勾股定理的探究-2024苏科版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

3.1勾股定理的探究苏科版（2024）初中数学八年级上册同步练习

分数：120分考试时间：12（）分钟命题人：

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.如图，在回ABC中，AB=AC,AD是乙84C的平分线.已知=5,AD=3,则8C的长为（）

2.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图.观察图形，可以验证

公式（）

A.（a4-b）（a—b）=a2—b2B.（a+b）2=a2-2ab+b2

C.c2=a2+h2D.（a—b）2=a2—2ab+b2

3.如图，我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（占人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对

全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.若Q=3,h=4,则该三角

形的面积为（）

A.l。B,12C.-D.彳

4.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这人图形被称为弦图，在用弦图验证勾股定

理时，用到的面积相等关系是（）

A.S△ABH=S正方彬EFGH

B.S./^,fiABCD=S通力彩EFGH

C.S正方xEFGH+4S△ABH=S正方及ABCD

D.2S△ABH=S正方必ABCD-S正方影EFGH

5.如图，四个全等的直角三角形围成正方形48co和正方形EFGH,连接力。，分别交EGGH于点、M,

M已知4H=30〃，正方形ABC0的面积为24,则图中阴影部分的面积之和为（）

BC

A.4B.4.5C.4.8D.5

6.已知直角三角形纸片的两条更角边长分别为m和九（m<n）,过锐角顶点把该纸片剪成两个三角

形.若这两个三角形都为等腰三角形，则下列结论正确的是（）

A.m2+2mn+n2=0B.m2-2mn4-n2=0

C.m2+2mn-n2=0D.m2-2mn-n2=0

7.如图，在等腰直角三角形AC8中，乙1C8=9O。，AC=BC,RAB2=8,以边48,AC,BC为直径

画半圆，所得两个月形图案4FCD和BGCE（图中阴影部分）的面积之和为（）

A.8B.4C.2D.1

8.如图，在回力BC中，Z.ACB=90°,分另U以图48c的边AB,BC,AC为新的直角边或斜边向外作等腰

直角三角形尸、等腰直角三角形BEC和等腰直角三角形4DC.记团48F,团8EC,R1ADC的面枳分别

是Si，52,S3,则Si，S2,S3之间的关系是（）

A.S1<S2+S3B.S[=52+S3C.2sl>S?+S3D.2sl=S?+S3

9.设a,6是直角三角形两条直角边的长.若该三角形的周长为6,斜边的长为2.5,则ab的值是（）

A.1.5B.2C.2.5D.3

10.如图，在RC团48c中，4B=6,BC=8,4。为NB4C的平分线，将gADC沿直线4D翻折得到团『DE,

则DE的长为（）

A.4B.5C.6D.7

11.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2所示的方

式放置在最大的正方形内.若已知图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积

C.较小的两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积之和

12.如图，三角形纸片力BC中，Z.BAC=90°,AB=2,沿过B卜

点力的直线将纸片折叠，使点8落在边BC上的点。处：再折叠纸片，使点C

与点。重合，若折痕与4c的交点为E,贝的长是（）

795

--c163-

A.3B.4D.2

二、埴空题：本题共4小题，每小题3分，共12分c

13.在田力8。中，若/8=4。=5,BC=6,则团48。的面积定

图1图2图3

(1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形,

请用它验证勾股定理：c2=a2+d2；

(2)如图3,在Rt团48c中，/.ACB=90°,CD是AB边上的高，AC=4,BC=3,求CD的长度.

19.(本小题8分)

如图，在△43。中，4。_£8。于点。，点£为4。上一点，连接BE,DE,OE的延长线交于点几己

知OE=AB,Z,CAD=45

(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明.已知：如图，在△48。中，乙403=90。，3C=a,

AC=b,AB=c»求证：a2+b2=c2.

20.(本小题8分)

【项Fl主题】探究斜三角形的三边数量关系.

(1)任务一：如图①，在钝角三角形力8C中，"CB是钝角，乙CAB,LCBA,41cB的对边分别为Q,b,

c,过点C作CB的垂线并截取CD=C4连接BD,AD,通过构造R£△BCD得到M+垓=B。？，从而

将问题转化为比较图中线段A8和8。的大小，体现转化的数学思想，再从角的大小关系不难得出

乙＞乙DAB,最后可得到结论a2+炉。2.(填“V”或“=”)

(2)任务二：如图②，A/IBC是锐角三角形，且是最大角，乙4,乙B,NC的对边分别是a，b,c,

猜想〃+c?_____。2(填”＞，，”v，，或“二”)，并说明埋由.

(3)任务三：①三边长分别为4,5,7的三角形是；(填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝

角三角形”）②已知锐角三角形的两边长分别为3和5,则第三条边长m的取值范围是.（请直接写

出结果）

21.（本小题8分）

如图，在△48。中，AB>AC,40是边上的高，将△TlOC沿710所在的直线翻折，使点。落在8。边

上的点E处.

CD=5,求△A8C的面积;

(2)求证：AB2-AC2=BE-BC.

22.（本小题8分）

如图，在回力3。中，AC18。于点C,£为力C上一点，连接0E,的延长线交43于点F.己知0E=AB,

Z.CAD=45°.

（1）求证：^ABC^DEC.

（2）DFAB.（填位置关系,这个结论可以直接用于证明过程）

（3）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明.

已知：如图，在团力BC中，44c8=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求证：a2+b2=c2.

23.（本小题8分）

如图，目ACB和图OCE均是等腰直角三角形，Z.ACB=^ECD=90\D为边AB上一点、.

A

Z\\D

E

CB

(1)求证；^ACE^BCD.

(2)若4。=5,BD=12,求。E的长.

24.(本小题8分)

如图，在。48co中，DE1BC于点、E,延长。8至点尸，使得8FCE,连接4尸,DF.

(1)求证：四边形是矩形.

(2)若48=3,DF=4,DFLCD,求DE的长.

AD

FBEC

25.(本小题8分)

如图，在菱形中，对角线力C与3。相交于点0,乙BAD=0,BD=6,求对角线4C?

答案和解析

1.【答案】C

【解析】48=ACAD是，BAC的平分线，BC=2BD,AD1BC,.,.乙ADB=90°,•••力8=5,AD=3,

:.BD=4,ABC=2BD=8.

2.【答案】C

【解析】略

3.【答案】B

【解析】略

4.【答案】C

【解析】略

5.【答案】C

【解析】•••5才方形ABCD=24，；•力〃2=24,设=则4H=3OH=3x,

:.x2+9x2=24,x2=^=系根据题意可知力E=CG=DH=x,CF=AH=3x,

•••FE=FG=CF-CG=3x-x=2x,•••S“GN=2SACC/V.

'**S&4£M=S&cGN，：,S"GN=+S^cGN，”阴影部分的面积之和为

2

s梯形NGFM=*NG+FM)•FG=；(EM+MF)•/G=3尸E•FG=；•(2x)2=2x=^=4.8.

故选C.

6.【答案】C

【解析】如图，剪成一个腰长为m的等腰直角三角形和一个腰长为"-/n的等腰三角形.由题意，得

m2+m2=(n-m)2,BP2m2=n2-2mn+m2,m2+2mn-n2=0.

7.【答案】C

【解析】提示：由题意，易得4c=8C=2.所以阴影部分的面积之和为yr（竿）？+S团4C8-N偿）J

7T+2—7T=2.

8.【答案】D

【解析】略

9.【答案】D

【解析】略

10.【答案】B

【解析】提示：在RtaABC中，由勾股定理，得4?=10.由折叠，得AE=AC=10,所以BE=4.设

DE=x,则8。=8。-0。=9(?-0£1=8-％.在g2\80£1中，由勾股定理，得(8—%产+4?=7,

解得％=5.所以DE的长为5.

11.【答案】C

【解析】提示：设直角三角形的斜边长为C,较长直角边为。，较短直角边为Q.由勾股定理，得/=M十

〃，阴影部分的面积为C?一〃一Q(C-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c).由题图可知，较小两个正方

形重叠部分的宽为a-(c-b),长为如则面积为a(a+匕-c).所以若已知题图中阴影部分的面积，则

一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积.

12.【答案】C

【解析】解：由折卷的性质得：AB=AD=2,ED=EC,"DB=乙3,乙EDC=乙。,

vABAC=90°,

zB+NC=90°,

•••^ADB+Z-EDC=90°,

:./.ADE=90°,

在中，由勾股定理得：AC=VBC2-AB2=J(\H3)2-22=3,

设=^iCE=ED=3-x,

在Rt△?!£)£1中，由勾股定理得：AD2+ED2=AE2,

即22+(3-幻2=%2,

解得：％二号，

O

故选：C.

先由折叠的性质得出48=40=2,ED=EC,Z-ADB=ZF,乙EDC=LC,推出乙4OE=90。，再由

勾股定理求出4C=3,设4E=x,则CE=EO=3-x,然后由勾股定理列出方程，解方程即可.

本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键.

13.【答案】12

【解析】如图，取BC的中点D,连接AO.♦♦•4B=4C=5,BC=6,：.AD工BC,BD=加=3,

AD=yJAB2-BD2=4,ABC的面积=1x6x4=12.

14.【答案】4

【解析】如图,连接BE,DE.

vZ.ABC=^ADC=90°,E是对角线4c的中点，

BE=^AC,DE=\AC.-.AC=10,:•EE=DE=5.

过点E作EF'J.80于点V,则F'是线段BD的中点，二8/二：BD=；X6=3.

在/△BE/中，由勾股定理，得EE'=7BE?一B尸2=里

由“垂线段最短”知，线段EF的最小值为EV的值，即为4.

15.【答案】210

【解析】提示：根据勾股定理，得。2+匕2=。2,则(c-a)(c+a)=炉，即49(C-a)=Z?2.因为a,b,

c都是整数，所以可■设b=7m(m取1,2,3...).当m=3时，a=20,b=21»c=29；当m=5时，

a=12,b=35,c=37.故直角三角形的面积为210.

16.【答案】45°

【解析】提示：连接AD，设小正方形的边长均为1.根据勾股定理，得4标二尸+32=10,CD2=/+

32=10,AC2=22+42=20,所以4。=CD,AD2+CD2=4c?所以△力以)是等腰直角三角形，且

LADC=90°,^DAC=LACO=45°.W^AB//DE,所以乙84。+=180°,所以N84C+

乙CDE=180°-(Z.ADC+Z.DZC)=45°.

17.［答案］由题意，图中的四边形/CED为直角梯形，△BD4为等腰直角三角形,R£团ABC三/?£团BDE.

设梯形力CEO的面积为S,

则S=1(a+b)(a+b)=；(Q2+人2)+a/).

_J11

又,JS=SRI田8DA+2SR怩48c=2c2+2x2

•••1(a2+b2)+ab=1c2+ab,•••a2+b2=c2.

【解析】略

18.【答案】解：（1）如图1,

•.•正方形4BCD的面积=AB2=心、且正方形48co的面枳=4个全等的直角三角形的面枳+一个小正

方形的面积=x4+(b-a)2,

•••：abx4+(b—a)2=c2，

整理得。2=。2+炉；

(2)•.•在Re△48c中，乙ACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=VAC2+BC2=V424-32=5.

••・。。是48边上的高，

•••SM8C=0C・BC=；4BCD,

Ix4x3=Ix5•CD,

ACD=M

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

19.【答案】【小题1】

'：AC1BD,Z.CAD=45。，二AC=DC,^ACB=乙DCE=90

Ar=r)r

在Rt△ABC^Rt△DEC中，二蓝•••Rt△ABC三Rt△DEC(HL),

AD—UD9

ZIBAC=乙EDCJ：乙EDC十乙CED=90%乙CED=4AE/，

^AEF+Z-BAC=90°,•••Z-AFE=90°,DF1AB.

【小题2】

由Rt△ABC三Rt△DEC,得BC=EC=a,AB=DE=c,AC=CD=b.

S^BCE+^hACD=S^ABD一^£,ABE»

.^a2=YC-DF-YCEF=^C-(DF-EF)=YC-DE=^c2,

：•a2+b2=c2

【解析】1.略

2.略

20.【答案】【小题1】

<

【小题2】

）理由：过点4作AC的垂线并截取AM=48=C,连接8M,CM,

如图，在RCAAL4C中，NAL4C=90。，^AM2+AC2=MC2,

-AM=AB,乙4MB=乙ABM>乙BMC.

v乙MBC>乙ABM,；.乙MBC>乙BMC,

在aMBC中，MC>BC,即MC2>BC2,即垓+02>Q2

【小题3】

钝角三角形

4<zn<V34

【解析】1.

过点C作CB的垂线并截取CD=C4,连接8D,AD,

在中，。2+62=8。2,.../cue。，...44。。=4CRD,.../-ADC>Z.DAB.

,:乙ADB>^.ADC,•••Z,ADB>乙DAB,:.AB=BD,:.c2>BD2,：-a2+b2<c2.

2.略

3.

①•••3+52=CY</声=/而，.•.为钝角三角形.

②当锐角三角形的两短边长分别为3和5,则第三边小于VG+52：V~34;

当锐角三角形的短边长为3,长边长为5,则第三边大于，52—32=4；

则第三条边长m的取值范围是4<m<E.

21.【答案】【小题1】

40是BC边上的高，^ADB=^ADC=90

在中，•••AC=13,CD=5,AD2=AC2CD2=122,•••AD=12.

在/?£4力。8中，•••48=20,AD=12,BD2=AB2-AD2=162,/.fiZ)=16,

8C=BD+CD=16+5=21,二SAABC=x21x12=126.

【小题2】

•••△力。。沿4。所在的直线翻折得至1卜力。£<,，/1。=4£1,DC=DE.

在RtaAOC中，由勾股定理，得力。2=力。2+。。2,

在RtZk/IDB中，由勾股定理，^BD2=AB2-AD2,

AB2-AC2=AB2-(AD2+DC2)=AB2-AD2-DC2=BD2-DE2=(BD-DE)(BD+DE).

•••BE=BD-DE,BC=BD+DC=BD+DE,•••AB2-AC2=BE-BC.

【解析】1.略

2.略

22.【答案】【小题1】

证明：因为AC1BD,所以乙/1CB=Z-ACD=90°.因为“40=45°,所以乙40c=90°-Z,CAD=45°=

乙CAD,所以4C=OC.又因为48=OE,所以Rt国4BC三Rt回OEC(，L).

【小题2】

1

【小题3】

证明：因为由ABC三团DEC,所以DE=AB=c,DC=AC=b,EC=BC=a.由题图，得S的杉=S^BCE+

SGACD=S^ABD-S^ABE，所以\BC-EC+^AC-DC=\AB-DF-^AB.EF=\AB•(DF-FF)=

\AB-DE,Bp|a2+1b2=|c2»所以。2+力2=。2.

乙乙乙乙

【解析】1.略

2.略

3.略

23.【答案】【小题1】

证明：因为团71cB和团OCE均是等腰直角三角形，Z.ACB=LECD=90°,所以4C=BC,EC=DC,

(AC=BC,

所以NDCB=/.ACB-^ACD=乙ECD—乙ACD=zEC4在EMCE和团BCD中，^ECA=N0C8,所以团

EC=DC,

ACE三圈BCD(SAS).

【小题2】

解：由(1)知团ACE三团BCD,所以力E=8。=12,zEAC=