

因为/ABC=4，由余弦定理可得CE?=BC1+BE2-2BC-BECCS-=3,

33

HE2+CE2=BC2>所以8E_LCE,^CEIAB,

乂•.•尸8=外且七是A8的中点，/.PE上AB,

•;PEcCE=E,PE、C£u平面PCE,..A4工平面PCE,

•.•PCu平面PCE,:.PC1AB—:CD〃AB,:.PCYCD,

vPC=x[6,/.PD=7PC2+CZ)2=Vi()：

(2)过点C在平面PC七内作CM_LPE,垂足为点M,

因为A8J_平面PCE,A8u平面E43，

所以，平面PAB_L平面PCE,

•..上面P/lBc平面PCE=PE,CMu平面PCE,CM1PE,

所以，CM_L平面心6,

过点M作“N//A3,分别交小、PBF点、N、H,

因为CD//AB,则HN//CD.

所以，C、D、N、”四点共面，

因为CMu平面CDM7,

所以，平面CDV〃JL平面244.

因为E4=PA=4,AE=1，PE1AB,

则PE=[P*-AE2=V15，

因为CE=G，PC=E