高考数学一轮复习讲义：等式性质与不等式性质（二）

§13等式性质与不等式性质

【课标要求】1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小3理解不等式的性质，并能简单应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.两个实数比较大小的方法

色*九ii>0,

基本事实<〃三力04一方=0,

,a<b^a—h<0.

2.不等式的性质

性质别名性质内容注意

1传递性a>b,b>c=^a>c不可逆

2可加性〃>/?—〃+(?以+C可逆

a>b,c>0^ac>bc

3可乘性c的符号

a>b,c<0=>ac<bc

4同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+cl不可逆

a>b>0,c>(l>0^ac>bd；

5同向同正可乘性不可逆

a>b>0,c<d<0^ac<bd

可开方性

6a>b>0^y[a>y[b“WN+,“22

特殊地，当心/>0时，/>〃，其中〃£N+,“22.

【常用结论】

不等式的两类常用性质

(1)倒数性质

®a>b,

②〃</?<°w

(d)O<a<x<b或a<A</?<0=>^<^<rj.

(2)有关分数的性质

若a>b>0,m>0,则

①真分数的性质

bbb~m,〜

,_>----

aa-rmaa-m

②假分数的性质

aa-\~maa—m,

,7<:---(/?—/n>0».

bb+mbb-m

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(I)两个实数〃，8之间，有且只有",4=方，三种关系中的一种.(J)

(2)若\>1,则比>4.(X)

(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(X)

(4)若%",则从a(X)

2.已知非零实数〃，〃满足〃<3,则下列不等式中一定成立的是()

A.Ina<\nbB.-a>7b

C.a2Vb2D.

答案D

解析对于A,当qvbvO时，不等式无意义，故A错误；对于B,当avOvb时，故B

错误；对于C,当a0<0时，42M>2,故c错误；对于D,当时，苏之〃3成立，故D正确.

3.已知b克糖水中含有a克糖(比>。>0),再添加m克糖(〃?>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请

将这一事实表示成一个不等式为.

a

答案於b+〃?

aa+相

解析

aa+〃?_a(b+m)-b(a+/〃)_m(a-b)

证明:

bb+mb(b+m)b(b+m)'

Vb>a>0,〃?>0,b<C>,

.Z?).aa+fti

一b(b+，〃)〈0，••

4.已知2<a<3,-2<Zx-l,则a+2A的取值范围为.

答案(-2,1)

解析因为一2vZ?v—1,配以一4v2Z?<-2,又2va<3,所以一2v〃+2Z?vl.

■探究核心题型

题型一数(式)的大小比较

例1(1)(多选)下列不等式中正确的是()

A.炉一2»—3(%£2

B.+Z>3crb+ab2(a,bWR)

C.a2-^-b2>2(a—b—I)

D.若a>b>0,贝lj£72—Z?2>^-

答案AD

解析VX2-2AH-3=(X-l)2+2^2>0,

Ax2—2x>—3,故A正确；

“3+〃一a2b—ab2=a2(a-b)-\-b2(b—a)

=(a—b){cT~b2)=(a—b)2(a+b).

•・•(〃一〃)220,的符号不确定,

，a3+护与。2b+〃护的大小不确定,故B错误;

•・・a2+〃_2a+2b+2=m—1A+S+1)2^0,

a2-^-b2^2(a—b—\),故C错误；

〃—分一9_£)=3一份3+加_黑

=(〃一〃)(〃+%+9)>0,故D正确.

(2)若正实数小b,。满足则()

A.(f<^<baB.ce<ba<^

C.A""D.0b

答案C

解析・・Z是正实数,且cvl,・・.()<cyl,

由cvc“〈c"vI,得0<a<b<1,

：.ah<a\

部=0“,。合1'a>0,

MS"vl,即aS,

综上可知，

_e20-3(e—1)^

=(e2O244-l)(e2O254-l)>0-

:・M>N.

e*"-f~1

方法二令yu)=/R

1(ev+,+l)+l-1

GV1(V

e^'+l=e+FT+T,

显然凡t)是R上的减函数，

・・・次2023)/2024),即M>N.

题型二不等式的基本性质

例2(1)若实数&〃满足。<旅0,则()

A.B.a~b<()

c.\a\<\b\D.>|

答案B

解析由〃</x0,可得。+从0,故A错误；

由a<b<0,可得〃一方<0,故B正确；

由4a<0,可得一a>一历>0,所以⑷>步|,故C错误;

由a<b<0,可得间>网>0,

1

所

故

错

以

误

一<D

〃lih

（2）（多选）己知小dc为实数，则下列说法正确的是（）

A.若则4c

B.若a>b,则a+c>b+c

C.若a>b>c>0,则%

bb-\~c

hr

D-若〃泌>c>0,则"二

答案BCD

解析当c=0时，讹2=*2,故A错误;

由不等式的可加性可知，B正确；

若a>b>c>0,贝ija-b>Otb+c>0,

.aa+c_a(〃+c)-仇a+c)_c(a-b)

>0,

'bb+c/?(/?+c)/?(/?+c)

•工诉？故C正确;

若a>b>c>0,贝1a-b>0,a-c>0,b~c>0,且a—c>a—b,

又b>c>0,

由可乘性知，---T>----,故D正确.

a—ba-c

思维升华判断不等式的常用方法

(1)利用不等式的性质逐个.捡证.

(2)利用特殊值法排除错误选项.

(3)作差法.

(4)构造函数，利用函数的单调性.

跟踪训练2⑴设a,b,c,d为实数，且c<d,则“。<力”是"a—c〈b—d”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条住

答案B

解析由a<b不能推出a—c<b—d,如〃=2,〃=3,c=0,d=l,

满足。〈儿但是a—c=b—d,故充分性不成立;

当。一c<Z?—d时，又c〈d,可得a—c+c<。-d+d,即故必要性成立，

所以“a<b”是“a-c<b—d”的必要不充分条件.

⑵(多选)若〃>/»(),则下列不等式中正确的是()

11

-

A.ci<7b

B.—(r<—ah

C.In|«—l|>ln|/?—I|

D.2fl

答案ABD

解析因为a»>0,»0,所以篇>£，

即%",故A正确；

因为a>/»0,­a<0,所以一〃v—a。，故B正确；

3II

若a="b=q,ln|a-l|=ln|b—1|=屿，故C不正确；

因为a—b>0,所以2rt>2)=1,故D正确.

题型三不等式性质的综合应用

例3(1)已知0W5,-1<><1,则X—2)，的取值范围是()

A.2<x—2产3B.—2<.r—2y<3

C.2<x—2)<7D.—2<r—2><7

答案D

解析因为一1〈尸1,所以一2〈一2)<2,

又(Kr<5,所以一2<r—2)<7.

延伸探究若将条件改为"-1Wx+)W2,—2Wx—>W1"，求x—2y的范围.

解设x—2y=m(x-^-y)+n(x-y),

:.x~2y=(ni++(m-n)y,

W+〃=i,\fri=~r

・•.c解得V2

l〃f=-2,1T

13

：.x-2y=_](x+y)+](》—)，)，

—K+yW2,—2Wx—yWl,

1133

乙L—3<z(x—y)<94»L

13

—4W—5(x+y)+5(x—y)W2,

乙J

即一4Wx—2yW2.

(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男

学生人数多十女学生人数，女学生人数多十家长人数，家长人数多十教帅人数，教帅人数的

两倍多于男学生人数.则该微信群人数的最小值为()

A.20B.22C.26D.28

答案B

解析设教师人数为X,家长人数为)，，女学生人数为Z,男学生人数为八x,y,z,/£N+,

则)，2x+1,z2y+12x+2,f2z+12.y+22x+3,则1+.y+z+/24x+6,

又教师人数的两倍多于男学生人数，

:.2x>x+3,解得x>3,

当x=4时，x+y+z+桧22,此时微信群人数的最小值为22.

思维升华利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点

(1)必须严格运用不等式的性质.

(2)在多次运用不等式的性质时有可能犷大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整

体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

跟踪训练3(1)(多选)已知lWa<2,3WbW5,则()

A.。+〃的取值范围为[4J]

B.〃一。的取值范围为[2,3]

C.C的取值范围为[3,10]

D.飘取值范围为存|]

答案AC

解析因为1W〃W2,3WOW5,

所以4Wa+力W7,—2W-aW-l』Wb-aW4,

所以a+b的取值范围为[4,7],b-a的取值范围为[1,4],

故A正确，B错误；

因为l，W2,3WbW5,

所以3WMW10,MW，

所以"的取值范围为[3,10],钠取值范围为艮I],故C正确，D错误.

(2)己知2<x<4,3<)<1，则_丁的取值范围是()

人Ly

A©,9BQ,5

1)咯2)

答案B

解析原式分子和分母同时除以北

X1

%-2r]_空

X

由条件得2v-2.yv6,

所以看(一W<¥，即;一§<3，

所以;<1不<4,所以4<<7.

Z.X.4]9VJ

X

课时精练

IR知识过关

一、单项选择题

1.已知a,bWR,则是“lna>lnb”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若“或动”，取。=1,6=0,但是In〃无意义，

所以由“3>\历”推不出“lna>ln〃'，

若“lna>ln>“，则a>6>0,

所以或

所以由“lna>lnb”可推出“也动”，

所以“血冲”是“lna>ln〃”的必要不充分条件.

2.已知a>0,匕>0,设加=。-29+2,n=2y[a—b,贝！J（）

A.B.m>n

C.〃?W〃D.tn<n

答案A

解析由题意可知，m—〃=〃-2或+2—2打+〃=（3—1产+（万一l）220,

当且仅当a=b=\时，等导成立，

即机2〃.

3.已知则下列不等式一定成立的是（）

b

A.a-<b7B.T>2

C.a2>b2D.\a\>\b\

答案B

解析取。=1,z?=-2,满足G>/?,显然有十,a42Vb2，⑷〈以成立，即选项A,C,D都不

正确；

指数函数y=2,为增函数，若心儿则必有2">2\B正确.

4.己知a<lxc,a+/?+c=0,则（）

A.ab<lrB.ac>bc

ca

C-rI<-ID-.--~-.

acc-bT<1

答案C

解析因为〃</xc,〃+力一。=0,所以。<0<c,〃的符号不能确定，当Z?=0时，方2,故

A项错误；

因为a<byc>0,所以ac<bc,故B项错误;

因为avO〈c,所以*,故C项正确;

因为所以一〃>—/?,所以c—G*c—/?>0,所以^—7>1,故D项错误.

c-b

5.若c>b>a>0,则()

A.小加「廿B.21n/?<lnc/+lnc

Ca>h

--a~bD.log(,c>log/,c

答案A

解析由于%=小一%'"=（9"丁所以成立，故A正确;

21nb=\nb2,In«+lnc=lnac,〃与“c大小不能确定，牧B错误;

由于"一'（"一京）=3一份（1+5卜。，故C错误；

令c=l,则lo&c=log/<=0,故D错误.

6.已知加=4,4=9,ow=o.8,则正数〃?，〃，〃的大小关系为（）

A.p>m>nB.m>n>p

C.m>p>nD.p>n>ni

答案A

]_2

解析由m5=4,得m=45=2,<啦,

由〃8=9,得〃=9'=3"

22x203)1I

5820

HLI"?2252「256、20

因此，7=­r<243J

-x20

3434

即也

由0.9P=0.8,得p=k）go,9（）.8>k）go,9（）.81=2,

干是得p>m>n,

所以正数〃，〃的大小关系为p>m>n.

二、多项选择题

7,下列结论中不正确的是（）

A.若ad>b3则公>6

B.若%!，则〃»

C.若a>b,c>d,则ac>bd

D.若2fL则小

答案BCD

解析acbbc，不等式两边除以/(cRO),则G>〃，故A正确；

取。=—1,b=l,满足方4，

又a<b,故B错误；

取。=1,b=O,c=O,d=—1,满足G>〃，c>d,又ac=bd,故C错误;

取。=2,b=l,满足

又a>b,故D错误.

8.已知实数x,y满足一3<x+2)<2,—l<2x__\<4,则()

A.—1<x<2B.—2<y<l

C.-3<x+y<3D.—l<x—j<3

答案ABD

解析因为一3<丫+2)<2,—!<2r—><4,所以一2<4x—2产8,

则一5<5x〈IO,即一l<x<2,故A正确；

X—4<—2.V—4y<6,—l<2x—>,<4,

所以一5<一5)<10,即一2<产1,故B正确；

3(x+2y)+(2A—.y),,拦尸

x+y—5£(—2,2),故C错陕；

一(x+2y)+3(2x-yi»一.4

x-y=----嗔二-----£(一1,3),故D正确.

三、填空题

9.已知。>0,-1<ZKO,则〃，ab,。〃由小到大依次排列是.

答案ab<ab2<a

解析因为a>0,-l</?<0,

所以ab<O,O<tr<1,0<ab2<a,

故ab<ab2<a.

10.若a,〃同时满足下列两个条件：

①。+冷出葡/上

请写出一组小的值.

答案a=-\,〃=2(答案不唯一)

解析容易发现，若将①式转化为②式，需使(a+b)ab<0,

即。+方与ab异号，显然应使白+〃>0,ab<0,

当avO,">0时，要使〃+比>0,则|切〈步|,可取〃=-1,b=2；

当。>0,X0时，要使。十〃>0,则间>|例，可取。=2,b=~\.

综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.

11.若一1va+A3,2<〃一从4"=2〃+力,则a的取值范围为；/的取值范围为

答案&2)T)

解析*/—1<a+/x3,2<«—b<4,

r17

•*.l<2a<7,,

又1=2〃十〃=|(〃+勿十/a一切，

33IQ

：•一2+1或(a+b)+?(a—b)]+2,

即VT号)

12.已知a>/>c,2a+b+c、=0,则押取值范围是.

答案(一3,—1)

解析因为a>0>c,2a+/)+c=0,故a>0,c<0,

所以沁卷,2+沔=0,

所以2,

所以有1>—2—

解不等式得一34〈一1,

故5的取值范围是(-3,-1).

四、解答题

13.(1)设比较台*与胃微的大小；

(2)已知a>b>0,cvdvO,e<0,求证：黄了黄=

2

.„.a一柠八〃一b八

⑴解：。〉“〉。，•・苏+层5aa+8丸

标一〃

.♦+〃(a+b)22ah

•・a-b<?+〃«24-/r2>，

a+h

,a2一〃a—>

*,«2+Z>2>a+b

(2)证明-c>—，/>0,

又a>b>0,

.\a-c>b—d>0,b-a<Otc-d<0,

又e<0,

.eEe(b—d)—e(a—c)e(〃-d—〃+c)e(〃-a+c—J)一

*a-cb-d(a—c)(b—d)(a-c)(b-d)(a-c)(b-d)

.ee

,c>b~d

14.已知实数”，。满足-3Wo+/?W2,-1W〃一)W4.

⑴求实数。的取值范围；

(2)求3a—28的取值范围.

解⑴a=；［(〃+Z?)+(〃一分］,

由-3Wa+bW2,—lWa—/?W4,得一4W(“+加+3—〃)W6,

:.一2这［(。+〃)+3—b)］W3,即一2WaW3,

故实数。的取值范围为［-2,3］.

(2)设3〃—2b=in(a+b)+n［a—b)=(m+n)a+(in—n)b,

-解得

:.3a—2b=2（a+b）+弓（。一b）,

•・・-3，+庆2,—

3155

工一5段55+8）W1,一弓或5（4一8）W10,

・・・一4.3