高考数学一轮复习（新高考版）圆锥曲线中范围与最值问题

§8.11圆锥曲线中范围与最值问题

题型一范围问题

例1（2023.淄博模拟）已知F（小,0）是椭［员1C：的,个焦点，点M小，在

椭圆C上.

（I）求椭圆C的方程；

（2）若直线/与椭圆C相交于A,8两点，且依八+弱8=一4。为坐标原点），求直线/的斜率

的取值范围.

22

解⑴由题意知，椭圆/十方=1（〃＞比＞0）的左焦点为（一下，0）,

根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为弋（布+6）2+Q-（））2+,=4,

即2〃=4,所以〃=2,

又因为c=小，可得力

所以椭圆C的方程为］+}2=l.

（2）当直线/的斜率不存在或斜率为。时，结合椭圆的对称性可知，%A+%8=0,不符合题意.

故设直线/的方程为y=抬:+〃z（&N0）,A（x\,yi）,8（必,2），

y=kx^-m,

联立方程组〈

可得(做2+1•2+8〃〃a+4(/〃2—|)=(),

1—Skm4(/7r—1)

则用+也=元甲，X1X2=47+］，

2

所以%+%产三V2(Aivi+m)x2+(A；V2+,〃?(】i+x2)…,-Skni-2k

X2X\X2X|X24("/一］)m--J

由koA+koB=-I，可得〃F=4k+1,

所以心一点

又由1＞0,可得16（43一川+］）＞o,所以4R—4Q0,解得左＜0或Q1,

综上可得，直线/的斜率的取值范围是［一/0）U（l,+8）.

思维升华圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量

关系.

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值

范围.

跟踪训练1(2022・济宁模拟)已知抛物线E：)，2=2/以(〃>0)上一点C(1，泗)到其焦点F的距离

为2.

(1)求实数〃的值；

(2)若过焦点厂的动直线/与抛物线交于人，B两点,过48分别作抛物线的切线/”3且

/HA的交点为Q，/H上与)，轴的交点分别为M，N.求AQMN面积的取值范围.

解(1)因为点。(1,却)到其焦点r的距离为2,

由抛物线的定义知1+名=2,

解得p=2.

(2)由(1)可知,抛物线E：f=4x,

设痣,9)，戏,”)(.力工0,力工0),

、、|y=4x,

设/:x=ty+1,联立J得)?-4/y—4=0,

x=ry+I,

判别式/=16尸+16>0,故/£R,

)」+/=4/,yi>'2=—4,

设八：>_》=4刀_1),

y=4x,

联立方程组，

厂V

消去整理得妙2—4y+4yi—ky]=0,

所以/I=16—4A-(4yi—kyy)

—4(4—4Ayi+&2)彳)—o,

所以「东2

则小尸丁尸和一号)，

令x=0,得M（0,

同理自产方+5，M0,

得交点。的横坐标为工0=货=-1,

S^QMN=^MN\-\X^=1"2-^2X［=1\/（丁+$2）2_4），］丁2=,尸+［2］,

•••△QMN面积的取值范围是［1,+8）.

题型二最值问题

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例2（2022.苏州模拟）已知双曲线C5一方=1（»。，〃>0）过点（2啦，1）,渐近线方程为产

鸟心直线/是双曲线C右支的一条切线，且与。的渐近线交于A,B两点.

（1）求双曲线。的方程;

（2）设点A,4的中点为M,求点M到），轴的距离的最小值.

广「8一I厂।，

解（1）由题设可知〈,1

b_\_

U=2,

4=2,

解得

b=\,

则C：

（2）设点M的横坐标为知>0,

当直线/的斜率不存在时，则直线/：x=2,

易知点M到），轴的距离为加=2；

当直线，的斜率存在时，

设/：），=履+〃（4#±0,4（xi,yi）,

8（必,>'2）»

J?=l，

联立，4'整理得（4好一1）/+8加氏+4m2+4=0,

j=kt+〃i,

A=64d〃?2—16（43—］）（〃户+［）=（）,

整理得4必=疗+1,

延长8尸i,AF?交椭圆于C,D两点、,根据椭圆的对称性可知，四边形ABC。为平行四边形,

且四边形ABQ&的面积为四边形A8CD的面积的一半.

由题知，的斜率不为零，

故设BF\的方程为x=my—\[2,

联立科5

[x=my-y[2t

得（评+3）3一2啦冲一1=0,

设B（xi,yi）>C（X2,”），

VJ>0,

..2yf2m-1

•5+”=〃尸+3,）第=不,

故0C=、1+〃?2.|的一）引=当*;

4

O到BFi的距离d=ViW,

=2X；X|BC]d=|BC|-d

2小（〃户+|）二

用2+3-加+1

=2班室7府+1

vm“+3•〃户+1+2

二2加，=2W2加X^-^二小，

历十向地

2

当且仅当4〃尸+1=4〃。+|即m=±l时取等号,

・•・当机=±1时，四边形ABFiB的面积最大，最大值为小.

课时精练

q基础保分练

92

1.已知双曲线C：3一方=1（〃>0,比>0）的左焦点为凡右顶点为4（10）,离心率为2,

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知B（0,小），直线/：尸丘+〃必加#0）与双曲线C相交于不同的两点M,N,若伊M|=

|6N|，求实数〃？的取值范围.

解⑴・・7=1,"=2,

・・・c=2,从=3,

・•・双曲线C的标准方程为f—六］.

(2)设>,i),Ng以)，

线段MN的中点Q(xo,yo).

y=辰+机，

联立，1y2得(3一炉)『一2八心一〃尸—3=0,

厂一了=1,

3一炉W0,

依题意

J=(-2km)2-4(3-^)(-m2-3)>0,

]3一3工0,

即5.①

3+〃厂一U>0,

由根与系数的关系可得为十彗,

加+3

孙==一/，

mlXl+l2km

贝」Xo=-2-=3-p

地=垢+〃.舞,

•・・|4M|=|8M,:.B0工MN,

又F=3-邛%>0,③

由①②③得mV—斗^或0</〃<邛^.

2.(2023•吕梁模拟)已知。为坐标原点，椭圆C「+方=1("/»0)的离心率为当且经过点

P(,,1).

(I)求椭圆C的方程；

(2)直线/与椭圆C交于4,B两点，直线04的斜率为着，直线0B的斜率为依，且不幻=

求才1•协的取值范围.

2=亚

a~3，

解（1）由题意可得q

口+・=1，

又+解得4=3,b=小.

所以椭圆C的方程为方+]=I

（2）设4（加,yi）,B（X2,J2）»

当直线/的斜率存在时，设/：y=kx-Vt,

y=kx-\-t,

联立4M=l,

消去），得（1+3F*+6板+3户-9=0,/=12（3+9严一户）>0,

-6kl

即+氏=]+3。

p,.v\yi

则Ak[k2-x~~y1

3-一9[X2

-V,X2=7+3F,

故）'|〉'2=一/1X2且即12云0,即3/一9#0,则/K3,又力=履1+/,丫2=5+/,

一6必尸,

一市?+厂

VIV2（履|+。（心+27）

所以=四二内+3”9-

MMX\X2X\X2

1+3必

）-9狼

=3P-9=~y

3

整理得23=9炉+323,则尸2]且/>0恒成立.

12237一9,尸一3J,V\

OAOB=X\X2+）'|）'2=X\X2~/阳=/2=方诉=3丁=3（1一方,

又z2号且注3,故3（1—为£[-3,0）"0,3）.

当直线/的斜率不存在时，X2=xi,1y2=一川，则”出2=又5+^n，解得后=*

综上，工V为的取值范围为[-3,0）U（0,3].

R综合提升练

3.(2023・济宁模拟)已知抛物线E：)，2=2px(p>0)的焦点为广，点M(4,〃?)在抛物线E上，且

△OMF的面积为:p2(O为坐标原点).

(1)求抛物线E的方程；

⑵过焦点厂的直线/与抛物线上交于小B两点,过A,B分别作垂直于/的直线AC,BD,

分别交抛物线于C,。两点，求I4C1+I8DI的最小值.

〃户=汕

解(1)由题意可得｛1、P,,\,

5乂?|川=呼-,

解得〃=2.

故抛物线E的方程为r=4x.

(2)由题意知直线/的斜率一定存在且不为0,F(l,0),设直线/的方程为工=)+1,/X0,

设4即，yi)»8(X2,”)，C(X3,心)，

易知即=叨+1>0,%2=8+>0，

x=(y+l,

联立24

1尸4.*

消去x得y2—4)—4=0.

所以》+>2=4，，.””=一4.

由4C垂直于/,得直线AC的方程为y—》=一心一汨)，

厂》=一心一Xi),.

联立j,消去x得y+4y—4g—41yl=0.

U'=4x,

所以》+>3=-*)D'3=4仪；4”

所以|AC|=4(汨-「)2+3-”)2

=•^(1+5[。1+”)2—4)，1”]

16+16/2.叫+!63

16+4产4+16/),|

-3

r

26+1.

=F•1)1+21

242+1

=3.((yi+2).

同理可得由。|=叫士!(少+2),

所以|AC]+\BD\=2*+1[心，]+”)+4]=1；+102+])=,

令於尸弟£，XX)，则,/d?L2)..v>0,

所以当x£(0,2)时，f(x)<0,凡0单调递减；当x£(2,+8)时，f(x)>0,凡0单调递增.

所以当x=2时，凡丫)取得最小值，即当，=小时，依。+|8。|的最小值为12小.

应拓展冲刺练

4.已知椭圆的两个焦点是尸|(0,-2),尸2(0,2),点P(也，2)在椭圆上.

(1)求此椭圆的方程；

(2)过B作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A,B,C,。四点，求四边形4CB。面积的

取值范围.

解(1)由题意知，c=2,

因为焦点在y轴，

设椭圆方程为%+$=1(6功>0),

42

将点尸的坐标代入上式得7+京=1,

联立方程｛«炉+护21,

々2=4+62,

解得/=8,乂=4,

所以椭圆方程为卷+?=1.

(2)如图，当过西的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线A8的斜率为生

则直线A8的方程为)，=履+2,直线CO的方程为)，=-3+2,

设4(X1,巾)，8(X2,”)，C(X3，心)，%4,、4),

联立直线A