高考数学一轮复习讲义：平面向量与复数 第4节 复数

第4节复数

考试要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代

数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式

的加、减运算的几何意义.

知识诊断,基础夯实

知识梳理

1.复数的有关概念

⑴定义：形如〃+例（小b£R）的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,〃叫做

复数z的虚部（i为虚数单位）.

（2）分类：

项目满足条件3,为实数）

a^b\为实数u>/?=0

复数的分类a-\-b\为虚数u>h#0

a~\~bi为纯虚数<=>〃=0且/?W0

(3)复数相等：a+〃i=c+di=a=c且b=d(a,b,c,d£R).

(4)共他复数：加与共加b=—d(a,b,c,R).

(5)模：向量化的模叫做复数z=〃+bi的模，记作|〃+历|或|z|,即|z|=|a+bi|=

2.复数的几何意义

<---对应.

(1)复数z=o+〃i复平面内的点zm,b)(a,z?eR).

W---对应a

(2)复数z=a+〃im，bER)平面向量段.

3.复数的运算

(1)运算法则：设zi=a+/?i,Z2=c+di,a,b,c,d£R.

zi±Z2=(。+历)土(c+di)=(a±c)+(〃±d)i.

zi・Z2=(a+〃i)(c+c/i)=(“c-bd)+(Oc+ad)i.

zia~\-h\ac+bdbc-ad

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即

常用结论

Li的乘方具有周期性

4w4,,，，4n+24w+3

i=1,i=i,i=-l,i=-i,i^+i4n+l-|-i4/J+2+i4,I+3=0>nGN*

o1+i1-i

2.(1±i)2=±2i,y-=i；yq-'=—i.

3.复数的模与共辄复数的关系

z-z=|z|12=|z|2.

4.两个注意点

⑴两个虚数不能比较大小；

(2)利用复数相等〃+方=c+"i列方程时，注意a,b,c,4WR的前提条件.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)复数z=a+历(ab£R)中,虚部为加.()

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()

(3)原点是实轴与虚轴的交点.()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的

向量的模.()

答案(l)X(2)X(3)V(4)V

解析(1)虚部为匕；(2)虚数不可以比较大小.

2.（2021.全国II卷）复数:在复平面内对应的点所在的象限为（）

JLJ1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A

解热=（；「；）（窑；）二哥^空,所以该复数在复平面内对应的点

为［｝，3,该点在第一象限.

3.(2021・新高考I卷)已知z=2—i,则z(z+i)=()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

答案C

解析因为z=2-i,所以z(z+i)=(2-i>(2+2i)=6+2i,故选C.

4.(2021•全国甲卷)已知(l—i)2z=3+2i,则z=()

3

-1-B-1+-

AC.2

33

--+---i

容2D.2

案E

3+2i3+2i3i-2

解析z=(1-i)2=^2F="T-=-1

5.（易错题）已知复数zi满足（2—i）zi=6+2i,zi与Z2=/n—2疝加,〃£R）互为共桅复

数,则zi的虚部为,m+n=.

答案23

6+2i(6+2i)(2+i)10+lOi

解析由(2—i)zi=6+2i,得zi==2+2i,则

2—i(2—i)(2+i)5

Z2=2—2i,则机=2,〃=1,所以m+〃=3.

6.如图所示，在复平面为，复数zi和Z2对应的点分别是A和'则停=

答案D

II-1-iii]

解析Vz=—i+i,/,-=-73—=—~rj~7~~：~~丁=-5—5.则:对应的点

z—1+1(—1+1)(—1—1)22z

在第三象限，故A错误；

|z|=V2,|z+l|=l,故B错误;

z的虚部为1,故C错误；

z+z=—2<0,故D正确.

感悟提升1.复数z=〃+/?im,b£R),其中db分别是它的实部和虚部.若z为

实数，则虚部/?=(),与实部。无关；若z为虚数，则虚部hWO,与实部。无关；

若z为纯虚数，当且仅当。=0且

2.复数z=〃+0i(a,/?£R)的模记作|z|或|〃+/川，即|z|=|〃+/?i|=，？TP.

3.复数z=a+历(出8ER)的共机复数为z=。一历，则z-z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=

,\jz-z,若z£R,0']z=z.

利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.

考点二复数的几何意义

例1⑴设复数z满足|z-i|=LZ在复平面内对应的点为(斯y),则()

A.(x+i)2+r=1B.(X-I)2+/=1

C.f+。，-1)2=1D.X2+。，+1)2=1

(2)(2022・渭南质检)已知含=-1+为其中小〃是实数，则复数。一次在复平面

内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案(1)C(2)B

解析(1)由已知条件，可设z=x+)，i(x,)，£R).

V|z-i|=l,・・・|x+)，i-i|=l,

••・f+S—1)2=1.故选c.

(2)由—1+〃i,

1—1

得a=(~1+M)(1—。=(8-1)+3+l)i,

8+1=0,

即〃=—2,b=-1,

[a=b—\,

，复数。一bi=-2+i在复平面内对应点(一2,1),位于第二象限.

.---对应.

感悟提升1.复数z=a+bi(a,Z?eR)Z(a,b)

＜一—一对^^一

OZ=(afb).

2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合

的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.

训练1(1)如图，若向量应对应的复数为z,则z+§表示的复数为()

A.l+3iB.-3-i

C.3-iD.3+i

(2)(2021•郑州模拟)已知复数zi=|:1在复平面内对应的点为A,复数Z2在复平面

内对应的点为区，若向量油与虚轴垂直，则Z2的虚部为

4

答案(1)DQ)一^

解析(1)由图知花=(1,-1),・・・z=l-i,

4.,4…4(1+i)

/.z+-=1—i+^j7=~i•、=3+i.

zl—i(l—i)(1+1)

、2-i(2-i)234.

(2)zi=不=(2+i)(2—i)=厂7

所以A修

设复数Z2对应的点8a0,)x)),

川+3

又向量油与虚轴垂直，

44

.,.州+5=0,故Z2的虚部）唱=一亍

考点三复数的四则运算

例2⑴（2021•全国乙卷）设iz=4+3i,则z=（

A.-3-4iB.-3+4i

C.3-4iD.3+4i

⑵（2020・新高考山东卷）"舌=（）

A.lB.-lC.iD.-i

答案（1）C（2）D

解析（1）法一（转化为复数除法运算）

4+3i(4+3i)(—i)—4i—3i2

因为iz=4+3i,所以z=•=-=3—4i.故选3

1i(-i)

法二（利用复数的代数形式）设z=〃+Z7i（a,Z?eR）,则由iz=4+3i,可得i（o+

州）=4+3i,即一〃+ai=4+3i,所以＜‘即1'所以z=3—4i.故选

[〃=3,U）=—4,

C.

法三（巧用同乘技巧）因为iz=4+3i,

所以iz/=（4+3i）・i,所以一z=4i—3,

所以z=3—4i,故选C.

2-i(2-i)(l-2i)2-2-5i

(2)法l+2i=(l+2i)=5~

法二利用i2=-l进行替换，则急AX1%；）-二带声

-i(l+2i)

选D.

l+2i

感悟提升1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分

子分母同乘以分母的共税复数，注意要把i的簇写成最简形式.

2.记住以下结论，可提高运算速度：

[IijJ

（l）（l±i）2=±2i;（2）口=i;（3）帚=一“（4）-b+ai=i（a+万）；（5）i4"=l,i4w+,

=i,i4/,+2=—1,产〃+3=_[(〃£N).

训练2⑴(l+2i)(2+i)=()

A.-5iB.5iC.-5D.5

z2+2

⑵(2022・乌鲁木齐模拟)已知复数z=l+i(i是虚数单位)，则丁力■等于()

A.2+2iB.2-2iC.2iD.-2i

答案(1)B(2)B

解析(1)(l+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=2+5i-2=5i,故选R.

z2+2(1+i)2+22+2i(2+2i)(-i)

(2)7'='_77j=：=72=2-2i.

,7Z—11+1—1I—r

I分层训练,巩固提升

A级基础巩固

1.（2020・浙江卷）已知a£R,若。-1+3-2）论为虚数单位）是实数，贝I」〃=（）

A.IB.-lC.2D.-2

答案C

解析因为。-1+（〃-2）i是实数,

所以。一2=（）,所以。=2.

2.设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析z=-3—2i,故z对应的点（一3,—2）位于第三象限.

3.（2022・昆明诊断）在复平面内，复数z=l+i的共匏复数对应的向量应，为

答案c

解析由题意，得Z=l—i,其在复平面内对应的点为(1,-1),所以改三(1,

一1).故选C.

4.已知复数z=〃+为(m/;eR),本是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关

系式为()

A.a+b=OB.q-/?=0

C.a-2b=0D.a+2〃=0

答案B

je?,za-\-b\(。+加)(1—i)

斛析因为z=ab\(a,Z?eR),=(]+:~(一,=

〃+/?+(。-a)i

-------2-------£R，

所以/?一〃=(),即〃一力=().故选B.

5.如图，复数zi,Z2在复平面上分别对应点A,则z「Z2=()

y

Af----2

•B1

"^ic

A.OB.2+i

C.-2-iD.-l+2i

答案C

解析由复数几何意义，知zi=-l+2i,Z2=i,；・zrz2=i(—l+2i)=-2—i.

6.(2021♦全国甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z=()

33

_-

-M2

A.Z

3

-•

-2n

D.

答案B

3+2i3+2i(3+2i)i3i~2।3.立3c

解析2=(If2=\T=_2i.i=—1+?•故选B

13—4i|

7.（2021•河南部分重点高中联考）若复数。十:是纯虚数，则。=（）

A.-3B.-2C.2D.3

答案B

13—4115(2—i)

解析a+_1_.=tz+z_1_.>.一有一77—=cz+2—i为纯虚数.则〃+2=0,解得

02十1(20十1)(2—1)

=一2.

1<l-iV021

8.已知i是虚数单位，若z—,贝U|z|=()

A.lB.6C.2D.小

答案C

解析；1=1—=i7=一入币1—j=71而(|—i)2=—亍2i=_「所以((I—不]^J2021=

1<1—iV021

(―i)2021=(一i严X4-I=_j,所以由,得z+i=—i,z=-2it

所以|z|=2.故选C.

Q一：

9.i是虚数单位，复数3=.

答案3-2i

4阻*『8-i(8-i)(2-i)15-101

解析依题意行不=(2+i)(2—i)=-7一=

10.已知复数z=1—2i（i为虚数单位），则|z|=.

答案V5

解析由z=l—2i,得|z|=N"+（—2）2=小.

11.（2022・江西省八校联考）已知复数2满足（2+以=2—3。则|z|=.

答案3也

解析因为（z+i）i—2—3i,所以zi—l—2—3i,所以zi—3—3i,所以z一

-3-3i,所以|z|=3，i

12.在复平面内，。为原点，向量所对应的复数为-1+2。若点A关于直线）,=

一x的对称点为3,则向量协对应的复数为.

答案-2+i

解析因为4（一1,2）关于直线y=-x的对称点3（—2,1）,所以向量协对应的

复数为-2+1

B级能