高考数学二轮复习（全国版理）专项突破 随机变量及其分布

第2讲随机变量及其分布

［考情分析］离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行

考杳，重点考查超几何分布、二项分布及正态分布，以解答题为主，中等难度.

考点一分布列的性质及应用

【核心提炼】

离散型随机变量x的分布列为

则(1)/方20,?—1,2,—,n.

(2)pi+〃2H-----Fp„=1.

(3)E(X)=A1PI+x2P2~l-------------------\~XnPn.

222

(4)Q(X)=g-E(X)]pi+[A2-E(X)]/92+•••+[xn-E(X)]pK.

(5)若Y=aX-ich,

则E(Y)=aE(X)+b,

D(Y)=crDm.

4+1

例1(1)(2022・保定模拟)若离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=tdog2—(1^7,

A-ez),则P(2vXW5)等于()

A4B3

C.1D.|log2|

答案C

k+1

解析因为P(X=k)=a\o§r~j~

=a[log2(k+l)—k)g2k],

P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=7)=1,

所以6/-(log22—Iog21+log23—log22H---Flog28—log27)=I,

解得“u，所以

P(2VXW5)=P(X=3)+尸(X=4)+P(X=5)

(2)(2022.烟台模拟.)己知随机变量j的分布列如下表所示，且满足E©=0,则下列方差值中最

大的是()

4-102

Pab

AQ©B.。(©)

C.ZX么+1)D.。(3|4—2)

答案D

{〃+〃+)=1,

—lXa+0X^+2X〃=0,

所以。的分布列为

则。(纥+1)=22。©=4；

©的分布列为

同102

11

P

326

112

则E(©)=1X^+2X-=^t

Dd^)=jx(l-1)+|X(0-3)2+6X(2-3)2=91

所以7)(3©-2)=3?。(同)=5,

所以。(3图-2)的值最大.

规律方法分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性.

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范

围内的概率.

跟踪演练1(1)(2022.广州调研)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2

所示.

表I股票甲收益的分布列

收益X/元-102

概率0.10.30.6

表2股票乙收益的分布列

收益Y/元012

概率0.30.40.3

则下列结论中正确的是()

①投资股票甲的期望收益较小；

②投资股票乙的期望收益较小：

③投资股票甲比投资股票乙的风险高；

④投资股票乙比投资股票甲的风险高.

A.①③B.①④C.②③D.②®

答案C

解析由题意知，

E(X)=-1X0.14-0X0.3+2X0.6=1.1,

方差D(X)=(-l-l.l)2X0.H-(-l.l)2X0.3+(2-l.l)2X0.6=1.29,

E(r)=0X0.3+1X0.4+2X03=I,

方差。(7)=(0—1)2'0.3+(1—1)2乂0.4+(2—1)2X03=0.6,

所以E(X)>E(Y),D(x)>D(r),则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风

险高.

(2)(2022•河南三市联考)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志

愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人

选中的赛区个数，丫为三人没有选中的赛区个数，则()

A.E(X)=E(y),D(X)=D(y)

B.E(X)=E(Y),D(X)^D(Y)

c.E(x)^E(r),o(x)wo(y)

D.E(X)#=E(r),D(X)=D(Y)

答案D

解析由题意得X的可能表值为1,2,3,

P(X=10)=0.5X0.4X0.8+0.5X0.6X0.8+0.5X0,4X0.2=0.44,

P(X=20)=0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.2+0.5X0.6X0.2=0.34,

P(X=30)=0.5X0.6X0.2=0.06.

则X的分布列为

X0102030

p0.160.440.340.06

^(X)=0X0.16+10X0.44+20X0.34+30X0.06=13.

考向2超几何分布

例3(2022•漳州质检)北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面

知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机

抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格

是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其口的8道题.求：

⑴甲、乙两人至多一人测试合格的概率；

(2)甲答对的试题数X的分布列和均值.

解(1)根据题意，甲测试合格的概率为

C5-CHC^_60+20_2

--=120=y

乙测试合格的概率为

Cg-Cl+Ci_56+56_14

--=120=1?

故甲、乙两人都测试合格的概率为2钞芳14=2春8

则甲、乙两人至多一人测试合格的概率为

_28=_17

-45=45-

(2)由题可知，甲答对的试题数X可以取0,1,2,3,

Ca4I

又「(、=。)=说=两=的

Cg_363

P(X=\)=C?o-120io?

ci-c\60_1

P(X=2)=

W=12。—2'

P(X=3)=品201

1206'

故X的分布列为

X0123

I311

P

30To26

3II9

则E(X)=1X-j^4-2X-+3X-=-

考向3二项分布

例4(2022.湖北联考)某中学将立德树人融入到教育的各个环节，开展“职业体验，导航人

生”的社会实践教育活动，让学生站在课程“中央”.为了更好地了解学生的喜好情况，根

据学校实际将职业体验分为：救死扶伤的医务类、除暴女良的警察类、百花齐放的文化类、

公平正义的法律类四种职业体验类型，并在全校学生中随机抽取100名学生调杳意向选择喜

好类型，统计如下：

类型救死扶伤的医务类除暴安良的警察类百花齐放的文化类公平正义的法律类

人数30202030

在这100名学生中，随机抽取了3名学生，并以统计的频率代替职业意向类型的概率(假设每

名学生在选择职业类型时仅能选择其中一类，且不受其他学生选择结果的影响).

(1)求救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两种职业类型在这3名学生中都有选择的概率;

(2)设这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数为X,求X的分布列与均值.

解(1)由题意设职业体验选择救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类、百花齐放的文化类、

公平正义的法律类的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D),则易知尸(A)=需P(8)==

I3

P(C)=5,P(D)=历，

所以救死扶伤的医务类、除暴安良的警察类这两类职业类型在这3名学生中都有选择的概率

为

Pi=A5P(4)P(B)[l-P(A)-P(B)]4-CjP(A)/,(B)2+CSP(A)2P(fi)

=A忘聂+C鼎自2+C瑞)与

27

=Too-

(2)由题知选择除暴安良的警察类的概率为P(B)=/

这3名学生中选择除暴安良的警察类的随机数X的可能取值为0,123,X〜«3,3，

则P(X=/)=CSP(By[1-P(6)]3-/(/=0,1,2,3)，

所以X的分布列为

X0123

6448121

p

725V25725-125

I3

所以X的均值为E(X)=3>q=$

规律方法求随机变量X的均值与方差的方法及步骤

(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；

(2)求X取每个值时对应的概率，写出随机变量X的分布列；

(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X),方差。(X);

(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特

殊分布列的均值和方差的公式求解.

跟踪演练2(2022・广东联考)如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道

有M，M，N3,M,四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是/南干道有S，52，两

个交通易堵塞路段,它们祓堵塞的概率分别为^某人在高峰期驾车从城西开往城东,假设

以上各路段是否被堵塞互不影响.

NlNi

SIs2

⑴求北干道的Ni，M，M，M四个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率；

(2)若南干道被堵塞路段的个数为X,求X的分布列及均值E(X)；

(3)若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东

较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由.

解(1)记北干道的Ni,M,M,M四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A,

则P(A)=1-(1-。=1-符=*

\o1O1

(2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,

P(x=o)=(i4)x0

p(x=i)=ix(i-1)+(i-i)x|=5,

P(X=2)=：X,=g.

JJJ

随机变量X的分布列为

X012

111

P623

||17

E(X)=OX-+1XZ+2XT=7.

\94D

(3)设北干道被堵塞路段的个数为匕

则丫〜虫,£),

14

所以£(与=4X7=彳.因为E(X)<E(Y),所以高峰期出行选择南干道路线较好.

考点三正态分布

【核心提炼】

解决正态分布问题的三个关键点

(1)对称轴A=/Z.

(2)样本标准差(7.

(3)分布区间：利用3〃原则求概率时，要注意利用小。分布区间的特征把所求的范围转化为

3。的特殊区间.

例5(1)(2022•太原模拟)已知随机变量X服从正态分布做出片)，若P(X21+a)=P(XWl—

〃)，则〃等于()

A.0B.1C.2D.-1

答案B

解析因为P(X21+a)=P(XW

根据正态分布的对称性，

-xg(l+a)+(l—

可nl得"=-----5---------=>­

(2)(2022・长春质检)国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生

产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口置的过滤率X〜M0.9372,0.01392).

若生产状态正常，则下列结论正确的是.

①P(XW0.9)<0.5；

②X的取值在(0.93,0.9439)内的概率与在(0.9372,0.951I)内的概率相等；

③P(Xv0.9)=P(X>0.9744)：

④记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于〃+2。的数量，则Pg21)>0.6.

(参考数据：若X〜N3,『)(。>0),则P@-o<XW"+o)y0.6827,P("-2<T<XW〃+2㈤七

0.9545,尸(〃一3cvXW"+3c)-0.9973;0.985O^0.364)

答案①③④

解析由X〜N(0.9372,0.0139?)知，

4=0.9372,<7=0.0139,

对于①，由正态分布曲线可得P(X<0.9)VP(Xv0.9372)=05故①正确；

对于②，0.9439—0.93=0.0139,0.9511—0.9372=0.0139两个区间长度均为1个。，但"=

0.9372£(0.93,0.9439),由正态分布性质知，落在(0.93,0.9439)内的概率大于落在(0.937

2,0.9511)内的概率，故②错误；

0.9+0.9744

对于③,=0.9372,故③正确;

对于④，I只口罩的过滤率大于"+2。的概率

1—09545

片----广，=0.02275,4〜以50,〃)，

所以P(»=I-P(J=0)=1一(1一〃)5°>1—(1-0.02)5。，

即1一(1一().02严=|一0.985°~—0.364=0.636>0.6,故④正确.

规律方法利用正态曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线

对称，及曲线与x轴之间的面积为1,注意下面三个结论的灵活运用：

(1)对任意的4,有尸(X<〃-4)=0(X>〃+〃).

⑵P(X4o)=l-P(X^xo).

(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(XW").

跟踪演练3(1)(2022.株洲质检)某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品

的尺寸分别记为x,Y,已知x,丫均服从正态分布，x〜M〃I，d)，y〜M〃2,£)，其正态分

布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是()

一X的正态分布密度曲线

\---y的正态分布密度曲线

A.甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性

B.甲生产线产品的稳定性低丁乙生产线产品的稳定性

C.甲生产线的产品尺寸均值大于乙生产线的产品尺寸均值

D.甲生产线的产品尺寸均值小于乙生产线的产品尺寸均值

答案A

解析由图知甲、乙两条生产线的均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线

产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.

(2)(2022•哈尔滨模拟)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上

随机抽取，并测量零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生

产的零件直径尺寸X(单位:cm)服从正态分布M18,4),若X落在［20,22］内的零件个数为2718,

则可估计所抽取的这批零件中直径X高于22的个数大约为(附：若随机变量服从正态分布

NS，/)，则Pa-oWXW.〃+o)%0.6827,P3-2<7WXW〃+2Q&0.9545,Pa-3oWXW"+

3Mo.9973)()

A.27B.40C.228D.455

答案D

解析由正态分布M18,4)可知，4=18,。=2,

，〃+。=20,"+2。=22,

0.9545-0.6827

.•・P(20WX近22)―2=0.1359,

1—09545

P(X222)心---------=0.02275,

直径X高于22的个数大约为

271840.1359X0.02275=455.

专题强化练

一、选择题

1.设离散型随机变量X的分布列为

X01234

P0.20.10.10.3m

若随机变量丫=区一1|,则p(y=i)等于()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

答案A

解析因为丫=%一1|,

所以P(y=l)=P(X=0或K=2)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3.

2.(2022•广州模拟)已知随机变量X〜M/z,/),若尸1)=02则尸(X2"T)等于

()

A.0.7B.0.4C.0.3D.0.2

答案A

解析由已知P3-1WXW〃)=P(〃WXW〃+1)=0.2,

所以P(X2"—1)=P("—1WXW〃)+P(X2〃)=0.2+0.5=0.7.

3.一批电阻的电阻值X(单位：C)服从正态分布MlOOOS).现从甲、乙两箱出厂成品中各

随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011Q和982d可以认为()

A.甲、乙两箱电阻均可出厂

B.甲、乙两箱电阻均不可出厂

C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂

D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂

答案C

解析因为X〜N八000.52）,

所以4=1000,。=5,

所以"-30=1000-3X5=985,

〃+3。=1000+3X5=1015.

因为101ie[985,1015],982或985/015],

所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂.

4.（2022.韶关模拟）某一部件由三个电子元件按照如图所示的方式连接而成，元件I和元件2

同时正常工作，或元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件正常工作的概率均为去

且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件正常工作的概率为（）

7八15-27c57

A-64B32C-32D64

答案D

解析讨论元件3正常与不正常，

第一类，元件3正常，上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作，则正常工作的概率为？

3

X1--

4-

39

X

一

不正常，上部分必须正常，则正常工作的概率为Jx4-W一

故该部件正常工作的概率为升总=2.

3O*T04

5.设Ov悬，0<Z><1,随机变量H的分布列为

-101

Pab

则当a在（0,加增大时（）

A.E©增大,。©增大B.戊②增大，减小

C.E©减小,O©增大D.E（一减小,减小

答案D

解析由分布列中概率之和为1,可得。+〃=',

:.E(G=—1+/?=——a,

・••当。增大时，£©减小，

•••D©=(—l+a)2x；+(0+a)2Xa+(l+a)2X0=—(a+£)2+a

工当4在（0,内增大时，O⑹减小.

6.（2022・萍乡模拟）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行:、水平间隔相等的

圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正

好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的

小球，当小球从之间的间隙下落时碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下,

若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续卜.去，小球最后落入下方条状的格子内，

则小球落到第⑤个格子的概率是（）

①②③④⑤⑥

A-32B16CJ6D32

答案A

解析小球落到第⑤个格子的概率是

clx|xg)=5

32-

7.（2022•全国乙卷）某根手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知

该棋手与甲、乙、丙比赛度胜的概率分别为⑶，p.,〃3,且内邛2>/力>0.记该棋手连胜两盘的

概率为P，则（）

A.〃与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，〃最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，〃最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，〃最大

答案D

解析设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P彳，

在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，

在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为尸丙，

方法一由题意可知，。甲=2〃山似1—〃3)+p3(l—P2)]=2Plp2+2pg—4p】p*3，

P乙=2〃2[pi(l-〃3)+p3(l-〃】)]=2〃1〃2+2/好3-4〃|〃2〃3，

P河=2〃3[pi(l-"2)+〃2(1-0)]=2Plp3+2/72P3-4〃ip2P3.

所以尸丙一户甲=2〃2(P3—〃l)>0，

P再一P乙=2〃1(7>3一〃2)>0，

所以P丙最大,故选D.

方法二(特殊值法)

不妨设“1=0.4,/)2=0.5,P3=0.6,

则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率〜甲=2〃|3(1—〃3)+〃3(1—")]=0.4；

在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙=2〃2|pi(l—〃3)+p3(l—pi)l=0.52；

在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P百=2p3[pi(l—〃2)+p2(l—pi)]=0.6.

所以。再最大，故选D.

8.现有两种核酸检测方式；(1)逐份检测；(2)混合检测；将其中我份核酸分别取样混合在一

起检测，若检测结果为阴性，则这A份核酸全为阴性，因而这女份核酸只要检测一次就够了；

如果检测结果为阳性，为了明确这A份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这女份核酸再

逐份检测，此时，这出份核酸的检测次数总共为伏+1)次.假设在接受检测的核酸样本中，

每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为“(Ovpvl)，

若&=1()，运用概率统计的知识判断卜.列哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式(参

考数据：怆0.7942一().1)()

A.0.5B.0.4C.0.3D.0.2

答案D

解析设逐份检测方式样本需要检测的总次数为X,则E(X)=1(),

设混合检测方式样本需要检测的总次数为匕丫的可能取值为1.U,

P(Y=1)=(1—pp°,P(Y=11)=1一(1一p严，

故丫的分布列为

Y111

P(1-P)101_(]一〃严

：.E(Y)=1X(1-p严+11X[l-(l-p)10]

=11-10X(1-p)10.

要使得混合检测方式优于逐份检测方式，

则需E(Y)<E(X),即11-10X(1—p严<10,

即（一p严哈,即l-p>10一叫

又1g0.794^-0.1,

A0794=0.794,

A/X1-0.794=0.206,

/.0</X0.206.

二、填空题

9.已知随机变量4的分布列如下表，Q（f表示4的方差，则/）（2升1）=.

012

x

Pal-2a4

答案2

解析由分布列知。+（1—2。）+：=1,

解得4=（,

于是得E（J=（）Xa+lX（l-2t/）+2x1=I,

砥=aX(l-0)2+(1-明X(1-1)2+；X(1-2)2==

所以。(及+1)=4O(J=4X^=2.

10.（2022・湖州模拟）盒中有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个蓝球，从盒中随机取球,

每次取1个，取后不放回.直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为3则C的

均值E©=.

牝安10

答案y

解析由题意可知,

随机变量4的可能取值有234,

尸（尸2）=陷=看,

C©A当1

夕仁）

=3=一3'

八C1AS1

P(-4)=FF=Z，

所以随机变量J的分布列如下表所示:

234

111

P632

E(<)=2x1+3x|+4X^=-y.

11.(2022・常州模拟)为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下

数据(单位：天)：17,23,19,21,22,21,19,17,22,19.若该类工程的工期X〜咐,/)(其中〃和。分

别为样本的均值和标准差)，由于•情况需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够

在规定时间内完成该工程的概率约为.(保留两位小数)

附：若随机变量X服从正态分布『)，

则P(H-rT<XW〃+QQ0.6827,

PQ-2ZXW"+2<7)*0.9545,

尸0.9973.

答案0.84

解析由题得〃=古义(17+23+19+21+22+21+19+17+22+19)=20,

(r=-^X(32+32+l2+l2+22+l2+12+32+22+12)=4,

所以<7=2.

所以尸(20—2<XW20+2)70.6827,

所以P(2()<XW22)20.34135,

所以P(XW22)=0.5+0.34135=0.84135=0.84.

12.(2022•苏州模拟)泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提

出.泊松分布的概率分布列为0(X=")=/%&=0,1,2,…)，其中e为自然对数的底数，2

是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为，>0)的泊松分

布.若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的

概率为.

Q

答案?

解析依题意得P(X=1)=P(X=2),

即!=蛋，解得％=2，

2k

所以。(乂=%)=订飞-2，

K•

?01

所以P(X=0)=3-e,=二,

U•C

219

P(X=1)="2A卷

22?

P(X=2)=-e2=最,

则两周共销售2件的概率为

p=a/+c嫡2d

三、解答题

13.(2022.潍坊模拟)根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，

成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为

普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发

射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写

程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程,

全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，

甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率烧，每位选手每次编程都互不影响.

(I)求乙闯关成功的概率；

(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.

解(1)记乙闯关成功为事件A,

所以P(A)=C《|)W+g)3=黠.

(2)由题意知随机变量X所有可能的取值为0,123,

Ci1

P(x=o)=瓦=4,

P(x-1)-笛-10'

P(X-2)-c5o-2,

Pa=3)=悬=',

故X的分布列为

X0123

1311

P301026

所以E(X)=0X^+lX-^4-2x1+3x|=1.

112

所以甲闯关成功的概率为袅点号，

乙OD

因为黠4

所以甲比乙闯关成功的可能性大.

14.（2022・济南模拟）某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按

80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数