2026新高考数学一轮复习：椭圆及其性质（解析版）

新高考数学一轮复习

第讲椭圆及其性质

椭圆的方程、图形与性质

焦点的位

焦点在X轴上焦点在y轴上

置

A

rK-

图形

4HlOW

22

标准方程〃+[=l(a>b>0)

统一方程"ix2+ny2=l(m>O.n>0,in工〃)

卜为参数（。£[0,2m）r二：8sf,e为参数(。£[0,24])

参数方程

y=bsinOy=bsin0

第一定义到两定点可、鸟的距离之和等于常数2a,即+鸟1=2“

范围-a<x<a-by<b一Z?<x<0且一a4yW〃

A"-a,0)、A,(«,0)A"。,-a)、A,(0,«)

顶点

B40,询、B2(0,/>)B1(-〃,0)、B2(Z?,O)

轴长长轴长=为，短轴长=2〃长轴长=为，短轴长=27;

对称性关于x轴、），轴对•称，关于原点中心对称

焦点耳（一40）、鸟（c,0）£（o,-4、6（0,°）

焦距忻用=2c(c2=a2-b2)

离心率吒书Ty=3与（o<e<i）

准线方程

c

>1外2J,1外

点却椭圆

乌+今=1o点（•%，%）在椭圆，

=1o点(%,y0)在椭圆•上上

的关系GD

<1内<1内

「+老5",%）为切点）季+於―）为切点）

切线方程对于过椭圆上一点（七,％）的切线方程，只需将椭园方程中/换为/X，V换为

比y可得

切点弦所

在的直线?+浮=1（点心,%）在椭圆外）岑+答=1（点®,%）在椭圆外）

6rbQ-D

方程

@COS^=--l^nm=Zf；/?E）,（B为短轴的端点）

住

②乂竹鸟=gl4Sin夕=〃tang二«。1%1,焦点在x轴上（e=NFPi

。|小|,焦点在丁轴上（"'%）

C当P点在长轴端点时，（4^）min=b2y

焦点三角邑4（%，%

当P点在短轴端点时，（q/pniax-cr洛

形面积

在A：—/7.ir<r11.自儿HHmz；iiIVI辛云

W、二用“T丹又女小型亦Zt\「o罗

I|+1|=2a(2a>2c)

S/a=；IWIIP6|sin〃PK)

222

\F}F21=|PF,I+1PF,I-2|PFXII夕片IcosN耳尸口

上焦半径：|A/£|=a-ey

左焦半径：|M£|=a+ex°()

下焦半径：\MFt\=a+ey0

焦半径又焦半径：|\=a-exu

焦半径最大值a+c，最小值a-c

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2%（最短的过焦点的弦）

通径

a

设直线与椭圆的两个交点为4（X]，x）,B{x,,y,）,kAH=k,

则弦长|A.=J1+&2-即=，1+公J（X]-/）?-4X/2

弦长公式

=-4乂％=>+♦舍

（其中a是消了后关于工的一元二次方程的x2的系数，A是判别式）

题型一：椭圆的定义与标准方程

【典例1・。已知％尸2是椭圆C的两个焦点，。是。上的一点，若PFJPF?,且|尸盟:|尸国=2:5,

则C的长轴长与焦距的比值为（）

D,也

L•------

729

【答案】D

【解析】由陷|+|明=2m结合题设有|叫=口，席|=%

flO

由入，则+一a=（2c『,

17

化简得29/=49c2，故C的长轴长与焦距的比值为葛=/=d=噜.

故选：D.

【典例1・2】已知点耳,鸟分别是椭圆C.的左、右焦点，P（4,3）是C.上一点，▲尸耳心的内切圆的圆心

为/（〃?/），则椭圆C的标准方程是（）

B二

A.—+—=1-京+呆1D.y

24276412

【答案】B

2

=l(fl>/?>0),由尸(4,3)在C上，得二+9

【解析】依题意，设椭圆C的方程.为〉=1,

cr

显然，夕耳人的内切圆与直线”尸2相切，则该圆半径为I,而5叼6=3（2〃+20）/=。+。

又SP"2=；.2U3=3C,于是。=2c，b2=a2-c2=\2,因此我+5=1,解得/=28,从=21,

2，

所以椭圆C的标准方程是工+匕=1.

2821

【方法技巧】

（1）定义法：根据椭圆定义，确定片,〃的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

故椭圆的标准方程为：三+X=1.

43

故答案为：—+—=1.

43

题型二：椭圆方程的充要条件

【典例2-1】方程二L十二一=］表示椭圆的充要条件是（）

4+m2-m

A.-4<m<-\B.ni>-\

C.-4<in<2D.Yv,〃vT或-I<"?<2

【答案】D

4+，〃>0

【解析】若」一+工=1表示椭圆，则有，2-"I>0

4+/Z72-m

4+，〃w2—m

解得-4</〃<一1或一1v〃?<2.

故选：D.

【方法技巧】

—+—=1表示椭圆的充要条件为：m>O,n>Ojn^n；

mn

r22

2十v二=1表示双曲线方程的充要条件为：/加<0；

mn

工+工=1表示圆方程的充要条件为：，〃=〃>（）.

mn

【变式2-1】对于方程f+y2sina=，aw一泉知表示的曲线。，下列说法正确的是（）

A.曲线C只能表示圆、椭圆或双曲线B.若。为负角，则曲线C为双曲线

C.若a为正角，则曲线C为椭圆D.若C为椭圆，则其焦点在x轴上

【答案】B

【解析】对A,当a=0,即sina=0时，曲线C的方程为戈2=1,工=±1,

此时曲线C为两条平行的直线，故A错误：

对'B,若a为负角，即一则sina<0,

此时曲线。为双曲线，故B正确;

对C,若a为正角，即o＜aw],当a=U时，sina=l,

则曲线。的方程为犬+产=1,是圆，故C错误；

1r2.J'

对D,若C为椭圆，则又V+/ina=1可变形为*十一T

sina——

sina

则c为焦点在y轴上的椭圆，故D错误.

故选；B.

题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题

【典例3・1】已知双曲线G：/一£=]（。＞0）与椭圆a：5+丁=1（〃＞上）有公共的焦点耳,

且G与G在第一象限的交点为"，若△”片入的面积为1,则〃的值为

【答案】&

川+|M居|=2a,

【解析】设K，F?分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得外“I今

所以|M制=4+1,|M闾=〃-1,

所以|“周|此|=〃2-1,

由余弦定理可得恒用2=（|M用+|M周）2一2|"用眼用一2|加£四马烟/用明=4（/一小

q2

所以cos3ME=*L,

'a~-\

故sin/£M居=-8,

■a--\

48

因此的面积为用眼周sinZF'MF2=^（d2-l）^f~=g"因一8=1，

解得a=G.

故答案为：6

【典例3-2】（2023年高考全国甲卷数学真题）设0为坐标原点，巳人为椭圆。三十上=1的两个

96

3

焦点，点P在C上，COSNRPFLM，则|OP|二（）

A.月B.叵C.巴D.叵

5252

【答案】B

【解析】方法一：设鸟=230＜。＜5,所以Sw“"an岑％=〃tan。,

乙乙

CZ)COS'-sin26^1-tan2^3台〃汨

tHhcosZ/.Fr.?nP£K?-cos20=——；-----；—=--------,4展得:tail^=—,

cos-6>+sin26>l+tan2<952

由椭圆方程可知，a2=9,b~=6,c2=a~-b1=3,

所以，忻周x|%|=；x2石乂同=6彳，解得：$=3,

即看=9%一胃g因此仍=值卷=6|=亭.

故选：B.

方法二：因为|P制+|尸段=%=6①，|pd+|p6「—2|p@pK|N4"=怩6|2,

则尸用?+|P用2一亮尸用归囚=12②，联立①②,

解得：附||*=*附『+|叫:21,

而P0=3位冗+P居），所以|0P|=|PO|=+PF2\,

即|。。|=*£+叫*+2PK.+卜可=*l+2x|x畀亨.

故选:B.

方法三：因为归用+归用=%=6①，|可『+|「周2一2|尸百归用8S4；分＞忻周2,

即四「+仍用2号叫因=]2②，联立①②，解得：|叫川叫2=21,

由中线定理可知，（2|OP|f+归段2=2（|PM+|P*）=42,易知周=26,解得：|。耳=回.

2

故选：B.

【典例3・3】已知椭圆。：]+产=1的两个焦点分别为丹心，点M为。上异于长轴端点的任意一点,

/耳屿的角平分线交线段耳鸟于点N,则需=（）

A.-B.—C.—D.41

552

【答案】D

【解析】因为/£/8的角平分线交线段£居于点N,

所以/£MN=NNMK，

一.，MEF.NMF,F、N

所以由正弦定理得~~/A/A/F=~/j7A4AT，~~/KAKI17~~~TTTZJ，

sinZ.MNFysinZ.F}MNsinZ.MNF2sinZ.F2MN

乂因为sin/MN^=sinZMNF2,sinN/^MN=sinN^MN,

MF.MF,MF.F.N

所以版=前，即成;前，不妨设版|"|例=〃如图:

a(c+〃)

所以I"周一』_cJa

优N|c+nc+nc4J一力2

b”所以需

由题意a=&，=友,

故选：D

【方法技巧】

焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常

用定义，即|P£|+|PEI=2a.

【变式3-1】已知。工分别为椭圆《+f=1的左、右焦点，P为椭圆上一点且户用=2|P段，则

1810

"66的面积为.

【答案】2妪

【解析】由椭圆匕+—=I可知a=3yf2,b=V10,c=J18-10=2^2,

1810

故|尸制+|P周=2。=66,结合|P周=2归用,

可得归用=4夜,归周=2夜，而归闾=2c、=4上，

故为等腰三角形，其面积为&xJ腰灰)2-(0)2=2后.

故答案为：2厉.

22

【变式3-2】该椭圆C：三+汇=1的左右焦点为A，K，点尸是C上一点，满足/士月鸟=90,则

369

.、£P工的面积为.

【答案】9

【解析】解法一：由C:—+=1>得〃"=36,力"=9,则a=6,/?=3,c=Ja?—/=36，

369

设|P凰=〃?,|也|=〃，则由题意得

m+n=2a=\2

]〃2+〃2=4C、2=108'

由=12,得m2+n2+2mn=144.

所以108+2nui=144,得nui=18,

所以二£2工的面积为：加〃=9

22

解法二：由C:上+上=1,得“2=3622=9,

369

因为/石2鸟=90

所以由焦点三角形的面积公式得l>tan—=9ian—=9.

22

=60。，若匕关于6平分线的对称点在椭圆。上，则△耳夕入的面积为()

A.6x/3B.3GC.2GD.石

【答案】C

【解析】设椭圆卷+/=1(0<〃<3)的长半轴为4,则〃=3

设入关于3PR平分线的对称点为Q,

由椭圆对称性及角平分线性质可知P，工，Q三点共线且俨0=|尸用

又因为/片尸鸟=],所以△PQK是正三角形，

设|P用=|Q6|=|PQI=/n,

由椭圆定义可得|尸制十|尸周=9=6,|Q制+|QE|=6,

又1尸。1=忸4|+|。£|,

所以归。=12-俨用—|Q用=12-2〃?，

所以〃?=4,即|P用=4,|%|=2,

所以△氏尸鸟的面枳5=3尸修|尸入忖11N耳尸工=，x4x2x卫二26.

222

故选：C.

题型四：椭圆上两点距离的最值问题

【典例4-1】已知〃是椭圆:+),2=1的上顶点，点M是椭圆上的任意一点，则网的最大值为()

逑

A.2B.25/2~T

【答案】C

【解析】设例Gw。)，且苧+¥=1,

x22

所以|MB|二7(o-O)+(yo-l)==小-3舟()，。-1)2

=J_2£_2%+4=1-2

又因为九£卜15，所以当.”=-］时取最大值,

所以也用=口=还,

IImax\199

故选：C.

【方法技巧】

利用几何意义进行转化.

【变式4・11点P在圆产+。」2)2=；上移动，点。在椭圆Y+4),2=4上移动，则线段|P@的最大

值为.

【答案】:十苧

【解析】如图，设点〃在圆C：f+(y—上，设Q(2cosa,sin。)而C(0,2),

，)(2Y2828

则|CQ「=4cos2a+(sina-2)-=-3sina+—1+—＜一,

i3/33

故吼=粤，此时sina=-|'C°Sa=±T'

又因为1PQKIPC|+1CQ|=g+1CQ|,

所以|PQ|的最大值是g+彳、份.

X故答案为：—+—V2T.

题型五：椭圆上两线段的和差最值问题

【典例川已知点M在椭圆%齐上，点的，用，旭。)，

则却的最大值为

)

A.—B.4C.—D.5

44

【答案】C

【解析】

小

作椭圆的左焦点4(-1Q),则|恻+|幽=|叫+4TM耳山4+|明

当且仅当点例为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得|八可={4+2=；,

2］

故|M4|+|MB|=|MA|+4TMB|K4+|ABJ=W，C正确，

故选：C

【典例5-2】已知椭圆C:工+工=1的右焦点为尸，点矶0,2),点p是c上的动点，则仍「|十|阿|的

259

最小值为()

A.5B.10-2x/5C.10D.10+26

【答案】B

【解析】若尸'为椭圆左焦点且尸'(-4，。)，贝1」|''|+|尸用=勿=10,故|P用=10-|尸产|,

所以|PF|+|PE|=|PE|TP尸［+10,

而忸目-pF恫口［=26，所以_26«|尸耳一|尸尸'区2石，仅当。,瓦尸共线时取等号，

综上，|PF|十|P国的最小值为10-2石,取值条件为尸,£尸'共线且E在P,F'之间.

故选：B

【方法技巧】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如

果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解.

【变式5・1】设椭圆C上+亡=1的右焦点为八动点P在椭圆C上，点A是直线4x-5y-12=。上

43

的动点，则|/科-|川1的最小值为()

A16丙16向「16X/4T)416向

A.----------B.-----R------------C.----------4DN.4----------

41414141

【答案】C

【解析】根据题意知椭圆的右焦点坐标为9(1,0)，左焦点坐标为尸(-1,0)，

根据椭圆的定义可知|「川+|尸尸|=4,所以归户|二4-归川，

贝|J俨川尸F|=|网—（4一归尸|）=|P/4|+|Pr|-4,

所以|%|+|P尸1最小时,即E4|-|P尸|最小,

定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段,

|4x(-l)-0x5-12|_I6V4T

根据点到直线的距离公式“J得d

6+52二F

所以|PA|_|PF|=竺产.4.

故选：C

【变式5-2】设/是椭圆三+f=1上一点，p,。分另IJ是两圆"+3『+)，2=1和(x—3y+V=i上的

167

点，则|阴+|囤的最小值、最大值分别为()

A.8,IIB.8,12C.6,10D.6,11

【答案】C

【解析】(X+3)2+V=1的圆心为A(-3,0),(%-3『+y2=i的圆心为8(3,0),两圆半径均为厂=1,

由于/=16,从=7,=16—7=9,所以椭圆的两个焦点分别为人(-3,0)和8(3,0),

由椭圆定义可知：|M4|+|MB|=2«=8,

所以附片+|M?I的最大值为|M4|+|M@+2-=8+2=10,|西+四。|的最小值为|M4|+|幽-2-=8-2=6.

故选：C

题型六：离心率的值及取值范围

方向1:利用椭圆定义去转换

【典例6・1】已知尸是椭圆C:5+£=l(a>b>())上一点，耳,8是C的两个焦点，防/8=0,点

。在的平分线上，。为原点，0Q//PF、,且|OQ|=3.则。的离心率为()

网D

Lr•-----I

A・粤Bl3

【答案】A

【解析】如图，设|p用=，〃，|p段=〃，延长3交尸玛于A,

由题意知OQ〃P£,。为4K的中点，故A为尸层中点，

又P£P6=0,即则N£P6=NQ4P=5,

又点。在/耳尸鸟的平分线上，则NQA4=E，故-QA尸是等腰宜角三角形,

4

因此阙=解=；|叫=f,

则|=；|尸周=g机=|OQ|+14Q|=2)+g〃,

川得，〃?一〃=4/7,

又|「用+归周=27,则"7+八=%,

m=a+2b

因此可得・

n=a-2b

又在R3P6与中，|尸国2+|产工『二忻用2,则用2+〃2=4C?,

将‘〃一〃2b,代入，/+//=4,得(a+2Z>y+(a—=4c?,

即/+4/r=2c：由Z/=a」一c?所以5/=6c"

所以e2=£.=3,e=叵.

a266

故选：A.

【变式6・1】己知。为坐标原点，尸为椭圆C：5+，=](〃>/,>())的右焦点，若C上存在一点P,

使得△”>?为等边三角形，则椭圆。的离心率为

【答案】>73-1/-1+>/3

【解析】取椭圆。的左焦点耳，连结「6，

由△OFP为等边三角形，财04=|。尸|=|。用,

可知△门勿•为直角三角形，

设印£|=2c,则归尸|=c,1周=辰,

可得〃=归用+|尸曰=（百+卜，则:=2

21=-75-1,

V5+1

所以椭圆。的离心率是。=£=G-i.

a

故答案为：x/3—1.

方向2：利用。与。建立一次二次方程不等式

【典例7・1】已知昂居是椭圆E:£.+£l（a>〃>0）的左、右焦点,若E上存在不同的两点48,

a2b-

使得不4=百片8,则上的离心率的取值范围为（）

A.（0,72-1）B.（0,V2-l]C.（3-2及,1）D.[3-272,1）

【答案】C

【解析】如图，延长入耳交椭圆于4,根据椭圆的对称性，得68=AZ，6A=V$A£，

IFAI

当A，A分别位于E的左、右顶点时，上*有最大值，

IA用

又因为A,4不重合，所以空工>四，即>£>&,

a-c1-e

解得e>3-2Vi，

所以£的离心率的取值范围为（3-2&,1）.

故选：C.

【典例7・2】已知6，工分别是椭圆E:£+g=l(a>〃>0)的左、右焦点，。是坐标原点，尸是椭

a"h

圆E上一点，尸耳与y轴交于点M.若|。4=。制，|M用=当，则椭圆£的离心率为()

0

A.'或'B,正或叵C.，或;D,且或1

98344422

【答案】B

【解析】由|。必=|。用，得|OP|=JAE|,则则△96S^OEM.

则忸局用二局局，即因。1=至留,解得|尸止12?

~5a~

6

WIICLIcc12d\0a2-12c2

则I尸6|=2a-|PE|=2a-=——--------,

因为P±_L尸居，所以忙£『+归闾2=内周2,

即(生]+'0"-121]=4?)整理得72/一85//+25/=(),

[5。"I5a)

则72^—85/+25=0,解得或/=|,

故选：B.

【变式7・1】已知直线/过椭圆C：5+/=l（a>〃>0）的一个焦点与。交于M，N两点，若当/垂直于

x轴时|MN|成则C的离心率为（）

A.-B.C.BD.1

2222

【答案】C

【解析】

如图，不妨设直线/经过椭圆的右焦点尸，因/垂直于“轴，由图形对称性知，椭圆经过点M（c《），

代入椭圆方程E+E=l可得，；+工=1,整理得，166*+〃4=16/月

a'b~a'16/?'

把从=/一/代入整理得，16c4-3%2c2+15/=0,

3s

两边同除以/,即得，16?-32/+15=0,解得/=了或/=：,

44

因0<e<1,故得，e=@~.

2

故选：C.

方向3：利用最大顶角9满足sin?<e<l

4

【典例8・1】已知巴、乃是椭圆的两个焦点，满足峥•加6=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心

率的取值范围是（）

儿（阍B.jo，］C,（0,1）口.肉）

【答案】A

【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为外仇〜

；/咐1陷=0=用£，用外，

点的轨迹是以原点0为圆心，半焦距c为半径的圆，

又用点总在椭圆内部，

「•该圆内含于椭圆，即c<〃，c2<b2=a2-c\2c2<a2,

【典例8.2】已知椭噂的左、右焦点分别为忆（若椭圆上存在一点/使得

2

公朋=三,则该椭圆离心率的取值范围是

【答案】

【解析】由椭圆的定义可知：PFi+PF2=2a,

在中，由余弦定理得：

COS/FPF/产+—-6pp+^py-ZGPEP-4入2卡苞L1

122F\PF?P2F\P£P2F\P£P2

所以月产•人尸=44,

乂.PgPW（£P；VPy=/,即4从4a2,当且仅当片P=死尸时等号成立，

故4a2-4c2<a2，

所以3/44°2,r>|,解得：eet^-A）.

故答案为：［*1）

【变式方1】设耳、乃是椭圆，+，=1（〃>>>。）的左、右焦点，若椭圆外存在点P使得

则椭圆的离心率的取值范围.

PFPF2=O,

【答案】（等」）

222

［解析】设点P（x，y）,易知6（-C,0）,玛（c,0）,则PF1PF2=（-C--y）•（c-x,-y）=x+y-c=0,

故点P的轨迹为圆V+y2=c2,由题意可知，圆/+2=02与椭圆£+1=］（〃>。>0）相交，

a-b~

故答案为：（4J）.

方向4：坐标法

【典例9-1】已知椭圆c：5+4=1（稣〃>0）的左、右焦点分别为耳工，以居为圆心的圆交y轴正

a'b

半轴于点。，交x轴于0N两点，线段。£与C交于点例.若△EMN的面积为6/（。为椭圆的半焦距）,

则C的离心率为（）

A.5/2—IB.2—5/2C.>/3-1D.2—>/3

【答案】C

【解析】如图所示，£（—。,0）,玛（c,0）,所以圆外的方程为。c）2Iy2=4c2,

令x=0,则1y=±J5c,由图可知。（0,6c）,

令y=（）,则1=Y或x=3c,所以N（3c,0）.

设点Ma。,/）,因为△£MN的面积为&2,

所以S=：X4C、X），O=GC2,解得比=3°,

22

YV

乂因为直线”。的方程为：；+唬=1，因为点M在直线匕。I'.,

所以令为=今5得%=一；~所以等，，

（1丫也丫

因为点例在椭圆C上，所以［TCj,即限2+3片°2=4。&，

a~b~

222422

所以（a-c）c+3a2c2=4/（片,化简得c-3ac+4/=0，

所以e,-8e2+4=0,所以©2=4±2石，因为Ovecl,所以©2=4-26,

所以e=7J_i.

+方=1(。＞方＞0)的左，右焦点分别为6(—0),鸟(C,0),点、M,N在

。上，且满足EM//N且qM=26N,若耳MMN+?=|耳Fj,则。的离心率为

【答案】史匚石

33

【解析】如图所示,设M&,y),N(孙一)，且Fi(fO),4(c,0),

由耳〃//尸3，F1M=2F?N得,F、M=2F?N,

*+c=2（x「c）,即N=2招-3c广、

所以'①,

"=2y2[y=20%

又耳N.MN+q"=|6K-，可化为(.+祖与-%)+%(必-)1)+3=公2

2

将①式代入得,（X2+C）（3C-X2）-J2+^-=4C,

即(再+c)(%2-3c)+y；+4c?=2,配方整理得，(W-。丫+丁；=今，

所以依(吟，即后N|g则忻必=与，

又由苗N|+怩N|=2a,因W|十优M|=2a,得恒N|吟，优闾等，

因为F、M1/F2N,所以NA#；6+NN5£=%

所以cos/M£E+cos/N鸟£=。，根据余弦定理，

42（，16

-a"+4c---a3ca-/

99

2

—ax2c

3

1o/，250

W闾，馆外「-|N川2q-+4u-go-6d_4/

cos/NFFi=

|N周M周〃2c-讹

3

所以X+U=°,解得9jR所以，,二4

【变式9-1】设M,N,尸是椭圆提+£=1（。＞力＞0）上的三个点，。为坐标原点，且四边形。MNP

为正方形，则椭圆的离心率为一；

【答案】近/《娓

33

因为四边形OMNP为正方形，结合图形可知ZA/OV=45。，可设M（x,x）,

则=十£=1,贝■2=©r,N的坐标为（&0）=（2x,0）,

所以/=4/=与；，所以/=3从，

a-+b'

所以椭圆的离心率e=£=也亘=、|工=、「?=逅.

aaYdV33

故答案为：

3

方向5：找几何关系，利用余弦定理

【典例10・1】已知斗鸟是椭圆+/=的左、右焦点，o是坐标原点，过K作直线

与C交于A，B两点，若M马=|力例，且.OAF?的面积为正孔则椭圆C的离心率为（）

6

A.且B.3C.在D.正

12632

【答案】C

【解析】

n

我们首先来证明一个引理：若/耳4鸟=a（0＜。＜兀），则S曲a=b2tan（

证明如下：设|4用=〃?,|4囚=2〃-〃?，则由余弦定理有

4c2=nr+(为一〃[J_2m(2a-rn)cos0,即4c2=["?+(2〃一/〃)1-2m(2a-m)(\-\-cos,

2

LL,、I/-»\4i7"-4c"2b

Hi以ml2a-m)——；------r—-------,

2(1+cos01+cos0

,如2sin—cos—0

所以S,"出=-/«（2«-/n）sin0=--。sin。=从----22=h2tan-,从而引理得证；

2cos"一

2

22

根据题意可得，54FF=/?tan-=25mf=2xJ=%,解得tan&=旦,

AF'Fi2Q66323

因为所以4=白解得夕=三，

22263

由|4周二M却，NBAF2g可得三角形48工为等边三先形，

所以4a=|跖|+|伍|+|禺=3|但|,所以|A周哼,所卜20_群与,

所以阿二刀-手=手=|明，所以耳是48的中点,

所以ABJ.Eg所以偿J=（2c『+停j,即/=3C2,

所以e=£=虫.

a3

故选：C.

【典例10-2】己知椭圆。的焦点为工，羯,过甚的直线与C交