高频考点：一次函数-2023年中考数学一轮复习

专题14一次函数

一、一次函数图象与系数的关系

【高频考点精讲】

（1）当》>0时，直线交y轴于正半轴，过一、二、三象限。

（2）当力V0时，直线交），轴于负半轴，过一、三、四象限。

（1）当8>0时，直线交y轴于正半轴，过一、二、四象限。

（2）当"V0时，直线交y轴于负半轴，过二、三、四象限。

【热点题型精练】

3V7

1.（2022•邵阳中考）在直角坐标系中，已知点A（;,〃］），点4（?,〃）是直线y=Z叶力（&V0）上的两点，则〃?,

〃的大小关系是（）

A.m<nB.m>nC.D.

3y/7

解：点A（-,nt）,点、B（—,ii）是直线）=履+力上的两点，且AVO,

・•・一次函数y随着x增大而减小，

..3、a

22

/.m<n,

答案:A.

2.（2022•安徽中考）在同一平面直隹坐标系中，一次函数尸”+/与尸以+〃的图象可能是（）

解：Vy=ax+cr与y=crx+a，

・・・x=l时，两函数的值都是J+m

・•・两百线的交点的横坐标为1,

若心0,则一次函数），=以+«2与都是增函数，且都交轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限;

若。<0,则一次函数），=办+/经过第一、二、四象限，）,=。2计”经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横

坐标为1;

答案：。.

3.（2022•辽宁中考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数），=Znx+历与y=&2x+m的图象分别为直线人和直

线匕下列结论正确的是（）

A.Li咏2VoB.内+左2VoC.b\-b2<0D.bi・b2Vo

解：•・•一次函数y=hx+加的图象过一、二、三象限，

"i>0,bi>0,

•；一次函数y=Qx+机的图象过一、三、四象限，

/.fo>0,历V0,

/.A.kfk2>0,故A不符合题意;

8、木+依>0,故B不符合题意；

C、bi-b2>0,故。不符合题意；

D、bi・b2V0,故。符合题意；

答案：。.

4.（2022•柳州中考）如图，直线yi=x+3分别与x轴、1y轴交于点A和点C,直线*=-x+3分别与x轴、y轴交

于点3和点C,点P（m，2）是AABC内部（包括边上）的一点，则〃?的最大值与最小值之差为（）

解：•・•点P（〃?，2）是△A4C内部（包括边上）的一点,

，点尸在直线y=2上，如图所示，

当P为直线y=2与直线yi的交点时，机取最大值,

当?为直线y=2与直线），|的交点时，机取最小值,

•・•*=-x+3中令y=2,则x=1,

y\=x+3中令y=2,则x=-1,

的最人值为1,的最小值为-1.

则〃!的最大值与最小值之差为：1-（-1）=2.

答案：B.

5.（2022♦宿迁中考）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值），随自变量x增大而减小"；乙：''函

数图象经过点（0,2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是y=-x+2（答案不唯一）.

解：•・•函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图象经过点（0,2）,

，该函数为一次函数.

设一次函数的表达式为），=履+》（AW0）,则女VO,h=2.

取&=-1,此时一次函数的表达式为），=-x+2.

答案：y=~x+2（答案不唯一）.

6.（2022•天津中考）若一次函数（〃是常数）的图象经过第一、二、三象限，则力的值可以是1（答案

不唯一，满足方>0即可）（写已一个即可）.

解：•・•一次函数y=x+力（。是常数）的图象经过第一、二、三象限，

可取b=l,

答案：1.（答案不唯一，满足〃>0即可）

7.（2022•盘锦中考）点A（xi,yi）,B（处”）在一次函数y=（a-2）x+\的图象上，当川>r时，yi<>,2»则

a的取值范围是a<2.

解：..•当X1>X2时，

・52V0,

:.a<1,

答案：。<2.

8.（2022•德阳中考）如图，已知点A（-2,3）,B（2,I）,直线）：=丘+4经过点P（-I,0）.试探究：直线与线

段有交点时人的变化情况，猜想&的取值范围是仁-3或拄）.

•5

解：当AV0时,

11.（2022•陕西中考）在同一平面直角坐标系中，直线y=7+4与y=2t+〃?相交于点户（3,〃），则关于x,y的方

程组的解为（）

=-ix=3,x=1/

A.B.c.

=5.y=1.y=3

解：将点尸（3,〃）代入y=-x+4,

得n—-3+4=1,

・・・尸（3,1）,

・••原方程组的解为

答案：B.

12.（2022•宁夏中考）如图，点8的坐标是（（），3）,将△048沿大轴向右平移至△CQE，点4的对应点£恰好落

在直线y=2x-3上，则点4移动的距离是3.

解：当y=2・3=3时，x=3,

・•・点E的坐标为（3,3）,

沿x轴向右平移3个单位得到△COE,

・•・点八与其对应点间的距离为3.

答案：3.

13.（2022•辽宁中考）如图，直线y=2r+4与x轴交于点A,与），轴交于点B,点。为。8的中点，团OCQE的顶点

。在x轴上，顶点£在直线A8上，则团OCQE的面积为，

解：当K=O时，y=2X0+4=4,

・••点B的坐标为（0,4）,OB=4.

•・•点。为08的中点，

：，OD=1oB=1x4=2.

乙乙

•・•匹边形。CQE为平行四边形，点。在x轴上，

:.OE〃工轴.

当），=2时，2x+4=2,

解得：x=-1>

，点七的坐标为（-1,2）,

・・・OE=1,

：,OC=\,

:.图OCDE的面枳=0C・0。=1X2=2.

答案：2.

14.（2022•荷泽中考）如图，在第一象限内的直线/：）=岳上取点4,使04=1,以为边作等边△04/1,

交x轴于点81：过点以作x轴的垂线交直线/于点A2，以042为边作等边△OA2&,交x轴于点历：过点历

作X轴的垂线交直线/于点43,以。43为边作等边△。加明，交X轴于点例；.，依次类推，则点42022的横

坐标为22020.

解：・・・0人1=1,△04用是等边三角形，

・・・OBi=Q4i=l,

1

•'•Ai的横坐标为5,

・・・OBi=l,

・・・A2的横坐标为1,

•・•过点小作x轴的垂线交直线/干点血,以042为边作等边ACM处.交x釉干点汝，过点比作x轴的垂线交

直线/于点A3,

・•・OB2=2OBI=2,

••・山的横坐标为2,

・•・依此类推：4,的坐标为：（2”一2,2/r2V3）,

・・・A2022的横坐标为22020,

答案:22020.

三、一次函数图象与几何变换

【高频考点精讲】

1.一次函数图象的平移

（1）如果两条直线平行，那么两条直线的斜率左相等，反过来，如果两条直线的斜率在相等，那么两条直线平行。

（2）平移规律：上加下减，左加右减。

2.一次函数图象的对称

3.一次函数图象的旋转

（3）如果两条直线相交，那么交点坐标同时适用于两条直线。

【热点题型精练】

15.（2022•广安中考）在平面直角坐标系中，将函数），=3.计2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式

是（）

A.y=3x+5B.y=3x-5C.y=3.r+lD.y=3x-1

解：将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y=3x+2-3=3x-1,

答案：。.

16.（2022•西安模拟）在平面直角坐标系中，将一次函数），=*一1的图象沿x轴向左平移〃？（〃?20）个单位后经过

原点。，则m的值为（）

431

A.-B.-C.2D.-

342

解：将一次函数尸装一提的图象沿x轴向左平移加个单位后得到尸,（x+m）

乙141

把（0,0）代入，得到：0二初一本

解得m-i.

答案：D.

17.（2022•苏州模拟）在直角坐标系中，一直线。向下平移3个单；立后所得直线〃经过点A（0,3）,将直线力绕

点A顺时针旋转60。后所得直线经过点8（-V3,0）,则直线。的函数关系式为（）

A.y=—V3xB.y——C.y=—V3.v+6D.尸-*r+6

解：设直线AB的解析式为y=k.x+b,

VA（0,3）,B（-V3,0）,

•《/+G0,解得忆翼

直线AB的解析式为y=A/3A+3.

由题意，知直线）=届+3绕点A逆时针旋转60°后得到直线则直线〃经过4（0,3）,（V3,0）,

易求直线b的解析式为y=—V3x+3.

将直线b向上平移3个单位后得直线。，所以直线。的解析式为尸-百工+3+3,即），=-百X+6.

答案：c.

18.（2022•绵阳模拟）如图，一次函数），的图象与上轴、），轴分别交于点A,8,把直线A〃绕点8顺时针旋

转30°交x轴于点C,则线段AC长为（）

A.V6+V2B.3V2C.2+V3D.百+企

解：•・•一次函数)，=%+四的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,

令x=0,则y=V2,令y=0,则A=-V2,

则A(-V2,0),B(0,V2),

则△Q4B为等腰直角三角形，NABO=45°,

・・.AB=J（&=+（遮,=2,

过点C作。。J_/W,垂足为。，

VZCAD=^OAB=45°,

・•・△ACO为等腰直角三角形，设CO=AO=x,

・・・AC=y/AD2+CD2=0x,

由旋转的性质可知NA3C=30°,

：・BC=2CD=2x,

：.BD=y]BC2-CD2=V3x,

乂BD=AB+AD=2+x,

/.2+A—A/3X>

解得：x=V5+1,

.\AC=y/2x=\[2(V3+1)=V64-A/2,

答案：A.

19.（2022•兰州模拟）已知点P（l,2）关于x轴的对称点为P',且P'在直线）=区+3上，把直线1y=履+3的图

象向上平移2个单位，所得的直线解析式为y=-5x+5.

解：•・•点2（1,2）关于x轴的对称点为产'，

:.P（1,-2）,

VP在直线），=依+3上，

:.-2=k+3,

解得：k=-5,

则），=-5x+3,

・•・把直线y=k.x+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y=-5x+5.

答案：y=-5x+5.

20.（2022•阜新中考）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化.下面是关于“一

次了数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整.

（1）如图1,将一次函数y=x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了1个单位长度:

（2）将一次函数y=-2t+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向左（填“左”或“右”）平移了

:个单位长度；

2~

（3）综上，对于一次函数JW0）的图象而言，将它向下平移〃?（m>0）个单位长度，相当于将它向

（填“左”或“右”）（Q0时）或将它向左（填“左”或“右”）（kVO时）平移了〃（〃>0）个单位长度，

且〃!，II,女满足等式〃1=〃伙|（或：当*>0时，m=nk,当&V0时，・nk）.

解：（I）・・•将一次函数y=x+2的图象向下平移1个单位长度得到），=户2-I=（A-I）+2,

・••柞当于将它向右平移了I个单位长度，

答案：1;

1

（2）将一次函数），=-2x+4的图象向下平移1个单位长度得到）：=-2x+4-1=-2（x+4）+4.

・•・相当于将它向左平移了:个单位长度；

答案：左；

（3）综上，对于一次函数），=丘+bawo）的图象而言，将它向下平移机（〃?>o）个单位长度，相当于将它向

右（填“左”或“右”）a>0时）或将它向左（填“左”或“右”）（&V0时）平移了〃（〃:>0）个单位长度，

且〃!，n,2满足等式/〃=〃因.

答案：右；左；加=〃因（或：当火>0时，加=成，当kVO时，〃尸■欣）.

21.（2022•宁夏模拟）如图，将直线$=沿），轴向下平移后的直线恰好经过点A（2,-4）,且与），轴交于点8,

2

在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则京P的坐标为q,（））.

解：如图所示，作点B关于x轴对称的点片，连接A9,交x轴于尸，则点P即为所求,

设直线y=-x沿)，轴向下平移后的直线解析式为)，=-X+。，

把4(2,-4)代入可得，“=・2,

・••平移后的直线为y=・.”2,

令x=0,则丁=-2,即8(0,-2)

：・B'(0,2),

设直线八夕的解析式为)，=丘+力，

把A(2,-4),B'(0,2)代入可得，

｛工/+幺解砒:；

・•・直线的解析式为)，=-3x+2,

令),=0,则犬二,，

2

：,P(-,0),

3

22.(2022•杭州模拟)已知一次函数y=&(x-3)(kWO).

(1)求证：点(3,0)在该函数图象上.

(2)若该函数图象向上平移2个由位后过点(4,-2),求*的道.

(3)若上V0,点4(xi,yi),B(%2»y2)在函数图象上，且>1<”，判断用-%2<0是否成立？请说明理由.

解：(1)在y=A(x-3)中令x=3,得y=0,

工点.(3,0)在y=&(x-3)图象上；

(2)一次函数)，=k(%-3)图象向上平移2个单位得y=Z(x-3)+2,

将(4,-2)代入得：-2=k(4-3)+2,

解得k=-4：

（3）xi-%2<0不成立，理由如下：

丁点A（xi»yi）»B（X2,>,2）在），=k（x-3）图象上，

（xi-3）,yi=k（X2-3）,

•*.yi-yi=k（xi-X2），

Vyi<^,

Ayi~}?2<0»即A（xi-X2）<0,

而&<0,

/.XI-,V2>0,

/.XI-,V2<0不成立.

四、一次函数与一元一次不等式

【高频考点精讲】

1.一次函数与一元一次不等式的关系

【热点题型精练】

23.（2022•南通中考）根据图象，可得关于x的不等式履>・1+3的解集是（）

A..r<2B.x>2C.x<ID.x>\

解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1,2）,

所以关于工的一元一次不等式kx>-x+3的解集为x>I,

答案：D.

24.（2022•遵义模拟）如图，直线y=-x+2与丁=依+。（《工0且a,b为常数）的交点坐标为（3,-1）,则关于x

的不等式・x+22ax+）的解集为（）

A.G-1B.x23C.xW-1D.xW3

解：从图象得到，当xW3时，），=-.计2的图象对应的点在函数），=公+）的图象上面,

・••不等式-戈+22以+。的解集为xW3.

答案：D.

25.（2022•鄂州中考）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数尸质+力（鼠〃为常数，且&VO）

的图象与直线产营都经过点A（3,1）,当日+〃V#时，根据图象可知，x的取值范围是（）

C.x<\D.x>\

解；由图象可得，

当x>3时，直线），=彳在一次函数），=履+5的上方，

・,•些h+〃V1时，入的取值范围是x>3,

答案：A.

26.（2022•扬州中考）如图，函数），=区+人JVO）的图象经过点P,则关于x的不等式依+b>3的解集为%—

解：由图象可得，

当x=・l时，），=3,该函数,，随x的增大而减小，

・••不等式心，+〃>3的解集为xV-1,

答案：x<-1.

27.（2022•徐州中考）若一次函数尸"十方的图象如图所示，则关于区+孤>0的不等式的解集为

解：•・•一次函数），=依+方的图象过点（2,0）,

：.2k+b=0,

:・b=-2k,

-2

工关于yb>0

：.lcx>-^x（-2k）=3k,

F>0,

Ax>3.

答案：x>3.

28.（2022•襄阳中考）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函

数性质的过程.结合已有经验，请画出函数）=台-卜|的图象，并探究该函数性质.

\xl

（1）绘制函数图象

①列表：下列是工与），的几组对应值，其中。=」.

X••••••-5-4-3-2-112345

y••••••-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8

②描点：根据表中的数值描点（X,），），请补充描出点（2,〃）；

③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

y

»一-一

「一「-LLT号1m

11111.Illi11

「一「一「一丁一7+—r—i—i—1一

11111IIII11

r-r-r-r-t-3-一r一r-r一1一

IIII

।1।।■।।।।*IIII11

-T-R-R-T-

1IIII11

I।।।।।1।IIII11

卜一A-A->一+-1・一T一T-T-T-

11111IIII11

H5-4-8-2-il012345

U-U-4--4.-----»一」—1-----1—

11111IIII11

L-L-L-L-X-2_」_」_」_」一

11111IIII11

L.L-L.L.

11111IIII11

IlliIIII11

L_L_L_L_1^5IIII1」

（2）探究函数性质

请写出函数）=尚_凶的一条性质：v=占一M的图象关于v轴对称（答案不唯•）

（3）运用函数图象及性质

①写出方程怖-|x|=5的解尸1或x=-1；

1%1

②写出不等式。一k区1的解集与-2或在2

团

解：（1）①列表：当x=2时，-|2|=L

答案：I;

②描点，③连线如下：

（2）观察函数图象可得：）=尚-团的图象关于轴对称，

答案：），=点一R的图象关于），轴对称（答案不唯一）；

（3）①观察函数图象可得：当），=5时，x=l或x=-1,

6

-Ui=5的解是x=1或x=-1,

答案：x=l或x=・1：

②观察函数图象可得，当x《-2或x22时，）W1,

6

：.-—kiwI的解集是-W-2或x22,

答案：xW-2或x22.

五、一次函数的应用

【高频考点精讲】

1.分段函数问题

分段函数是在不同区间内存在不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，乂要符合

实际。

2.函数的多变量问题

解决含有多变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以

反映实际问题的函数。

【热点题型精练】

29.(2022•攀枝花中考)中国人逢山亓路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹.雅西高速是连接雅安和

西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公

路之一，全长24(加〃.一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离

(km)与时间x(〃)之间的函数关系：折线O43N表示轿车离西昌距离”(km)与时间x(〃)之间的函数关系，

则以下结论错误的是()

A.货车出发1.8小时后与轿车相遇

B.货车从西昌到雅安的速度为605?〃？

C.轿车从西昌到雅安的速度为11诙加小

D.轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20酎〃

解：由题意可知，

货车从西昌到雅安的速度为：240+4=60(%〃])，故选项8不合题意；

轿车从西昌到雅安的速度为：(240-75)+(3-1.5)=110(km/h),故选项C不合题意；

轿车从西昌到雅安所用时间为：2404-110=2^-(小时)，

7Q

3-2n=n(小时)，

设货车出发X小时后与轿车相遇，根据题意得：

60%=110(%-^-),

解得x=1.8,

・••货车出发1.8小时后与轿车相遇：故选项4不合题意；

轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60X史W=40(km),故选项。符合题意.

答案：D.

30.(2022•毕节中考)现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件.某物流公司的汽车行驶30k〃后进入高

速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶1人到达目的地.汽车行驶的时间x(单位：力)与

行驶的路程y(单位：km)方间的关系如图所示.请结合图象，判断以下说法正确的是()

A.汽车在高速路上行驶了2.5/?

B.汽车在高速路上行驶的路程是180卜〃

C.汽车在高速路上行驶的平均速度是72kmih

D.汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40k汕h

解：・・•3.5〃到达目的地,在乡村道路上行驶1〃，

二汽车下高速公路的时间是2.5/2,

・••汽车在高速路上行驶了2.5-0.5=2(〃)，故A错误，不符合题意；

由图象知：汽车在高速路上行驶的路程是180-30=150（k〃），故8错误，不符合题意;

汽车在高速路上行驶的平均速度是150+2=75Ckm/h）,故C错误，不符合题意：

汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220-180）4-1=40（km/h）,故。正确，符合题意；

答案：D.

31.（2022•绥化中考）小王同学从家出发，步行到离家。米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑

自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离），（单位：米）与出发时间工（单

位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（）

C.3分钟D.3.2分钟

解：由图象可得,

小王的速度为三米/分钟，

12

爸爸的速度为：/二C=-（我/分钟），

（12-4）+24

设小王出发，〃分钟两人第一次相遇，出发〃分钟两人第二次相遇,

—m=(ni-4)>—,—-//+^[n-4-(12-4)+2]=。,

12412*

解得m=6,n=9,

n-in=9-6=3,

答案：C.

32.（2022•苏州中考）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管排

水，8分钟时:关闭进水管，直至容器中的水全部排完.在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分钟）

29

之间的函数关系如图所示，则图中”的值为一.

—3—

解：设出水管每分钟排水X升.

由题意进水管每分钟进水10升,

则有80-5x=20,

•・x=12,

•••8分钟后的放水时间=患=|,8+「掌

・.・_。一2丁9，

29

答案:T

33.（2D22•阜新中考）快递员经常驾车往返于公司和客户之间.在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离s

«加）与行驶时间/（A）之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行

驶），那么快递员的行驶速度是35km/h.

解：•・・快递员始终匀速行驶,

8.75

・•・快递员的行驶速度是=35(km/h).

0.55-2(0.35-0.2)

答案：35.

34.（2022•深圳中考）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要

便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样.

（1）求甲乙两种类型笔记本的单价.

（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是

多少.

解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元,

c…不110120

由通意倚'玄二一？

解得x=ll,

经检验x=ll是原方程的解，且符合题意,

，乙类型的笔记本单价为1+1=117=12（元）,

答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元;

（2）设甲类型笔记本购买了。件，费用为“，元，则乙类型的笔记本购买了（100-，）件,

•・•购买的乙的数量不超过甲的3倍,

A100-a^3a,且100■心0,

解得25WaW100,

根据题意得卬=114+12(100-a)=lla+12()0-12a=-a+1200,

V-1<0,

，卬随a的增大而减小，

••“=100时，卬最小值为・100+1200=1100（元），

答：最低费用为1100元.

35.（2022•南通中考）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/依、12元伙g,这两种苹果的销售额y（单

位：无）与销售量x（单位：奴）之间的关系如图所示.

（1）写出图中点4表示的实际意义；

（2）分别求甲、乙两种苹果销售额），（单位：元）与销售量x（单位：依）之间的函数解析式，并写出x的取值

范围;

（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为。依时，它们的利润和为1500元，求。的值.

解.：（1）图中点8表示的实际意义为当销量为60仅时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元：

（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为），甲=依400）,

把（60,1200）代入解析式得：1200=60心

解得2=20,

二甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y