北师大版八年级数学上册 第五章《二元一次方程组》教案

------第五章-------二元一次方程组

本章教材分析

本章将在一元一次方程的基础上，进一步学习二元一次方程组的概念，通过“消元”将

二元一次方程组转化为一元一次方程，探寻二元一次方程组的解法(消元思想)，并利用二元

一次方程组解决一些有趣的现实问题(建模能力).在学习的过程中，将再次经历从现实到数

学的抽象过程，体会化“未知”为“已知”的转化思想，感受方程的广泛应用，发展抽象能

力和模型观念等.本章学习二元一次方程组为后续学习不等式、二次方程及函数奠定基础.1

认识二元一次方程组

备课素材

新课导入设计

【悬念激趣】

播放多媒体：姚明和刘翔的合影照片.已知姚明比刘翔高370〃，刘翔身高的2倍比姚

明高152cm，则他们的身高分别是多少？

假设姚明的身高为xcm，刘翔的身高为y5?，你能得到怎样的方程？能列几个？

教学设计

课题1认识二元一次方程组授课人

1.通过实例了解二元一次方程、二元一次

方程组及其解等概念.

素养目标

2•用数学的思维判断一组数是不是某个

二元一次方程组的解.

对二元一次方程、二元一次方程组及其

教学重点

解的概念的理解.

教学难点二元一次方程及二元一次方程组的解.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.单项式2mn的次数是

2•下列哪些方程是一元一次方

程？你的判断依据是什么？

(1)3x4-1=5；

回顾旧知，为学习新知做好准

回顾(2)2x+y=16；

备.

(3)xy+6=12；

(4)1=x+3.

3-x=5是方程3x4-5=20的解

吗？

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂引入】

小明和小颖参加课外种植实

践活动，他们分别栽种了若干

株绿植.一知小明栽种的绿植

比小颖多2株，如果将小颖栽

种的绿植减少1株，将小明栽

种的绿植增加1株，那么小明

栽种的绿植数量是小颖的2

倍.

(1)这个情境涉及哪些量？这

些量之间有怎样的等量关根据学生的生活实际和认知

系？实际，创设具体的问题清境，

活动一：创设情境、导入新课(2)设小明栽种了x株绿植，让学生经历建模的同时，调节

小颖栽种了y株绿植，由比你心情，以相对轻松的状态进入

能得到怎样的方程？后面的学习.

周末，小亮一家和朋友们到公

园徒步锻炼，他们一共8人，

买门票花了34元.己知每张

成人票5元每张学生票3元.

(1)这个情境涉及哪些量？这

些量之间有怎样的等量关

系？

(2)设他们中有成人x人、学

生y人，由此你能得到怎样的

方程？

【探究新知】

1•二元一次方程的概念

上面两个问题中，我们分别得

至I」方程x—y=2，x+l=2(y

一1)和x+y=8,5x+3y=34.1.学生通过类比学习，抓住二

(1)观察以上儿个方程，它们元一次方程的关键特征，归

各含有儿个未知数？含天知纳、概括得出二元一次方程的

数的项的次数是多少？与一概念.

元一次方程有何异同？2•通过分组讨论得到二元一

活动二：实践探究、交流新知(2)能否仿照一元一次方程的次方程组的概念，提高学生学

定义给这几个方程起个名？习的积极性，同时增强学生的

归纳：语言组织能力.

二元一次方程的概念：含有两3•深刻理解二元一次方程

个未知数，并且含有未知数的(组)的解的概念，体会二元一

项的次数都是1的方程叫作次方程的解的不唯一性.

二元一次方程.

它有3个特征：(1)含有两个

未知数；(2)含有未知数的项

的次数都是1;(3)方程的两边

都是整式.

教学说明：先让学生通过观察

归纳其中的共性，并用自己的

语言进行描述，然后再组织学

生交流.

2•二元一次方程组的概念

对于公园门票问题：x+y=8

和5x+3y=34这两个方程»

其中x的含义是什么？y呢？

两个方程中x，y的含义一样

吗？

总结：两个方程中x，y的含

义是一样的.

x，y必须同时满足两个方程，

所以我们把它们联立起来，在

前面加一个大括号，组成方程

x+y=8，

组,

5x+3y=34.

共含有两个未知数的两人一

次方程所组成的一组方程，叫

作二元一次方程组.

教学说明：总结归纳出二元一

次方程组的定义后，注意引导

学生理解未知数x和y表示的

意义相同，并规范方程组的表

示力法，最后让学生尝试自己

举例.

3•二元一次方程(组)的解

做一做：

(l)x=6，y=2满足方程x+y

=8吗？x=5，y=3呢？x=

4，y=4呢？你还能找到其他

x，y的值满足方程x+y=8

吗？

续表

教学步骤师生活动设计意图

(2)x=5，y=3满足方程5x4-

3y=34吗？x=2，y=8呢？

(3)你能找到一组x»y的值，同时

活动二：实践探究、交流新知

满足方程x+y=8和5x+3y=34

吗？

总结：使一个二元一次方程左、右

两边的值相等的一组未知数的值，

叫作这个二元一次方程的一个解.

x=5，y=3是二元一次方程x+y

x=5，

=8的一个解，记作同样

ly=3.

x=5，

也是二元一次方程5x4-

(y=3

3y=34的一个解.

x=5，

同时满足方程x+y=8和

[y=3

5x+3y=34，那么»我们就说

5’是二元一次方程组

ly=3

x+y=8，

)的解.

5x+3y=34

二元一次方程组中各个方程的公

共解，叫作这个二元一次方程组的

解.

教学说明：学生分组讨论后进行回

答，教师帮助学生对比得到二元•

次方程(组)的解的定义，并引导学

生理解一个二元一次方程一般有

无数个解.

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1下列方程有哪些是二

元一次方程：(l)(3)(6i.

(l)x+3y-9=0；(2)3x2-2y+12

=0；

1.典型例题进一步巩固新知，提高

(3)3a—4b=7；(4)3x~^=l；

学生的应用能力.

2•变式训练拓展学生思维，进一

⑸mn+m=7；(6)y—5n=l；

步提高学生分析问题、解决问题的

(7)xy-l=0；(8)x+y+z=2.能力.

例2下列方程组中，属于二元一

次方程组的是(A)

A.eqB.eqC.eqDeq

例3下列四组数中，哪些是二元

一次方程2x4-y=10的解？

x=—2[x=3»

(1)<⑵

y=6：[y=41t：

[x=4x=6，

(3)々(4)r

ly=3；ly=-2.

解：(2)(4)是二,元一次方程2x+y

=10的解.

例4二5匚一次方程组

x+2y=H)，

的解是(C)

y=2x

x=3,[x=2'

A.eqB.C.,

ly=61)—4

x=4，

D.

y=2

例5某旅店一•共有70个房间，

大房间每间住8个人，小房间每间

住6个人4804、学生刚好住满.设

大房间有x个，小房间有)■个，则

x+y=70，

列出方程组为

8X+6Y=480

【变式训练】

1•若(a—l)x+4yiH=3是二元一次

方程，则a=-1.

2•小明在解题时发现二元一次方

程Dx-y=3中，x的系数已经模

糊不清(用表示)，但查看答

案发现「一一2’是这个方程的一

ly=5

组解，则□表示的数为二4.

师生活动：学生先独立思考并作

答，然后分小组交流讨论，派学生

代表进行讲解，教师最后进行完

善.

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1.下列方程是二元一次方程

的是(C)

A,x-xy=1B.x2-y-2x

=1

C-3x-y=1D.eq-2y=1

2•下列各组数中，不是x+y

=5的解的是(B)

A.eqB.ec/C.eqD.eq

2x—y=1，

3•在方程组

y=3z+1；

x=2，Jx+y=O，

3y—x=1；13x—y=5；

,fl,1

xy=1，-+-=1：

«(xy

lx+2y=3；(+y=i

中，是二元一次方程组的有

(A)针对本课时的主要问题，分层

A•2个8.3个C.4个次进行检测，达到了解课堂学

5个习效果的目的.

4•下列各组数是二元一次方

x+3y=7，

程组的解的是

[y—x=l

A.eqB.eqC.eqD.eq

5•如图，设他们中有x个成

人、y个儿童，根据图中的对

话可得方程组(C)

A.eqB.eq

C.eqD.eq

6•若方程xm-1—3yn+,=5是

关于x，y的二元一次方程»

则m+n=2.

师生活动：学生进行当堂检

测，完成后，教师进行批阅、

点评、讲解.

1.课堂小结：注重课堂小结，激发学生参与

课堂小结

(1)本节课主要学习了哪些知课堂总结的主动性，为每一个

识？学习了哪些数学思想和学生的发展与表现创造机会.

方法？

（2）本节课还有哪些疑惑？请

同学们说一说.

2•布置作业：

教材第113页随堂练习第1，

2，3题.

1认识二元一次方程组

二二元一次方程（组）相关概念

‘二元一次方程

板书设计提纲挈领，重点突出.

二元一次方程组

二元一次方程的解

、二元一次方程组的解

1.通过情境导入“栽树问

题”等实际问题，学生能理解

二元一次方程组的必要性.学

生能区分二元一次方程（组）

与非二元一次方程（组）.

2•部分学生误判方程类型或

混淆“方程”与“方程组”，

对“公共解”的意义理解不

教学反思反思，更进一步提升.

深，仅停留于数值代入验

证.后续教学要强化概念辨

析，设计分类练习（如判断方

程类型），结合反例深化理

解.需更注重从生活实例到数

学本质的过渡，加强概念辨析

与解的意义建构，为后续解法

教学奠定基础.

2二元一次方程组的解法

第1课时代人消元法

备课素材

新课导入设计

【置疑导入】

问题：体育节要到了，篮球是七年级(1)班的拳头项目.为了取得好名次，他们想在全部

22场比赛中得到40分.已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得I分.那么七年

级(1)班应该胜、负各几场？

你会用二元一次方程组解决这个问题吗？

根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以很容易地列出方程组：

x+y=22，①

2x+y=40.②

那么有哪些方法可以求得这个二元一次方程组的解呢？

教学设计

课题第1课时代入消元法授课人

L了解解方程组的基本思想是“消元”，

掌握代入消元法解二元一次方程组.

素养目标2•在解决问题的过程中学会交流与合

作，感受二元一次方程组的实际应用价

值.

教学重点用代入法解二元一次方程组的基本步骤.

探究如何用代入消元法将“二元”转化

教学难点

为“一元”的过程.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.下列方程是二元一次方程

吗？

(l)x+3y=7：(2)2y+2=0；

(3)2x-3=5；(4)|—2=1-

回顾旧知，为学习新知做好准

回顾

2•你能把上面的二元一次方备.

程改写成用x表示y(或用y

表示X)的形式吗？

3•解一元一次方程的步骤是

什么？

【课堂引入】通过提出实际问题，充分调动

活动一：创设情境、导入新课上节课我们学习了栽树问题，学生的积极性，激发学生的学

经过大家的共同努力，得出了习动力和兴趣.

二元一次方程组

X—y=2，

小明和小

x+1=2(y—1).

颖分别栽种了多少株绿植

呢？这就需要我们去解这个

二元一次方程组.我们会解一

元一次方程，那么二元一次方

程组如何解呢？

续表

教学步骤师生活动设计意图

【探究新知】

问题1：栽树问题中，你能否

列一元一次方程？如何求

解？

解：设小明栽种了X株绿植，

小颖栽种了(x—2)株绿植.

根据题意，得x+l=2(x—2

-D，

x+1=2x—4—2»x-2x=—4

—2—1，—x=­7，x=7.

问题2：针对同样的问题，如

1.通过利用一元一次方程解

何求二元一次方程组

决实际问题，引导学生将求解

X-y=2，二元一次方程组的问题转化

),、的解呢？

[x+l=2(y-1)为消“二元”为“一元”，调

动学生思考问题的积极性，同

提示：(I)对照一元一次方程

活动二：实践探究、交流新知时提高学生分析问题、解决问

的解法，问题2比问题1多了

题的能力.

一个未知数y，y相当于问题

2•通过问题罗列及小组讨论，

1中的____________.

让学生发挥学习的主动性，同

(2)一元一次方程会解，如何

时让学生养成学会观察、分

解二元一次方程呢？能否化

析、归纳的好习惯.

成一元一次方程？换句话说，

多出来的未知数y可以转化

成____________，然后代入

学生自己分析求解，教师规范

解题格式.

X—y=2»①

解.

lx+1=2(y-1).②

由①，得y=x-2.③

将③代入②，得x+l=2(x—2

-1).解得x=7.

将x=7代入③，得y=5.

x=7，

所以原方程组的解为

ly=5.

探索与归纳：

(1)给前面解方程组的方法取

个什么名字好？

(2)解方程组的基本思路是什

么？

(3)解方程组的主要步骤有哪

些？

代入消元法：将其中一个方程

中的某个未知数用含有另一

个未知数的代数式表示出来，

并代入另一个方程中，从而消

去一个未知数，化二元一次方

程组为元•次方程.这种解

方程组的方法叫代入消元法，

简称代入法.

基本思路：二元一次方程组。

一元一次方程

解二元一次方程组的第一种

解法——代入消元法，其主要

步骤：

第一步：在已知方程组的两个

方程中选择一个适当的方程，

将它的某个未知数用含有另

一个未知数的代数式表示出

来.

第二步：把此代数式代入没有

变形的另一个方程中，可得一

个一元一次方程.

第三步：解这个一元一次方

程，得到一个未知数的值.

第四步：回代求出另一个未知

数的值.

第五步：把方程组的解表示出

来.

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1(教材第115页例

1)解方程组：

3x+2y=14，①

x=y+3.②

解：将②代入①，得3(y+3)

+2y=14.

解得y=L

将y=l代入②，得x=4.

经检验，x=4，y=]适合原

方程组.

所以原方程组的解是x-乙’

y=l.

续表

教学步骤师生活动设计意图

例2(教材第116页例

2)解方程组：

2x+3y=16，①

x+4y=13.②

解：由②，得x=13—4y.③

将③代入①，得2(13-4y)+

3y=16.

解得y=2.

将y=2代入③，得x=5.

1.两道典型例题先易后难，进

x=3，

所以原方程组的解是一步巩固所学新知，加强对代

|y=2.

入法解二元一次方程组的训

练.

活动三：开放训练、体现应用

2•变式训练通过增加题目的

师生活动：学生独立思考后分难度，培养学生的团队合作意

小组讨论，最后完成解答，教识，提高学生的分析能力，增

师鼓励并肯定学生“消元”强学生思维的灵活性.

方法的多样性.

【变式训练】

1•用代入法解方程组

f2x+3y=2，①

，一八否正确的解法

[4x+l=9y，②

是⑵⑶.

(1)先将①变形为x=苦工，

再代入②；

o—

(2)先将①变形为y=『，

J

再代入②；

9v一|

(3)先将②变形为x—，

再代入①；

(4)先将②变形为y=9(4x—

1)，再代入①.

2.先阅读材料，然后解方程

组.

材料：

解方程组

x+y=4，①

3(x+y)+y=14.②

在本题中，先将x+y看作一

个整体，将①整体代入②，得

3X4ly=14，解得y=2.

将y=2代入①，得x=2.

x=2，

所以，

|y=2.

这种解法称为“整体代入

法”，你若留心观察，有很多

方程组可采用此法解答，请用

这种方法解方程组

X—y—1=0，①

4(X—y)—y=5.②

解：由①,得x—y=1.③

将③代人②，得4-y=5，解

得y=T.

将y=-1代入③，得x=0.

所以原方程组的解为

jx=0'

ly=-i.

师生活动：学生分小组讨论并

作答，教师巡堂并对学习有困

难的学生给予及时指导点拨，

最后由教师统一进行讲解.

续表

教学步骤师生活动设计意图

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1.代入法解方程组

(x—2y=7，

时，代入正确的

ly=l-x

是(。)

A•x—2—x=7B.x—2—

2x=7

C-x-2+2x=7D.x—2+

x=7

2•用代入法解方程组

[2s+t=1»①

Lco4下面四个选

I3s-5t=8，②

项中正确的是(C)

A•由②得t=二彳*，再代入

J

Q-通过设置当堂检测，使学生进

B•由②得s=r=，再代入

一步巩固新知，及时检测学生

①的学习效果，做到“堂堂

C•由①得t=l-2s，再代入清”.

②

。•由①得s」?，再代入②

3•用代入法解方程组：

y=2x-3，

(1)

[3x+2y=8；

2x—y=5，

(2)-

3x+4y=2.

fy=2x-3，①

解:(3x+2y=8,②

将①代入②，得

3x+2(2x—3)=8，

解得x=2.

将x=2代入①，得y=l.

[x=2，

故方程组的解为，

ly=i.

'2x—y=5，①

解：…，

[3x+4y=2，②

由①，得y=2x一5.③

将③代入②，得3x-+4(2x-5)

=2，

解得x=2

将x=2代入③，f导y=-l.

x=2，

故方程组的解为

y=-i«

师生活动：学生进•行当堂检

测，完成后，教师J曲行批阅、

点评、讲解.

1.课堂小结：

(1)本节课主要学习了哪些知

识？学习了哪些数学思想和

方法？学生在反思中整理知识、梳理

(2)本节课还有哪些疑惑？请思维，获得成功的体脸，积累

课堂小结

同学们说一说.学习的经验，养成系统整理所

2•布置作业：学知识的习惯.

教材第117页随堂练习第1

题;教材第119页习题52第

1题.

第1课时代入消元法

1.基本思路：“消元”——

把“二元”变为“一元”.

板书设计提纲挈领，重点突出.

2•一般步骤:①变;②代；

③解.

通过对比“一元一次方

程的解法”，学生能理解“二

元转一元”的核心思想，大部

分学生能独立完成简单方程

教学反思的代入消元.需关注学生变形反思，更进一步提升.

时的符号处理和代入的准确

性，对基础较弱的学生单独指

导，后续可对比代入消元法与

加减消元法，深化“消元”思

想的应用.

第2课时加减消元法

备课素材

新课导入设计

【情境导入】

如图，第一个天平的左边有三块积木，质量分别是x克、y克、y克，右边有四块磋码，

质量都是1克，此时天平平衡.

第二个天平的左边有两块积木，质量分别是x克、y克，右边有三块硅码，质量都是1

克，此时天平平衡.

如果第三个天平的左边只放一块质量是y克的积木'那么天平的右边应该放几块质量是

1克的祛码才能使得天平平衡？说出你的理由.

教学设计

课题第2课时加减消元法授课人

1.会用加减消元法解二元一次方程组.

素养目标2•在用加减消元法解二元一次方程组的

过程中，会用不同解法解同问题.

於。壬上用加减消元法解二元一次方程组的基本

教于重点步骤.

教学难点对用加减消元法解方法组过程的理解.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

1.解二元一次方程组的基本

思路是什么？回顾旧知，为学习新知做好准

回顾

2•用代入消元法解二元一次备.

方程组的步骤是什么？

【课堂引入】

怎样解下面的方程组？

3x+5y=21，①

2x-5y=-ll.@

小明：把②变形得x=5V^-一11，

以实例引入，既巩.固旧知，又

活动一：创设情境、导入新课

代入①，不就消去X了！引入新课.

小亮：把②变形得5y=2x+

11，可以直接代入①呀！

小丽：5y和一5y互为相反

数...

按小丽的思路，你能消去一个

未知数吗？

续表

教学步骤师生活动设计意图

【探究新知】

3x+5y=21，①

解法1：

2x-5y=Tl.②

解：由②，得x="L③

把③代人①……

[3x+5y=21，①

解法2：八

2x-5y=-ll.②

解：由②，得5y=2x+ll，

③

把5y当作整体，将③代入

①……

（此种解法体现了整体的思1.通过对一道练习题的解答，