高考数学二轮复习专项突破（新高考版）培优点7 概率与统计的创新问题

培优点7概率与统计的创新问题

概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，

主要考杳学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判

断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解.

考点一概率和数列的综合

例1某商城玩具柜台五--期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以

赠送节日礼物，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶4,4,小中的一

个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶3,B2中的一个.

⑴记事件E,：一次性购买〃个甲系列盲盒后集齐玩偶A，A2,A3玩偶；事件6：一次性购

买n个乙系列盲盒后集齐Bit&玩偶.求概率尸（后）及尸（匕）;

⑵某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时.，

只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的

概率为*购买乙系列的概率为右而前一次购买甲系列的消费者卜一次购买甲系列的概率为1,

购买乙系列的概率*,前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为:，购买乙系

列的概率为:；如此往复，记某人第〃次购买甲系列的概率为

①求｛Q”｝的通项公式；

②若每天购买盲盒的人数约为100,且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估

计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.

解（1）若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为集齐4,42,小玩偶，则

有两种情况：

①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有©CgA之种结果；

②其中两个玩偶各2个，另外一个玩偶1个，则有cjcga种结果，

「，…60+9015050

改尸（0一35—243-243-81;

若一次性购买4个乙系列肓盒，全部为丛与全部为&的概率相等，均为

故P（8）=1-*-*=（♦

9

(2)①由题可知,Q\=y

当时,

=Q，LI）=；一愿7，

则QlW，

即《。〃一靓以会为首项，以一（为公比的等比数列.

所以Q”_'=Wx（一；）"」

即Q〃=I+M（-%

②因为每天购买盲盒的10D人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲

9

盒时，可看作〃一+8,所以其购买甲系列的概率近似于§

假设用C表示一天中购买甲系列盲盒的人数，

则小〜3（100,1）,

所以E©=100X5=40,即购买甲系列盲盒的人数的均值为40,所以礼品店应准备甲系列盲

盒40个，乙系列盲盒60个.

规律方法本题的关键是通过审题，找到第八次购买与前一次购买之间的联系，从而找到数

列的递推关系.

跟踪演练I（2022•青岛模拟）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，

每次有放网地任取一个.连续取两次,将以卜过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是

白球，则该轮记为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，

在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.

（1）某人进行该抽球试验时.最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球

试验的轮次数为随机变量X,求X的分布列和均值；

（2）为验证抽球试验成功的概率不超过;，有1000名数学爱好者独立地进行该抽球试验，记/

表示成功时抽球试验的轮次数，），表示对应的人数，部分统计数据如下：

ti2345

y23298604020

求），关于f的经验I可归方程;，=4+；并预测成功的总人数（精确到1）;

⑶证明：/+(1—别+(J—3(iTH+…+0_31…0

附：经脸回归方程系数：b=

a=y~bx；

5_一]_15

参考数据：»d=1.46,x=0.46,x2=0.212（式中为=：,x=与£：）.

LlLl

(1)解由题知，X的取值可能为123,

所以尸(X=l)=⑤)2=；；

P（X=2）=[l-（既陶2==;

P（X=3）=[1-闿2[1_®＞卜奈

所以X的分布列为

X123

112

P

4n3

|1?

所以E（X）=1XT+2X—+3X^

•H4J

_3+2+24_29

=

二-V2-T2-

IAAA

⑵解令为=7，则）="+〃，

5_

由题知1＞必=315,y=90,

尸i

5_____

EW，L5xy

Ai=l

所以----------

i^7—5x2

»=i

315-5X0.46X90108

=-----------------=---=97（）

1.46-5X0.2120.4“山，

AA

所以。=90—270X0.46=-34.2,y=270x—34.2,

故所求的经验回归方程为）“，=宁270一34.2,

②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率

„CjClCj9

P2="CIcT=25*

③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率

DC近9

P3-C?C5-5O,

39933

故所求概率P—+行+/北

⑵设强化训练后，规定作品入选的概率为0,创意作品入选的概率为〃2,

433

则---

PI55O2

由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为

P=C加i(1—〃i>C弼+C弼C如(1一㈤+dpi-dpi=2pi/Mpi+〃2)-3slp2)2

=3PIP2—3(pip2)2»

*

叶=

3

-

1UP423

P1后-2,-

-U〃5,P25

即尹3〃2话4,33

79

即“2W而，而,

4037

故可得写WpiW元，5^2^7O*

•••〃必£岛，热

令P/2=1，

则尸")=_3.+3，=_3，一02+,在［第,首］上单调递减,

JP⑺“匐=-3X陶2+舒

•・•该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X〜B(5,P),

315

.•.E(X)=5Pv5X：=才<4,故该同学没有希望进入决赛.

易错提醒构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的

限制.

跟踪演练2(2022・新余模拟)学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一

项为“四人赛活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，

获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获

胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛

获胜的概率为:；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为

P，；.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比

赛互不影响.

(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值：

(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为

fip).求〃为何值时，火〃)取得最大值.

解(1)X可取5,6,7,8,9,10,

P(X=5)=C2X&=e

P(X=7)=C?xg)xg)3=4

P(x=8)=dxg)x(Q2=A

P(X=9)=GxR)4x尹卷

1

32,

分布列为

X5678910

155551

p

323216T63232

所以E(X)=5x]+6xW+7X/+8X0+9xW+10x]=7.5(分).

(2)设一天得分不低于3分为事件A,

则P(A)=1—(1一〃)(1一护1一知一「)=得」,

则恰有3天每天得分不低于3分的概率

%E(竽)&竽>

40

=243(2p+1"(I—p)2,0<p<l,

404040

则，(P)=峦X6(2p+1)2(1—〃)2_而乂2(2〃+1)3(1—〃)=而(2〃+1)2(1—p)(4—10p),

2

当Ov/冷时，f(p)>0：

2

当qvpvl时，f(p)<0,

所以函数./(〃)在(o,号上单调递增，在(刍1)上单调递减,

2

所以当P=q时，_/(〃)取得最大值.

专题强化练

I.(2022.湖北八市联考)2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3：2逆转击败

韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6：5惊险战胜

日本女足，其中门将朱铳两度扑出日本队员的点球，表现神勇.

(I)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个

方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门招即使

方向判断正确也有刎可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三

次扑出点球的个数X的分布列和均值：

(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、74名女足队员在某次传接球的训练

中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随

机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第〃次传球之前

球在甲脚下的概率为易知"=1・/>2=6

①试证明］〃.一分为等比数列；

②设第〃次传球之前，球在乙脚下的概率为小，比较与切0的大小.

⑴解依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为〃=gx；X3xg=/

门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0』,2,3,易知X〜B(3,!)，

P(X=k)=C§X⑸X(沪:k=O,1,2,3.

则X的分布列为

X0123

1252551

P

2167272216

E(X)=3X14.

⑵①证明第〃次传球之前球在甲脚下的概率为〃〃，

则当〃22时，第5—1)次传球之前，球在甲脚下的概率为小一,第(〃一1)次传球之前，球不

在甲脚下的概率为1一〃“7,

则Pn=PlO+(l-p〃-l/=—

从而Pn—7=—7)?

I3

乂PLW=不

・•・{〃”一步是以引为首项，一：为公比的等比数列.

②解由①可知〃产氐一犷+1

“io=5(|一〃io)西，故〃io〈qio.

2.某网络购物平台每年11月II日举行“双十一”购物节，当天有多项优惠活动，深受广大

消费者喜爱.

(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如卜表：

年份20182019202020212022

成交额(百亿元)912172127

求成交额M百亿元)与时间变量M记2018年为x=l,2019年为x=2,…依此类推)的经验回

归方程，并预测2()23年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元)；

⑵在2023年“双十一”购物节前,某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A,

B两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A,B两店订单“秒杀”成功

的概率分别为P，〃，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.

①求X的分布列及石(X)；

②已知每个订单由k(k22,k@N*)件商品VV构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品VV总

_.7t.n

7sinysinv

数量为匕假设〃=一17一一含q=F~，求石⑺取最大道时正整数火的值.

〃____

力xy

AAAA)A

附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为〃=------------,a=

x2

y-hx.

解(1)由已知可得x==3»

—9+12+17+21+27

)，:5二172

5

»曲=1X9+2X12+3X17+4X21+5X27=303,

i-l

£\7=12+224-32+424-52=55,

1=1

5__________

£孙「5xy