高考数学二轮复习（新高考版）专项突破 函数的图象与性质

第1讲函数的图象与性质

［考情分析］1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函

数、函数图象的识别与应用以及函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的综合应用，

难度属于中等及以上2此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，

多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.

考点一函数的概念与表示

【核心提炼】

1.电合函数的定义域

⑴若於）的定义域为［〃?，川，则在中，由解得x的范围即为（g（x））的定义

域.

⑵若人g（x））的定义域为［〃［，n］,则由mWxW〃得到g（x）的范围,即为«r）的定义域.

2.分段函数

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.

例।（1）（2022・南阳检测）已知函数於）=也不，则函数ga）=/m—i）+1i的定义域是

（）

A.{巾v0或x>2}B.eq

C.{小>2}D.eq

答案B

|一r|一r

解析要使儿0=怆=有意义，则

1I人1HI>O,

即（I一制（1+此>0,解得一14<1,

所以函数7U）的定义域为（一11）.

要使g（x）=fix—\）+y［2x—\有意义，

［―l<x—1<1,I

则r，、八解得aWXV2,

［2x-120,2

所以函数g（x）的定义域为:

X2+2«»X<1»

（2）已知实数a£R,函数咒¥）=,若五1一幻>川+/，则实数。的取值范围是

—X,x>\,

答案（-2,-1）U（O,+8）

解析由题意知〃KO,

①当4<0时，兴1,

:.一（1—。）>（1+a）2+2〃，

化简得/+3〃+2<0,

解得一2<〃<—1,

又。<0,—2,—1）；

②当〃>0时，1—

・・・（1一。）2+为>一（1+办

化简得。2+。+2>0,解得

又a>0,+°0）,

综上，实数4的取值范围是（一2,-1）U（O,4-00）.

规律方法⑴形如大线2）的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

（2）对于分段函数的求值（解不等式）问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.

X-3,10,

跟踪演练1⑴（2022.潍坊模拟）设函数府）=L；八［二八则心）等于（

)

依戈+4））,x<10,

A.10B.9C.7D.6

答案C

x—3,Gl(),

解析因为yu）=

/(/(工十4)),

则18）=A/（12））=*9）=欢13））

=/U0）=7.

（2）（多选）设函数Ar）的定义域为。，如果对任意的xW。，存在yWD,使得火幻=一次），）成立，

则称函数凡6为“M函数”.下列为“M函数”的是（）

A.y=sinxcosxB.y=Inx+e'

C.y=2xD.y=x2-2x

答案AB

解析由题意，得“M函数”的值域关于原点对称.A中，y=sinxcos%=；sin2x£一1,

其值域关于原点对称，故A是“M函数”；B中，函数y=lnx+e'的值域为R,故B是“M

函数”；C中，因为y=2'>0,故C不是函数”；D中，1y=f-2r=（x—1）z-12—I,

其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”.

考点二函数的图象

【核心提炼】

1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、

伸缩变换、对称变换.

2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点.

考向1函数图象的识别

例2⑴(2022•全国甲卷)函数产⑶-3r>cosx在区间［甘，,上的图象大致为()

答案A

n

M)-

取x=—1,则y=Q—3jcos(—I)

Q

=-］cosl<0.结合选项知选A.

方法二令)，=段)，

则艮一幻=(3-r—3A)cos(—x)

=­(3r-3-')cosx=—fix),

所以函数y=(3*—3-v)cos.M是奇函数，

排除B,D；

取x=l,则y=(3—1=gcosl>0,排除C,故选A.

(2)(2022•全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图象，则该函数是

()

——+3x-

A-kf+iB.y=7+r

c2rcosx、2sinx

c

-尸KTD.尸77r

答案A

解析对于选项B,当x=l时，y=0,与图象不符，故排除B；对于选项D,当x=3时，y

=1sin3>0,与图象不符，故排除D；对于选项C,当0«狎，0<cosx<l,故尸等广

V号W1，与图象不符，所以排除C.故选A.

人I1

考向2函数图象的变换及应用

A.a>0,b=0,c<0

B.a>(),b=0,c>()

C.a<0,b<0,c=0

D.avO,b=O,c<0

答案A

解析因为函数/Cr)的图象关于)，轴对称,

所以_/u)为偶函数，

“…~cos(—x)-F2

斤以贝一幻=a(r)2+.r)+c

cosx+2cosx十2

=ar2—/+c=a『+。=凡”，

解得〃=0,

3

由图象可得/(0)=-<0,得(?<0,

由图象可得分母加+。=0有解，

所以f=一；有解，

所以一；>0,解得a>0.

考点三函数的性质

【核心提炼】

1.函数的奇偶性

(I)定义：若函数的定义域关干原点对称，则有

«r)是偶函数号/(-x)=J(x)=fi\x\):

/U)是奇函数号/(一幻=一").

(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数X奇困数是偶函数).

2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.

3.函数的周期性

若函数於)满足/+。)=/一。)或风v+2a)=/U),则函数y=/(x)的周期为21al.

4.画数图象的对称中心和对称轴

（1）若函数yu）满足关系式4。+工）+44-x）=2b,则函数y=/u）的图象关于点（a,。）对称.

（2）若函数7U）满足关系式负。+%）=/（力一用，则函数y=/U）的图象关于直线对称.

考向1单调性与奇偶性

例4（2022・广东大联考）已知函数危尸阴一cosx,则/曲，负0）,/'（一三）的大小关系为（）

A.a）4妙f（一£）

B.xo）＜f（-|）＜r（f）

c-/（粉（一'©

D./（-1）＜rt0）＜f®

答案B

解析,«,y（x）=ekl—cosx,

/•fl—x）=e「&-cos（—.r）=ew—cosx=J（x）,

・\/U）为偶函数，

当x＞0时,/x）=e*—cosx,

则/a）=e、+sinx,

,当x£（0,+8）时，，（x）=e，+sinx＞0,

・・.函数段）在（0,+8）上单调递增，

•・爪°R（G）q（5）,

即旭）＜/（-£）喧.

考向2奇偶性、周期性与对称性

例5（多选）（2022・新高考全国I）已知函数/U）及其导函数/㈤的定义域均为R,记以幻=

，（©.若2A）,g（2十外均为偶函数，贝"（）

A.10）=0B.g（V）=。

c.7（-l）=y（4）D.g（_l）=g（2）

答案BC

解析方法一（转化法）因为/（|一2。，g（2+x）均为偶函数，

所以/0〃)=/0+2，

即/(»/(1+J

g(2+x)=g(2—x),

所以43-x)=/(x),g(4-.r)=g(x),

则1-1)=犬4),故C正确；

3

函数/U)，g(x)的图象分别关于宜线X=3，4=2对称，又g(x)=/'(X),且函数人¥)可导，

所以0=0，g(3-x)=-g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3—x),

所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),

所以<_g=g(l)=o，

g(—l)=g(D=-g(2),故B正确，D错误：

若函数满足题设条件，

则函数yu)+qc为常数)乜满足题设条件，

所以无法确定人。)的函数值，故A错误.

方法二(特例法)因为/(1—2工)，g(2+x)均为偶函数，所以函数於)的图象关于直线片方对

称，函数月(X)的图象关于直线x=2对称.取符合题意的一个函数/(x)=l(%WR),则.*0)=1,

排除A；

取符合题意的一个函数«r)=sinnx,

则/(X)=7TCOS7UC,即g(X)=7CC0SKX,

所以g(—1)=兀cos(一兀)=­兀，g(2)=兀cos2兀=元，

所以g(-l)Xg(2),排除D.故选BC.

二级结论(1)若风r+a)=-yU)(或Ax+0=点，其中,工)工0,则/U)的周期为2间.

(2)若y(x)的图象关于直线］="和对称，则人工)的周期为2|〃一办

(3)若风¥)的图象关于点3,0)和直线对称，则危)的周期为4R一夙

跟踪演练3(1)若函数_/i.x)=-+aer(q£R)为奇函数，则不等式4n力勺(|】n川)的解集为

答案(0,1)

解析易知JU)定义域为R,

又寅力为奇函数，・・・/0)=0,得。=一1,

・・,/(x)为奇函数且在R上单调递增，

又川nx)勺

/.Inx<|lnx|,/.Inx<0,/.0<x<l.

(2)(2022・新高考全国II)已知函数yu)的定义域为R,且«i+)，)+yU-)，)=/(x求)，)，则

宣必)等于()

A.-3B.-2C.0D.1

答案A

解析因为yu)=i,

所以在於+y)+以一了)=力切(y)中，

令y=1,

得於+1)+火x—l)=/UVU),

所以人丫+1)+,人工-1)=八0①

所以人工+2)+久0=/5+1).②

由①②相加，得_/U+2)+J(x—l)=0,

故7U+3)+兀t)=o,

所以次x+3)=~/U),

所以yu+6)=-/U+3)=yu),

所以函数_/U)的一个周期为6.

在於+丁)+於一)，)=以次V)中，

令y=0,得«r)+«r)=/m求。)，

所以7(0)=2.

令x=y=l,得«2)+的)=*次1),

所以」2)=-1.

由/U+3)=-Ki),

得人3)=一40)=—2,./(4)=—也)=-1,

15)=-/(2)=1,46)=一贯3)=2,

所以/U)+W2)T-----卜叶6)=1-1-2-1+1+2=0,

根据函数的周期性知，考”)=川)+人2)+人3)+44)=1-1一2—1=-3,故选A.

专题强化练

一、单项选择题

1.(2022•哈尔滨检测)下列既是奇函数，又在(0,+8)上单调递增的是()

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=tanxD.y=~~

答案D

解析对于A,y=sinx是奇函数，且在（0,+8）上有增有减，故不满足；

对于B,y=lnx的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故不满足；

对于C,），=tanx是奇函数，且在（0,+8）上只有单调递增区间，但不是一直单调递增，故

不满足；

对于D,y=—《是奇函数，且在（0,+8）上单调递增，故满足.

2.（2022・西安模拟）设府）=,若府）=3,则x的值为（）

l0g2（A7—1）,A>3,

A.3B.1

C.-3D.1或3

答案B

解析当xW3时，令2巾一1=3,解得x=l,

当x>3时，令log2（F—l）=3,

解得x=±3,这与Q3矛盾，

/•X=1.

3.（2022・常德模拟）函数«甘）=普”的图象大致是（）

VIC

答案C

解析函数人幻=普粤的定义域为R,

CIC

sin(—TLX)—sin(jLf)

尸产+百=eA+e-x=~^f

即人。是奇函数，A,B不满足;

当（0,1）时，即0<心<冗，

则sing)>0,而ev4-e-x>0,

因此7U)>0,D不满足,C满足.

4.（2022•张家口检测）已知函数./U）=Wr，则（）

VI1

A.函数J5）是奇函数,在区间（0,+8）上单调递增

B.函数./U）是奇函数,在区间（一8,0）上单调递减

C.函数凡r）是偶函数,在区间（0,+8）上单调递减

D.函数人r）非奇非偶,在区间（一8,0）上单调递增

答案A

1一」

eA—1ev

解析一大一#=一丁47=一3不7

=

ex_|_|,故J(x)是奇函数.

ev+1-22

v=1

又A)ex+leZH,

由复合函数的单调性可知7U)在R上单调递增.

1-x

5.(2021•全国乙卷)设函数人")=不，则下列函数中为奇函数的是()

A.B.7(x-l)+l

c.yu+i)-iD.yu+i)+i

答案B

1—r2—I)2

解析方法一fix)=--r-=；..i,为保证函数变换之后为奇函数，需将函数

1I人1I人1IA

y=/(x)的图象向右平移一人单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为

y=/(x—l)+l.

1—x

方法二因为危)=[;，

1-(X-1)2-X

所以yu—1)=

I—(x+l)-X

，心+1)=I+(x+l)=x+2,

2—x2-2x

对于定义域关亍原点对称，但不满足尸(%)=一尸(一

A,F(x)=J(x-\)-1=^—人-1=^人-,

X)；

2—X9

对于B,G(x)=J(x-1)+1=—人1=7人»定义域关于原点对称，且满足G(x)=-G(—x)；

—x—x—v-22v+2

对于C,於+1)-1=1一1=<+2=一宣片定义域不关于原点对称；

对于D,兀LH)+I=F+1=—匚厂=%,定义域不关于原点对称.

x十2x十2x十2

6.设定义在R上的函数/*)满足人止/(犬+2)=13,若41)=2,则次99)等于()

A.1B.2

C.0D.eq

答案D

解析依题意yu)：/u+2)=13,

13

%+2)=冠，

13

所以/U+4)=/U+2+2)=由百

=爰=流办

危)

所以_/u)是周期为4的周期函数，

所以人99)=/(25X4—l)=尺一1)

13_13_13

々7+2)=布

7.已知函数./U)是定义在(-8,0)U(0,+8)上的偶函数，且当心>0时，贝%)=

(x-2)2,0<rW4,

•1则方程Ax)=l的解的个数为()

那x—4),A>4,

A.4B.6C.8D.10

答案D

解析由题意知，当x>0时，

f(x-2)2,0<xW4,

函数yu)=(i

那一4),x>4,

作出函数/U)的图象，如图所示，

又由方程兀0=1的解的个数，即为函数y=/(x)与y=1的图象交点的个数可知，

当x>0时，结合图象，函数幻与)，=1的图象有5个交点，

又因为函数y=/(x)为偶函数，图象关于)，轴对称，所以当大<0时，函数y=/(x)与y=l的图

象也有5个交点，

综上可得，函数,，=儿0与y=l的图象有1()个交点，即方程<x)=l的解的个数为10.

8.(2022.河北联考)若函数/(2x+l)a£R)是周期为2的奇函数，则下列结论不正确的是()

A.函数/U)的周期为4

B.函数八r)的图象关于点(1,0)对称

C./2021)=0

D.fl2022)=0

答案D

解析函数J[2x+I)(x£R)是奇函数，

・7/(2r+l)=一4-2x+l)=>

_A2x+l)+A-2.v+l)=0,

・•・函数段)的图象关于点(1,0)对称,故B正确：

•・•函数02x+l)(x£R)的周期为2,

・7/(2。+2)+1)=;(您+1),

即_/(2X+5)=_A2X+1),

.•・/)的周期为4,故A正确；

;(202l)=/(4X505+1)=/(1)=0,故C正确；

./(2022)=/(4X505+2)=/(2),无法判断A2)的值，故D错误.

二、多项选择题

9.下列函数中，定义域与值域相同的是()

A.y=-B.y=\nx

c]x+1

C.)'=31D-尸—

答案AD

解析对于A,

定义域、值域都为(一8,0)U(0,4-oo),满足题意；

对于B,定义域为(0,+8),值域为R,不满足题意;

对于C,定义域为(一8,D)U(0,+8),

又3r>0,且3，华1,

故3，一1>一1,且3,一1X(),故)y-I或)>0,

故值域为(一8,—1)U(O,+8),不满足题意;

定义域、值域都为(一8,1)U(1,+8),满足题意.

1,x£Q,

10.(2022・淄博检测)函数D(x)=,被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是

0,.母Q

()

A.函数。(幻的值域为[0川

B.若Q(.ro)=l,则。(%+1)=1

C.若。(为)一。(也)=0，则.一M£Q

D.D(x+y/2)=l

答案BD

解析选项A,函数。(幻的值域为{()1},A错误；

选项B,若。(网)=1,则沏£Q,xo+ieQ,

则。(沏+1)=1,B正确；

选项C,ZX2n）-D（7t）=O-O=O,

但2兀一兀=TT4Q,C错误；

选项D,当犬=一也时，

O（x+的=0（一也+6）=。（0）=1,

则ZXx+也）=1,D正确.

11.下列可能是函数五幻=芸』（其中〃，6c£（-1,0,1））的图象的是（）

（X十C）

答案ABC

解析A选项中的图象关于），轴对称，B选项中的图象关于原点对称，两个选项均可得函数

的定义域为{小W0},可得c=0,又函数7U）的零点只能由产生，所以函数/U）可能没

有零点，也可能零点是X=—1,0,1,所以A,B选项可能符合条件；

而由D选项中的图象知，函数46的零点在（0,1）上，但此种情况不可能存在，所以D选项不

符合条件；观察C选项中的图象，由定义域猜想c=l,由图象过原点得力=0,猜想4=1,

可能符合条件.

12.已知函数），1）的图象关于直线X=-1对称，且对有x）=4.当

x£（0,2］时，/U）=x+2,则下列说法正确的是（）

A.8是/U）的周期

B.7U）的最大值为5

C./2023）=1

D.yu+2）为偶函数

答案ACD

解析因为函数），=/口一1）的图象关于直线x=-l对称，

故人外的图象关于直线x=-2对称，

因为对Vx£R有＜%）+八一%）=4,

所以函数y=/U）的图象关于点（0,2）成中心对称，所以八一2+1+2）=/（—2—。+2））,

即大幻=次—4一工）=4-A—x）,

又人—4—x）+_/U+4）=4,

即大一4—x）=4—*x+4）,

所以人工+4）=火-工），

所以贝。+4）+4）=/（—。+4））=/（工），

所以_/U+8）=/U）,

所以8是7U）的周期，故A正确；

又yu+2）=z（—x+2）,故函数yu+2）为偶函数，故D正确；

因为当x£（0,2］时，7U）=x+2,

且yu)+y(一工)=4,

则当x£[—2,0)时，一x£(0,2],

所以火一的=—x+2=4-J(x),

所以_/U)=x+2,

故当x£[—2,2]时，7U)=x+2,

又函数y=/U)