北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定》同步练习题（含答案）

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题（含答案）

学校:___________班级：姓名：考号：

一、选择题

1.矩形具有而菱形不具有的性质是（）

A,两组对边分别平行B.对角线相等

C.对角线互相平分D.两组对角分别相等

2.直角三角形的两条直角边的长分别为5cm,12cm,则斜边上的中线为（）

A.—cmB.13cmC.6cmD.—cm

132

3.对于四边形ABCD,给出下列6组条件：

①4力=90°,Z.B=Z.C=LD；

（2）LA=zF=90\Z-C=zD：

（3）z/1=ZF=ZC=乙D；

④^.A=Z.B=Z.C=90°：

（?）AC=BD；

⑥AB//CD,AD//BC.

其中能得至『'四边形ABCD是矩形，的有（）

A.1组B.2组C.3组D.4组

4.如图，已知：四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD.以下是排乱的证明过程：①AB=DC,LABC=乙DCB；

②又vBC=CB；③•••四边形ABCD是矩形；④-.AC=DB,（5）4BC竺△DC8.证明步骤的正确顺序

是（）

A.③①②⑤④B.②①③⑤④C.②⑤①③④D.③⑤②①④

5.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B\AB1与DC相交于点E,则下列结

论不一定正确的是（）

B'

A.AD=B'CB.AE=CE

C./-DAE=乙B'CED.4W=4CAB'

6.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0,AB=2,乙4B。=60°,线段EF绕点0转动，与AD,BC

分别相交于点E,F,当440E=60"时，EF的长为（）

D.4

7.如图，在矩形ABCD中力8=4,8c=6,点E为BC的中点.将dABE沿AE折叠，使点B落在矩形内

点F处，连接CF,则CF的长为（）

a9_12_16_18

A.-B.—C.—D.—

5555

二、填空题

8.如图，在矩形纸片ABCD中40二6，将矩形纸片折登，边AD,边BC与对角线BD重合，点力与点C恰

好落在同一点处，则矩形纸片ABCD的周长是—.

B

9.如图，在矩形ABCD中48=4,BC=8,点E是边AD上一动点，点。是对角线BD的中点，连接E0并

延长交BC于点F,当AE的长为时，四边形BFDE是菱形.

10.如图，在矩形ABCD中48=6,40=8,P是8C上不与B和C重合的一个动点，过点P分别作BD和

11.如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点4C为圆心，以大于\AC的长为半径画弧，两弧交于点E,

F,直线EF交AD于点M,交BC十点N,若4M=6,MD=4,则线段CD的长为.

12.如图，矩形ABCD中，AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN-4,则AC的长为

13.如图，在矩形ABCD中，点P在对角线AC上，过点P作EF//BC,分别交AB,CD于点E,F,连接

PB,PD.若PB=25PD=6,图中阴影部分的面积为9,则矩形ABCD的周长为.

(1)线段BO=.

(2)求点。的坐标.

(3)若点M是y轴上的动点，若2MDF是以DF为腰的等腰三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标.

17.如图，在矩形ABCD中，£■是48的中点，连接DE,CE.

(1)求证：A/IDE安ABCE.

(2)若48=6,AD=4,求ACDE的周长.

18.如图，在△ABC中4c=9,AB=12,BC=15,P为BC边上一动点，PG1AC于点G,PH1AB于点H.

(1)求证：四边形AGPH是矩形.

(2)在点P的运动过程中，GH的长发是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

19.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点0,分别过点C,D作CE//BD,DE//AC,CE和DE交于

点E.

B

(1)求证：四边形ODEC是矩形.

(2)当乙ADB=60°,AD=10时，求"和AE的长.

20.已知：矩形ABCD^'AD>AB,0是对角线的交点，过。任作一直线分别交BC,AD于点M,N(如图①).

(1)求证：BM=BN.

(2)如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN,求证：四边形AMCN是菱形.

(3)在(2)的条件下，如图③，若AB=4cn\,FC=8cm,动点P,Q分别从力，。两点同时出发，沿△

和2CDN各边匀速运动一周.即点P自停止，点Q自CtDtNTC停止.在运动

过程中，已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当A,C,P,Q四

点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.

③

参考答案

一、选择题（共7题）

1.【答案】B

【解析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解:

A.矩形与菱形的两组对边都分别平吁，故本选项错误；

B.矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；

C.虻形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误：

D.矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误.

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

【解析】•；四边形ABCD是矩形

:.0A=OB,/.ABC=Z.BAD=90°

又•••Z.ABO=60°

ABO为等边三角形

•••LBAO=60°

:.LOAE=30°

••・线段EF绕点。转动44。£=60°

•••LAEO=180°-60°-30°=90'

四边形ABFE为矩形

:.AB=EF=2.

7.【答案】D

【解析】连接BF,交AE于H,则AE垂直平分BF.

•••BC=6,点、E为BC的中点

•••BE=3.

又­：AB=4,LABC=90°

AE=5

...BH=Y，则8F=当

:FE=BE=EC

•••LBFC=90°

故选D.

二、填空题（共7题）

8.【答案】6+2V3

【解析】根据题意可知：AD=BC=V3

BD=AD+BC=6+6=2遍

所以AB=y]BD2-AD2=V12-3=3

所以

矩形48co的周长=2（48+8。）

=2x（3+V3）

=6+2V3.

9.【答案】3

10.【答案】g

【解析】连接0P,如图所示：

•••矩形ABCD的两边AB=6,=8

'5矩形ABC。="BtBC=48,0A=OC

OB=OD,AC=BD,AC=V/1F2+BC2=10

S^BOC=:S矩形.CD=12,08=OC=5

S&BOC=S^BOP+S&COP

=-0B-PE+-0C-PF

22

=：OB(PE+PF)

=1x5x(PE+PF)

=12,

【解析】如图，连接CM.

由伦图可知，MN垂直平分线段AC

MA=MC=6

•••四边形ABCD是矩形

LD=90°

CD="M2-DM2=V62-42=2V5.

【解析】•；M,N分别为BC,OC的中点

•••BO=2MN=8.

•••四边形ABCD是矩形

:.AC=BD=2BO=16.

13.【答案】2同+6巡

14.【答案】②④

【解析】设P至I」ADABBCCD的距离分别为以d2d3d4.

由三角形面枳公式得Si="Dd|S2=^ABd2S3=；eC-d3S4=；C0-d4.

•••四边形ABCD是平行四边形

AD=BCAB=CD.

由图可知由<d3d2<

①Si+S2="D.di+*B.d2

S3+S4+c@+Jo®

■4•S]+S2<S3+S4.

故①错误；

②Si+S3=-AD-di+-FC«d3=\AD,@+d3)=\AD.AB

2222

s2+s4=\ABd2+iCDd4=\AB-(d2+d4)=^AB-AD

:.Si+S3=$2+54.

故②正确；

③若S3=2SV则非C・d3=2x/od1，即丛=2由，但无法确定d2与〃之间的关系

无法确定S2与54之间的关系.

故③错误；

④如图所示，过点P作PELAB,PFLAD.

若工=S2

•••-AD-di=之AB-d.

212N2

...£1="，即竺=竺.

ABADABAD

PFPE

—=—•

CDBC

・••点p在矩形的对角线上，故④正确.

三、解答题(共6题)

15.【答案】vCF=BC

••・。点是BF中点

•••点G是DF中点

CG是△DBF中位线

:.CG//BD,CG=^BD.

•••四边形ABCD是菱形

'.ACLBD,DE=-BD

2

LDEC=90。，CG=DE

vCG//BD

••・四边形ECGD是矩形.

16.【答案】

(1)W

(2)由折叠的性质得：BE=AB=6,Z.BED=LBAD=90°,DE=AD

•••0E=BO-BE=10-6=4,COED=90°

设D(0,a),贝ijOD=a,DE=AD=OA-OD=8-a

在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2-YOE2=OD2

即(8-a)2+42=a2,解得：a=5

D(0,5).

(3)•••点B的坐标为(-6,8),D的坐标为(0,5)

设直线BD的解析式为y=kx+b(k工0)

代入得｛泮6k+b.

解得卜=一g

.b=5.

二直线BD的解析式为y=-；z+5.

将y=0代入，得x=0

•••点F得坐标为(10,0)

•••DF=5V5

①若DF=DM=5V5

则点M的坐标为(0,5+5通)或(0,5-5代)：

②若FD=FM=5V5

,:OF1DM

:.OM=OD=5

•••点M的坐标为(0,-5).

综上所述，点M的坐标为(0,5+5伺或(0,5-5花)或(0,-5).

【解析】

(1)•.・四边形ABCO是矩形，点B的坐标是(-6,8).

:"BAD=Z.OCB=90°,AB=OC=6,OA=BC=8

:.BO=y/OC2+BC2=10.

17.【答案】

(1)在矩形ABCD中力0=BC,乙4=48=90°

・•,E是AB的中点

:.AB=BE.

在△ADE与△BCE中

AD=BC,

LA=LE,

AE=BE,

ADE^△BCE(SAS).

(2)vAB=6,E是48的中点

：.AE=-AB=3

2

vAD=4

:.DE=y/AB2+AD2=V32+42=5

•••△ADE^△BCE

/.CE=DE=5

v矩形ABCD

DC=AB=6

•••△CDE的周长为CO十CE+OE=6+5+5=16.

18.【答案】

(1)vAC=9

AC2=81,AB2=144,BC2=225

:.AC2+AB2=BC2

•••LA=90°

vPG1AC,PHLAB

:.LAGP=乙AHP=90°

二四边形AGPH是矩形.

(2)存在.

连接AP.

••・四边形AGPH是矩形

•••GH=AP

•:当AP18C时AP最短

•••9x12=15”

AA4Pn=36

19.【答案】

(1)VDE//AC,CE//BD

•••四边形ODEC是平行四边形

•••四边形ABCD是菱形

：.ACLBD,即Z.DOC=90°

・••平行四边形ODEC是矩形.

(2)在RthAOD中4400=60。

ALOAD=30°

•••AD=10

0D=-AD=5

2

:.AO=y/AD2-OD2=V102-52=56

四边形ABCD是菱形

AC=2AO=10A/3

•••四边形ODEC是矩形

•••LACE=90°,CE=OD=5

12

在RtAACE中力E=7AC?+CE?=q(10VT)4-52=5V13.

20.【答案】

(1)方法一：

连接8D,则BD过点。

-AD//BC

•••LOBM=乙ODN

・••0是对角线的交点

:.OB=OD

在AOBM和&ODN中：

Z0BM=乙ODM,

OB=OD,

MOM=乙DOM,

08Mg△ODN(ASA)

•••BM=DN.

(2)方法一；

矩形ABCD

:.KD//B