乘法公式-初中八年级数学上册（含解析）

专题14.2乘方公式

典例体系（本专题73题33页）

一、知识点

即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差：

（1）完全平方公式：

即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，力口（或减）它们的根的2倍；

（2）添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；

二、考点点拨与训练

考点1：平方差公式的适用条件

典例：（2020・山西左权・期末）下列各式能用平方差公式计算的是（）

A.（a+b）（a2b）B.（x+2y）（x2y）C.（a+2b）（a2b）D.（2mn）（2m+n）

【答案】B

故透:B.

方法或规律点拨

本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键.

巩固练习

1.（2019•河北南宫•期末）下列各式不能运用平方差公式计算的是（）

【答案】C

【解析】

解：C、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；

4、4、。中均存在相同和相反的项，

故选：C.

2.（2020・河南舞钢・期中）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（）

【答案】C

・・・A不符合题意，

・・・B不符合题意，

・・・c符合题意，

・・・D不符合题意.

故选C.

3.（2020•江苏梁溪・期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）

【答案】B

【解析】解：A、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；

B、(12a)(l+2a)=(I2a)2,不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；

C、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；

D、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；

故选:B.

4.(2020・安徽临泉・期末)能用平方差公式计算的是()

【答案】B

【解析】解：A.不能用平方差公式计算，该项不符合题意；

B.可以用平方差公式计算，该项符合题意：

C.不能用平方差公式计算，该项不符合题意；

D.不能用平方差公式计算，该项不符合题意；

故选：B.

5.(2020•达州市通川区第八中学期中)下列各式不能用平方差公式;计算的是()

【答案】A

【解析】A.含-)，的项都符号相反，.不能用平方差公式计算；

B.含x的项符号相同，含)，的项符号相反，能用平方差公式计算：

C.含)，的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；

D.含)，的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算.

故选:A.

6.(2020•沈阳市第一二七中学期中)下列各多项式相乘：@(2ab+5x)(5x+2ab);(2)(ax-y)(axy);@(abc)(abc);@

(m+n)(mn).其中可以用平方差公式的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【解析】解：@(2ab+5x)(5x+2ab)=(5x2ab)(5x+2ab),符合平方差公式，故①正确；

②(ax-y)(axy)=(ax-y)(ax+y),符合平方差公式，故②正确；

③(abc)(abc)=(a+c)(abc),符合平方差公式，故③正确；

@(m+n)(mn)=(m+n)(m+n),不符合平方差公式，故④错误.

正确的有①②③.

故选B.

7.(2020•西藏口喀则•期末汴列乘法运算中不能用平方差公式计算的是()

A.(x+l)(x-1)B.(x+l)(-x+1)

C.(-x+l)(-x-1)D.(x+l)(-x-I)

【答案】D

【脩析】解：选项A：(X+1)(X1)=K21,故选项A可用平方差公式计算，不符合题意，

选项B：(x+l)(x+l)=lx2,故选项B可用平方差公式计算，不符合题意，

选项C：(x+l)(xl)=x21,故选项C可用平方差公式计算，不符合题意，

选项D：(x+1)(x1)=(x+1)2,故选项D不可用平方差公式计算，符合题意，

故选：D.

考点2：应用平方差公式进行计算

方法或规律点拨

本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去

相反项的平方.

巩固练习

A.1B.2C.4D.6

【答案】D

故选D.

【答案】B

故选:B.

【答案】2.5

【答案】9

【答案】15

=15

故答案为15

【答案】4

=4,

故答案为：4.

考点3：乘法公式与图形面积

典例：(2020•北京通州・初一期中)将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形(如图1),将剩F

部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形(如图2).

(I)没图1中阴影部分的面积为工，图2中阴影部分的面积为Sz，请用含a.b的式子表示：S1=,

S2=；(不必化简)

(2)以上结果可以验证的乘法公式是.

(3)利用(2)中得到的公式,计算；2O2O2-2019x2021.

图1图2

【答案】(I)a2・b2,(a+b)(a-b)：(2)(a+b)(a-b)=a2-b2；(3)1.

【解析】解：(1)根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得:SEWS2=(a+b)(a-b)

故答案为:a2-b2,(a+b)(a-b)；

(2)以上结果可以验证的乘法公式是a2-b2=(a+b)(a-b).

故答案为：(a+b)(a・b)=a2・b2.

(3)20202-2019x2021

=2O2O2-(2020-1)x(2020+1)

=20202-(20202-I)

=20202-20202+1

=1.

方法或规律点拨

本题考查了平方差公式的几何背景及其在简算中的应用，数形结合并明确平方差公式的形式是解题的关键.

巩固练习

1.(2020.沈阳市第一二七中学期中)如图，它由两块相同的直角梯形拼成，由此可以验证的算式为()

■

a

【答案】A

【解析】如图，拼成的等腰梯形妇下：

上图阴影的面积s=a2-b2,下图等腰梯形的面积s=2(a+b)(a-b片2=(a+b)(a-b),

两面积相等所以等式成立a2-b2=(a+b)(a-b).这是平方差公式.

故选：A.

bb

aa

a

bb

【答案】c

【解析】解：正方形中，S用影=a2b2；

梯形中,S用影=2(2a+2b)(ab)=(a+b)(ab)；

故所得恒等式为：a2b2=(a+b)(ab).

故选：C.

3.(2020•广东禅城♦期末)在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b〉)把余下的部分剪拼成

一个矩形，通过计算图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是()

【答案】D

【解析】解：左图的阴影部分的面积为(a+b)(a-b),右图的阴影部分的面积为a?-b2,

因此有为aT^ma+bXa-b),

故选：D.

4.(2018•河南汝阳・初二期末)图(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(史称轴)剪开，

把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是

【答案】C

故选C。

5.12020•浙江郭州•初一期末)有4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片一，按如图的方式拼成一个边长为(a+b)

的正方形，图中阴影部分的面积为Si,空白部分的面积为S2.若Si=：S2,则a、b满足()

b

a

b

A.2a=3bB.2a=5bC.a=2bD.a=3b

【答案】C

【解析】解：由题意可得：

Sz=-b(a+b)x2+—abx2+(a-b)2

22

=ab+b2+ab+a2-2ab+b2

=a2+2b2,

2

Si=(a+b)-S2

=(a+b)2-(a2+2b2)

=2ab-b2,

VSi=­S»

22

A2ab-b』工(a2+2b2),A4ab-2b2=a2+2b2,

2

a2+4b2-4ab=0,

A(a-2b)2=0,

/.a-2b=0,

・・・a=2b.

故选：C.

6.(2020•福建宁德•初一期末)有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一

个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形(各小长方形之间不重叠且不留空隙).若图1和图

2中阴影部分的面积分别为39和106,则每个小长方形的面积为一.

【答案】14

【解析】解：设小长方形的长为a,宽为b,

在图I中，有：(a+b)23ab=39,

在图2中,有:(a+2b)(2a+b)5ab=106,

分别整理得：a2+b2ab=39,a2+b2=53,

将a2+b2=53代入a2+b2ab=39中，

解得:ab=14,

故每个小长方形的面积为14,

故答案为：14.

7.(2020•福建省惠安科山中学月考)用四块长为acm、宽为bcm的矩形材料(如图1)拼成一个大矩形(如图2)

或大正方形(如图3),中间分别空出一个小矩形A和一个小正方形B.

(1)求(如图1)矩形材料的面积；(川含a,b的代数式表示)

(2)通过计算说明A、B的面积哪一个比较大；

(3)根据(如图4),利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式.

殷S2图3卧

【答案】⑴ab；(2)矩形的面积大；(3)a2b2=(ab)(a+b).

【解析】(1)S=长又宽二@1)：

(2)根据图形可得：矩形的长二(2b+a),宽=2；正方形的边长=a+b,

矩形的面积=2ab+a2,正方形的面积=a^+Zab+b?,

正方形面积矩形的面积加2,

工矩形的面积大；

(3)根据图形可得:a2b2=(ab)(a+b).

8.(2020•江苏新沂•初一期末)把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,

可以得到个等式，也可以求出些不规则图形的面积.

例如，由图1,可得等式：(a+2b)[a+b尸a?+3ab+2b2

(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这

个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.

⑵利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=ll,ab+bc+ac=38,求a2+b?+c2的值.

(3)如图3,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B,C,G三点在同一直线上，连接BD和BF.若

这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的面积.

【答案】(I)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac：(2)45；(3)20.

【解析】(1)(a+b+c)2=a2+b2+d+2ab+2bc+2ac；

(2)'：a+b+c=11,ab+bc+ac=38,

a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)=121-76=45：

(3)Va+b=10,ab=20,

AS阴。=a?+b2---(a+b)*b--a2

22

1,1,1

=-a'+—b----ab

222

1,3

=­(a+b)----ab

22

1,3

=-x102--x20

22

=50-30

=20.

9.(2020.四川成华.初一期末)图I和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的.观察图形，完成

下列各题：

⑴如图1,求S大正方形的方法有两种：S大正方形=(x+y)2,同时，S大正方形=S(j)+S.+S③+S(p=.所以图1可以

用来解释等式：;同理图2可以用来解释等式：.

(2)已知a+b+c=6,ab+bc+ca=11，利用上面得至U的等式，求a2+b2+c2的值.

图2

【答案】(l)x?+2xy+y2,(x+y)2=x24-2xy+y2,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)14

【解析】(1)：S③=Sg)=xy,S®=x2,S@=y2,

S大正方形=S(D+S②+S®+S@=x2+2xy+y2.

/.(x+y)2=x2+2xy+y2.

•・•图2大正方形的面积=(a+b+c)2,

同时图2大正方形的面积=22+了+©2+225+22©+2瓦；

/.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

故答案为：x2+2xy+y2,(x+y)2=x2+2xy+y2,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

(2)V(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,

:.a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc

=(a4-b+c)2-2(ab+ac+bc)

=62-2x11

=14.

10.(2020・山东中区•初一期末)问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具

有可操作性，从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一此代数公式，很多都可以通过表示几何图形面

枳的方法进行直观推导和解释.

例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式.

证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b,形成两个矩形和两个正方形，如图1：

这个图形的面积可以表示成：

(a+b)2或a2+2ab+b2

(a+b)2=a2+2ab+b2

这就验证了两数和的完全平方公式.

类比解决：

(1)请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式.(要求画出图形并写出推理过程)

问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32?

如图2,A表示1个1X1的正方形，即：1x1x1=13

B表示1个2x2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2x2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2x2

的正方形，即：2x2x2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个(l+2)x(l+2)的大正方形.

由此可得：13+23=(1+2)2=3?

尝试解决：

(2)请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：口+23+33=.(要求写出结论并构造图形写出

推证过程).

(3)问题拓广:

请用上面的表示儿何图形面积的方法探窕：13+23+33+…+~=.(直接写出结论即可，不必写出解题

过程)

12

【答案】(1)见解析；(2)62,推证过程见解析；(3)1!n(n+l)]2

2

【解析】(1)・・•如图，左图的阴影部分的面积是a?-b2,

右图的阴影部分的面积是(a+b)(a-b),

.*.a2-b2=(a+b)(a-b),

这就验证了平方差公式；

(2)如图,A表示1个1x1的正方形，即lxlxl=U；

B表示1个2x2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2x2的正方形,

因此：B、C、D就可以表示2个2x2的正方形，即：2x2x2=2%

G与H,E与F和I可以表示3个3x3的正方形，即3x3x3=33；

而整个图形恰好可以拼成一个(l+2+3)x(l+2+3)的大正方形，

由此可得:13+23+33=(1+2+3)2=62；

故答案为:62；

(3)由上面表示几何图形的面积探究可知，H+23+33+…+4=(1+2+3+…+n)2,

又1+2+3+…+n=—n(n+1),

2

:.l3+23+33+...+n3=[-n(n+l)]2.

故答案为：[!n(n+l)F.

2

11.(2020,浙江新昌•初一期末)某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：

(1)从边长为。的正方形纸片中减去一个边长为〃的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪

成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是.

(2)先剪出一个边长为〃的正方形纸片和一个边长为h的正方形纸片，再剪出两张边长分别为。和b的长方

形纸片，如图3,最后把剪成的匹张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式?

a

a

(3)先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分别为。和占的长方

形纸片，如图5,你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如昊可以，请画出草图，并写出相应的等式.如

果不能，请说明理由.

b

aa

aa

12.(2020•河北邢台・初一月考)若《满足(x—4)(x—9)=6,求(x—4)2+(彳-9)2的值.

解：设x—4=a,x-9=b,则(x—4)(x—9)=〃。=6,。一。=(x—4)—(x—9)=5,

/.(x—4)2+(x—9)2=«24-Z>2=(£7—Z?)24-2d/>=52+2x6=37

请仿照上面的方法求解下面问题：

(1)若x满足a—2)a—5)=10,求(x—2)2+(.1—5)2的值

(2)已知正方形A8C。的边长为x,E,尸分别是A。、。。上的点，且AE=1,CF=3,长方形EMFQ的面积

是15,分别以。厂作正方形，求阴影部分的面积.

【答案】⑴29；(2)16

⑵根据题意可知正方形ABCD的边长为x,

是长方形，

：,MF=ED,

22

V5Bj^=MF-DF,

故阴影部分的面积是16.

13.(2020.浙江衢州•初一期中)(阅读材料)

我们知道，图形也是•种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代

数思想也能巧妙地解决一些图形问题.

在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的

正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y,宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸

片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.

(理解应用)

⑴观察图2,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式.

(拓展升华)

(2)利用(1)中的等式解决卜列问题.

yx

Hm乙>，面丙

图1

图2

②由题意得：

考点4：求完全平方公式的字母系数

典例：(2020沈阳市第一二七中学期中)如果二次三项式x2・16x+m2是一个完全平方式，那么m的值是()

A.±8B.4C.±4D.8

【答案】A

【解析】解：•••-16X=-2X8・X,

/.m2=82=64,

解得m=±8.

故选：A.

方法或规律点拨

本题考查了完全平方公式.能够掌握完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它仅积的2倍,

就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键.

巩固练习

A.5B.9C.9或1D.5或1

【答案】C

故选：C.

2.(2020・绍兴市长城中学期中)若x2-2(k-l)x+4是完全平方式，则k的值为()

A.±1B.±3C.-1或3D.1或-3

【答案】C

【解析】解：・・“2-2(k-1)x+4是完全平方式，

:.-2(k-1)=±4,

解得：k=-1或3,

故选：C.

3.(2020•达州市通川区第八中学期中)若(x2y)2=(x+2y>+M,贝ijM=()

A.4xyB.4xyC.8xyD.8xy

【答案】D

【解析】V(x2y)2=(x+2y)2+M

:.M=(x2y)2(x+2y)2=x24xy+4y2x24xy4y2=8xy

故选D.

A.3B.6C.±3D.±6

【答案】D

m=±6»

故选：D.

A.±3B.±4.5C.±6D.9

【答案】c

【解析】,・•整式x2+mx+9恰好是一个整式的平方,

:.mx=±2*x*3,

解得：m=±6,

故选C.

6.(2020・广东高州・期中)已知4f+〃“+36是完全平方式，则机的值为

【答案】±24

【解析】V(2x±6)2=4x2±24x+36,

mx=±24x,

即m=±24,

故答案为：±24.

7.(2020・山东长清・期中)若工2-〃/9是个完全平方式，则加的值是一

【答案】i6

故答案为：±6

【答案】±7

故填：±7.

9.(2020•达州市通川区第八中学期中)若9x2+kx+l是一个完全平方式，则1<=.

【答案】i6

【解析】解：・.・(3k±l)2=9x2+kx+l,

/.k=±6

故答案为：±6.

【解析】V4x2+1±4x=(2x±1)2；

4x2+1+4X4=(2X2+1)2；

4x2+ll=(±2x)2；

4X2+14X2=(±1)2.

・•・加上的单项式可以是±4x、4x4、4x2、I中任意一个.

【答案】7或一1

【解析】解：・・・x22(a3)x+16是一个完全平方式，

:.2a+6=±8,

Aa=7或1.

故答案为7或1.

考点5：应用完全平方公式求值

31

【答案】(1)-不；(2)6二.

24

【解析】解：⑴(x+l)(y+l)

=xy+(x+y)+1

_3

二一5：

（2）x2+y2

=（x+y）22xy

=6-.

4

方法或规律点拨

本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题关键是整体思想的应用.

巩固练习

1.（2020・树德中学都江堰外国语实验学校期中）已知。+匕=3,ab=-,则（〃+32的值等于（）

2

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】解：•；a+b=3,

A（a+b）2=32=9.

故选：D.

2.（2020•达州市通川区第八中学期中）已知|x+y+5|+（xy-6）2=0,则x?+y2的值等于（）

A.1B.13C.17D.25

【答案】B

【解析】解：・・・|x+y+5|+（xy-6）2=0,

/.x+y+5=0,xy-6=0,

/.x+y=-5,xy=6,

/.x2+y2=（x+y）2-2xy=25-12=13.

故选：B.

3.（2019・河北涿鹿・期末）若2+5=0,ab=ll,则a2—ab+b?的值为（）

A.33B.-33C.11D.-11

【答案】B

,:a+b=O,ab=11,

故答案是B.

【答案】12

故答案为：12.

【答案】8

故答案为：8.

【答案】244

【解析】：(a+b)2=a?+2ab+b?=256,ab=6,

.*.a2+b2=244,

故答案为244

【答案】25

故答案为25.

=4

考点6：配方法及其应用

典例：(2020•四川成都・初一期末)(1)已知：a(a+l)-(a2+b)=3,a(a+b)+b(b-a)=13,求代数式ab的值.

⑵已知等腰△ABC的两边分别为a、b,且a、bjg^a2+b2-6a-14b+58=0,求aABC的周长.

【答案】(1)2；(2)17

【解析】(Da(a+l)・(a2+b)=3,

a2+a-a2-b=3,

a-b=3,

两边同时平方得：a2-2ab+b2=90,

a(a+b)+b(b-a)=13,

a2+ab+b2-ab=13,

a2+b?=13②，

把②代入①得：l3-2ab=9,

13-9=2ab,

.*.ab=2；

(2)a2+b2-6a-14b+58=0,

a2-6a+9+b2-I4b+49=O,

(a-3)2+(b-7)2=0,

/.a-3=0,b-7=0,

/.a=3,b=7,

当3为腰时，三边为3,3,7,因为3+3V7,不能构成三角形，此种情况不成立，

当7为腰时,三边为7,7,3,能构成三角形，此时4ABC的周长为+7+3=17.

方法或规律点拨

本题主要考查了完全平方公式，三角形三边关系，非负数的性质，等腰三角形的定义和整式的混合运算，(1)

正确将已知条件变形是解题关键，(2)利用配方法配方得出a和b的值是关键.

巩固练习

1

A.-B.9C.1D.99

9

【答案】B

故选:B.

A.大于或等于零B.小于零C.等于零D.大于零

【答案】A

故选A.

【答案】2

【解析】解：・.・a2・2ab+2b2+4b+4=0,

.\a2-2ab+b2+b2+4b+4=0,

.••(a-b)2+(b+2)2=0,

Aa-b=0,b+2=0,

.\a=b=-2,

故答案为2.

(3)V。是216的立方根,《是16的平方根,

5.(2020•泉州市第六中学初二期口网答下列问题

(1)填空：X2+二=(X+—>-=(X-----尸+.

rXX

(2)若a+g

=5,则a2+—7=；

⑶若a2・3a+l=0,求a?+二的值.

a~

【答案】(1)2,2；(2)23；(3)7.

故答案为2,2.

【答案】2

故答案为：2.

请你根据上述方法，解答下列各题

故答案为3,3.

故答案为1,大，2.

【答案】23

9.(2019•河北安平•初二期末)阅读下面的材料：

【答案】(1)一18；(2)有最大值,最大值为32.

10.(2020•广西兴宾•初一期中)阅读下列材料，解答问题:

例：己知a