等式性质与不等式（练）-高考数学一轮复习解析版

第02讲等式性质与不等式

国练基础

1.已知a=&,b=布-瓜c=瓜-6，则a,b,C的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】

由a-b=6+6-币,且（拒+75尸=5+26>7,故

由“一°=20-石且（2夜尸=8>6,故〃>c；

力-。=（5+&）-（6+6）且（m+百）2=9+2炳>9+2>/[?=（"+应）2,故c>b.

所以a>c>〃，

故选：B.

2.已知4>力，且必=18,则£^--1的最小值是（）

a-b

A.11B.9C.8D.6

【答案】A

【解析】

正Q_]=上二更拦丝T因为a”,所以。一6>0,故

a-ba-ba-b

+—I22」（a-%）.f*-1=11,当且仅当a-力=—^~=a=3+3G,〃=3>/5-3时，等号成立.

a-bV\a-bJa-b

故选：A

3.已知实数x>0,）>。满足x+y=-9,则x+4），的母小值为（）

A.8B.9C.7D.10

【答案】B

【解析】

由题设，-+-=1,

xy

所以x+4y=（x+4y）（'+L）=5+"+2之5+2竺二=9,

xyxyVxy

当且仅当x=3,），=13时等号成立，

所以工+4），的最小值为9.

故选：B

4.已知正实数X、y满足x+2），=2,则一+二的取值可能为（）

%y

A.1B.口C.3

235

【答案】D

【解析】

解：因为正实数x、V满足x+2y=2,

,121(12\6\>(2y2x\

所以一+—=——+—(x+2y)=-5e+—+—

xyy)xy)

2v2x?

当且仅当一=工，即K=y=：时，等号成立，

xy3

故选：D

（多选）5.己知。，力eR,则下列命题正确的是（）

A.若标b,则/B.若a2工b?,则小b

C.若a>b,则D.若〃>|81,则/>〃2

【答案】BD

【解析】

当〃=一方时，如。=2,%=-2时"=从成立，A错：

若〃=〃则-定有/=/,所以42Hb2时，■定有疝），B正确；

2>-3,但22<（-3）2,C错;

a>\b\,则a2>\b[=b2,D正确.

故选：BD.

（多选）6.己知a,b,ceR+,则下列不等式正确的是（）

114

A.—+->----B.a+b<yla2+b1

aba+b

b2a2D.号

C.—+—>a+b

ab

【答案】ACD

【解析】

ii（〃+〃可+卜2>2嘉『2"当且仅当"那等号成立•所以卜拉5故

对A,因为一+7r

b)

A正确;

对B,(a+b)=a2+b2+2ab>a24-/?'»所以〃+/?>y/a2+b2，.故B错误；

对C,心力《十22」匕a+2Hb=2a+2b，当且仅当。=。等号成立，所以贵+〈*+/?,故C止

abva\bab

确;

因为（。一1）2+（。-1）&0,圻以2a—2〃+2之0,所以式卢之。+八1，当且仅当。=〃=1等

对D,

号戊立，故D正确.

故选：ACD.

7.已知实数心2），>0'z>0,则彳磬+

的最小值为.

2y+3z

【答案】1+0

【解析】

解.：因为xN2y>0,z>0,

…，x+4y+3zx

所以---x-+二2-y--+o2-y-+--3丁z

_A+2y+2y+3zx

x+2y2y+3z

“2+x

x+2y2y+3z

x

+2>'+3z讣2卷事事生行

2x

马普==Ei=2)，+3z,x=2y取等号”

当"x=2y,

2x2y+3z

审产+金的最小值为1+后

综上所述:

x+2y2y+3z

故答案为:1+V2

2.己知。力,ceR且。>〃，则下列不等式中一定成立的是(•

A.—<—B.ac>he

ab

C.a2>b2D.(«-b)c2>0

【答案】D

【解析】

由题意可知，。、b、ceR,且

A：若。=1,b=-2,满足则,>?，故A错误；

ah

B：若。=一1,b=-2,满足〃>/%c=-\,则acy/?。，故B错误；

C：若。=0,。=一1,则a?〈人2,故C错误；

D：a>h,c2>0,r.(a-h)c'>0,故D正确.

故选：D

3.设工>0,则.f(x)=6—3x—卡的最大值为()

35

A.0B.不存在C.—D.—

22

【答案】C

【解析】

囚为x>0,贝ij/(x)=6-3x——^-=6-f—+—+-^-l<6-3j—x—x—=6--=—,

''2x~V222x~JV222厂22

3

当且仅当一=六即X=1时等号成立，

22x~

a

贝的最大值为则3.

故选：C.

4I

4.若。>0、Z?>0,且一+丁=1,则质的最小值为().

ab

A.16B.4C.—D.一

164

【答案】A

【解析】

因为。〉0、^>0.所以:+：之2]^^=4任,即124与，所以而N4,即。〃之16,当仅当^二3,

即。=8,〃=2时，，等号成立.

故选:A.

5.若正数〃满足4+/）=刈，则。+2b的最小值为（）

B.472C.3+2近D.2+2夜

【答案】C

【解析】

因为正数〃满足a十〃二ab，

所以4+!=1,

所以a+2〃=(a+2b)-+-

ab>

=3+—+

>3+2J--—=3+2>/2,

当且仅当/=丝，即〃=&+14=生变时取等号,

ba2

故选：C

2

6.已知〃>1,则〃+工的最小值为（）

a-\

B.2x/2-lc.2V2D.2V2+I

【答案】D

【解析】

解：«>1,则“+々=4-1+2r+整2\口1）.二7+1=2员1,当且仅当即〃=夜+|时取等号.

a-1a-\Va-\

故选:D.

7.若。>0,b>0,且必=3a+功+27,则岫的最小值为（）

【答案】D

【解析】

由题意得a〃=3a+3b+2726^+27,得。力一6疝-27=（而一9）（疯+3）N0,解得疝之9,即（出281,

当且仅当。=。=9时，等号成立.

故选:D

（多选）8.下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,c>d,则a+c>〃+”B.若a>b,c>d,则ac>bd

C.a>b,PPJac2>be2D.若avbv0,c<(),W!)—<7

ab

【答案】AD

【解析】

A.由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确：

B.当a=-1,〃=-2.c=2,(7=I时，ac—bd.故错误；

C.当c=0时，ac2=be2故错误：

D.J因为人一。>0,evO,他>0,所以£一£<0,故正确；

ababab

故选：AD

(多选)9.设正实数机、〃满足〃叶〃=2,则下列说法正确的是()

A.巳+2的最小值为3B.〃?〃的最大值为1

mn

C.而+6的最小值为2D.阳2+〃2的最小值为2

【答案】ABD

【解析】

因为正实数"人〃，

n2nm+nnm,_\nm.,.

所r以r一+—=—+----=—+—+l>2.-----=2+1=3,

mnmnmnvmn

当且仅当仪="且〃?+〃=2,即/“〃=1时取等号，此时取得最小值3,A正确；

mn

由nm<(m^n)2=I,当且仅当加=〃=l时，/〃〃取得最大值1,B正确；

因为(J/+6)？=〃?+〃+2>/^=2+2>/^藐K2+/〃+〃=4,当且仅当时取等号，故/荷+6夕即最

大值为2,C错误；

/M2+//2=(/n+n)2-2mn=4-2mn>4-2x(^p)2=2,当且仅当帆=〃=1时取等号，此处取得最小值2,故

D正确.

故选：ABD

(多选)10.已知正实数乂了满足冲=x+4y,则()

A.J>4

B.的最小值为一1

X

C.工+)巾勺最小值为9

Q1

D.f+)3的最小值为当

【答案】AC

【解析】

_x_I

解：因为冲=x+4y,则*-4)y=x,即--,一，4,

x

4

又工》为正实数，则所以x>4,y>\,故A项正确；

x

因为不，=x+4y,所以^--y=-1)3'-y=y2-2y=(y-1)2-1,

XX

乂？>1，所以()=1)2-1>-1,故B项错误；

r+4V14

因为刈=工+4)，，且为止实数，即盯wo,则1=1—-=-+

邛yx

所以x+y=(x+y)x—+-1=—+^-+5>2/—x—+5=9,

I)，X)yx\yx

当且仅当直=匕，即x=6,y=3时等号成立，故C项正确；

y%

1Q1

因为4+329,所以(x+y)2之81,则V+y225(犬+»=3,当且仅当K=v时，等号成立，但由盯=x+4.y

Q1

可得，当x=y时，x=y=5,且52+52=50咤，故D项错误.

故选：AC.

11.若3>一2,则/(x)=x+—的最小值为.

【答案】0

【解析】

由》>-2,得x+2>0,—!—>0,

x+2

所以/*)=/+—!—=x+2+—!—―2>2./(x+2)x--2=0,

x+2x+2Vx+1

当且仅当x+2=」即X=-1时等号成立.

x+2

故答案为：0

国练真题

1.（2019・浙江•高考真题）若〃>（）,〃>（）,则”.+。44”是“打”4”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

当方>0时，a+bN2箍,则当时，有2疯解得出?<4,充分性成立；当。=1,。=4

时，满足HW4,但此时"匕=5>4,必要性不成立，综上所述，“。+4”是“HW4”的充分不必要条件.

2.（2011•全国•高考真题（文））下面四个条件中，使力成立的充分而不必要的条件是

A.d>b+\B.d>b-\C.a2>b2D.a3>b^

【答案】A

【解析】

由磔A场出船河、=磔；>务，但无法得出a>b+LA满足；由—J:均无法得出c>b，

不满足“充分”；由拼斗邑'n■段;十；如不满足“不必要”.

3.（206天津.高考真题（理））设xeR,则是“/+X-2>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

由卜一2|<1,可得1cx<3,即X€（1,3）；

rhX2+x-2=（x-l）U+2）>0,可得x<-2或x>l,即（f,-2）U（l,+°0）：

・•・（1,3）是（YQ,-2）U（1,y）的真子集，

故小-2k1”是飞+x-2>0”的充分而不必要条件.

故选：A

（多选）4.（2022•全国•高考真题）若x,>满足父+9一邛=1,则（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.A：24-y2<2D.A2+y2>\

【答案】BC

【解析】

因为等上学a,b\R）,由f+丁--,=］可变形为，（x+y）2-i=3盯43山，解得

i2,

-2<x+y<2,当且仅当x=y=-1时，x+），=—2,当且仅当％=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确;

22

由V+y2—个=］可变形为（/+疗_］=盯<三/，解得/+/工2,当且仅当x=y=±l时取等号，所以

CE确；

因为V+)/一封=]变形可得x-])+(y2=],设x-]=cos。,当y=sin。，所以

I?52|11

22

x=cos8+‘sine,y=‘sin。，因此f+y=cos6+-sin?9+-j=sinecos0=1+—T=sin20--cos20-\--

663V37333

=^+|sinf2^-^e||,21,所以当工=立.),=一直时满足等式，但是Y+丁之1不成立，所以D错误.

33I6J13」3'3

故选：BC.

(多选)5.(2020・海南•高考真题)已知。>0,比>0,且。+加1,则()

A.a2+b2>-B.2a-h>-

22

C.log2a+log2/?>-2D.4a+4b<,\[2

【答案】ABD

【解析】

对于A,a2+b2=a2+(l-a)2=2v2-2a+\=2(a-^-\+->—»

'，[2)22

当且仅当〃=〃=g时，等号成立，故A正确；

对于B,a-b=2ci-\>-\,所以2"外>2T=3，故B正确；

对于C,log,a+log,b=log2ab<log2=log,—=-2,

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D,因为+=1+2y[cib<1+tz+/?=2,

所以6+〃4加,当且仅当5时，等号成立，故D正确;

故选：ABD

11Q

6.（2020・天津•高考真题）已知G>0,〃>（）,且必=1,则不+才+—r的最小值为

2alba+b

【答案】4

【解析】

8abab8

a>0,〃>0,a+〃>0,cib=1,---1-—--++----=—+—+

2a?2,ba+bla2ba+b

审+焉之2号x高=4,当且仅当时取等号，

结合"=1,解得a=2-6,〃=2+G，或〃=2+石口=2-6时，等号成立.

故答案为：4

(x+l)(2y+l)

7.（2019・天津・高考真题（理））设%>。，y>0,x+2y=5,则的最小值为.

【答案】46

[OrJ

(x+l)(2y+l)_2x)^+x+2y+\

A>0.j>0.x+2y=5.岁>0.「.

当且仅当封=3,即x=3,y=l时成立,

故所求的最小值为4G.

8.（2017.山东•高考真题（文））若宜线土+：=1（。>0,>0）过点（L2）,则2a+〃的最小值为

ab

【答案】8

【解析】

解：因为直线色+?=1(。>0,力>())过点(1,2),所以>L+?=],

ab