高考数学一轮复习题型突破：等差数列及求和（解析版）

专题7.1等差数列及求和

三（题型目录

题型一基本量的计算

题型二等差中项及等差数列项的性质

题型三等差数列的判定与证明

题型四等差数列前〃项和的性质

题型五求等差数列刖〃项和的最值

题型六根据等差数列刖〃项和的最值求参数

题型七含绝对值的等差数列的前〃项和

题型八等差数列的简单应用

T例集练________________________

题型一基本量的计算

例1.（2023・陕西安康•陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”,

52=-4，%+%=-8,则｛〃.｝的公差为.

【答案】-2

【分析】设｛4｝的公差为d,由已知可得出2〃=Y,求解即可得出答案.

【详解】设｛4｝的公差为"，

由题意得4+生=-<

则（4+%）-（4+/）=2d=-4,所以"=一2.

故答案为：一2.

例2.（2023♦青海海东・统考模拟预测）设等差数列｛q｝的前〃项和为S”，若%+4=4+外,

则与=（）

A.44B.48C.55D.72

【答案】A

【分析】利用基本量法可得4+5"=4,故可求S“的值.

【详解】设｛4｝的公差为乩则4+2d+4=2q+7d,即4+51=4,

则S“=1也+554=44,

故选：A.

举一反三

练习1.（2023春・新疆伊犁•高三奎屯市第一高级中学校考期中）记S“为等差数列｛4｝的前〃

项和.若2s3=3s2+BllSq=《0,贝（J$36=•

【答案】666

【分析】根据条件列出方程组可求出公差和首项，进而可求结果.

【详解】设等差数列｛q｝的公差为d，

则由2s3=3邑+3得2（3%+3d）=3（2%+d）+3,解得d=1,

又配=40，所以44+61=4+94,由d=l可得q=l,

所以S36=36%+^^1=36+18x35=666.

故答案为：666.

练习2.（2023春・广东珠海•高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设S”为等差数列｛q｝的

前〃项和，若q=2,S§=-2。，则%=（）

A.-13B.-10C.10D.12

【答案】B

【分析】根据等差数列求和公式求解.

【详解】由£=如*旦=生冬至=-20,

22

解得%=T。，

故选：B

练习3.（2023•河南洛阳•模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为5”，《=1,53=18,则

$6二（）

A.54B.71C.80D.81

【答案】D

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d，根据题意求得4=5,结合等差数列的求和公式，即

可求解.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

因为4=1,S3=18,可得%]+34=3+3d=18,解得d=5,

所以§6=6%+154=6+15x5=81.

故选：D.

练习4.（2023•全国•校联考模拟预测）已知数列｛q｝的前〃项和为S“，且S.*+2S”=3S,川-％,

2a「a『7,S4=34,则2023是数列｛q｝的（）

A.第566项B.第574项C.第666项D.第674项

【答案】D

【分析】由题意可证得数列｛q｝是等差数列，再由等差数列的通项公式和前〃项和公式代入

求解即可求出｛〃”｝的通项公式，令3〃+1=2023,解方程即可得出答案.

【详解】由S.+2+2S“=35"「凡，得黑2-5用=2（5川-邑）一凡，

即+4=2aM，所以数列｛〃“｝是等差数列，

设公差为4,则由2%一4=7和邑=34可得：C1+ii,

[2q+3d=17

a.=4

解得],，所以q,=4+（〃—l）x3=3〃+l.

d=3

由3〃+1=2023,得〃=674.

故选：D.

练习5.（2023•北京海淀•高三专题练习）设等差数列仇｝的前〃项和为S”，若

,n

S/n-i=-3,Sm=-2,5w+1=0,则公差d=；=.

【答案】14

【分析】根据鼠-=-35=-2'“=0,利用数列通项和前n项和的关系,求得分吗，%即

可.

【详解】解：因为£_尸-3£=-23==0,

所以4=Sm-Sm_｛=1,4M=Sm--Sm=2,

所以d=-—%=i,

“一/、（m-\]md

所以S”+i=（，〃+1）%+---------=0，Sm=ma】+---------=-2

解得％=今代入即得〃7=4,4=—2,

故答案为：I，4

题型二等差中项及等差数列项的性质

例3.（2023秋・甘肃天水•高二统考期末）已知等差数列加“｝中出+%+%=18,

%+%+《0=27,若%=21,则&=.

【答案】12

【分析】根据下标和性质求出的、%，即可求出公差d，再根据％=%+（攵-7区计算可得.

【详解】因为4+%+4O=18,又%+《O=2%,所以卬=6,

又%+48+JO=27,4+“10=2%,所以%=9,

所以公差d=%-%=3,

所以％=%+（4—7）d=21,即6+3（无一7）=21,解得k=12.

故答案为：12

例4.（2023•广西南宁•南宁二中校考模拟预测）在等差数列｛%｝中，若

q+/+/+%+4=120,则2ab-%=.

【答案】24

【分析】由等差中项的性质即可求解.

【详解】因为在等差数列｛q｝中，有4+生=/+4=2%,所以由4+4+。3+4+4=120,

得5%=120,ay=24,又％+%=24,所以24一%=%=24.

故答案为：24

举一反三

练习6.（2023春•高三课时练习）在等差数列｛6｝中，%）是方程3x-5=0的根，则

牝+%=.

【答案】3

【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论.

【详解】由％，修。是方程J-3x-5=0的根得%+即）=3.

乂数列｛凡｝为等差数列.・•・%+4=%+4。=3.

故答案为：3

练习7.（2023春•高三课时练习）设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44,偶数项之和

为33,则这个数列的中间项是,项数是.

【答案】117

【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解.

【详解】设等差数列｛叫的项数为2〃+1,

S奇=4+4++°2”+1=3f（〃+1）=（〃+］）«,

S偶=4+/+4…+%”="出；的"）=na^,

S,fn+\44

所以,=—=TT,解得〃=3,所以项数2〃+1=7,

S偶n33

S奇-S偶=，即=44-33=11为所求中间项.

故答案为：①11;②7.

练习8.（2023・全国•高三专题练习）设S“为正项等差数列｛为｝的前“项和.若52023=2023,

14

则一+----的最小值为（）

a4“2020

A.-B.5C.9D.-

22

【答案】D

【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得。|+。耽3=%+。2020=2且

%>°，“2020>°，

化简,+」一二;•（《+〃泌））（'+±）=：［5+（色凶•+&）］,结合基本不等式，即可求解.

〃4“20202a4〃2020乙42020

【详解】由等差数列的前八项和公式，可得邑­二2023（?+*）=2023，可得4+生g=2，

又由4+。2023=4+。202（）=2且%>°，。2020>°，

所以工+4二［（4+〃如0）（'+3）=，［5+（况+处）］2/（5+24.乂）=?,

a*〃20202%“2020?%^2020?'04"2020?

当且仅当乎=▲时，即&=，2g时，等号成立,

a4“2020

149

所以一+—的最小值为。

故选：D.

练习9.（2023・广西玉林•统考模拟预测）“d+外=2外”是“数列｛q｝为等差数列”的（）.

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.

【详解】设为=（一1）”・〃，则6=-3,%=-5,a7=-7,所以6+4=-10=2火，但数列｛〃"｝

不是等差数列；

若数列｛%｝为等差数列，根据等差数列的性质可知，成立.

所以，“出+q=2%”是“数列｛q｝为等差数列”的必要不充分条件.

故选：C.

练习10.（2023・全国•高二题练习）记S“为等差数列｛q｝的前〃项和，若册+4+3=1。，

qq

4+3+/+2=18,则义L_±L=

'fin+1

【答案】-2

【分析】根据等差数列的性质和求和公式带入即可求解.

【详解】由%+%+3=1°①，%+3+%+278②,

②一①得3d—d=8,

得4=4,

(a.+an)n

2

贝哼=巧曳

«+。,用_

S“Sn+l_a}+an———1

〃/2+1222

故答案为：-2

题型三等差数列的判定与证明

例5.(2023•全国•模拟预测)已知正项数列｛可｝满足4=1,智=/1・

⑴求证：数列｛〃：｝为等差数列;

⑵设勿=1~~；~1，求数列也｝的前〃项和小

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由题如=利用累乘法即可求解4=4(〃rN.)，进而可得

4“严

a：=〃(〃wN)进而可证等差;

⑵由⑴得”七一瑞

由裂项求和即可求解

【详解】(1)由题可得

所以当〃22时,

凡，・色马・旦••…Ji-x2&…Xj工=4,

%生%«„-2%V123n-2n-\

易知4T满足q,=册，所以。“=石(〃eN)

所以匕］-〃：=〃+l-〃=1,

所以｛〃：｝是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)由(1)可得端=〃,

11

所以々

nji+l+Vn(n+1)

111

J〃(〃+1)(G+\jn+\)册+1.

所以7"专+方爰+…+方焉=1-瑞・

例6.(2023・全国•高二专题练习)在数列｛叫中4=4,S+/(〃+l)/=2/+2〃，.求证:

数列｛2｝是等差数列；

n

【答案】证明见解析

【分析】根据等差数列的定义，即可证明.

【详解】解9-(〃+1)q=2/+2〃的两边同时除以水〃+1),得餐一%=2,

，数列｛2｝是首项为4,公差为2的等差数列♦

n

举一反三

练习11.(2023春・广东佛山・高三佛山市荣山中学校考期中)已知数列｛q｝满足4=:，

⑴设〃,=5.讦明：也｝是等差数列：

(2)设数歹ij[2]的前〃项和为S“，求S”.

n

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由等差数列的定义即可证明；

(2)由(1)“J算得--二，用裂项相消法即“J求解

nnn+i

b.—.0_=-1--——1=_---1---1--=_勺—：—+1—一

【详解】(I)因为向"a"+ian/anana

4+1

所以数列｛"｝是以1为公差的等差数列

(2)因为4=工=2,所以仇=2+(〃—l)xl=〃+l

q

由;=〃+1得凡=」7

、，a_1/1

n〃（/?+1）nn+1

所以S.=?+?+…+2.

12n

练习12.(2023春・江西南昌•高三南昌市铁路第一中学校考阶段练习)已知等差数列｛q｝前

〃项和为S”，且S2=-18,S1]=0.

q

⑴若“吟，求证：数列也｝是等差数列.

⑵求数列｛|。」｝的前〃项和7”.

【答案】(1)证明见解析

—[1]n-n2,n<6

(2)(=<2。,

n-11/?+60,7/>6

【分析】(I)由题得关于可”的方程，解出得到其通项，并计算出其前〃项的和，则得到a

的通项，利用定义计算"的值即可.

(2)分〃<6和〃>6讨论即可.

【详解】(1)由题意，；二J八，解得J,，

二数列｛叫的通项公式为4=-10+(〃-1)X2=2〃-12,

〃(〃一1)2

.-.S=-1()«+-^——^x2=〃2一1]〃，

“2

s

:也=：=L.•也=伍+1T1)-(〃T1)=1，

■­•数列｛4｝是以-10为首项，1为公差的等差数列；

(2),/un=2〃-12

・・・当〃K6时，见40,数列｛⑷｝的前〃项和1=—=

当〃>6时，4>0,数列｛何|｝的前〃项和

T“=一（4+七+%+4+%+，）+%+4+=-2（4+。2+4+/+%+。6）+邑

6x(-10+0)2”

=-2x——-------+/r-lb?=/?*2-11/?+60,

2

2

_1\n-nfn<6

"n2-1In+60,n>6

练习13.(2023•江苏南通高三校联考阶段练习)已知数列伍〃｝满足4=；，(2-4)4+1=1.

⑴证明：数列」是等差数列，并求数列｛〃〃｝的通项公式；

⑵设数列｛曲｝的前〃项的积为加，证明：甲+#++年<；.

2/1—1

【答案】(1)证明见解析，q=J

(2)证明见解析

【分析】(1)设仇=]匚，变形得方向-a=i,利用等差数列的定义可得成等差数

1一%1-%

列，结合等差数列的通项公式即可求解；

(2)由(I),得7；=丁二，进而(：=77=<"丁=利用裂项相消求

2〃+1(2/1+1)4〃+4〃4(〃n+\)

和法即可证明.

1,1

【详解】(1)令%—=如.•.%=1一1，又(2—q)外.尸1,

(.1Y,1.I1In

/.1H--1------=1n------1---------=0,

I2人b.Jbn+ibnb/tbn+i

等式两边同时乘以心也,得%=「•｛%｝成等差数列，

13

即一成等差数列，且首项为：，公差为1,

1-凡2

12/2-1

"对-2〃+1

(2)7n=•a=-x—x--—-=——?——,

“1-352//+12〃+1

/.邛+年+

练习14.(2023•安徽阜阳•安徽省临泉第一中学校考三模)已知数列｛〃.｝的前F项和为S“,

SnSn+[+\=2Sn.

⑴若S”=1,证明：数列.丁二I为等差数列.

⑵若4=2,以卜焉，求〃的最小值.

1（XX）

【答案】（1）证明见解析

（2）33

【分析】（1）用等差数列的定义进行证明；

（2）利用第1问的结论求出5”的解析式，进而求得数列〃”的通项公式，解不等式即可.

【详解】（1）（I）由已知，S“工0,S,产1,S..|=2-J,

1111\1,

所以S.+TS「1IV5„-1Sn-\S,-l,

Isj

故数列为公差为1等差数列

（2）因为4=2,不满足条件，此时0=2,-^-=1,

由（1）知数列丁二I为首项为1公差为1等差数列，所以乙=〃，故S“=l+L,

£TJ\-1〃

当〃22时，a„=S“-S”_|=----=一一1,

nn-\n（n-1）

由㈤〈焉’故后；‘亮5'即可-”叱

因为〃EN”，所以，后33.故满足⑷＜汇累的n最小值为33.

练习15.（2023・湖南衡阳校考模拟预测）己知数列｛〃"｝中，4=4,且

%-〃m=3卜褊-3）（4"-3）.

2

（I）求证：数列一是等差数列：

（2）记数列仇=（4一3乂4向一3）,求数列也｝的前〃项和Tn.

【答案】（I）证明见解析

⑵小刍

【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解；

（2）根据（1）的结论及等差数列的通项公式，利用裂项相消法即可求数列出｝的前〃项和.

【详解】⑴•・•4-3),

・・・2a,12%=(%-3)(4-3),即24-3)-2(”3)=(“3)(4-3),

，国是首项为2,公差为I的等差数列.

⑵由⑴知,资是首项为2,公差为।的等差数列,

所以二

=2+〃-1=〃+1

a..-

题型四等差数列前〃项和的性质

例7.（2023•辽宁•朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列｛g｝的前〃项和是S“，

则下列说法正确的是（）

A.若S0=a”,则｛qj是等差数列

B.若q=2,4可=24+3,贝式为+3｝是等比数列

C.若｛4｝是等差数列，则"，S2„-Srt,S"-S2”成等差数列

D.若包｝是等比数列，则S“，s2rl7,S"-%成等比数列

【答案】ABC

【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前〃项和的意义、结合等差数列推理判断C；举

例说明判断D作答.

【详解】对于A,S„=alltn>2时，^.==an-an_x，解得4T=0,因此〃eN',4=。，

｛可｝是等差数列，A正确；

对于B,q=2,。向=2q+3,则%+|+3=2（q+3）,而q+3=5,｛%+3｝是等比数列，B

正确：

对于C,设等差数列｛q｝的公差为"，首项是％，，=/+%+—+/,

S?”-S,=4向+4叶2++%”=（4+加）+（生+〃"）+•+（%+，W）=S“+/d'

S3n-S2n=a2n^+a2n.2++%,=（4+1+〃"）+（4+2+〃"）++（%+〃〃）=⑸”-S.）+〃%，

因此2（S—）=S“+（S3f）,则s“，S2“—S”,SM—S2”成等差数列，C正确；

对于D,若等比数列｛凡｝的公比4=一1,则52=。，邑-$2=0,56-邑=0不成等比数列，D

错误.

故选：ABC

例8.（2023春•辽宁沈阳•高三沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列｛%｝,也,｝的前〃

5,7〃+2a；

项和分别为S“和7；,已知才二—则寸=______.

Tn〃+3也

93

【答案】7Z

1O

13z、13°

5）3万（4+%）万x2%

【分析】根据题意，由等差数列前〃项和的性质有二答即可得到

q葭伯+九）贤纯a

结果.

13/,、13

C—ICL+6a)—X2%

【详解】由题意可知，变=-^-------=4——=广

几*4+3)等2打，

“%S7x13+293

所以，=」n1=-------=一

八&几13+316,

93

故答案为：*.

16

举一反三

练习16.（2023春・广东梅州•高三丰顺县丰顺中学校联考期中）等差数列｛q｝的前〃项和记

为S。，且&=1。，$=5。，则S]§=（）

A.70B.90C.100D.120

【答案】D

【分析】根据等差数列前7项和的性质可得Ss,Sio-Ss.S”一九成等差数列,即可求得根的

值.

【详解】在等差数列｛q｝中，$5忑0-&九-九成等差数列，

所以2（5|0-及）=5$十几一号0，则2><（50-10）=10+$一50,即S15=120.

故选：D.

练习17.（2023春•湖北咸宁•高三鄂南高中校考阶段练习）已知数列｛6｝的前〃项和为S“，

且a”+2=2a“+1-a”，do=2O,S2o=l°，则5比=（）

A.0B.-10C.-20D.-30

【答案】D

【分析】由题意根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列前〃项和片段和的

性质即可求得答案.

【详解】由4+2=2H可得an+2+a„=2an+l,

故数列｛3｝为等差数列，

R5,0=20,^)=10,故S.S2c—SgSX-S?。也成等差数列，

即2x(10—20)=20+5和-10,...S30=-30,

故选：D

练习18.(2023秋・河南商丘♦高三校联考期末)己知等差数列｛〃”｝的前〃项和为S”，若数列

S3,§6-S3,S9-$6,…的前八项和为61+3〃,则«|0)=.

【答案】135

【分析】根据等差数列的性质：数列1.56-邑.5'-56.成等差数列,□公差为等差数列｛4｝

的公差的9倍，根据等差数列前“项和公式与首项和公差的关系，分别求出等差数列｛%｝的

首项和公差，进而求解即可

【详解】设等差数列｛%｝的公差为"，首项为卬，

由题意知:数列SJW-SQLSG，…成等差数列，且公差

4,=§6-S3-S3=«4+%+/—一生—=9d,

记数歹ijSvSrt-S，工-s"，…为｛。“｝,其前〃项和为，，

则£=g+〃(7)d'=fd'+(q—,

乂因为数列5；£-邑』-56，-的前〃项和为6〃2+3〃，

\df

­=6

所以,，解得：d'=12,q=9,

c.---=3

2

145

所以1=2"'=：，q=S3=3q+3d=9,解得：^,=|,

所以q(”=%+1=135.

故答案为：135.

练习19.(2023春・全国•高三合肥市第六中学校联考开学考试)设等差数列｛q｝的前〃项和

为S”，若&=1,%=16,则5a=()

A.18B.36C.40D.42

【答案】B

【分析】确定｛手｝为等差数列，得到第•-*=>|（专一界），代入数据计算得到答案.

〃（〃T）rc]

【详解】S.'咐+-^—4故与为等差数列，

7=---/—，+（­i）5l〃J

故步*中强-引故1m*4）,解得S“=36.

故选：B

练习20.（2023春•高三课时练习）已知S.,。分别是等差数列｛4｝,但｝的前〃项和，且

S„3〃+1/-.\,a.a..

—=----,（〃cNT）,贝i]——-a-+——--=

T”〃+1'卜人」4十九%------

【答案】居

【分析】利用等差数列的性质和前.〃项和公式即可求得.

【详解】｛九｝为等差数列,故4+瓦也+%,

故/।%心+孙4+日。；44+生。*2°s23x20+1=61

4十九”6+九2十九"+b2n」x（4+4）x20^2020+121

故答案为：

题型五求等差数列前〃项和的最值

例9.（2023春•高三课时练习）在数列｛4｝中，若％=21,前〃项和5“=-2〃2+加，则S”的

最大值为.

【答案】66

【分析】根据5=4得到b=23,根据二次函数的性质计算最值即可.

2

【详解】SI=a,=-2xl+lxZ>=21,解得0=23,故5”=-2/+23〃，属于二次函数,

23

对称轴为干=5.75,故当〃=5或6时取得最大值，

4

22

55=-2x5+23x5=65,S6=-2x6+23x6=66,S6>S5,

故S.的最大值为66.

故答案为：66.

例10.（2023春•云南•高三云南师大附中校考阶段练习）己知等差数列｛4｝的前〃项和为S“,

满足S9-S,=4,且q=-25,则当s“取得最小值时，〃的值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】根据等差数列的通项公式与前〃项和公式可得与，S”，根据前〃项和的性质确定取

最值情况即可.

【详解】设等差数列）的公差为"，因为$9-&=4,即1+%+4+%=4,所以

%+/=4+%=2q+13d=2,

因为弓=一25,解得4=4,所以〃”二4〃-29,则S"=（A'"29）〃=2〃2_27〃,

2

这是关于〃的二次函数，开口向上，在〃=一97处取得最小值，由于,?cN"最靠近2二7的止整

44

数为7,所以当〃=7时，S”取得最小值.

故选：D.

举一反三

练习21.（2023・湖北黄冈黄冈中学校考二模）己知等差数列｛为｝的前〃项和为S“，若

4。+。“＞0，4。+42＜0，则S”取最大值时〃的值为（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】A

【分析】利用等差数列的性质得出4。＞。，即＜。即可求解.

【详解】二等差数列｛q｝,•.•00+生=2%＜。，，％|＜。，

••.斯＞+知＞°-＞°，则S“取最大值时，〃=10.

故选:A.

练习22.（2023春•高三课时练习）在等差数列｛〃“｝中，4＞00=S”，则S“取最大值时〃

的值是.

【答案】7或8/8或7

【分析】根据等差数列的通项公式和前〃项和公式求解.

【详解】因为数列｛4｝是等差数列，设公差为"，

由4>0,S4=SU口］■知，d<0,

且4q+6d=1+55d,即q=-7d,

所以/=q+(/?-l)d=(〃-8M,

令(=5-8)dN0,解得狂8,且4=0,

所以当〃的值是7或8时，S“取最大值.

故答案为：7或8.

练习23.（2023春・四川凉山•高三宁南中学校考阶段练习）记5.为等差数列｛atl｝的前〃项和，

已知4=-9,a2+a4=-10,则知的最小值为（）

A.-25B.-35C.-45D.-55

【答案】A

【分析】由已知求得公差d,得等差数列前〃项和S“，结合二次函数知识得最小值.

【详解】设公差为"，

则。2+4=（—9）+d+（—9）+34=70,4=2,

Z?（）x22

Sn=nx（-9）+Y12=n-1On=（n-5）-25,

所以〃=5时，S.取得最小值一25.

故选：A.

练习24.（2023春•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考期中）己知等差数列｛凡｝的公差不等于0.

其前〃为项和为S“，若4,S5,S7G｛0,15｝,则S“的最大值为（）

A.18B.20C.22D.24

【答案】A

【分析】根据等差数列的下标性质，结合等差数列前〃为项和公式进行求解即可.

【详解】设等差数列｛为｝的公差为4则〃。0,55=%+%+%+%+%=5%,

S7=•7=7%，因/$5,57e｛0,15｝,即%,5%,7a&G｛0,15｝，显然7qw15,否则%吟,

矛盾，于是得&=7。4=0,又5%工0,否则4=。，公差〃=0,矛盾，

因此，5%=15,解得%=3,而％=0，则公差"=%-6=-3,

为“3+（"3）d=—3〃+12,由%20,〃工4,于是有笔差数列｛%｝是递减数列，其前4项

都是非负的，从第5项起为负，当〃=3或〃=4时，（SJ1ax=$4=S3=9+6+3=18,所以S“

的最大值为18.

故选：A

【点睛】关键点睛：根据等差数列的单调性和下标性质是解题的关键.

练习25.（2023•四川自贡•统考三模）等差数列｛4｝的前〃项和为S”，公差为4,若九＜0,

*＞。，则下列四个命题E确个数为（）①S5为5”的最小值②&＞0③4＜。，〃＞0④

S,,为S”的最小值

A.IB.2C.3D.4

【答案】c

【分析】根据等差数列的前〃项和公式以及等差数列的性质，即可得4>0，6<。，从而

确定”>0,即可逐项判断得答案.

【详解】等差数列｛〃"｝中，配举+中"=]1&〉。,则4>。，故②正确；

又品=（4+¥幻0=5（4+40）=54+%）<0,所以《<（），故d>0,则4=4-4d<0,

故③正确；

于是可得等差数列｛《,卜满足。川-a”=d>。，其为递增数列，则4〈生〈/〈a<%<0,又

。6>。，所以5$为S”的最小值，故①正确，④不正确；

则四个命题正确个数为3.

故选：C.

题型六根据等差数列前〃项和的最值求参数

例11.（2022秋・江苏泰州•高三泰州中学校考期末）（多选）已知等差数列｛〃"｝的前”项和为

S“，当且仅当〃=7时S“取得最大值，则满足S4>0的最大的正整数左可能为（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】BC

【分析】由题意可得4>0,公差dv0,且%>0,4<0,分别求出兀，S14,几，讨论%+4

的符号即可求解.

【详解】因为当且仅当〃-7时，S“取得最大值，

所以4>0,公差”<0,且%>。，/<0.

所以s广史竽工13%>。，3也竽也=%,+%）,

3四产=15小。，

故〃215时，5„<0.

当阳十%>。时，，4>0,则满足，>0的最大的正整数%为14;

当%+440时，514<0,则满足鼠>0的最大的正整数4为13,

故满足S«>0的最大的正整数出可能为13与14.

故选：BC.

例12.（2023春・浙江杭州•高三浙江大学附属中学校考期中）已知等差数列｛%｝的前〃项和

为S.,D〃eN',S,2S3,则多的取值范围为.

a5

3

【答案】于2

S<S

【分析】根据等差数列的性质可得公差，/>0,由V〃wN^,S.之S3可得<312,从而可得

“3->4

一再根据等差数列的通项公式与分式变形，结合函数思想即可求得％的取值

范围.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d，所以解=四+〃（"；”=,〃2+14——）〃,由于

D〃WN”,S,；S3,所以d>0,

且归步即第即・3W』.

S<S4[3q+3d<4q+6dq之一3dd

入幺+5i\「3

则”=4+5d=4-=1+—!—，由-3W§W-2得§+4叩,2],故1?

u

包6+41幺+4£Laa—+4

+4d

dd

即”的取值范围为R，2.

/l_2.

-3'

故答案为：,2.

举一反三

练习26.（2023•内蒙古阿拉善盟•统考一模）已知｛%｝是等差数列，5“是也｝的前〃项和，

则“对任意的〃€N且〃工3,S”>S3”是“4>4”的（）

A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.充要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要的定义判断.

【详解】因为对任意的〃£N'目.〃工3,S„>5、,当〃=2时，52>=>53-52<0=><0,

当〃=4时，54>53=>S4-S3>0=>>0,所以外>为成立；充分性成立

当%成立时，可推出等差数列血｝的公差大于零，但“对任意的〃eN•且〃。3,S.>SJ

未必恒成立，练习如，当〃=1时，S.AS]不成立，必要性不成立.

故选：B.

练习27.（2023春・广西钦州・高三钦州一中校考期中）已知数列｛〃”｝为等差数列，若

生+3W<0,七•①v0,且数列｛〃“｝的前〃项和有最大值,那么S“取得最小正值时〃为（）

A.11B.12C.7D.6

【答案】A

【分析】根据已知条件，判断出4，%，稣+生的符号，再根据等差数列前八项和的计算公式，

即可求得.

【详解】因为等差数列的前〃项和有最大值，故可得4<0,

因为。2+3处<。，故可得4q+22d<0,即q+^dcO,

所以可得/<gd<0,

又因为4。<0，

故可得％>0，所以数列｛凡｝的前6项和有最大值，

且。6+%=2«1+1IJ<0,

又因为几=12x©=6（%+%）<。，S”=yX（6Z,+flll）=llx«6>0,

故s。取得最小正值时〃等于11.

故选：A.

练习28.（2023秋•江苏南通・高三统考期末）（多选）己知等差数列｛q｝的前〃项和为臬，

当且仅当，?=7时，S”取得最大值，则满足5火>0的最大的正整数上一定不等于（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】AD

【分析】由题意可得6>0,公差,/<0,且为>0,/<（），分别求出几，几，几，讨论勺+4

的符号即可求解.

【详解】因为当且仅当〃=7时，S“取得最大值，所以4>0,公差dC且％>0,风<0.

所以几=1"卜；+勺）=13%>0,所以$3>耳2>。，

则满足人>。的最大的正整数及一定不等于12.

SL^^=7（%"）,5|5=M^=i5as<（））

故〃N15时，5„<0.

当%+%>。时，5.4>0,则满足S火>0的最大的正整数k为14；

当叼+/时，5,4<0,则满足\>0的最大的正整数2为13,

故满足1>0的最大的正整数无可能为13与14,一定不等于12与15.

故选：AD.

练习29.（2023・全国•高三专题练习）记S'”为等差数列的前〃项和，且满足：①

②对V〃eN*,S.>S»写出一个同时满足上述两个条件的数列｛4｝的通

项公式凡=.

【答案】3n-25（答案不唯一，满足％<0，%>。且公差4>2即可）

【分析】由条件①得出d>2,由条件②得出当〃=8时，5〃取得最小值，得出只需数列｛&｝

的前8项均为负数，第9项及之后均为正数，则满足/<0,%>0且公差d>2即可.

【详解】由Sg「4>S,+2,得%-%>2,即公差d>2,

所以数列乩｝单调递增，

又对WwM,S“>*,即当％=8时，S”取得最小值,

故只需数列｛4｝的前8项均为负数，第9项及之后均为T数即可，

结合d>2可知，满足条件的一个数列｛q｝的通项公式可以为q=3〃-25（答案不唯一，满

足gvO,火、0且公差即可），

故答案为：3/2-25（答案不唯一，满足为<0,%>。且公差d>2即可）.

练习30.（2023•全国•高三专题练习）记数列｛q｝的前〃项和为S”，对任意〃eN,有

邑=〃（4+〃-1）.

⑴证明：｛%｝是等差数列；

⑵若当且仅当〃=7时，5.取得最大值，求力的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵"14）

【分析】（1）利用数列对=S“-S“T（〃22,〃€N）,结合等差数列的定义，即可证明；

（2）由条件转化为再转化为关于首项的不等式，即可求解.

〉7>38

【详解】⑴因为5“=陷井〃（〃—1"，则51=5-1）*+5-1）（〃—2阳

①一②可得%-〃/一(〃一1Mm十2〃-20=一(〃-1)。“_］十2(〃-1)

故W，｝为等差数歹IJ.

（2）若当且仅当〃=7时，3取得最大值,

S-,>56%>0a-12>0

则有八贝!,12<a<14,

4<01q-14<0'

故4的取值范围为（12,14）.

题型七含绝对值的等差数列的前〃项和

例13.（2023糊南•校联考二模）记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，兀+5=18,生+4。=0.

⑴求数列㈤｝的通项公式；

100

⑵求z㈤的值.

4=1

【答案】⑴q=2〃-12

（2）8960

【分析】（1）设等差数列｛%｝的首项和公差分别为6、d,依题意得到方程组，解得力、（

即可得解；

100

⑵由(1)可得=+(一。2)+(-。3)+(一”4)+(-45)+。6+%+4+・一+4|00=“)()-2S$,

*=1

根据等差数列求和公式计算可得.

【详解】（1）设等差数列｛为｝的首项和公差分别为4、

14x1387

Sg+Sg=144+—d+8q+—X^-d=18

由题意可知」

2q+10d=0

22%+1194=184=2

化简得解得

2%+104=0%=-10

所以为=-10+2(〃-1)=2〃-12.

(2)由(1)知：当〃26〃eN*H寸，>0：当1W5,〃wN*时，«„<0,

100

所以工同二一q+(—%)+(一%HL%)+(_6)+%+%+%+,+《00

Jt=l

=q+出++4oo+2[_《+(_/)+(_%)+(_%)+(一%)—

IOf)xQQ「5x4

=5烦-2s$=100x(-10)+------x2-2x5x(-10)+--x2

22

=-10(X)+99004-60=8960.

例14.（2023春・广东佛山・高三佛山一中校考阶段练习）已知数列｛〃”｝的通项公式为

q=31-2〃，则同+同+同+-+K|=.

-//'+30/i,1</?<15

【答案】

/r-30/z+450,/?>16

【分析】分析数列｛qj的取值规律，结合等差数列求和公式求解.

【详解】因为%=31-2〃,

所以当14〃415时，。”>0,当“216时，an<Ot

所以当“415时，同+同+同+-+卜”=4+电+…+4'

所以同+同+闯+…+同=也包Ji”，

2

当〃216时，同+同|+|4|++⑷=4+g+…+4广46—47----«

所以同+同+同+-+|qJ=2(q+%+…+/)一