分段函数、二次函数的单调性及二次函数根的分布问题（压轴题6大类型专项训练）-人教A版高中数学必修一（解析版）

专题11分段函数、二次函数的单调性及二次函数

根的分布问题

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典例详解.........................................................1

类型一、分段函数的单调性及参数问题.........................................................।

类型二、二次函数单调性求参数...............................................................7

类型三、二次函数的最值（范围）及参数问题..................................................10

类型四、一元二次方程根的零分布............................................................15

类型五、一元二次方程根的k分布.............................................................19

类型六、一元二次方程根在区旬上的分布......................................................22

压轴专练........................................................28

题类型一、分段函数的单调性及参数问题

分段函数中的单调性

（1）若已知分段函数=㈤（若工=。是分段函数定义域的连妾点）在定义域

f2（x\xel2=（a,c）

/=/1U，2（/=R）上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件

①、氧外在人上单调递增

②人（X）在，2上单调递增

③在连接点X=。必有f\（。）＜f2（a）（即左端的值小于等于右端的值）

(2)若已知分段函数.(若x是分段函数定义域的造妾点)在定义域

f2(x\xel2=(a,c)

1=2i2(/=R)上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件

①fi(x)在4上单调递减

②&(X)在，2上单调递减

③在连接点X=。必有工(4)>f2(a)(即左端的值大于等于右端的值)

(3)由分段函数中的值域确定参量取值范围

解题方法：已知函数的值域(常见题型如下)确定参数的取值范围需要以下几步

f〃W工->此段为具体函数

~[f2(xlxw/2f此段为含有参量的函数的值域为D

首先把分段函数中的一段具体函数的值域D,求出来

其次根据已知条件函数的值域为D，由。=4=。确定出2的范围

最后通过。2的范围确定出参量的取值范围

一、单选题

1.(24-25高一上•江苏扬州•期中)函数/@)=幻工-2|的单调减区间是()

A.(-oo,l|B.[-1,0]C.[0,2]D.[1,2]

【答案】D

【分析】写出函数的分段函数性质，结合二次函数性质判断单调减区间.

(2x-x2=-(x-l)'+l,x<2

【详解】由〃%)=中-Z=J，，

£-2x=(x-l)-l,x>2

所以/(%)在(YO,1)上单调递增,在。,2)上单调递减,在(2,y)上单调递增，

所以函数单调减区间为[1,2].

故选:D

\x+l|,x>0»

2.（23-24高一上.河北唐山•期中）已知函数/（》）=f1Y若/（2a）K/（6-a）,则实数。的取值范

卜匕卜<0,

围是（）

A.（-2,-KO）B.（-oo,2]

C.[-2,4-0)D.(—,2)

【答案】B

【分析】研究分段函数的单调性，先分别研究各段函数的单调性为递增，在比较端点左边的函数值小于端

点右边函数值，得到整个函数在R上单调递增，由函数单调性和函数值的不等关系得到自变量的不等关系，

从而得出。的取值范围.

x+l,x>0»

【详解】化简得到/（x）=H¥八，

--,x<0,

3

工函数在区间[0,y）上单调递增,

在区间（f,o）单调递减，，函数/（"在区间（-8,0）上单调递增,

乂因为。十1>-,・••函数”X）在区间RL单调递增,

V/（2^）</（6-«）,

2a<6-a,a<2.

故选：B.

2

-x-ax-lyx<1

3./"）=a在R上是增函数的充分不必要条件是（）

~yX>1

X

A.ciE[—4,-2]B.ciG[—4,—1]C.a3,—1]D.cie[—3,—2]

【答案】D

【分析】根据分段函数的单调性，可得。的范围，再由充分必要条件的含义，得解.

~x~—ux_7,x«1

【详解】/（X）=4在R上是增函数,

—,X>1

X

A-3>0

a+i/

当〃>0时，若八X）在R上单调递增，贝IJ—w,蟀得3<。工4,

2a

a-3+2a<a+a+\

</-3<0

当4Vo时，若/（处在R上单调递减，则-竺，解得0，

2a

a-3+2a>a+a+\

所以实数a的取值范围是3<〃W4.

故选：B.

x|x+a|-5,x<1,

6.若函数〃、）=、4,是R上的单调函数，则实数。的取值范围为（）

—,x>1

{X

A.[-3,-2]B.[—3,-1]

C.[-2,0）D.（0.4O9）

【答案】A

【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果.

x.v+«|-5,x<1

【详解】函数/（3）=，

—,x>1

lx

x|.r-l|-5,x<1

当〃=一1时，〃力=，

_1x>[

X

当.”1时，/（X）=-X2+X-5,函数图像的对称轴为X=函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C；

x|x+l|-5,x<1

当4=1时，/（X）=*]

—,X>1

X

当了时，/（X）=X2+X-5,函数图像的对称轴为x=-g,函数不是单调函数，排除D.

故选：A.

二、填空题

——2xX<Hl

7.（23-24高一上•湖南株洲・期中）设〃力=•A'一，若在R上单调，则机的取值范围为

x-4,x>m

【答案】m<-4

【分析】作出函数丁=一£一2%，y=x-4的图象，根据一次函数和二次函数的单调性结合图象即可得出

答案.

【详解】在同一平面直角坐标系中，作出函数y=-2x,y=x-4的图象如图，

"1一/一24=4一4时，x=-4或I,

由图象可知，当时，函数“X）在R上单调递增.

故答案为：m<^.

8.（23-24高一上•上海.期末）若函数/（幻=11-。+1|在区间口,讨）上是严格增函数，则实数。的取值范围

为•

【答案】a<2

【分析】根据分段函数的性质及区间单调性列不等式求范围即可.

x-a+1,4Na—1

【详解】由题设/（幻=|显然一（X）在5-1,用）上递增，

a-i-x,x<a-i

要使函数在区间U，田）上是严格增函数，则即心2.

故答案为：a<2

9.（24-25高一下•上海杨浦•开学考试）已知函数/（6=忙一+八的最小值为/（0）,则机的取

x2-2nvc+mz+\,x<0

值范围为

「31

【答案】0,-

_4

【分析】对于一次函数,要有最小值,则一定不能单调递增，所以3-4〃整（），对于二次函数要在外=0取得

最小值，则对称轴在x=0右侧，从而小20,从而得到用的取值范围.

【详解】因为/（".二/（0）,所以x>（）时，〃“不能单调递减，所以3-4〃亚0.解得〃

xWO时，/（力=/-2〃a+"?2+1对称轴为x=m,要使得在x=0时取得最小值，所以mNO,

3

所以，用的取值范围为0,：.

4

'3"

故答案为：0。.

4

-X+67,X<1

10.设函数/")=/.2|「若〃=2,则/(力的单调递增区间是一，若/(X)的值域为(FM),

一〃(,1-2)+1,A>1

则。的取值范围是.

【答案】(1,2)0<a<2

【分析】将。=2代入/(x)解析式，分析各段单调性，即可得出单调区间；先求出(F,I］上的值域，由/(x)

的值域为(一心)，只需尸-。(>2)2+1在(l,+oo)上的值域包含(f,4-1),分析二次函数的开口方向，对

称轴及值域即可求出。的取值范围.

［-x+2,x<1

【详解】由题知当4=2时，/(1)=7八21,，

［-2(x-2)+l,x>l

故f(x)在(-8,1］上单调递减，在(1,2)上单调递增，在［2,e)上单调递减，

故”力的单调递增区间是(1,2)：

由于y=r+a在(YO,1］上的值域为［aT+co),

若F(“)的值域为

只需尸-1在(I,”)上的值域包含(e,a-1)即可，

故需-々<0,即。>0,

此时,，=一〃(工一2)2+1在(1,+<»)上的值域为(口,1］,

故需a-lKl,即0<。42,

综上：0<S2.

故答案为：(1,2)：0<a2

等类型二、二次函数单调性求参数

二次函数的单调性与最值

一元二次函数y=ax2+bx+c(aw0)

。>0时，函数仃最小值；离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大;

4a

。<0时，函数有最大值处二生，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大;

4。

一、单选题

I.“a=2”是“函数/(x)=f+2m-2在区间(7>,-2］上单调递减”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果.

【详解】充分性：当a=2时，/(X)=X2+4X-2=(X+2)2-6,

易知函数/(x)在区间(-oo,-2］上单调递减.

必要性：若/(力=/+物.2=卜+4)2-〃2-2在区间(ro,-2］上单调递减，

则需一02-2,即a42,

故“〃=2”是“函数”制=9+2G:-2在|乂间(-00,-2］卜单调递减”的充分不必要条件.

故选:A.

2.(24-25高一上•湖北•期末)若函数/(力=>/加+2x-1在［1,a)上单调递增,则实数〃的取值范围是()

A.［-l,+oo)B.(-l,+oo)C.［0,+QO)D.(0,+a9)

【答案】C

【分析】令r=ox'+2x-l,贝|J/G)=J7,1>0,利用=单调递增则，(x),g(x)单调性相同的

性质，得出，=以2+2%-1在［1,+00)上单调递增，目120,分情况讨论得出。的取值范围.

【详解】令，=32+2X—1,贝ij.f(x)=«,/>0.

已知/(“在U，y)上单调递增，则/=&+2工-1在口,茁)上单调递增，旦d0.

若〃=0,则r=2x—l,此时=在单调递增,

H.Z=2x-1>/(l)=l>0,符合题意.

若4。0,则/=ad+2x-l须满足：

«>0,

gp•«+2-1>0,=></>0.

--<1,

2。

综上，a>0.

故选：C.

二、填空题

3.(24-25高一下•湖南•阶段练习)已知函数/(x)=2f—去+8在区20］上单调递减，则人的取值范围

足.

【答案】［80,+oo)

【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式即可求解.

【详解】由题意，一兵220,得％280.

2x2

所以及的取值范围是|80,内)，

故答案为：180.内)

4.(24-25高一上•全国•周测)函数/(»=幺一H+1(丘R).若/⑺在区间［2,4］上单调，则实数&的取值范

围是.

【答案】(〜八卜区+动

【分析】根据二次函数的单调性列不等式求解.

【详解】因为函数/(x)=f-履+1(婕R)的对称轴为x咚且开口向上，

函数=f-履+l(keR)在区间［2,4］上单调，则或g",解得”4或AN8,

所以实数k的取值范围是(y,4］u［8,y).

故答案为：(-B,4］u［8,+e).

5.若函数/(幻="2-2”+4在区诃［1,3］上不具有单调性，则实数〃的取值范围是.

【答案】加

【分析】讨论两种情况，其中，。工0时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间［1,3］上不具有单调性,

可判断对称轴在区间。,3)上，进而得到答案.

【详解】。=0时，/(x)=-2x+4,-2<0,f(x)在［1,3］上单调递减,具有单调性,不符合题意;

_0?1

。力0时，/(x)二奴之一2^+4的图象为抛物线，对称轴为1二一丁=:=一,

2a2aa

根据题意，/(x)在［1,3］上不具有单调性，

所以解得!

a3

故答案为：

念类型三、二次函数的最值(范围)及参数问题

一、单选题

1.（25-26高一上•全国•课前预习）已知函数/（幻=丁+41-12/£&3]的值域为卜169],则一的取值范围

为（）

A.[—10,-2]B.[—7,—2]C.[-10,-1]D.[—7,1]

【答案】B

【分析】利用二次函数的单调性和对称性求解.

【详解】二次函数〃x）=/+4x-12的对称轴为x=—2,且/（-2）=4-8-12=-16,

当“力=9时，解得％=3,占=—7,由二次函数的图象勺性质得。的取值范围是17,-2].

故选：B.

2.（2025高一•全国•专题练习）已知二次函数），=-/+〃氏+〃？（机为常数），当—2KXW4时，y的最大值是

15,则加的值是（）.

3131

A.T9或1B.-10或彳C.6或-19D.6

【答案】C

【分析】根据二次函数的性质分三种情况讨论：当2,当当分别求出用的值.

222

【详解】二次函数y=-A2+nu+〃z的图象的对称轴为直线X=y.

①当三4一2,即小WT时，对于-24x44,》随着x的增大而减小，故当％=-2时，>取得最大值，即

Ya=-4-2/〃+/〃=一加一4=15,解得m=一19,符合题意：

②当-2<：v4,即Y<〃7<8时，在x=t处y取得最大值，

22

2

即i'max="~+，”=15,得4+4/"60=0，解得加=6或"7=-10（舍去）；

•IIMIAJ

③当曰之4,即〃*8时，对于-24x44,丁随着工的增大而增大，

故当x=4时，y取得最大值,

即『max=T6+4〃?+〃?=5，〃-16=15,解得一=］(舍去).

综上所述，〃，=-19或6.

故选：C.

r—2x—3,x<—1

3.(25-26高一上•全国,单元测试；已知函数/(同=一/+2%+3,-1«工《3,在［—1,〃?］上的最大值为/(，〃)，

x2-2x-3,x>3

则川的取值范围是()

A.(-1,1］B.(-IJ+2V2］C.［1+20,+动D.(-1/］山+2也+动

【答案】D

【分析】由区间11,问,考虑函数/(x)的第二个分段和第三个分段,再根据单调区间分-1VWL1V/K3

和〃?>3三种情况讨论.

尸—2A—3,x<-1

【详解】由己知/(%)=•—/+2%+3,-14x43,

x2-2.v-3,x>3

函数f(x)在(1,3)上单调递减，在和(3,y)上单调递增，

当时，在［T,向上单调递增，即函数/("的最大值为了(〃?)，符合；

当1</〃K3时，/(x)在上单调递增,在(1,旭)上单调递减,即函数〃x)的最大值为/(1)>〃间，不

符合；

当〃?>3时，”力在(一口)和(3,〃。上单调递增，在(1,3)上单调递减，

此时“力的最大值为/(加)，则“同之/⑴，即|阳>3，解得胴21+2及.

综上所述，/ne(-lj］o|_l+2V2,+8).

故选：D

二、填空题

4.(2025高一•全国•专题练习)已知定义在区间［0,3］上的函数〃工)=收-2履的最大值为3,那么实数攵的

取性范围为.

【答案】{『3}

【分析】按照攵>0、ZvO和％=0分类讨论，根据二次函数的性质求得最大值，根据最大值列式求解即可.

【详解】/(x)=k(x-1)2-2.

(1)当”>0时，二次函数图象开口向上，对称轴为x=l,

故当x=3时,“X)有最大值,〃3)=3%=3,则左=1.

(2)当4<0时，二次函数图象开口向下，对称轴为x=l,

故当x=l时，/(%)有最大值，〃1)=一2=3,则4=-3.

(3)当&=0时，/(力=0,显然不成立.

综上知丘{1,—3}.

故答案为：{1,7}

5.(2025高一•全国•专题练习)已知二次函数/(”=/+瓜+c">())的图象过点(1,0),记函数/(“在

［0,2］上的最大值为M,若MW1,则〃的最大值为一.

【答案】1

【分析】利用二次函数的图象，开口向上，可知最大值一定在端点处取到，再结合不等式的加法性质即可

求得。的最大值.

【详解】因为f(x)过点。,0),所以41)=。+5+。=0,

所以c二一。一〃,即/(x)=ax2+bx-a-b.

因为/(力是开口向上的抛物线，所以知=111州{/(0),/(2)}.

由”工1得露2；=3〃+方<］，两式相力口得(一〃叫+伽+〃)42,解得,

y\/一

当〃=1时，有匕=-2,c=l,满足题意，

即”的最大值为1.

故答案为：1

6.(24-25高一上•陕西安康•开学考试)当-1GW1时，函数y=-f-2〃匹+2〃+1的最小值是-4,最大值是

0,则用、〃的值分别是.

【答案］〃?=1,〃=_1或m=_1,〃=_］

【分析】对二次函数的对称轴与所给区间进行讨论，结合二次函数的性质即可求解•.

【详解】y=-x2-2nvc+2n+\=-（x+m）2+nr+2/?+1,对称轴为4=一〃?.开口向下，

当-〃拒1时，即mW-1,此时函数在-IWxWl单调递增，故x=-l时，函数取最小值，

一1+2m+2〃+1=T,当x=l时，函数取最大值一1一2〃z+2〃+l=0,解得==一1,

当-/nWT时,即一N1,此时函数在单调递减，故％=-1时,函数取最大值，

—14-2m+2/1+1=0,当x=l时，函数取最小值—1—2/n+2〃+1=Y,解得〃?==

当Tv〃z<0时，BP-/n-（-l）>l-（-w）,此时函数在小单调递增，在T〃<XV1上单调递减,

故x=T〃时，函数取最大值/+2〃+1=0，故X=一1时，函数取最小值一1+26+2〃+l=T,

解得〃?=7或，〃=3,均不符合题意，舍去，

当时,即一〃7-（一1）<1一（一"。,此时函数在一1VX<-W1单调说增,在一〃2VXV1卜单调递减，

故x=-m时，函数取最大值〃/+2〃+1=0，当x=l时，函数取最小值T-2/〃+2〃+l=Y,

解得〃?=-3或6=1,均不符合题意，舍去，

综上可知：〃?=1,〃=-1或/〃=-1/=-1

故答案为：，〃=1,〃=-1或雨=一1,〃=一1

三、解答题

7.已知函数/（%）=£-znr-3,/nwR.

⑴当〃?=2时，求不等式〃力>。的解集；

⑵已知函数/（力在区间［-2,2］上的最小值为一4,求〃L

【答案】⑴卜㈤3或4<-1}

（2）in=±2

【分析】（1）由一元二次不等式求解可得；

（2）结合二次函数的对称轴和单调性分类讨论可得.

【详解】（1）当山=2时，/（力=-一2%-3,

所以公一2工一3〉（）0（X+1）（工一3）>（）,解得xv—l或x>3,

所以不等式/(x)>0的解集为何»3或x<—1}.

/>>

(2)开口向上，对称轴x=m，

当£<—2即〃7<T时，最小值为/'(-2)=4+2，〃-3=-4,解得加二一|,

又m<-4,所以舍去；

当々42即帆>4时，最小值为/(2)-4一26一3一-4,解得切=|,

又加>4,所以舍去；

当即时，最小值为/{孩]=?一，-3=-4,解得加=±2,

综上，m=±2.

覆类型四、一元二次方程根的零分布

一I二次函数相关知识

对于形如丁二奴2+陵+。(。工0)的二次函数，有以下性质：

b±b4ac

1、判别式：△=求根公式：x=-^'-.

2a

bc

2、韦达定理：X]+x,=—,xx-——；

ai')a

3、二次函数对称轴工二一2,定点坐标(一2,---),

2a2a4ac

二、一元二次方程的根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系比如一元二次方程有一正根，有一负根,

其实就是指这个一元二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.

A=Z?2-4ac>0

1、方程有两个不等正根牛巧o,X+x，=-'>。

a

A=/?2-4ac>0

b

2、方程有两个不等负根.占。<Xj+x,=—<0

a

c八

MX,=—>0

'a

3、方程有一正根和一负根，设两根为不占毛=£<o

-a

一、单选题

1.（2025高一•全国•专题练习）若一元二次方程丁-2（4+4b+2（公-2）=（）的两根都是正数，则实数攵的取

值范围是（）.

A.-2KA或&<女410B.-2W&W10

C.2<k<V2D.V2<Z:<10

【答案】A

【分析】构造函数/（x）=f-2伏+4）工+2化2-2）,结合函数图象，从对称轴、判别式、特殊点的函数值三

个角度列不等式求解即可得.

【详解】设/（耳=/一2仕+4）工+2（&2一2）,

根据题意，作出/（x）的图象（如图）.

△=4亿+4『-8伊一2”0（左+2）伏-10）40

,即“左+闾,一夜）>0,

则"0）=2（代-2）>0

也雪0k>-4

2

故选：A.

2.（24-25高一上•河北衡水•阶段练习）若关于工的方程,♦+2工+2=0至少有一个负实根，则实数，〃的取值

范围是（）

A.0<"?<2B.-1</«<-

2

C.—D.i?i<2

2

【答案】C

【分析】对机=0和加工0分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解.

【详解】当机=0时，方程为2x+2=0,有一个负根，

当加W0时，如2+2x+2=0为一元二次方程，

关「X的方程切/+2x+2=（）至少有一个负根，设根为为，马,

当A=4—8〃2=0时，即〃2时，万程为3炉+2犬+2=0,解得尤=_2,满足题意,

当A=4-8〃?>0,即机时，且机工0时，

2

若有•个负根，则中.=^<0,解得〃?<0,

m

X)+x,=----<0

若有两个负根，则2m解得。<〃,当

xx=—>0

}2-

综上所述，则实数旭的取值范围是"?工；,

故选：C.

二、多选题

3.（24-25高一上•河南黑河•期末）若一元二次方程f—2x+〃?=0有正实数根，则实数，〃可以是（）

A.m=0B.tn=5

C.m=1D.〃?=—12

【答案】ACD

【分析】根据题意，可得△之（）,求出答案.

【详解】因为方程丁-2%+〃?=0对应的函数为y=Y-2x+7〃，开口向上，对称轴为x=l,

所以方程/-2x+/〃=0有正实数根，则ANO,即4-4〃止0,解得mWl.

故选：ACD.

三、填空题

4.（24-25高一上•全国•课后作业）关于x的方程寸-如+1=0有两个负实根的充要条件是

【答案】{a\a＜-2}

【分析】由韦达定理及充要条件的定义求解即可.

A＞0k2-4＞0

【详解】充分性：由题意可得人|+々＜。=二＜。，即得。£-2,充分性成立;

x,.r2＞01＞0

必要性：若。上一2,则此时△="一420,%+匕=。＜。,外入2=1＞。，

满足方程有两个负实根，必要性成立.

故关于”的方程V一以+1=。有两个负实根的充要条件是充要条件是。4-2.

故答案为：{〃|aK—2}

四、解答题

5.（23・24高一上•广西玉林•开学考试）当胴取什么实数时，方程/—十+"?=（）分别有：

（1）两个正实数根：

（2）—正根和一负根.

【答案】（1）（0,』

4

（2）＜-oo,0）

【分析】（1）根据题意，结合方程两个正根，结合判别式和韦达定理，列出不等式组，即可求解.

（2）根据题意，方程一正一负根，结合判别式和两根之积，列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：若方程了2一^+加=0有两个正实数根，设为不当，

A=(-1)--4//1>0

,解得〃叱!，即实数机的取值范弱为(。=].

则满足〈XI+x2=l>00<

八44

x1x2=/n>0

（2）解：若方程X?-x+小=0有一JE■负根，设为不＜。＜工2,

则满足△=(­)-4〃?>0,解得小<o,即实数〃?的取值范围为(-oo,0).

xix2=in<0

怎类型五、一元二次方程根的k分布

一元二次方程根的k分布

两根都小于A即两根都大于上即一根小于左，一大于A即

分布情况

X)<k,x2<k>kyx2>kX1<k<x2

y，

k

\L

大致图象(»0)

L±)M/

FTTF7^

[A>0△>0

b,

得出的结论----->k/M<0

2a2a

[/(力0Jo。

大致图象(。<0)tAvLhUv

rvTTV

A>()'A>0

得出的结论上<k/M>0

2a2。

J的<oJ⑶<0

A>0A>0

综合结论

S-±>ka•f(k)<0

(不讨论a)2a2a

"(A)>0c

一、填空题

1.(24-25高一上•安徽•阶段练习)已知函数/(x)=or2-2x+l(iwR)有两个零点，一个大于1另一个小于

1,则实数。的取值范围为.

【答案】(0,1)

【分析】根据函数零点分布结合函数图象列不等式求解即可.

【详解】函数/(工)=泼-2X+1(工金1i)有两个零点，一个大于1另一个小J-1,

又“0)=1〉0,则〃工()，函数””的对称轴方程为x二,

当”>()时，函数/(x)的示意图如下；

y

0

a>0

所以⑴-2+1<0,解得。“<1，

当〃<0,

j。\——士仇)…2+1>。,此时无解，

/\

所以实数〃的取值范围为(0,1).

故答案为：(0,1)

二、解答题

2.(23-24高一上•广东广州•阶段练习)关于x的方程f_2(〃?-1)X+机+11=0,当加分别在什么范围取值时,

方程的两个根：

(1)都大于1：

(2)一个大于1,一个小于1?

【答案】⑴B14)

(2)(14,-KO)

【分析】结合二次函数的图像和性质，根据一元二次方程根的分布，求参数的范围.

【详解】(1)因为/(幻=0的两个实数根均大于I,

A=4(m-l)2-4(m+ll)^0

.—2(z»-1)

所以彳——、~~->1解得5W〃?<14,

J

/(l)=l-2(w-l)+w+ll>0

所以机的取值范围为［5,14).

(2)因为“幻=0的两个实数根，一个大于1,一个小于1,

A=4(W-1)2-4(W+11)>0

所以解得〃2>14,

/(l)=l-2(/n-l)+7M+ll<0

所以机的取值范围为(14,伏).

3.(24-25高一上•上海•阶段练习)已知关于x的一元二次方程d-av+/_4=o.

(1)实数。为何值时，方程有两个不同的正根；

(2)实数”为何值时，方程有一个正根，一个负根；

(3)实数。为何值时，方程有一个根大于2,另一个根小于2；

(4)实数。为何值时，方程有一个根大于2,另一个根不大于0.

【答案】(l)2<a<生叵；

3

⑵-2<”2；

(3)0<々<2；

(4)0<«<2

【分析】根据根的个数及根的分布列不等式组计算求参.

4百46

A=a2-4(«2-4)>0-------<a<------

33

n.4G

【详解】(1)由题意知X)+x=A>0=>67>0=>2<67<----

;3

2

x1x2=4i-4>0a>2,a<-2

4x/346

A=d2-4(tz2-4)>0_

(2)由题意知，«33=>-2<a<2

xv=/-4<0

r2-2<a<2

(3)由题意知22—2〃+/一4<0=0<。<2.

22-2a+a2-4<0

(4)由题意知《=>0<a<2.

O-O+^2-4<0

国类型六、一元二次方程根在区间上的分布

一元二次方程根在区间的分布

根的分布图像限定条件

A<0

01加〃X

Iy

A=O

%=x2Vm

或％=>m

01ni〃X

在区间(〃7,〃)内

没有实根

Ajf

A>0

b

<-----<in

2a

/(M2O

m〃x

iy

A>0

h

----->n

2a

f(n)N0

J,n

0n;x

•

f(n)<0

0

f(m)>Q

f(n)<0

x

在区间（孙〃）内i

有且只有一个实根

/(M<0

J5)>0

iy

A>0

b

在区间（孙〃）内m<-----<n

•2a

有两个不等实根/(〃?)>o

机7/,/(«)>0

0nx

1

I

一、单选题

1.（24-25高一上•辽宁盘锦•期中）己知函数”力=丁+2〃a+2〃z+3在区间（0,2）内只有一个零点，则实数〃?

的取值范围是（）

A.{m\mB.{〃“〃7=-1或"7=3}

C.…7或一―

2626

【答案】C

【分析】方法根据函数的零点个数分类讨论，再结合零点存在性定理，解不等式组确定参数取值范围.

方法二：对解析式变形，在统一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合法求解.

【详解】解法一：

当函数/（“只有一个零点且在区诃（0,2）内时，

0<-m<2

=nr-2nr++3=0=

当函数有两个零点时，△=（2/〃）2-4（2加+3）=4/〃2一8/〃-12＞0,解得〃Y-1或m＞3,

当相＞3时，显然〃力=/+2加计2根+3＞0在（0,2）上恒成立，此时无（0,2）内的零点,

/(0)=0[/(2)=0

当加＜—1时.乂在（0.2）内只有一个零点,则〃（）＞/（2）＜0或八2）＞0或“0）＞0,