高考数学一轮复习题型突破：求轨迹方程（解析版）

专题9.7求轨迹方程

SI题型目录

题型一直接法

题型二定义法

题型三相关点法

题型四交轨法

题型五参数法

题型六点差法

题型七利用韦达定理求轨迹方程

才典例集练

题型一直接法

例1.（2022秋.高三课时练习）若动点。到定点尸（1,0）和直线/："0的距离相等，则动点P

的轨迹是（）

A.线段B.直线C.椭圆D.抛物线

【答案】B

【分析】设动点尸的坐标为“，），），由条件列方程化简可得点P的轨迹方程，由方程确定轨迹.

【详解】设动点P的坐标为“，y）,

则J（x-l）2+（y_0）2=\y\.

化简得x=l.

故动点P的轨迹是直线x=l.

故选：氏

例2.（2023・四川成都・成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系直万中，直线/:工=-2

与x轴交于点A,过/右侧的点P作尸垂足为且|Q4|=|?M|+|Q4|.

(I)求点P的轨迹C的方程；

【答案】(1)丁=4.丫+12

【分析】(I)根据提意思，设尸(x，y),得到M(-2,y),结合|网=|PM|+|OA|,利用距离公

式化简，即可求解曲线C的方程；

【详解】(1)由题意，走线/:工=-2与工轴交于点A,过/右侧的点上作门必，/,

可得。(0,0),4-2,0),设P。,)，)，则M(-2,)，)，

因为|PA|=|PM|+KM，可得而方k=|x—(—2)|+2,

即yl(x+2)2+y2=x+4，整理得y2=4x+12.

举一反三

练习1.(2023春•福建莆田•富二莆田一中校考期中)在平面直角坐标系xOy中，

A(6,0),3(6/)点P满足|户。=2|酬，则动点P的运动轨迹方程为；归8|+21M的

最小值为.

【答案】(X-8)2+J2=16而

【分析】设出P(x,y),由题意列出方程组，化简即可得到点P的轨迹方程；

［详解］设夕(x,y),由题意可得)(工一0)2+()，-0)2二24工一6)2+()，一0)2,

整理得"-8f+V=16,故动点/)的运动轨迹方程为(x-8>+/=16,

如图所示，点P的轨迹为以(8,0)为圆心，4为半径的圆，点8在圆内部，

所以归q+21PAi=\PB\+\PO\>\BO\=J(6_()1+(］_()/=>/37,

当且仅当P在线段BO上时等号成立，

所以|冏+2|/训的最小值为亚，

故答案为：(x—8)2+y2=16；而

练习2.(2023•山东泰安•统考模拟预测)点。到定点厂(3.0)的距离与到1=芍的距离之比为

则点P的轨迹方程为一，。与A(-5,0),8(5,0)连线的斜率分别为K2t则K：+K：

的最小值为一.

32

【答案】

25

【分析】设出点尸坐标，依据题意列出方程，化简即可得出答案；利用两点的斜率公式写出

《勺，再利用户的轨迹方程进行化简，最后利用重要不等式求出右+右的最小值.

【详解】设点P的坐标为（X”由题意可知|PF\=7（x-3）2+y2，嗯x=胃的距离为吟

J（X-3^+/32222

由题意得---------不--5>化简得三+2=匕所以0的轨迹方程为三+2=1.

xY---"-）25162516

3

•7

2

又由题意K=T，K2=--,则用《=白去，

又因为尸在曲线上，所以H=l，化简得-项乂16=掺（25-丁），

251625J25'

v2|6

代入K£=2,好得&凡2=-a,•

X—26ZJ

2

乂因为K：+K2>2同仁|=总所以K：+K；的最小值为II.

故答案为：（+“,§

练习3.（2023秋・湖北•高二统考期末）已知平面内点p与两定点Q（-2,0）,0（2,0）连线的斜

率之积等于

4

（1）求点p的轨迹连同点Q，。2所构成的曲线c的方程；

【答案】⑴点尸的轨迹方程为三+丁=1（.1工±2）,曲线C的方程为三+）,2=1.

44

【分析】（1）由求轨迹的方程的步骤结合两点间的斜率公式，即可求得

|ON|_1_1

而［二|Or|TON=|O7|通过基本不等式，求得义的最大值.

\ON\~yN

【详解】（I）设点P（x,y）为轨迹上任意一点，由题意得xw±2,

则kp@=­7T（X力-2）,k=—*2）,

A+ZA-ZPQi

kp°•k=—-----=-7—=-w±2）,

PQ'%POx+2x-2r-44V）

故点P的轨迹方程为［+V=1（x工±2）,

所以点P的轨迹连同点QQ所构成的曲线C的方程为二+尸=1.

4

练习4.（2023年新课标全国II卷数学真题）在宜角坐标系X。），中，点。到x轴的距离等于

点尸到点（0，）的距离，记动点尸的轨迹为W.

⑴求W的方程：

【答案】（l）y=/+：

4

【分析】（1）设P（X，N），根据题意列出方程f+（y_gj=），2,化简即可；

【详解】（1）设P*，y）,则H=Jx2+0—；j,两边同平方化简得），=X2+：,

故W：），=42+L

4

练习5.（2022秋•高二课时练习）在直角坐标系）丹中，已知点人（-2,2）,“（2,2）,直线AM,

BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足：心“-.

（1）求点加的轨迹。的方程；

【答案】（1）犬=2乂件±2）

【分析】（1）设出M（x,y）,表达出入M与BM的斜率，得到方程，求出轨迹方程；

【详解】（1）设M（xy）,

又A（-2,2）,矶2,2）,

则G一软“匕|一==一2,整理得丁=2），，

x+2x-2

可得点M满足方程f=2.），（XH±2）,

则M的轨迹C的方程为d=2），（入工±2）.

题型二定义法

例3.（2023秋•高二课时练习）已知“18。的三边a,b,c成等差数列，且a>0>c,A、C

两点的坐标分别为（-1，0），口,0），则顶点8的轨迹方程为.

【答案】—+^-=l（-2<x<0）

43

【分析】由△ABC的三边”，b,c成等差数列，可得点B的轨迹满足椭圆的定义，可求出椭

圆方程,再结合a>b>c和8、4、。三点构成△回（7,可得顶点5的轨迹是此椭圆的部分,

可得其轨迹方程.

【详解】因为△A8C的三边”，b,c成等差数列,A、C两点的坐标分别为（TO）,（L0）,

所以a+c=%，即忸C|+|网二2|4C|=4>2,

所以点8的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以4、。为焦点，长轴长为4的椭圆,

2#

故椭圆方程为土r■+匕=1,

43

因为a>Z»c,所以忸C|>网，所以xvO,

乂因为3、A、C三点构成“8C,所以4、A、C三点不能在一条直线上，所以“-2,

所以顶点B的轨迹方程为《十V■-1(-2<x<0).

43

故答案为：—+^-=l(-2<x<0)

43

例4.(2023•广东广州广州市培正中学校考模拟预测)如图，在“8。中，点4-1,0),见1,0).

圆/是△ABC的内切圆，且C/延长线交AB于点O,若C/=2〃5.

(I)求点C的轨迹C的方程;

r22

【答案】(I)上+=v=1()¥0)

43

【分析】(1)抓住内切圆的性质找到等量关系，再由定义法即可求结果;

【详解】3)解据呻音回一回一回一生也[=2

【详解】⑴解：据题意，向|AD|即|明+向‘

从而可得|。|+|啰=4>2,

由椭圆定义知道，C的轨迹为以43为焦点的椭圆,

所以所求的椭圆。的方程为?+?=I(产0).

举一反三

练习6.(2023・全国•高三专题练习)已知圆A：(x+2)2+/=9,圆3：(x-2)2+/=1,

圆。与圆A、圆6外切，求圆心。的轨迹方程E

【答案】--3=],xG(l,+O>)

【分析】

根据圆C与圆A、圆8外切，得至1J|C4|TC@=2<4,再利用双曲线的定义求解.

【详解】

因为圆C与圆4、圆8外切，设C点坐标（X，y）,圆C半径为r,

则|C4|=〃+3,|C3|=r+l,所以图-制=2<4,

所以点C的轨迹是双曲线的一支，

又2c=4,c=2,2a=2»a=1,b2=c2-a2=3.

所以其轨迹方程为X«l,+8）.

练习7.（2022秋.贵州遵义.高二习水县第五中学校联考期末）已知点月（-2,0）,圆

尸2：（工-2）2+），2=32,点。在圆居上运动，。£的垂直平分线交于点P.

（I）求动点P的轨迹的方程C；

【答案】（1）=+==1

84

【分析】（1）利用椭圆定义即可求得动点P的轨迹的方程C；

【详解】（1）由题意：|“耳|+|“闻=|2闻=4夜>党闻=4,

二动点尸是以0尸2为焦点，长轴长为4上的椭圆.

设椭圆标准方程为二+三=1（。>〃>0）,

crlr

则a=2"c=2,〃=4,

•••动点尸的轨迹的方程C为《+乙=1.

84

练习8.（2023・上海・华师大二附中校考模拟预测）已知平面上的点满足

卜四二6,|^4|一|昭二|叫—|附|=4,忸M=2,k可=3,则相丽=.

【答案】-36

【分析】根据双曲线和圆H勺定义，求出M,N所在曲线的的方程，联立方程组，求出M,N的

横坐标，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.

【详解】以人B中点。为原点，丽为“轴正方向，建立平面直角坐标系，

则A（—3,0）,8（3,0）,

因为|^4|一|/=4<卜可」叫一|附|=4<|"|，

所以点M、N分别在以A,8为焦点的双曲线的右支和左支上，且及/=4,2c=6,

所以a=2,c=3,

所以双曲线方程为E-f=1；

45

因为忸M|=2,所以点M在以B为圆心，半径为2的圆上,

即点例在圆。一3)2+)，2=4上,

因为|AN|=3,所以点N在以A为圆心，半径为3的圆上,

即点N在圆(x+3)2+y2=9上，

//,1O

联立，45,因为乙＞。，可求均=不

(x-3)2+y2=43

《-工=110

联立，45，因为4N＜。，可求/=一五，

(x+3)2+)P=9

因为“月=(6,0),MN=(xN-xM,yN-yM),

故而M=6Ef)=6(%--?=-36.

JJ

故答案为：-36.

练习9.(2023•吉林长春•长春吉大附中实验学校校考模拟预测)(多选)设A(-2,0),圆

B：a-2)2+r=4(B为圆心)，。为圆小上任意一点，线段同。的中点为。，过点。作线段

片尸的垂线与直线4P相交于点R.当点P在圆8上运动时，点Q的轨迹为曲线C，点/?的轨

迹为曲线C?,则下列说法正确的有()

A.曲线G的方程为/+./=1B.当点。在圆8上时，点Q的横坐标为?

c.曲线G的方程为1=iD.G与C2无公共点

【答案】ABC

【分析】对「A,连接O。，则可得|0。=34Pl=1,从而可得曲线G的方程；对•于B,圆

B的方程与曲线C1的方程我立求解即可：对「C,连接AR,则可得||R4卜出邳=2,从而可

得点R的轨迹为双曲线；对于D,求出曲线C?的方程，然后判断.

【详解】如图1、图2,连接0。.

因为点Q为线段AP的中点.O为线段八/?的中点,所以|OQ|二3BP|=1.所以点Q的轨迹

为以o为圆心，I为半径的圆，即曲线G的方程为V+,\，2=l,故A正确；

当点。在圆3上时，圆8的方程与曲线C1的方程联立，可得x=L，故B正确；

连接AR,由于直线QR为线段AP的中垂线，所以|氏4|二归耳，所以

HM-I冏|T网T冏|=|研=2,所以点R的轨迹为以4（-2,0）,3（2,0）为焦点,2为实轴的

双曲线，所以曲线G的方程为f-9=1,故C正确：

由选项c可知，所以曲线G的方程为f-二=1,所以C1与G有两个公共点，故D错误.

3

练习10.（2023,河南驻马店•统考二模）已知直线4轴，垂足为x轴负半轴上的点心点

£关于坐标原点O的对称点为八且|即|=4,直线垂足为A,线段版的垂直平分

线与直线4交于点儿记点"的轨迹为曲线C.

（I）求曲线。的方程.

【答案】⑴V=8x

【分析】（1）根据垂直平分线性质，结合抛物线定义可解；

【详解】（1）由题意可得|明=忸用,即点B到点尸的距离等于点3到直线J的距离.

因为|两=4,所以4的方程为x=-2,尸（2,0）,

则点B的轨迹C是以尸为焦点，直线4：x=-2为准线的抛物线，

故点〃的轨迹C的方程为＞3=8x.

题型三相关点法

例5.（2023春・上海徐汇•高三上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线C的方程为2/-/=2.

⑴直线），=x+〃?截双曲线C所得的弦长为4a，求实数，〃的值；

⑵过点（2,-1）作直线交双曲线C于P、。两点，求线段PQ的中点M的轨迹方程.

【答案］⑴/〃=±1

（2）2x2-y2-4.v-y=O

【分析】（I）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出机值；

（2）设。（4方）,。（0％），〃。，历.4（2，-1），利用点差法结合中点公式即可得到在二二，

yx-z

化简即可.

y=x+m

【详解】（1）联立c，,…得f_2〃n一〃2—2=0,

2x--y~=2

•.・直线y=X+，〃被双曲线C截得的弦长为4VL.•.△=4W+4>+8>0,

设直线与双曲线交于A（x，y）,伏与为），

2

贝ljx,+x,=2ni,x}x2=-m-2,

由弦长公式得4及=JL、/4〃』+4（〃/+2）,

解得/〃=±1.

（2）设P（内,y）,Q&,），2），MQ，y）M（2,T）,则

x}+x2=2x,y}+y2=2y,

2k；-"2,片-播=2,

上式作差得4x（$-毛）-2y（%-）%）=0,

当直线名?的斜率不存在时，根据双曲线对称性知M（2,0）,

当直线尸。的斜率存在时，但）1+先=。时，此时直线为直线。4,根据双曲线对称性知

M（0,0）,

当直线P。的斜率存在时，且）1+为=0时，％=上二上二」，

x\~x2y

•・•3M=±2，•・•'=》=，化简得2--y2一4工一），=。，其中工工2,），工0,

x-2yx-2

而点（2,0）,（0,0）适合上述方程,

则线段PQ的中点M的轨迹方程是2x2-y2-4x-y=0.

例6.（2023•黑龙江大庆•大庆实验中学校考模拟预测）在平面直角坐标系屹V中，已知点

C（3,0）,动点P满足：过点P作直线4-1的垂线，垂足为。，且OPCQ=0,则|pq的最

小值为.

【答案】2&

【分析】根据已知求出点P的轨迹方程，根据两点间的距离公式，利用二次函数求出|PC|的

最小值.

【详解】设P点坐标为尸■），），则OP=（x,y）,

ULW1

又因为C（3,O）,所以

ULtlCllBlIRJUUKI

由OPCQ=0，得OPC0=-4X+），2=O,

所以丁2=4X,P是抛物线），2=4X上的点,

设右，）,J则回7件一3）+%、席二f；+9二业国-4），+8.

因为）XR,所以当行=4时，|PC|取最小值,此时|自入血=我=2夜.

故答案为：2夜.

举一反三

练习II.（2023・全国,高三专题练习）已知点，为圆/+y2=18上一动点，尸Q_Lx轴于

_____1_B7

点。，若动点M满足=4。户+；0。,求动点M的轨迹C的方程；

JJ

【答案】二+《=1

182

【分析】

设M（x,y）,P（/,No）,则。（如。），根据加=（。户+|。0,求得a=x,%=3y,代入圆

的方程，即可求解.

【详解】

解：设），）/（/,%），则Q（M，0），可得的=（x,y）,而=（X。,%），因=（小，0），

I__2__,1

由丽=10户+Jd,所以（x,y）=（%G），o），化简得%）=x，〉'o=3.y,

因为阿+城=18,代入可得可+9己=18,即三+二=1,

182

即为M的轨迹。的方程为工+《=1.

182

练习12.（2023・全国•高三专撅练习）在百角坐标系大丹中，线段|MN|=4,曰两个端点M、

N分别在X轴和》轴上滑动.求线段MN的中点C的轨迹方程；

【答案】/+）,2=4

【分析】设Md°），N（0M，C（.r,y）,由C为线段MN的中点列关系式，根据两点距离公

式表示|MN|=4,从而转化为关于v,y的方程即可得C的轨迹方程.

【详解】

设M（aO）.N（O.〃）,线段MN的中点C（xy）.

因为C为线段MN的中点，.•”=等=晟4=晋=2，

-\MN\=^(«-0)2+(0-/?)2=4,

:.a2+b2=16»即(2]1+(2»=16,得/+「=4.

所以点C的轨迹方程是“2+),2=4.

练习13.（2022秋•山东日照•高二校考阶段练习）已知圆C经过点4（3,1）,4（-1,3）且圆心C

在直线3x-y-2=0上.

⑴求圆C方程；

(2)若七点为圆C上任意一点，且点打4,0),求线段石厂的中点M的轨迹方程.

【答案】(l)(x-2『+()，-4『=10：

⑵(x-3『+(y-2)2=|.

【分析】(I)利用待定系数法即得；

(2)根据相关点法.设出点M的坐标,利用中点公式结合圆的方程即得.

【详解】(1)由题可设圆C的标准方程为(％-〃『+()，-方『=产，则

(3-炉+(1叫，2

,㈠_/+(3时=/,

3a-b-2=0

解之得a=2,b=4,r~=10♦

所以圆C的标准方程为(*-2)2+()，-4)2=10；

x=上

2

(2)设M(x,)，)，七(内,)\),由尸(4,0)及M为线段E尸的中点得•

v=21±2

2

%=2x-4

解得

5=2），

10上,

所以有(2x-4-2『+(2y-4)2=10,

化简得：(x—3)2+(y—2f=|,

故所求的轨迹方程为(x-3『+(_)=2)2=|,

练习14.(2022秋•高二校考课时练习)设圆V+y2_2x+2y_2=0的圆心为A,点。在圆

上，则见的中点M的轨迹方程是_______.

【答案】x2+r-2A+2y-f-l=0

【分析】设M(x,y),P(X9,泗)，利用中点坐标公式得出“=:一：,然后结合点尸在圆上

1为=2)，+1

即可求解.

【详解】圆/+V—2x+2y—2=0可化为*—1尸+()，+=4,

4-

2

则41,-1),设P<.w,W)，所以］:

2?

x.=2%-1

整理得《6，抑P(2x—l,2y+l),

l%=2y+l

将点尸代入圆的方程得(2/一l)2+(2y+l)2-2(2x-l)+2(2y+l)-2=0,

即为f+/一2工+2)，+1=0.

故答案为：x2+r-2A+2y+l=0.

练习15.(2023春•四川内江•高二四川省内江市第六中学校考期中)已知面积为16的正方形

__3—1__

4BCQ的顶点A、B分别在x轴和)，轴上滑动，O为坐标原点，OP=-OA+-OB,则动点尸

«

的轨迹方程是()

.X2y222

A.^-+-^-=1D.工+二=1

32c44='84

【答案】B

【分析】利用相关点法即可求得动点。的轨迹方程.

【详解】设P(x,y),不妨令4%0),8(0,%)

正方形4BCQ的面积为16,则|AB|=4,则\+W=16,

_3一|一

由。户=-0印+一。8,可得

421r

尸在l%=2y

则(竺［+(2»=16,整理得上+工=1

【3J"94

故选：B

题型四交轨法

例7.(2022秋•高三课时练习)如图，已知点A(-l,0)与点仇1,0),C是圆/+产=1上异于

人，B两点的动点，连接并延长至。，使得|CD|=|BC|,求线段AC与。。的交点P的轨

迹方程.

【分析】首先判断点。是△A8。的重心，代入重心坐标公式，利用代入法，即可求点。的

轨迹方程.

【详解】设动点P(x,y),由题意可知尸是△48。的重心，由A(-l,0),8(1,0),

令动点C(xo,yo),则D(2M1,2yo),

.=T+l+2x<)T

3

由聿心坐标公式得｛r’,

2v0

y=-y

3x+l

及F

则代入x2+y2=1,

Jo=y(.Vo*O)

整理得x+g)+)尸=1(尸0)

故所求轨迹方程为(x+gJ+y2=0).

例8.(2023・湖南•校联考二模)已知匕,居为双曲线呜-2=1(。>0,〃>0)的左右焦点，且

该双曲线离心率小于等于且，点M和N是双曲线上关于1轴对称非重合的两个动点，

2

4，4为双曲线左右顶点，|M用-|M月=4,|M$+|M可>2+"恒成立.

(1)求该双曲线C的标准方程；

(2)设直线NR和M4的交点为以求点尸的轨迹方程.

【答案】=1

43

22

(2)^-+^-=l(0<.r<2)

【分析】(1)利用双曲线的定义可得。=2,然后利用两边之和大于第三边以及

国>2+我可得c=",即可求得方程；

⑵设何(%,%)(%>2),则N^LNO),得到直线的方程，两条方程与厘-迎=1

43

可得到三+工=1，然后算出”的范围即可

43

【详解】(I)设双曲线C的焦距为2c,

由|M£HMR|=4及双曲线的定义,得勿=4,解得”2,

由AMA居可得|M4j+|ME|>|AE|=a+c=2+c,

乂+段>2+"恒成立，所以2+V7K2+C,解得

因为该双曲线离心率小于等于立，所以£4立，即且，解得

2a222

所以C=J7,则b=y/("『-22=6

所以双曲线C的标准方程为《-4=1・

43

设”(%，%)(%>2),则N(M，-)b)，

22

因为“在双曲线上，所以五-范=1,

43

易得4(一2,0),&(2,0),所以直线NR的斜率为幺琳=-丹，

直线NA］的方程为y=—^-(x+2)①,

“o+Z

同理可求得直线M的方程为广言『2)②’

由①X②得)?=一(X+2)(1-2)③,

片-4

223（年-4）

修铝代入③得-壬（…,化简得二+4=1,

43

令①=②即一七7（1+2）=飞（女一2）,化简得x°x=4,

为+2M一2

4

因为%>2,所以x=—e（0,2）,

%

即点P的轨迹方程为y+^=l（0<x<2）.

【点睛】关键点点睛：这道题的关键之处是得到直线N4,的方程，与近-近=1相结

43

合，通过消元的方法得到轨迹方程

率二反三I

练习16.（2022秋•山西阳泉•高二统考期末）己知过点〃（80）的直线交抛物线£:卡二8工于

AI两点,O为坐标原点.

（1）证明：OA1OB；

⑵设厂为抛物线的焦点，直线A8与直线x=T交于点M,直线“/交抛物线与C,。两点

（AC在x轴的同侧），求直线AC与直线8。交点的轨迹方程.

【答案】（1）证明见解析

（2）x=T（）'W°）

/2、（2\

【分析】⑴设42yA,81打，利用A,”*三点共线鼬=输，解得心先=-64,

\87I8J

再利用向量数量积的坐标表示即可求解；

（2）设M（-4,m）,。（牛，及），。（而,力）,根据题意可得分。=238,由此解出比与）'”

%与%的关系，进而得到直线AC与直线8D的方程，联立即可求解.

/2\/2\

【详解】（1）设4已,可，”牛，可，

因为A”,8三点共线，所以心

以二必

所以犬J需父，整理可得力力=-64，

----o----O

88

22

所以3•丽=为券+必》=0,所以OA_LQ8.

（2）设C（xe,yr）,

由题意方（2,0）,A/（8,0）,

所以答记=詈右，整理得（"一2%）（以先+32）=0.

因为AC在x轴同侧，所以以=2%,同理可得%=2%,

161161

+

所以直线4C的方程为广「工+w必，同理BD的方程为y=—^-yB,

3以33yB3

两式联立代入心.心=-64,可得工二-4,

由题意可知交点不能在x轴上，

所以交点的轨迹方程为x=T（），wO）.

练习17.（2023♦全国•高三专题练习）已知MN是椭圆5+看=乂”…）中垂直于长轴的

动弦，4B是椭圆长轴的两个端点，则直线AM和N3的交点P的轨迹方程为.

【答案】£一£=1（XH±。）.

a~b~

【分析】设M析,y），N（0f）,直线AM和NA的交点为P（x,y）,根据AM,尸三点共线及

N,B,P三点共线,可得两个式子，两式相乘，再结合M在椭圆上即可得出答案.

【详解】设M（%，乂），Mx,f）,

因为椭圆/+点■=1（。＞力＞0）的长轴端点为4—40）,8（0,0）,

设直线AM和NB的交点为PCx,y）,

因为A”三点共线，所以专"房,”?明

因为M8,P三点共线,所以士二一卷,xs

两式相乘得7匕=一£>“±〃）'

b-

因为其+善=1，所以犬，即旌

aZr

所1—理哈a（一

所以直线4W和N8的交点P的轨迹方程1-与=1（XH土a）.

a'b~

故答案为:厂y=1（x=士a）.

/一瓦

练习18.（2023春・江西•高三校联考阶段练习）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标

轴上，且经过A（-4,0）、3（4,0）、C（2,3）三点.

⑴求椭圆石的方程：

（2）若过右焦点工的直线/（斜率不为0）与椭圆E交于M、N两点，求直线A"与直线5N的

交点的轨迹方程.

【答案】（1）工+£=1

1612

（2）］=8（尸0）

【分析】（I）首先设椭圆方程，代入椭圆上的点的坐标，即可求解；

（2）首先设宣线/的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求直线A例与直线BN的交点

坐标，即可求解交点的轨迹方程.

【详解】（1）设椭网方程氏。+£=1

4=1

由AC两点可知：-a.c，解得。2=[6,从=12,

49.

所以椭圆方程为J+二=1;

1612

（2）设1=畋+2,M（国，X）N（4，>2）

x=my+2

联立V产=>（3in'+4））3+12/??v-36=0

—+—=1

1612

△=576〃/+576〉。

-12m

…二5^

-36

直线AM：y=」^(x+4)

入［十q

直线BN：y=^-(x-4)

X2-4

、、出d-、，_"明%-4y+12y2-12m

消去)：xr-----------------,y=—5---y

3.y,+y3〃/+42-

-36-12/7?)

4/72-4菽丁引+“%

3W2+4

-127??

3y2+2-y2

<3m+4

因斜率不为0,该直线方程：工二8()，=0).

练习19.(2023・吉林・统考模拟预测)已知双曲线。：£-*=1(〃>0,。>0)的左、右顶点分别为

a~b~

A(-l,0),B(l,0),动直线;过点例(2,0),当直线/与双曲线。有且仅有一个公共点时，点B

到直线/的距离为立

2

(I)求双曲线。的标准方程；

⑵当直线/与双曲线。交于异于A3的两点P,。时，记直线八户的斜率为占，直线8Q的斜率

为Q

(i)是否存在实数义，使得&=/4成立，若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由；

(ii)求直线口和3Q交点E的轨迹方程.

【答案】(l»2-y2=1

(2)(i)存在，2=-3：(ii),r=1

【分析】(1)注意到直线，与双曲线C有且仅有一个公共点时，/平行于渐近线可解；

(2)利用韦达定理结合内=:工即可求得义，再根据”和5Q的直线方程消去斜率即口J得交

点E的轨迹方程.

故当直线/过(2,0)与双曲线C有且仅有•个公共点时，；应与C的渐近线平行

设直线/：)，=现x-2),即板±)，-21,则点3到直线/的距离为72千二号"=1

J1+/T2

即双曲线C的标准方程为：x2-y2=\.

(2)(i)由题可知，直线/斜率不为0

设直线/：x=〃"+2,P(M，方),。(々,y2)

r221

由，2得：(62—1)丁+4/〃y+3=0(〃[2—1工0)

A=4//+i2>0成立

-4m3

m-1m-1

•••殴必=一去,+为)，

4=含4二段

..二」二七一]二.+1）二%（〃?乂+3）二/町为+3%

K♦y（超-1）,（"电+1）机+y

X]+1

339

__^（乂+必）+3%__彳.4+彳%_

=-3=13=一3

V（y+%）+y43?,-4>?2

所以存在实数4=一3,使得0=丸吊成立.

(ii)直线AP：y=K(x+l),直线8Q:y=&(x-l)

,、,x+14，,1

联H得：，X=2

所以直线4>和3。交皮石的轨迹方程为：x=l

练习20.(2023・河南•校联考模拟预测)已知抛物线C:x?=2p)，(p>0)的焦点产到准线的距

离为2,直线/：)，=〃(工-4)与抛物线C交于P,Q两点，过点P,Q作抛物线。的切线若

44交于点M,则点M的轨迹方程为.

【答案】y=2x(x>8或x<0)

【分析】由题可得抛物线方程，利用切线几何意义可得切线斜率，即可表示出切线方程求出

交点坐标，再将抛物线C：/=2〃)，(〃>0)与直线/:.y=k(x-4)联立，结合韦达定理可得轨

迹方程.

【详解】由焦点”到准线的距离为2,可得抛物线C=4)，.

由V=4y可得y=二，放,

42

故在p(x用处的切线方程为)，—手守…J,即尸当百

同理在点Q(x吟)处的切线方程为片当-苧，

・24.M+X,A-JX

联立《,即M2

x^x/丁

V=—=--------广才

24

联立直线与抛物线方程：；募_4),消去了得—g⑹=0,

由题△=165一64攵>0=44或&<0.

由韦达定理，百+七=4&"肉=16生，

得“(2&,4&),其中〃>4或〃<0,故点A/的轨迹方程为；y-2x(x>8或XV。).

故答案为：,，=2了">8或入・<())

题型五参数法

例9.(2022・全国•高三专题练习)已知点A(l,0),E,广为直线x=-1上的两个动点，且

AELAF>动点。满足可//C5，TOHOP(其中。为坐标原点)，求动点。的轨迹C的方

程.

【答案】)2=4x(“工°)

【分析】根据题意将动点的坐标设出，垂直转化为对应的向量数量积为0,再转化平行条件

从而得到动点的轨迹方程.

【详解】设尸(x,y)、E(-1M)、尸(t,。),

则AE=(-2,4),AF=(-2,b),EP=(x+\,y-a),

OA=(1,0),FS=(l-b\OP=(x,y)

AE±AF^AEAF-4+ab-0.且点E、厂均不在x轴上,故T,且〃*0,由

EP//OA，得)=a=。.即>=a.由尸5〃O户，得瓜+丁=。，即>=一加.

.*.y2=-abx=4x,

・•・动点P的轨迹C的方程为：/=4x(x^0).

例10.(2022•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系xQy中，4-6,0),8(括,0),C是

满足乙4c8二方的一个动点.求△ABC垂心”的轨迹方程.

22

【答案】xi(yil)=4(y>-2)或V,(>,1)2=4(y<2)

【分析】求出△48C外心坐标，外接圆半径同，得顶点C的轨迹方程，再利用相关点法可求

垂心H的轨迹方程.

【详解】设的外心为。一半径为此

则有穴=).差小",又4)O\B=4)OC吟、

2sinZ.ACB3

所以Oa=Rcos]=l,即。40,1),或G(0,-l),

当。1坐标为(0,1)时.

设C(x,y),”(天),稣)，有qC=R,即有V+(y-l)2=4(y>0),

由C”_LA3,则有%=x,

由A”_L8C,则有而•能=1。+>/^。-6)+为)'=0,

所以有)，0=」"+/)"-6)=上£=(.''一4一1=),_2,y>()，则%=)=2>—2,

yyy

则有X+(%+l)2=4(y0>-2),

所以8c垂心”的轨迹方程为Y+(y+i)2=4(y>-2).

同理当当。1坐标为(0,-1)时.，的轨迹方程为产+()，-1『=4(>'<2).

综上H的轨迹方程为V+(y+l)2=4(y>-2)或f+(y_i)2=4()，<2).

举一反三

练习21.(2023・广东•校联考模拟预测)已知抛物线)，2=x+l,定点43,1),8为抛物线上任

意一点，点P在线段A8上，且有/P:A4=1:2,当点3在抛物线上变动时，求点尸的轨