高考数学二轮复习专项突破（新高考版）空间点、直线、平面之间的位置关系

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系

［考情分析］高考对此部分的考查，•是空间线面关系的命题的真假判断，以选择题、填空

题的形式考查，属于基础题；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一

般以选择题、填空题或解答题的第（1）问的形式考杳，属中档题.

考点一空间直线、平面位置关系的判定

【核心提炼】

判断空间直线,、平面位置关系的常用方法

（1）根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.

（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并

结合有关定理进行判断.

例1（1）（多选）已知所，〃是两条不同的直线，Q，尸是两个不同的平面，则下列说法正确的

是（）

A.若mUa,nU.,则加〃〃

B.若机_La,“?〃〃，〃_!_£,则a〃夕

C.若al。，mUa,nC.fi,则

D.若机_La,/7,〃〃£,贝Ia_L//

答案BD

解析A选项，两个平行平面内的两条直线，可能平行，或者异面，A选项错误；

B选项，若m±a,nA-py则直线加，n对应的方向向量m,〃可看作a/的法向量，由于m//nt

又a,夕是两个不同的平面，则a〃夕，故B选项正确；

C选项，若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于两人平面交线的直线才垂直于另一个平

面，从选项中无法判断小，〃和交线的位置关系，因此机，〃可能相交但不垂直，平行，异面

但不垂直，C选项错误；

D选项，若〃仁0,又mA.a,根据面面垂直的判定定理，即有a邛,若相邛,由于m//n,"〃夕,

则机〃小过加任作一个平面，使其和£相交于直线c,根据线面平行的性质定理，m//cf

又〃?_La,则c_La,结合cU夕，即1_1_夕，故D选项正确.

（2）（多选）（2022•金丽衢十二校联考）每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图.若点

G,H,M,N分别是正八面体ABC。石厂的楂OE,BC,AD,/冰的中点，则下列结论正确的

是（）

A.四边形AECr是平行四边形

B.G〃与MN是异面直线

C.G”〃平面E4B

D.GHLBC

答案AC

解析连接AC,EF,BD.MH,EH,EM.则AC与£尸相交且相互平分，故四边形AEC”

为平行四边形，故A正确；

所以A£〃。尸.又G,H,M,N分别是正八面体A8CQEP的棱。£,BC,AD,8厂的中点，

所以GM〃AE,NH//CF,

且GM=1E,NH=；CF,

所以GM〃N”，且GM=NH,

所以四边形MNHG是平行四边形，故B错误；

易证平面MM/G〃平面EAB,

又G”u平面MNGH,

所以G”〃平面£48,故C正确；

因为E〃_L4C,MHBC,EHCMH=H,

所以平而EMH,

而G尔平面EM”，GHC\EH=H,

所以G”与BC不垂直，故D错误.

规律方法对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线

面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；

若得出矛盾，则假设不成立.

跟踪演练1（1）（多选）（2022•湖南师大附中模拟）在长方体ABC。-AiBiG。中，直线41c与

平面的交点为M,。为线段囱。的中点，则下列结论正确的是（）

A.A,M,。三点共线

B.M,O,Ai，A四点共面

C.B,Bi，O,M四点共面

D.A,O,C,M四点共面

答案ABD

解析如图，因为A4i〃CG,贝lA,A”Ci,C四点共面.

因为MW4C,所以ME平面4CG4,又MW平面A⑶。】，则点M在平面ACG4与平面

ABiDi的交线上，

同理，O,A也在平面ACGA与平面AS。的交线上,

所以A,M,O三点共线，从而M,O,4,A四点共面，A,O,C,M四点共面.

由长方体性质知，0M,是异面直线，即B,Bi,。，M四点不共面.

(2)设点E为正方形ABC。的中心，M为平面ABCD外一点，△MA6为等腰直角三角形，且

NMA8=90。，若产是线段M8的中点，则()

A.ME^DF,且直线。尸是相交直线

B.ME=DF,且直线ME。产是相交直线

C.ME于DF,且直线用£。尸是异面直线

D.ME=DF,且直线ME,。尸是异面直线

答案B

解析连接EE

如图所示,

由题意知48_LA£>,

ABA.AM,AM=AD,

AB=AB,

则口△8AM也RtZ\B4。,

所以BM=BD,

・・・8G_L平面AB}C.

(2)如图，取AA的中点居连接DF,EF,

•・•四边形AAGC为矩形，E,尸分别为CC,A4的中点,

：.EF//ACf又£72平面A6C,AO-平面A5C,

•••EF〃平面A8C,

同理可得。尸〃平面48C,

•:EFCDF=F,EFU平面OE/，。尸u平面OER.•.平面。后/〃平面A8IC,

•・•DEU平面DEF,・•・。石〃平面AB\C.

规律方法(1)证明线线平行的常用方法

①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理.

(2)证明线线垂直的常用方法

①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直.

跟踪演练2(2022•西安模拟)如图，在直三棱柱ABC-AiB\C\中，M,N分别是线段A\B,

AG的中点.

⑴求证：MNLAAi；

(2)在线段BG上是否存在一点尸，使得平面MNP//平面ABC?若存在，指出点P的具体位

置：若不存在，请说明理由.

⑴证明连接AC,如图，因为在直三棱柱ABC-A由Ci中，A4GC为平行四边形，

故AC和4G相交，且交点为它们的中点N,

又因为M为A用的中点，

所以A/N为△人出。的中位线，

所以MN//BC.

因为4A|_L平面ABC,8CU平面ABC,

所以4A_LBC,所以

即MNLAAi.

⑵解存在，当P为8G的中点时，

平面MNP〃平面ABC.

连接尸N,尸M,如图，

因为N为AG的中点，尸为BG的中点,

所以PN//AB,

又PNQ平面ABC,

4BU平面ABC,

所以PN〃平面ABC,

又由（1）知MN〃3C,3CU平面A3C,

MMI平面ABC,故A/N〃平面ABC,

又MNCPN=N,MN,PNU平面PMN,

所以平面MNP//平面ABC.

考点三翻折问题

【核心提炼】

翻折问题，关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”

同侧的点、线、而之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位

置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图

形中解决.

例3（1）（2022・南宁模拟）已知正方形A8CO中E为48中点，H为AD中点,F,G分别为

BC,C。上的点，CF=2FB,CG=2GD,将△ABD沿着8。翻折得到空间四边形A18CD,则

在翻折过程中，以下说法正确的是（）

A.EF//GHB.E尸与G"相交

C.E尸与G”异面D.EH与FG异面

答案B

解析如图，由C尸=2/况CG=2GD,

2

得FG//BD且FG=^BD,

由E为AB中点，H为AD中点，

得EH//BD且EH=；BD,

所以EH〃FG,且EHRFG,

所以四边形EFG”为梯形.

梯形EFG”的两腰EF,HG延长必交于一点，

所以EF与GH相交，EH与尸G平行,

故选项A,C,D不正确，选项B正确.

（2）（多选）（2022•山东名校大联考）如图，在矩形/1BCD中,AB=2AD,E为边人8的中点,将&WE

沿直线DE翻折成若M为线段4c的中点，则在石翻折的过程中，下面四个命

题中正确的是（）

A.的长是定值

B.点W的运动轨迹在某个圆周上

C.存在某个位置，使。E_L4C

D.A不在底面OC。上时，A/4〃平面八QE

答案ABD

解析如图所示，取CQ的中点凡

连接MF,BF,AC,

A

M

AEB

易得M尸〃4。，BF//DE,

•.•“网平面AQE,AQU平面AIOE,

.•・M”〃平面4OE,

同理可得BF〃平面AiDE,

又M广A8F=F,MF,BFU平面BMF,

・•・平面〃平面AiDE,

「BMU平面BMF,

・・・8M〃平面4OE,D选项正确；

又NBFM=NAiDE,

M〃=）|O=定值，BF=DE=定值,

由余弦定理知，

MB2=MF?+BF2-2MF・BFcosZMFB,

・・・BM为定值，A选项正确；

・••点M的运动轨迹在以点B为圆心，8W为半径的圆周上，B选项正确；

•••AC在平面4BCD中的射影在直线4C上，且AC与。E不垂直，

・•・不存在某个位置，使OEJ_AiC,C选项错误.

易错提醒注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变

的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系云探求变化后的元素在空间中的位置

与数量关系.

跟踪演练3（多选妆口图，在矩形A4c。中，BC=1,AB=x,8。和AC交于点。，将ABAO

沿直线BO翻折，则下列说法中正确的是（）

A.存在上,在翻折过程中存在某个位置，使得A8_L0C

B.存在x,在翻折过程中存在某个位置，使得ACJ_B。

C.存在x,在翻折过程中存在某个位置，使得A8_L平面ACO

D.存在x,在翻折过程中存在某个位置，使得4C_L平面A4Q

答案ABC

解析当AB=%=1时，此时矩形A8CO为正方形，则力C_L8Q,

将△840沿直线3。翻折，当平面43。_L平面4c。时，

因为OCLBD,0CU平面BCD,平面人8DA平面BCD=BD,

所以OC_L平面八以），又仁平面A8Z）,

所以A8_L0C,故A正确；

又0C1BD,OAA.BD,J.OAQOC=O,OA,OCU平面OA。，

所以B/）_L平面OAC,又八CU平面OAC,所以人C_LBO,故B正确；

在矩形A8CO中，AB1AD,ACRl+V

所以将△84。沿直线BO翻折时，总有AB_LAO,

取x=g,当将△氏W沿直线即翻折到小。=坐时，有AB2+AC2=8C2,

即48J_AC,且ACO4O=A,AC,AOU平面AC。，则此时满足48，平面AC。，故C正确；

若4CL平面AB。，

又AOU平面A8O,则AC_LAO,

所以在△AOC中，OC为斜边，这与OC=O人相矛盾，故D不正确.

专题强化练

一、单项选择题

1.（2022・龙岩质检）已知三条直线mh,c,若。和b是异面直线，6和。是异面直线，那么

直线。和c,的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.平行、相交或异面

答案D

解析画图分析可知空间直线的三种位置关系均有可能，故D正确.

2.（2022.湖北八市联考）设a,6为两个不同的平面，则a〃6的-一个充要条件可以是（）

A.a内有无数条直线与用平行

B.4垂直于同一个平面

C.«,“平行于同一条直线

D.a,/?垂直于同一条直线

答案D

解析对于A,a内有无数条直线与Q平行不能得出a〃外。内的所有直线与〃平行才能得

出，故A错误；

对于B,C,a,£垂直于同一平面或a,4平行于同一条直线，不能确定a,£的位置关系，

故B,C错误：

对于D,明〃垂直于同一条直线可以得出a〃夕，反之，当。〃尸时，若a垂直于某条直线，

则尸也垂直于该条直线.

3.正方体上的点M,N,P,Q是其所在棱的中点，则下列各图中直线MN与直线PQ是异

面直线的图形是（）

答案B

解析对于A,易证MQ4NP,所以A不符合题意;

对于B,如图，因为平面ABC。〃平面

WNU平面AAiGOi,PQU平面4BC。，

所以MN与PQ无公共点，

因为MN与PQ不平行.

所以MN与PQ是异面直线，所以B符合题意；

对于C,易证PM//NQ,所以C不符合题意；

对于D,易证MN〃0Q,所以D不符合题意.

4.（2022・华中师大附中模拟）如图，在正方体A4CO—4由CQ中，P是4。的中点，则下列

说法正确的是（）

A.直线PB与直线小C平行，直线PB_L平面4G。

B.直线PB与直线4c异面，直线PB_L平面AQGS

C.直线03与直线相交，直线P3U平面A3G

D.直线尸B与直线4。匪直，直线P8〃平面BIQIC

答案D

解析如图，连接08,AB,OS,DiC,BCPB,AC,DCi,AS,

由正方体的性质知，

A}B//DsC,

又44与P8相交，

所以P8与小。不平行，故A错误；

显然，直线PB与直线AC异面，直线48_L平面AOGBi,

而直线。8与A出不平行，

所以直线夕4不与平面AQC囚垂直，故B错误；

直线尸8与直线Bi。异面，不相交，故C错误；

因为84=8。，P是4。的中点，

所以直线04与直线4。更直，

又DB//DB,A\B〃D\C,

O的平面BMC,D网平面囱DC,

AiBCDB=B,AiB,Q8U平面3DAi,

DCDC<=平面>DC,

所以平面8D4〃平面&DC

又P8U平面BOA,

所以直线P/3〃平面BIOIC,故D正确.

5.如图，在四边形48CO口，AD//BC,AD=AB,NBCD=45。，NR4O=90。，将△AB。沿

8。折起，使平面A3。_L平面BCD,构成三棱锥A—8CD,则在三棱锥A—8C。中，下列结

论正确的是（）

A.平面ABOJ_平面ABC

B.平面AOC_L平面8OC

C.平面A8C_L平面8OC

D.平面ADC_L平面ABC

答案D

解析如图所示，因为4D〃BC,N84O=90。，AD=AB,

所以四边形A4C。为直角梯形.

且NABD=NADB=ZD5C=45°.

又因为N8CD=45。，

所以NC£>8=90。，即CO_LBO.

又因为平面平面BCD,

平面A8QCI平面BCD=BD,

CDU平面BCD,CD1BD,

所以CQ_L平面ABD,

若平面A8C_L平面48。，那么CQU平面4BC,显然不成立，故A错误；

因为CD_L平面ABD,A8U平面A8O,

所以CDLAB.

又A8_LAO,ADQCD=D,AD,CQU平面A。。，

所以AB_L平面AOC.

又因为ABU平面ABC,

所以平面ABCJ_平面AOC,故D正确；

因为平面4BO_L平面8CQ,过点A作平面3co的垂线4E,垂足£落在8。上，显然垂线不

在平面48c内，所以平面44c与平面3QC不垂直，故C错误，同理B也错误.

6.（2022・中山模拟）如图,在棱长为2的正方体ABCD-A\BiCiDi中，过6出且与6G平行的

平面交所G于点P,则尸。等于（）

C.^2

答案D

解析连接ABi,交AiBq点Q,连接以I,PB,PQ,如图所示.

因为AG〃平面A山P,

ACU平面4BiG,

且平面ABiGC平面MBP=PQ,

所以AG〃PQ,又点。是ABi的中点，

所以P是小G的中点，

所以PCi=l.

二、多项选择题

7.(2022・邵阳模拟)如图，在空间四边形4BCD中,E,尸分别为AB,AO的中点，G,H分别

在BC,CD上，且8G：GC=DH:HC=1：2,贝ij()

A.8。〃平面EG"/7

B."7〃平面人8C

C.AC〃平面反汨产

D.直线GE,HF,AC交于一点

答案AD

解析因为BG：GC=DH:HC,

所以GH//BD.

又E,〃分别为A8,A。的中点，

所以E7"BO,且EF=4BD,所以E产〃G”.

易知〃平面EG/7F,尸”与AC为相交直线，即A正确，B,C错误;

因为EF”G为梯形，所以EG与产〃必相交，设交点为M,

因为EGU平面A3C,平面ACO,

则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，

所以M£AC,即直线GE,HF,AC交于一点，

所以D正确.

8.如图1,已知E为正方形A8CO的边A8的中点，将△以£沿边。E翻折到△PDE,连接

A.存在某一翻折位置，使得。七〃平面PBC

B.在翻折的过程中(点P不在平面8CQE内)，都有8尸〃平面PDE

C.存在某一翻折位置，使得尸£_LCD

D.若PD=CD=PC=4,则三棱锥尸一。。后的外接球的表面积为华

答案BCD

解析对于A选项，取OC的中点G,连接BG,因为BE//GD,。石=。。，所以四边形DEBG

为平行四边形，所以OE/'GB,而8G与平面PBC相交，所以DE与平面P8C相交，故A

错误；

对于B选项，连接卜G,则NG〃尸。，由D七〃G6,易证平面8NG〃平面£7〃人而4NU平面

BFG,所以8r〃平面PDE,故B选项正确；

对于C选项，因为PE_LP。，要使得PE_LCO,贝ij尸石_1_平面PCO,贝iJPE_LPC,而EC=ED,

此时，只需要PC=尸。即可，故C选项正确；

对于D选项，由PO=CD=PC=4可知，

。七_1_平面PC。，PE=2,

设的外接圆半径为r,

设三棱锥P—CQE的外接球半径为R,

则R2=，+(^)2=(¥)+I=¥，所以三棱锥P-COE的外接球的表面积为47次2=华,

故D选项正确.

三、填空题

9.己知/是平面"，』外的直线，给出下列三个论断；①/〃四②a工花③2_L/7.以其中两个

论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：.（用序号表示）

答案若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）

解析因为当/〃a,时，/与4可能平行或者相交，所以①©作为条件，不能得出③；

因为l//at所以a内存在一条直线〃?与/平行，又1邛,所以加_L。，所以可得。_1小即①③

作为条件，可以得出②；

因为aJ_.,所以/〃a或者/Ua,因为/是平面a外的直线，所以/〃叫即②③作为条

件，可以得出①.

10.三棱锥A-8C。中，AB=CD=\,过线段8c的中点E作平面EFG”与直线AB,CD都

平行，且分别交8。，AD,AC于F,G,H,则四边形EPG”的周长为.

答案2

解析因为48〃平面EFG”,平面A8CA平面E尸G”=E”，A8U平面ABC,

所以又点、E为BC中点、,所以石，为△48C的中位线，故石”=/^=/

同理，EF=FG=GH=3,

所以四边形EFG”的周长为2.

11.己知三棱台ABC—A/iC的_£、下底面均为正三角形，AB-\,A1i-2,侧棱氏AA］一

BBi=CG，若则此棱台的高为.

答案乎

解析由已知可得该三棱台为正三棱台，

P

还原成棱锥如图所示，由于下底边长是上底边长的两倍，

・•・大棱锥的高为棱台的高的两倍，取的中点。，BiG的中点连接尸。，DDi,AD,

Ai。，O,Oi分别是上、下底面的中心，连接尸。，OO］.

易知P,D,A三点共线，P,O,0］三点共线.

OOi即为该棱台的高.

由正棱台性质可得8C"L产"，BC工PO,

POQPD\=P,

PO,PQ|U平面PDA,

：・BC_L平面PGA,RhU平面面D[A],

又・・・A4I_L8BI,

BB\CBC=B,BBi,8CU平面。81G,

故44_L平面PBiCi,

：.A]P±PDi.

==

又AB19A\B\2,

i92

AD再AB=呼,

。0=%。=乎=001.

12.如图，把边长为"的正方形48CO沿对角线8。折起，使A,。的距离为小则异面直线

AC与BD的距离为.

答案f

解析如图，分别取4C,8。的中点S,E,连接4七，CE,SB,SD,SE.

则AE_LBO,CE上BD,

又AEACE=E,AE,CEU平面ACE,

则RDI平面ACE,则SEIRD,

ACJ_S。，ACA.SB,

又SDCSB=S,SD,SBU平面5B。，

则ACL平面SB。，则SE_LAC,

则S£是异面直线AC与BD的公垂线段,

在△S8D中，SB=SD=g~a,BD=®i,

则

则异面直线AC与3。的距离为与

四、解答题

13.(2022•全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD1CD,AD=CD,NADB=NBDC,E为

AC的中点.

(1)证明：平面8EQ_L平面4CZ)；

(2)设A8=8Q=2,/ACB=60。，点”在8。匕当△AFC的面积最小时，求三棱锥/一A8C

的体积.

⑴证明因为AO=CD,E为AC的中点，所以ACLOE.

在△AQB和△CQ8中，因为AQ=CZ),ZADB=ZBDC,DB=DB,

所以△AQB丝△C。。，所以ZM=8C,

又七为AC的中点，所以AC_L8E

因为BECDE=E,且BE,。&=平面8E。，所以AC_L平面8EO,

又ACU平面ACQ,

所以平面平面ACD.

⑵解由⑴可知84=8C,又因为NAC8=60。，A8=2,所以△ABC为边长为2的正三角形，

则AC=2,BE=事,AE=\.

因为AO=CQ,ADLCD,所以△8/)(?为等腰直角三角形，所以。E=l.

又BD=2,所以B»=BE?+DE,

所以DE上EB.

连接E"图略)，易知当△△人?的面积最小时，E尸取最小值，

在RI△鹿D中，夕"的最小值为E到5。的距离，故当XAFC的面积最小时，石尸="^=里.

DU2

2

由射影定理知EF=DFFBt

又D