高考数学二轮复习（全国版理）专项突破 直线与圆

ZHUANTILIU

专题六解析几何

第1讲直线与圆

［考情分析］1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选

择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中

高难度.

考点一直线的方程

【核心提炼】

1.已知直线/工Aix+S），+G=0（4,4］不同时为零），直线，2：A2x+&y+C2=0（A2,所不

同时为零）,则/|〃/204&-42囱=0,且AC-AzGWO,/iJJ2gAi42+BI&=0.

|A.r（）+fiv（）+C|

2.点P（xo,州）到直线/：Ar+gy+C=O（A,3不同时为零）的距离d=

1屋+炉

3.两条平行直线A：Ax-4-By+Ci=0,Z2:AV+B>'4-C2=0（A,B不同时为零）间的距离d=

例I（1）（2022•常德模拟）已知直线4y-3=O,/2：x-缈+1=0,则“〃=2”是““为"

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若八〃也

则有一/+4=0,解得。=±2,

当”=2时，l\：2x—4y—3=0,

Zi：x—2y+1=0,h,

当°=一2时,A：2x+4y+3=0,

/2：x+2y+l=0,Zi#/2,

所以若1〃氏则〃=±2,

所以“。=2”是“八〃/2”的充分不必要条件.

(2)(2022・济宁模拟)已知直线八：辰+y=0过定点A,直线上：4—。+2g+2k=0过定点8,

/!与h的交点为C,则|AC|+0C|的最大值为.

答案2^6

解析由/工丘+y=0,得八过定点4(0,0),

由/2：x+2啦+42—>)=0,

得，2过定点8(一2镜，2),

显然ZX1+1X(—4)=0,即八，L相互垂直，

而h与h的交点、为C,

即ACJLBC,又|48|=2小，

：.\AC?+\BCr=n,

：.(\AC\+\BC\)2=12+2|/1。阳0

W12+(|AC|2+|BC|2)=24,

••・IACI+IBQ的最大值为2寸6,

当且仅当14cl=|8C|=加时，等号成立.

・・.|AC|+|3q的最大值为2-76.

易错提醒解决直线方程问题的三个注意点

(1)求解两条直线平行的问题时，在利用4&一A2囱=0建立方程求出参数的值后，要注意代

入检脸，排除两条直线重合的可能性.

(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，

而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.

(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

跟踪演练1(1)已知直线I：ar+y—2+a=0在x轴与5•轴上的截距相等，则实数。的值是

()

A.1B.-1

C.-2或1D.2或1

答案D

解析当。=0时，直线)，=2,此时不符合题意，应舍去；

c_

当时，由直线/：ai+y—2+。=0可得，横截距为宁，纵截距为2—a.

2—a

由一工一=2一4,解得4=1或4=2.

经检验，。=1,2均符合题意,

故。的值是2或1.

(2)若直线6x-2y+l=0与直线/2：2x+wy+l=0平行，则直线/)与，2之间的距离为

答案

解析由直线hx—2y+l=0与直线A：2x+〃?y+l=0平行,

可得1X〃?一2X(—2)=O,即机=-4,

I2-H

故两直线可化为八：2X—4.V+2=0"2：2X-4V+1=0,故直线人与八之间的距离为d=

山2+42

-10-

考点二圆的方程

【核心提炼】

1.圆的标准方程

当圆心为3,b),半径为/,时，其标准方程为(x—a)2+(y—6)2=/.

2.圆的一般方程

A2+y2+Ox+£y+/=0,其中/^+炉一份。，表示以(一亨，一?为圆心，®琴三更为半

径的圆.

例2⑴已知圆C与直线y=x及.L>，-4=0都相切，偃心在直线y=-x上，则圆C的方程

为()

A.(X+1)2+(V-1)2=2

B.。・+1尸十(3,十1产=2

C.(x—iy+G，-1>=2

D.(l1)2+()，+1)2=2

答案D

解析因为圆心在直线)，=-X上，

设圆心坐标为(4,—4),

因为圆C与直线y=x及4—)，-4=0都相切，

缶|"“+&1〃+0—4|

所以

解得4=1,所以圆心坐标为(1,—1),

又也

人小=R,

所以R=木,

所以圆的方程为(X—1)2+。+1产=2.

(2)在平面直角坐标系中,A(-l,0),8(1,0),C(0,小),动点尸满足妙|=色甲切.则点尸的轨

迹方程为.△%C的面积的最大值为.

答案(x-3)2+r=82小+26

解析设点P(x,y),由闸=地|。8|,得|%F=2|PB|2,即。+1)2+尸=2［。-l^+y2］,

化简可得。-3)2+)2=8,

・••点P的轨迹方程为。-3)2+)2=8,圆心为(3,0),半径r=2啦.

直线AC的方程为小x—y+4=0,

3小I小

圆心(3,0)到直线AC的距离为=2小,

73+1

・•・点尸到AC的最大距离为2小+2W,

又I4q=2,

・•・(SA/MCKX=1X2X(2<3+2<2)=2^3+2<2,

规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.

(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

跟踪演练2(1)(2022•全国甲卷)设点M在直线2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在。M上，

则。M的方程为.

答案(x—1)2+。+1产=5

解析方法一设。M的方程为(x—a)2+(y—力2=/，

2〃+人一1=0,

则•(3—〃)2+/=户,

xr+(l-/7)2=r,

a=1,

解得，b=-l,

,3=5,

・•・(DM的方程为(x—l)2+(y+1)2=5.

方法二设。M的方程为f+)，2+。1++，+尸=0(。2+层一4尸＞0),

则《一景一?,

2(-1=。,O=-2,

,*9+3D+F=0,解得‘E=2,

J+E+产=(),［广=—3,

•••。”的方程为f十)2—2¥+2)，-3=0,即(%—1)2+0，+1)2=5.

方法三设A(3,0),伙()』)，0M的半径为，，

则心8=台3=一上，A3的中点坐标为e，।

的垂直平分线方程为一与=

・・・AB3，3即3x-y-4=0.

3x—>-4=0,x=l,

联立1解得

2r+v-l=0,J=f

・・・”(1,-1),

/.?=|AfA|2=(3—1)2+[0-(—1)]2=5,

・•・(DM的方程为(犬-1)2+°，+1)2=5.

(2)直线/过定点(1,-2),过点尸(一1,0)作/的垂线，垂足为M,已知点M2J),则IMN的最

大值为.

答案36

解析设点41,-2),依题意知AMJLPM,

所以点M的轨迹是以AP为直径的圆，

圆心C的坐标为(0,-1),

半径为R=^\AP\=y[2t

又M2,1)为圆外一点，

所以IMMmax=INCI+R=N(2—0)2+(1+1)2+也=3^2.

考点三直线、圆的位置关系

【核心提炼】

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.

其判断方法为：

⑴点线距离法.

(2)判别式法：设圆C:Q-aK+G一»2=/，直线/：A.v+By+C=0(A24-BV0),方程组

Ai+8y+C=0,

,(1一0)2+&-6)2=产,

消去)，，得到关于X的一元二次方程，其根的判别式为4则直线与圆相离。/<0,直线与圆

相切=/=(),直线与圆相交=/>0.

2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.

考向1直线与圆的位置关系

例3(1)(2022.南通模拟)在平面直角坐标系中，已知直线at—)，+2=0与圆C：f+y2—2x—

3=0交于4,B两点,若钝角△ABC的面积为小，则实数〃的值是()

3434

----C--

A.4B.34D.3

答案A

解析由圆C：2A—3=0,

可得圆心坐标为C(l,0),半径为/«=2,

因为钝角△ABC的面积为小，

则SaA8C=：X2X2sin/ACB=4，

解得sin/ACB=坐，

所以NAC8=〒,

可得依川=25，

又由圆的弦长公式，可得24=7=2小,

解得d=1,

3

1。+2|

根据点到直线办一)，+2=0的距离公式d=4-

(2)(2022.新高考全国0)设点A(—2,3),B(0,a),若直线A4关于y=a对称的直线与圆。+3产

+0+2)2=1有公共点，贝的取值范围是.

f口31

口案2_

解析方法一由题意知点4—2,3)关于直线的对称点为A'(—2,2〃-3),

所以依8=亍，

所以直线4'8的方程为)=与4，+小

即(3—4比一2>+24=0.

由题意知直线A'B与圆(x+3)2+(y+2)2=l有公共点,

易知圆心坐标为(一3,-2),半径为1,

所以1。7)+(二?52)+2〃*

叱3—4)~+(-2)-

整理得6a2-I14+3W0,解得太，W，所以实数〃的取值范围是［；，1)

方法二易知(x+3)2+(y+2)2=|关于y轴对称的圆的方程为。-3)2+()，+2)2=1,

由题意知该对称圆与直线A8有公共点.直线人B的方程为y==工+a,

即3-3)x-2y+2a=0,

又对称圆的圆心坐标为(3,-2),半径为1,

|3(d-3)+(-2)X(-2)+2f/|<i

所以1(〃-3)2+(-2)2

13一

I3--

整理得6a2-ll〃+3W0,解得"，号，所以实数〃的取值范围是-V2

一

考向2圆与圆的位置关系

例4(1)(2022・武汉模拟)圆G：(%—2)2+()，-4)2=9与圆Q：(工一5)2+)2=16的公切线条数

为()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析依题意得，圆Ci的圆心G(2,4),半径用=3,圆C2的圆心C2(5,0),半径&=4,\C}C2\

=A/(2-5)24-42=5e(l,7),故圆G与C2相交，有2条公切线.

(2)(2022•益阳调研)已知直线/：.L,，+1=0,若P为/上的动点，过点尸作。C：*一5产+)，2

=9的切线%,PB,切点为A,B,当IPCH4用最小时，直线A3的方程为.

答案l厂2=0

解析。。：(.1-5)2+)?=9的圆心C(5,0),半径厂=3,

••・四边形%C8的面积

S=*PCM8|=2S△楸c=l网必。

=3|例|=3亚产石，

・•・要使IPCHABI最小，

则需|pq最小,

当PC与直线/垂直时，|PC|最小，

此时直线PC的方程为y=-v+5,

y=x+1,

联立,解得P(2,3),

[y=_x+5,

则以PC为直径的圆的方程为

则两圆方程相减可得直线AB的方程为x-y-2=().

规律方法直线与圆相切问题的解题策略

直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于

切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.迂圆外一点求解切线段长的问题，可

先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.

跟踪演练3(1)(2022・湖北七市(州)联考)已知直线/：匕一)，一女+1=0,圆C：。一2y+。+2)2

=16,则下列选项中不正确的是()

A.直线/与圆。一定相交

B.当2=0时，直线/与圆C交于M,N两点，点E是圆。上的动点，则△MNE面积的最

大值为7币

C.当直线/与圆有两个交点股.N时，的最小值为2#

D.若圆。与坐标轴分别交于A,B,C,。四个点，则四边形A8C。的面积为48

答案D

解析直线/：去一)，一女+1=0过定点户(1』)，因为(1一2)2+(1+2)2<16,所以点P在圆内,

因此直线/一定与圆C相交，A正确；

当A=0时，直线为y=l,代入圆的方程得(.1—2)2+9=16,解得4=24，因此|MN]=2币,

因为圆心。(2,-2),半径,♦=%圆心到直线/的距离d=3,因此点E到直线/的距离的最

大值〃=4+3=7,

所以△MNE面积的最大值S=〈X7X2币=76，B正确；

当直线/与圆有两个交点M,N时，若|MN|最小，

则尸C_L/,\PC\=A/(1-2)2+(1+2)2=VTO,

因此|MMmin=2X正NT而=2#，C正确；

在圆C：。-2)2+。+2)2=16中，分别令x=0和y=0,求得圆C与坐标轴的交点分别为A(2

-2小，0),C(2+25，0),B(0,一2+25)，。(0,—2—2小)，则|AC]=4小，|/3。|=45，

所以四边形ABCD的面积S'=枭4小X4小=24,D错误.

(2)(2022・新高考全国I)写出与圆『+尸=1和(.1-3)2+。-4)2=16都相切的一条直线的方程

答案]=-1或7犬一24厂25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的

一个即可)

解析如图，因为圆『十1,2—1的圆心为0(0,0),半径门—1,圆(X—3尸十(y—4)2—16的圆心

为43,4),半径〃=4,

所以|。川=5,八+门=5,,听以|QA|=/」+/2,所以两圆外切，公切线有三种情况:

①易知公切线/i的方程为x=-\.

②另一条公切线，2与公切线人关于过两圆圆心的直线/对■称.

4

易知过两圆圆心的直线/的方程为y=y,

x=—1,x=-1,

由〈4得《4

[>'=?

由对称性可知公切线/2过点(一1，一4).

4

设公切线，2的方程为y+?=&(x+l),

则点0(0,())到6的距离为I,

一

37

所以1解得左=五，

所以公切线6的方程为y+1=^(x4-l),

即7x-24y-25=0.

③还有一条公切线/3与直线/：)，=条垂直，设公切线/3的方程为)，=-%+1，

易知/>0,则点0(0,0)到/3的距离为1,

所以1=N1(C3s(T-)2

解得T或/=一3(舍去)，

所以公切线/3的方程为丁=一%+1，

即3%+4)，­5=0.

综上，所求直线方程为犬=-1或7x-24y—25=0或3x-4y-5=0.

专题强化练

一、选择题

1.直线/经过两条直线X—y+l=O和2x+3)，+2=0的交点，且平行于直线x—2)，+4=0,

则直线/的方程为()

A.X—2v-1=0B.x—2y+1=0

C.2x-)，+2=OD.2,v+y-2=0

答案B

[x—y+1=0,1

解析由L「f八得两直线交点为(-1,0)，直线/的斜率与x—2y+4=°相同，为5,

[2x+3)，+2=02

则直线/的方程为y—0=*+1),

即x-2y+l=0.

2.(2022•福州质检)已知4一小,0),B电,0),C(0.3),则△A8C外接圆的方程为()

A.(X-1)2+>>2=2

B.(X-1)2+/=4

C.f+6,-1)2=2

D.W+G，-1)2=4

答案D

解析设△ABC外接圆的方程为

(xer)2I(yb)2=i2

212

(—yf3—a)+(0—b)=if

(小一a)2+(0f

{(0—4)2+(3—份2=/，

4=0,

解得<b=l,

/=2.

则△A8C外接圆的方程为1>=4.

3.(2022.新高考全国II)图1是中国古代建筑中的举架结构，AV,BB'，CC,DD,是

桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其

中。。，CCi，BBi,A4是举，OD1,DCi，CBi，84是相等的步，相邻桁的举步之比分别

为笫'餐电需-配需=也符=依.已知配及2,七成公差为°」的等差数列，且直线

UU\L2C|CDID/\\

Q4的斜率为0.725,则依等于()

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

答案D

解析设O£h=OG=C8i=B4=l,

则CG=ki,BBi=ki,AA\=ky,

依题意，有心-0.2=拓，於-0.1=匕，

aODi+DCi+Cfii+BA1-0,725,

().5+3速一().3q

所以4—0.725,

故抬=0.9.

4.过圆C：(A—1)2+J^=I外一点P作圆C的两条切线PA,P氏切点分别为4,B,若PALPB,

则点P到直线/：x+y-5=0的距离的最小值为()

A.1B.也C.26D.3^2

答案B

解析因为过圆C：。一1y+1y2=1外一点尸向圆C引两条切线以，PB,切点分别为4,B,

由以_LP8可知，四边形C4P8是边长为1的正方形，所以|CP|=，L

所以尸点的轨迹是以C(l,0)为圆心，也为半径的圆，则圆心。(1,0)到直线/：工+)，-5=0的

距离d』嘘也比=地,

所以点P到直线/：x+y—5=0的最短距离为d—r=2唯一陋

5.与直线x—y—4=0和圆(x+1)2+。-1产=2都相切的半径最小的圆的方程是()

A.(x+1)2+°，+1)2=2

B.(x+1)2+6，+1)2=4

C.(X—1)2+0，+1)2=2

D.(X-1)2+°，+I)2=4

答案c

解析圆(x+l)2+G，-l)2=2的圆心坐标为半径为也,过圆心与直线工一)，一4

=0垂直的直线方程为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上，又圆心(-1,1)到直线x—y—4=0

的距离为由=36，则所求圆的半径为也，设所求圆的圆心为3,。)，且圆心在直线x+)，=0

上，所以W=，5,且〃+%=(),解得。=1,b=—l(«=3,b=-3不符合题意，舍去),

故所求圆的方程为(X—l)2+(y+l)2=2.

6.已知I员|C过圆G：亡+)，+4'—2y—10=0与圆J：[X+3)2+(J—3)2=6的公共点.若圆

G，Cz的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为()

11712671713()7110471

A~C5D.5

答案B

解析由题意可知，圆G,C2的公共弦所在直线方程为f+V+4x—2y—10=0和(X+3)2+

。一3>=6的两式相减，化简可得x-2)，+ll=0,又。2(—3,3)到直线工一2>，+11=0的距离”

=1寿芦=]，故公共弦的长为2X《一嗡=2靠则圆C的半径为既，

故圆C的面积为竽.

7.在平面直角坐标系中，圆C的方程为r+)2—4工=0.若在直线)，=A(rH)上存在一点P,

使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k不可能为()

A.1B.A/2C.2啦D.4

答案D

解析由炉+y2-4x=0,得(x—2)2+)2=4,

则圆心为C(2,0),半径r=2,过点P所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A,B,

连接AC,(图略)，则四边形以为正方形，即尸C=6r=24L圆心到直线的距离d=

|2-0+川r-

VTTPW2隹

即-2也WkW2陋,

故)不可能为4.

8.已知圆G：(工+6)2+&-5)2=4,圆C2：。-2)2+()，-1)2=|,M,N分别为圆G和C2

上的动点，尸为x轴上的动点，则1PM+IPM的取值范围是()

A.[6,+°°)B.[7,+00)

C.[10,4-oo)D.115,+8)

答案B

解析G(—6,5),C2(2,l),G关于x轴的对称点为CK—6,-5),

故IPGI+IPC2121c2c3|=、64+36=10,

又两圆的半径分别为2,1,

则|PM+|PN|210—2—l=7,

故IPM+IPM的取值范围是D，4-oo).

9

9.已知圆。：/+)2=不圆M：(工一a)2+(y—1)2=1,若圆M上存在点P,过点夕作圆0

的两条切线，切点分别为A,B,使得NAP8=］,则实数〃的取值范围是()

A.［一回，V>5J

B.［一小，小］

C［小，仃］

D.［一仃，一小］“小，炳

答案D

解析由题可知圆。的半径为右圆M上存在点P,过点P作圆0的两条切线，切点分别

为4,By使得NAPB=E，则NA尸0=看,

在Rt△乃4。中，|P0|=3,

・••点。在圆/+尸=9上，

由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.

又圆M的半径等于1,圆心坐标

・・・3—lW|OMW3+l,

・・・2WM2+IW4,

二“£［一31,一小15小,VI5］.

10.已知圆G：(彳-1)2+()，-2)2=4和圆C：。一2尸+。-1)2=2交于A,B两点,直线/

与直线AB平行，且与圆C2相切，与圆G交于点M,M则|MN等于()

A.A/2B.2&C.25D.4

答案D

22

解析由圆G：(x-l)+(y-2)=4f可知圆心Ci(l,2),半径为2,由圆C?：。-2)2+()，一

1)2=2,可知圆心。2(2』)，半径为6，

又圆G：V+y2—21一4)叶1=0,圆。2：炉十丁一4x—2y+3=0,

所以可得/AH：x—y—I=0,

设/：x-y+c=(),因为直线/与圆C2相切，则邑谭目=6.

解得c=l或c=-3,

当c=l时，/：X—y+l=0,

H-2+1IY

所以|MM=2X；

正)=4

当c=-3时，/：x—y—3=0,

因为।亚—>2,故不符合题意.

综上，|MN|=4.

11.(2022•南通模拟)已知P是圆O：/+)2=4上的动点,直线/|：xcos0+ysin6=4与6：

xsin。一ycos。=1交于点0,则下列说法正确的是()

A.6与/2不垂直

B,直线人与圆。相切

C,直线6与圆。截得弦长为2啦

D.|PQ|的最大值为4方+2

答案D

解析圆。的半径为2,

因为cos"sin^4-sin8(—cos0=0,

所以A错误：

4

圆心。到直线的距离为4=4>2,直线人与圆。相离，B错误;

•\/cos2^4-sin2<9

圆心O到直线/2的距离为

NsinW+(—cosJ)?

所以弦长为2X422—|2=2小,C错误;

xcos夕+ysin。=4,

由1

jsin〃-ycos0=1,

x=4cos9+sin仇

y=4sin。一cos0,

即Q(4cos0+sin0,4sin0—cos0),

所以IOQI=A/(4COSsin^)2+(4sin0-coa0)2=A/T7,

所以|PQI的最大值为屈+2,D正确.

12.(2022•荷洋质检)瑞上著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位

于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△A8C,

\AB\=\AC\,点点C(3,5),过其“欧拉线”上一点P作圆O：«+9=4的两条切线,

切点分别为M，N,则|M超的最小值为()

A.^2B.2巾

C.小D.2小

答案B

解析由题设知8c的中点为(1,3),

“欧拉线”斜率为左=一七=一1,

所以“欧拉线”方程为)，一3=一。-1),

即x+y—4=(),

又。到x+y—4=0的距超为4=言2,即“欧拉线”与圆0相离，

要使IA/N1最小，则在与Rt^PNO中，/MOP-/NOP最小,即NA〃W最大，

而仅当OP上“欧拉线”时，NMPN最大,

所以d=|OP|=26，

则|MM=2rsinNNOP,

且圆。半径r=2,cos/NOP=：=*,

所以sinNNOQn牛,即|M/VUin=2巾.

二、填空题

13.与直线lv-y+1=0关于％轴对称的直线的方程为.

答案2x+y+l=0

解析直线2x—y+l=0的斜率为&=2,与x轴交于点A(—J,0),

直线2x—y+l=0关于x轴对称的直线的斜率为一%=—2,并且过点A,

由直线的点斜式方程得)，-0=-2(%+乡，

即2x+y+l=0,

所以所