勾股定理的应用【教师版】-2024年八年级下册数学同步讲义（人教版）

第10讲勾股定理的应用

类型一：勾股定理解决路径问题

类型二：勾股定理解决折叠问题

类型三：勾股定理解决实际问题

类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题

【类型一：勾股定理解决路径问题】

1.（2023春•分宜县期末）如图，在长方体力8。。-£7七〃盒子中，已知BC=3CM,CG=5c〃i,

长为10cm的细直木棒。恰好从小孔G处插入，木棒的一端/与底面45co接触，当木棒的端点I在长

方形力8c。内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）

C.(10-4^2)cmD.5cm

【分析】当G/最大时，G/最小，当/运动到点力时，G/最大，根据勾股定理求解即可.

【解答】解：当G/最大时，最小，当/运动到点力时，G/最大，此时

而AC2=AB2+BC2=42+32=25,

25+5^=VS0=5V2（cw）»

，G/长度的最小值为（10-572）cm.

故选：A.

2.(2022秋•永州期末)如图，在RtZ\49C中，ZJ=90°,BD平分NABC交AC于D点,48=12,BD=

13,点尸是线段8c上的一动点，则PO的最小值是（）

A.6B.5C.13D.12

【分析】过点。作。石JL8C于点£则的最小值是。E的长，根据角平分线的性质定理可得力。=

DE,再由勾股定理求出力。的长，即可求解.

【解答】解：如图，过点。作Q£_LBC于点£,则P。的最小值是的长，

1

A

VZJ=90",BD平分4ABC,

：.AD=DE,

\*AB=\2t80=13,

•••AD=7BD2-AB2=5*

:・DE=5,

却尸。的最小值是5.

故选:B.

3.（2023秋•北仑区校级期中）如图，A4BC中,ZC=90°,AC=8,BC=6,线段OE的两个端点。、E

分别在边/C,AC上滑动，且。£=6,若点M、N分别是02、，44的中点，则AW的最小值为（）

【分析】根据勾股定理得到48=10,根据直角三角形斜边中线的性质求得。汽=上48=5,CM=』DE=

22

3,由当C、M、N在同一直线上时，A/N取最小值，即可求得MN的最小值为2.

【解答】解：如图，连接CM、CN,

VZC=90°,JC=8,BC=6,

.,.J5=^AC2+BC2=1（）,

・；DE=6,点、M、N分别是。乐48的中点，

：.CN=^AB=5,CM=^-DE=3,

22

当C、A/、N在同一直线上时，A/N取最小值,

・，WV的最小值为：5-3=2.

故选：A.

2

4.（2022秋•绵阳期末）如图，在△480中，ZAOB=90a,/84。=30°,80=6,的面积为12m

点、M,N分别在。0、线段上运动，则A/N长度的最小值等于（）

A.号B.号C.V3D.273

【分析】过点。作。CJ■48,交O。于点尸，当点M与点P重合，点N与点C重合时，MN长度的最小

即为线段夕。的长度，利用含3（）度角的直角三角形的性质及勾股定理得出A0=6j§，再由等面积法确定

0C=3V3，由圆的面积得出r=W§=0P，结合图形即可得出结果.

【解答】解：过点O作。C_L/出，交0。于点匕当点M与点产重合，点N与点C,重合时，A7N长度的

最小即为线段尸C的长度，

VZAOB=90°,ZBAO=30°,BO=6,

:,AB=2BO=V2,

AA0=7AB2-B02=6V3*

-*-yA0XB0=yABX0C»

乙乙

解得：0C=3小

・・・0。的面积为12m设半径为八

AiT/-2=127rr=2V3=0BPC=0C-0P=V3>

即MN长度的最小值为JE，

3

【解答】解：如图，连接6P,

:.BD=DC,

:.BP=PC,

:・PC+PQ=BP+PQ=BQ,

・••当8,P,。共线时，PC+尸。的值最小，

・••当8Q_L4c时，8。的值最小，

令力2=〃，贝

:.AB2-AQ，2=BC2-CQ，2,

即102-672=122-(10-67)2,

解得“=¥，

5

A^'=V102-a2=^

C.PC+PQ的最小值为殁.

5

故答案为：名.

5

7.(2023秋•吴中区期中)如图，一支铅笔放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是%>〃?，内壁高若

铅笔长为18c/〃，则这只铅笔露在笔筒外面的长度〃的最小值是3cm.

【分析】由勾股定理求出力C=15cm,即可解决问题.

【解答】解：如图，

5

由题意可得：AB=\2cmyBC=9cm,ABLBC,

在RtA4BC中，山勾股定理得；AC=7AB2+BC2=7122+92=15(由)，

・•,这只铅笔露在笔筒外面的长度〃的最小值是：18・15=3(cm),

故答案为：3c

8.(2023秋•大冶市期中)如图，在△4?。中，ZABC=45°,AB=4^2.4c=6,BC>4,点、E,b分别

在BC,4C边上，且力尸=。£,则4E+8厂的最小值为，倔

【分析】过力点作力G〃8C,截取4G=4C,连接产G,BG,过8作8A_L4G,交AG的反向延长线于

R,则NH4C=N8/"=9()”,利用S4S证明△/R7出△<:£1/!可求得4E+8尸的最小值即为8G的长，再

结合等腰直角三角形的性质及勾股定理可求解.

【解答】解：过4点作力G〃3C,截取4G=4C,连接/G,BG,过8作8R_L4G,交AG的反向延长

线于火，则NH4C=N8/S=90°,

・•・NGAF=NACE,

在△4R7和△C£4中，

'AG=AC

'NGAF=NACE，

AF=CE

:・AAFGqACEA(SAS'),

；・GF=AE,

・・・/E+8R的最小值,即为8G的长,

VZABC=45Q,

6

：.ZRAB=ZEBA=45°，

♦:AB=4版,

:.BR=AR=4,

VJC=6,

.\AG=AC=6,

：,RG=AR+AG=4+6=\0,

4G=JBR2+R(}2=742+102=2^29，

即AE+BF的最小值为2匹.

放答案为：2729.

【类型二：勾股定理解决折叠问题】

9.（2023春♦息县月考）已知，如图长方形48CO中，AB=3cm、AD=9cm,将此长方形折叠，使点8与点

。重合，折痕为ER则△442的面枳为（）

C.6cnrD.\2crn1

【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE,在直角△nBE中，利用勾股定理就可以求解.

【解答】解：将此长方形折叠，使点8与点。重合，・・・8E=E。.

■;AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

:・BE=9-AE,

根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2.

解得AE=4.

•••△力8£的面积为3X4+2=6.故选：C.

10.（2023春•岳麓区校级期末）如图，△力8c中,ZACB=90°,AC=4,BC=3,将△/7)£沿OE翻折,

使点A与点B重合，则AE的氏为（

25

7

【分析】在RtZkBCE中，由BE2=CE2+BC2,得到(8・x)2=x2+62,即可求解.

【解答】解：设/七=8E=x,则。七=4-K,

在RtZ\8CE中，BE2=CE2+BC2,

即可=(4-x)2+32,

解得x=孕，

8

故选：D.

11.(2022秋•西峡县期末)如图，在长方形/8CO中，AB=3cm,BC=4cm.将长方形沿对角线力。折叠,

点。落在了0'位置，AD'与4C相交于点区则8E的长等于()

【分析】设BE=xcm,则反?=(4-X)cm,根据题意可证得RtZ\48£gRtZ\Cf»,可得4七=£。'=

皿7〃，根据七。2=七》2+。。'2可得到关于x的方程，求解即可得到答案.

【解答】解：设BE=XCM则EC=(4-x)cm.

根据图形折叠的性质可知

CD=CD',ND=/D'.

•・•四边形彳8。为长方形，

:,AB=CD=3cm,NB=ND=90°.

：.AB=CD'=3cm,NB=ND'=90°.

在七和△CE。'中

2B=NT

■ZAEB=ZCEDy

AB=CDy

・•・4ABEq△CED'CAAS).

BE=ED'=xcm.

在RtZ\C£。'中

EC2=ED'2+m2,

即(4-x)2=『+32.

解得x]

8

・cl7

•・

o

8

故选：A.

12.（2023秋•九台区期末）如图，Rt△44。中，N8=9（）°,AB=4,BC=6,将△/折叠，使点C与48

的中点。重合，折痕交/C于点"，交8C于点N,则线段CN的长为（）

【分析】由折叠的性质可得QM=CM根据勾股定理可求ON的长，即可求CN的长.

【解答】解：是48中点，AB=4,

：.AD=BD=2,

•・•将△48c折叠，使点C与的中点。重合，

:.DN=CN,

：.BN=BC-CN=6-OM

在Rtz^OBN中，DN?=BW+D#,

：.DN2=（6-Z）/V）2+4,

.\£）；V=—,

3

：.CN=DN=—,

3

故选：Q.

13.（2022秋•东坡区期末）如图，将长方形纸片48CQ的边沿折痕力E折叠，使点。落在8c上的点尸处,

若43=5,AD=\3,则E户的长为（）

【分析】先由长方形的性质得到“。=力。=13,NB=NC=90°,CD=4B=5,再由折叠的性质得到力尸

=AD=\3,EF=DE,利用勾股定理求出8/=12,则6=1,设EF=DE=x,则Cf=CZ）-OE=5-x,

利用勾股定理建立方程，=12+（5・x）2,解方程即可得到答案.

【解答】解：由K方形的性质可得6。=月。=13,ZZ?=ZC=90°,CD=AB=5,

9

由折叠的性质可得加?二力力二球，EF=DE,

在Rt△48厂中，由勾股定理得BF=VAF2-AB2=12,

:・CF=BC-BF=\,

设则C£=CO-DE=5・x,

在RL^CE尸中，由勾股定理得后产=。£：2+0产，

/.^=12+（5-x）2,

解得X』，

5

故选：B.

14.（2023秋•银川期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边/C=6s〃，BC=8cm,现将直角边4C

沿直线力。对折，使它落在斜边48上，且与4£重合，求CD的长.

【分析】先由勾股定理求力8=10.再用勾股定理从△。£8中建立等量关系列出方程即可求CQ的长.

【解答】解：•・•两直角边力C=6c、〃?，BC=8cm,

在Rt△48C中，由勾股定理可知48=10,

现将直角边彳。沿直线力。对折，使它落在斜边上，旦与4E重合，贝iJCO=OE,AE=AC=6,

AZ?E=10-6=4,

设。K=CO=x,BD=8-x,

在中，根据勾股定理得：BD2=DE2+BE2,即（8-x）2=x2+42,

解得x=3.

却CD的长为3cm.

15.（2023秋•青岛期中）如图，少一面直角坐标系中，点。的坐标为（15,9）,过点。作。轴，。。，戈

铀.点E为y轴上一点,将△NED沿直线DE折叠，点/落左边AC上的点尸处.

（1）请你直接写出点力的坐标；

（2）求尸C,4E的长；

（3）求四边形EOEO的面积.

10

【分析】(1)证明四边形力。。。是矩形，再结合。的坐标即可得出结果；

(2)根据折叠的性质得出。尸的长，冉根据勾股定理求出C产的长，即可得出。尸的长，设.4E=x,在Rt

△OEF中根据勾股定理得出等式求解得出AE的长即可；

(3)根据折叠的性质可知，四边形的面积=S/\EO//+S/\E/7)=S/\£06"S△力以)，再根据三角形的面

积公式求解即可.

【解答】解：(1)・・・D4J_y轴，OCJ_x轴，乙4。。=9()°,

・•・四边形4OCO是矩形，

VZ)的坐标为(15,9),

：.AD=OC=\5,CD=A0=9,

：,A(0,9)；

(2)•・•将△/£1/)沿直线OE扑登，点力落在边8。上的点E处.

:・DF=AD=15,

=22

・•・CF7DF-CD=V152-92=12，

：,OF=OC-CF=\5-12=3,

设AE=x,则EF=x,OE=9-x,

在RtZXC无尸中，由勾股定理得，

OE2+OF2=EF'2,

即(9-X)2+32=/,

解得x=5,

AJE=5；

(3)由(2)知力E=5,

・・・OE=9-5=4,

由折叠的性质可知，S/\AED=SADFE，

，四边形EOFD的面积=S/\E0卢SzX£FZ)=S/XE0/r+Sz\4EO

*•吟XAE-AD

=yX4X3+yX5X15

11

=87

~2

【类型三：勾股定理解决实际问题】

16.（2022秋•辉县市校级期末）如图1,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落

在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（）

图1

A.20米B.18米C.16米D.15米

【分析】利用勾股定理进行求解即可.

【解答】解：设大树在折断之前的高是xw,

由勾股定理得：（x-5）2=122+52,

解得：x=18或x=-8（不符合题意，舍去）,

・••大树在折断之前的高是18〃?；

故选：故

17.（2022秋•古县期末）如图，为了测量池塘的宽度力应在池塘周围的平地上选择了4B,。三点，且

A,D,E,。四点在同一条直线上，ZC=90°,已测得力6=100m,BC=60m,AD=20m,EC=l0m,

则池塘的宽度。£是（）

60/〃C.50wD.40”?

【分析】根据已知条件在百角三角形/C8中,利用勾股定理求得的长，用力。减去力。、CE求得OE

即可.

【解答】解：在中,ZC=90°,AB=W0ni,BC=60mf

•*-AC=VAB2-BC2=V1002-602=80（质，

：.DE=AC-AD-fC=80-20-10=50（〃？），

；・池塘的宽度。E为50米.

故选：C.

12

18.（2022秋•万荣县期末）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、台地等多种地貌类型，

整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原.如图，在力村与〃村之间有一座大山，原来从/村到8村,

需沿道路力一C-8（ZC=90°）绕过村庄间的大山，打通力，8间的隧道后，就可直接从4村到8村.已

知4C=9七〃，BC=\2km,那么打通隧道后从4村到8村比原来减少的路程为（）

A.7kmB.6kmC.5kmD.2km

【分析】由勾股定理求出48=近2顺2=15（km）,因此4c+8。■48=6（km）,即可得到答案.

【解答】解：VZC=90°,AC=9km,BC=\2km,

A^=VAC2+BC2=15dW，

：,AC+BC-AB=9+\2-15=6（km）,

，从A村到B村比原来减少的路程为6km.

放选：B.

19.（2023秋•尤溪县期中）如图，一架25〃?长的梯子48,斜靠在竖直的墙4C上，这时梯子的底部3到墙

底端C的距离为7m.

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的底部8在水平方向滑动了8机至。，那么梯子的顶端4沿墙垂直也下滑了8〃?吗？

CBD

【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；

（2）根据勾股定理，求出石C即可解答.

【解答】解：（1）根据题意得：月8=25,8c=7,

*,^C=VAB2-BC2=7252-72=24（〃力'

答：这个梯子的顶端距地面有24〃?；

（2）梯子的顶端力沿墙垂直不是下滑了8小,

,:BC=1,BD=8,

ACD=15w,

AC£：=5/DE2-CD2=7252-152=2°（〃?），

13

：.AE=AC-CE=24-20=4(w),

・•・梯子的顶端力沿墙垂直也下滑了4〃?.

20.(2023秋•左权县期中)在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷.图是他们搭建帐篷的支架

示意图.在△48C中，两根支架从帐邃顶点力支撑在水平的支架上，一根支架8c于点。，另一根

支架力E的端点E在线段4。上，且4E=BE.经测量，知%)=16〃，AD=\.2m,AC=1.5m.根据测量

结果，解答下列问题：

(1)求ZE的长;

(2)按照要求，当帐篷支架4?与力。所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定.请通过计算说明辰星小组

搭建的帐篷是否符合要求.

【分析】（1）设力石=》加，贝ij加，ED=（1.6-x）m,在口12\/1。£中，利用勾股定理即可求

解：

（2）利用勾股定理求出与CO的长，从而得出8C的长，再利用勾股定理逆定理得出△力8C是直角

三角形，NB4c=90°,进而得出结论.

【解答】解：（1）设4£=%加，则BE=4E=xm,ED=（1.6-x）m,

*：AD±BCt

AZ1ADB=ZADC=90a,

在Rt^/lOE中，AD2+ED2=AE2,

1.22+（1.6-x）2=/,解得x=^".

4

的长为

4

（2）帐篷符合要求.

理由如下：

在RtAJ^D中，BD-1.6m,AD~1.2/〃，

・••AB=VBD2+AD2=71.62+l.22=2ir

在RlA/OC中，AD=\2m,AC=\.5m,

2222

：•CD=VAC-AD=71.5-l.2=0.9m-

:・BC=BD+CD=25m,

VJB2+JC2=22+1.52=6.25,5C2=2.52=6.25,

\AR1^AC2=HC1.

14

，△48C是直角三角形，ZZ?/1C=90°.

・••帐篷符合要求.

21.（2023秋•二道区期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如

下记录表：

测量示意

图

D

测量数据边的长度①测得水平距离BC的长为15米.

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线48

的长为17米.

③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7

米.

数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面

的垂直高度/O.请完成以下任务.

（1）已知：如图，在中，ZACB=90°,8c=15,AB=17.求线段力。的长.

（2）如果小明想要风筝沿。力方向再上升12米，4C长度不变，则他应该再放出多少米线？

【分析】（1）根据勾股定理求出4C,进而求出力。；

（2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案.

【解答】解：（1）在Rt4/18。中，ZACB=90°,BC=15,AB=17,

由勾股定理得：AC=^/AB2-EC2=V172-152=8,

则4O=/C+CO=8+1.7=9.7；

（2）风筝沿D4方向再上升12米后，风筝的高度为20米，

则此时风筝线的长为：7202+152=25（米），

25-17=8（米），

答：他应该再放出8米线.

【类型四：勾股定理探究动点问题中的直角三角形存在问题】

22.（2023秋•新吴区期中）如图，点力是射线8。外一点，连接力8,若4B=5cm,点力到8c的距离为

3cm,动点P从点〃出发沿射线8c以2CTH/S的速度运动.设范动的时间为/秒，当/为（）秒时，△

15

A.至B.区C.2或空D.2或空

4448

【分析】过点力作力〃于点H,由勾股定理求得8〃=4C〃7,当N/1PB=%"时，此时点尸与点〃重

合，求出/=2；当/A4P=90°时，HP=(2/-4)cm,由勾股定理得力产=4/-482=/|序+//22,列

出方程，解方程即可.

【解答】解：如图1,过点4作4〃_L8c于点〃，

•・•点)到5c的距离为3c/n,

*.AH=3cm,

在Rta/HB中，由勾股定理得：5//=VAB2-AH2=V52-32=4(加)，

分两种情况：

①当N4P8=90°时，

此时点尸与点，重合，

由题意得：2/=4»

解得：/=2；

②如图2,当/历1P=9O°时,

图2

AB=5cm,BP=2tcm,AH=3cm,BH=4cm,

：.HP=(2/-4)cm,

由勾股定理得：//=32-襁2=⑵)2-25,AP2=AH2+HP2=32+(2/-4)2,

:.(2。2-25=32+(2r-4)2,

解得：7=空，

8

综上所述，当/为(2或生)秒时，△48户为直角三角形，

8

故选：D.

23.(2022秋•泌阳县期末)如图，在RtZUBC中,NACB=90：BC=40cm,AC=30cm,初点P从点8

出发沿射线BA以2cm/s的速度运动.则当运动时间/=25或16s时，ABPC为直角三角形.

16

【分析】首先根据勾股定理求出斜边48的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高C。，再分两种情况

进行讨论：①当NBC尸为直隹时，②当/8PC为直角时，分别求出此时的，值即可.

【解答】解：在中，NACB=90°,BC=40cmtAC=30cmf

/^5=VBC2+AC2=V402+302=50(CW)-

如图，作48边上的高。.

*/S2BC=^AB*CD=^AC・BC,

・•・CQ=AC・BC=30x40=24(cw).

AB50

①当N4C尸为直角时，点P与点力重合，40=44=50。〃，

・1=50+2=25(秒).

②当N8PC为直角时，P与。重合，BP=2tcm,CP=24cm,BC=40cm,

在RtA^CP中,•・•8P2+CP2=5C2,

・•・(2/)2+242=4()2,

解得t=\6.

综上，当，=25或16秒时，△8PC为直角三角形.

24.(2023秋•乐平市期中)如图，在△48c中，乙4c8=90°,AC=6cm,BC=^cm,动点P从点。出发，

按C-B-A的路径，以每秒1皿的速度运动，设运动时间为，秒.当/为6或13或12或10.8时,△

,4CP是等腰三角形.

17

【分析】分a=CP、PA=PC、AC=AP、WC="四种情况，根据等腰三角形的性质解答.

【解答】解：VZJCT=90°,AC=6cm,BC=8c〃】,

AJ5=^AC2+BC2=IO,

当。1=C0时，如图：

j

[=6+1=6；

当产力=尸。时，如图:

VZP/4C+Z^=90°,NACP+NPCB=9()°,

工4PCB=/PBC

：.PA=PC=PB=^-AB=5cm,

2

/./=(CB+BP)+1=13；

当4c=/2时，如图：

j

：.PB=AB-AP=4cmt

：.t=(CB+BP)+1E2；

当［C="时，如图：

18

A

D

作CQ_L48于点D

4ABe的面积一2X/CXAC-Lx/iAXCO,印-1x6X8一工X10XCD,

2222

解得，8=4.8,

22=36,

在RtZ\4C。中，^=A/AC-CD-

•"尸=240=7.2,

：.BP=AB-AP=2.Sf

：.t=(CB+BP)4-1=10.8；

综上所述，当/为6或13或12或10.8时，△4C尸是等腰三缶形.

25.(2023秋•阜宁县期中)如图，在。中，NC=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点4出发,

【分析】首先根据勾股定理求出8C的长度，再分两种情况①当N/P8为直角时，②当NB/P为直角

时，分别求出此时的，值即可.

【解答】解：VZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,

：.BC=4cm.

①当N/P8为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm,

・Z=4+2=2s.

②当N84P为直角时，BP=2：cm,CP=(2/-4)cm,AC=3cm,

在RtZXAC尸中，AP2=32+(2/-4)2,

在Rt△历IP中，AB2+AP2=BP1,

A52+[32+(2/-4)2]=(2r)2,

解得『=孕§.

8

综上，当f=2s或空s时，△月8P为直角三角形.

8

19

故答案为：2s或至s.

8

26.(2022秋•南阳期末)如图，在△4?C中，ZACB=90°,AB=}0cni,BC=6cm,若动点尸从点/I出发,

以lc〃?/s的速度沿折线力-。-8-4运动.设运动时间为/(r>0)5.当点P运动到恰好到点A和点B

的距离相等的位置时，/的值为空或19.

【分析】设存在点P，使得产力=尸8,此时P4=