高考数学二轮复习专项突破（新高考版）直线与圆

.ZHUANTILIU

专题六解析几何

第1讲直线与圆

［考情分析］1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选

择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中

高难度.

考点一直线的方程

【核心提炼】

1.已知直线（：Ad+8iy+G=0（4,S不同时为零），直线/2:4加+82丁+。2=0（42,&不

同时为零），则/］〃/2O4%一八/］=0,且AIG-AJGHO,/1_L/20AM2+B］仪=0.

|Ax（）+Bv（）+C|

2.点P（xo,和）到直线/:Ar+By+C=O（A,8不同时为零）的距离d=

y]A2+B2

3.两条平行直线/i：Av4-By+G=0,Z2：Ax+8.v+C2=0（A,B不同时为零）间的距离d=

IG-C2I

y/A2+l32

例1（1）（2022・常德模拟）已知直线Z⑪一4y—3=0,/2：工一少+1=0，则％=2”是“1\〃片‘

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若八〃/2,

则有一岸+4=0,解得。=±2,

当a=2时，/［：Zv—4y—3=0,

，2：x—2y+l=0,/1//

当。=一2时，/i：2r+4y+3=0,

/2：x+2y+l=0,

所以若1〃，2,则〃=±2,

所以“a=2”是“八〃/2”的充分不必要条件.

(2)(2022•济宁模拟)己知直线尔h+y=0过定点A,直线八：x—6+2吸+2*=0过定点8,

Zi与12的交点为C，则HCI+IBC］的最大值为.

答案2乖

解析由尔h+y=0.得过定点46。)，

由/2：*+2娘+网2-y)=0,

得/2过定点8(—2小，2),

显然女Xl+lX(—k)=0,即/i,A相互垂直，

而4与6的交点为C,

即人C_LBG又|人8|=25，

・・・|AC12+|BC|2=I2,

・・・(|Aq+|Bq)2=12+2|Aa|Bq这12+(|AC|2+|Bq2)=24,

・・.|AC|+|8C1的最大值为2-/6,

当且仅当HC|=0C|=班时，等号成立.

・・.|AC|+|8a的最大值为2#.

易错提醒解决直线方程问题的三个注意点

(1)求解两条直线平行的问题时，在利用482—428=0走立方程求出参数的值后，要注意代

入检脸，排除两条直线重合的可能性.

(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴叁直，

而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.

(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

跟踪演练1(1)己知直线/：⑪+)，-2+〃=()在x轴与>轴上的截距相等，则实数〃的值是

()

A.IB.-1

C.-2或1D.2或1

答案D

解析当〃=()时，直线)，=2,此时不符合题意，应舍去；

当。#0时，由直线/："+y—2+〃=0可得，横截距为与工，纵截距为2—a

解得a=\或a=2.

经检验，。=1,2均符合题意，故。的值是2或1.

（2）若直线八：x—2），+l=D与直线/2：2r+w+l=0平行，则直线/）与乙之间的距离为

答案W

解析由直线/i：x—2y+l=0与直线，2：2x+〃?y+1=0平行，

可得1X〃L2X（—2）=0,即小=一4,故两直线可化为/i：2r-4y+2=0,/2：2丫-4），+1=0,

故直线G与/2之间的距离为

考点二圆的方程

【核心提炼】

1.圆的标准方程

当圆心为（4,b）,半径为,•时，其标准方程为（X—4）2+°，一份2=户

2.圆的一般方程

%2+y2+Dx+Ey+F=0,芸中Z^+^-dQO,表示以（一弓，一力为圆心，'----5------为半

径的圆.

例2（1）己知圆C与直线y=x及x—y—4=0都相切，圆心在直线y=-x上，则圆。的方程

为（）

A.（x+1）2+。-1产=2

B.（x+1）2+。+1>=2

C.（x-1）2+&-1）2=2

D.（X—1）2+。+1）2=2

答案D

解析因为圆心在直线），=一工上，

设圆心坐标为（4,—4）,

因为圆C与直线y=x及x—y—4=0都相切，

|。+。||。+。一4|

所以'

解得。=1,所以圆心坐标为（1,-1）,

所以R二"

2a+b-l=0,

则，（3—。）2+按=户,

42+（1—力）2=3，

。=1,

解得卜=一|,

.3=5,

・,・G>M的方程为（工一l）2+（y+1）2=5.

方法二设。M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2—4F>0）,

则从一与，-f）,

r（-f）+（-f）T=。，

A|9+3。+r=0,

〔l+E+F=0,

D=.2,

解得，E=2,

、F=-3,

AOM的方程为£+)2—〃+2〉，-3=0,

即(X-1尸+。+1)2=5.

方法三设A(3,0),8(0,1),0M的半径为r,

则以8=W^=—g，A8的中点坐标为修£)

•­AB的垂直平分线方程为y—；=3(x一号，

即3x-y-4=0.

3x—4=0,x=I,

联立，解得

2x+>'—1=0,尸T，

AM(1,-1),

.•.八=|加川2=(3—1)2+[0—(一1)]2=5,

・,・0M的方程为(工一l)2+(y+1)2=5.

(2)直线/过定点(1,-2),过点P(—1,0)作/的垂线，垂足为M,已知点M21)，则IMN的最

大值为.

答案3^2

解析设点41,-2),依题意知AM_LPM,

所以点M的轨迹是以AP为直径的圆，

圆心C的坐标为(0,-1),

半径为R=%P尸也，

又M2/)为圆外一点，

所以|MMnax=\NC\+/?=A/(2-0)2+(I+1)24-^2=372.

考点三直线、圆的位置关系

【核心提炼】

I.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.

其判断方法为：

⑴点线距离法.

⑵判别式法：设圆C：(犬一4)2+0，一份2=/，直线/:皿+8)，+C=0(A2+82#0),方程组

pU+8.y+C=0,

j(X-4)2+()T)2=3，

消去以得到关于X的一元二次方程，其根的判别式为4则直线与圆相离台/V0,直线与圆

相切0/=0,直线与圆相爻台4>0.

2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.

考向1直线与圆的位置关系

例3(1)(2022.南通模拟)在平面宜角坐标系中，已知直线以一丁+2=0与圆C\+)，2—21—

3=0交于A,B两点,若钝角△ABC的面积为小，则实数。的值是()

34

--

A.-4B.3

C4D3

答案A

解析由圆C：f+)2—2A—3=0,

可得圆心坐标为C(l,0),半径为/-2,

因为钝角△ABC的面积为小，

则SzMBC=：><2X2sinNNC8=V^,

解得sinN4CB=坐，

所以NAC8=3~,

可得|A3|=2小，

又由圆的弦长公式，可得2出二7=2小,

解得d=1,

1。+2|3

根据点到直线如一)，+2=0的距离公式d==1,解得〃=一木

(2)(2022・新高考全国II)设点4(-2,3),B(0,0,若直线AB关于y=a对称的直线与圆。+3>

+。，+2)2=1有公共点，贝］。的取值范围是.

解析方法一由题意知点人(一2,3)关于直线y=a的对称点为人'(一2,加一3),

所以公—,

所以直线4'8的方程为)=-ox+a,

即(3—a)x~2y+2a=0.

由题意知直线A'8与圆。+3)2+。+2)2=1有公共点,

易知圆心坐标为(-3,-2),半径为1,

斫以1一3(3—〃)+(—2)X(-2)+2〃|

所反叱3—〃)2+(—2)2W1,

整理得6〃-lla+3W0,解得呆〃竦，所以实数a的取值范围是,1］.

方法二易知(X+3)2+(J+2)2=1关于y轴对称的圆的方程为(x—3)2+(y+2)2=1,

a—3

由题意知该对称圆与直线A8有公共点.直线AB的方程为丁=『丫+〃,

即(a—3)%—2y+2a=0,

又对称圆的圆心坐标为(3,-2),半径为1,

|3(^-3)+(-2)X(-2)+2f/|

所以ci

3)2+(—2)2

整理得6层一lla+3W0,解得太,W，所以实数〃的取值范围是［今

方法三易知(X+3)2+()，+2)2=I关于)，轴对称的圆的方程为(工-3)2+。+2)2=1,

由题意知该对称圆与直线48有公共点.

设直线AB的方程为y—3=©x+2),

即日-y+3+2〃=0,

因为对称圆的圆心坐标为(3,-2),半径为1,

所以解得一方WAW—点

q乃+(—ipJq

__,a-34/-3一3

又k=-2~，所以一—2—W—不

解得卜w，

所以实数〃的取值范围是匕「1，531-

考向2圆与圆的位置关系

例4(1)(2022・武汉模拟)圆G：(刀-2)2+。-4)2=9与圆。2：。-5)2+,2=16的公切线条数

为()

A.IB.2C.3D.4

答案B

解析依题意得，圆C,的圆心G析4),半径R=3,圆C2的圆心解析0),半径解=4,ICQI

=[(2-5)2+42=5任(1,7),故圆G与C2相交，有2条公切线.

(2)(2022・益阳调研)已知直线/：工一)，+1=0,若P为/上的动点，过点P作。C：(x—5)2+)，2

=9的切线弘,PR.切点为A.7?.当俨川最小时,宜线人A的方程为.

答案x~y-2=0

解析。。：。-5)2+)，2=9的圆心。(5,0),半径/*=3,

•・•四边形附CB的面积

S=^PC\-\AB\=2S^c=\PA[\AC\

=3陷|=3d|PCF—9,

・•・要使IPCM/WI最小，则需|PC|最小，

当PC与直线/垂直时，IPC)最小，

此时直线尸。的方程为y=-x+5,

fy=x+1,

联立,解得广(2,3),

ly=­x+5,

则以PC为直径的圆的方程为

9

-

2

则两圆方程相减可得直线4B的方程为x—y—2=0.

规律方法直线与圆相切问题的解题策略

直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于

切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可

先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.

跟踪演练3⑴（多选）（2022・湖北七市（州）联考）已知直线/：去一），一女+1=0,I员IC的方程为（x

—2）2+（y+2）2=16,则卜列选项中正确的是（）

A.直线/与圆C一定相交

B.当攵=0时，直线/与圆C交于M,N两点，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最

大值为3市

C.当/与圆有两个交点M,N时，|MN]的最小值为2册

D.若圆。与坐标轴分别交于A,B,C,D四个点，则四边形ABCD的面积为48

答案AC

解析直线/：去一），一狂1=0过定点P（l,l）,（1—2）2+（1+2）2<16,P在圆内，因此直线/

一定与圆C相交，A正确；

当&=0时，直线为）=1,代入圆的方程得。-2）2+9=16,解得工=24，因此|MN|=2巾，

因为圆心C（2,-2）,半径，•=%圆心到直线/的距离d=3,因此点E到直线/的距离的最

大值〃=4+3=7,

所以△MNE面积的最大值S=；X7X2市=7由，B错误；

当/与圆有两个交点M,N时，当|MN|最小时，

PC±7,|PC]r（1_2）2+（1+2）2,

因此IMMmin=2、42_（晒2=2#,C正确；

在圆的方程2）2+0+2）2=16中，分别令x=0和y=0,求得圆与坐标轴的交点坐标为A（2

一2小，0）,8（2+2小，0）,C（0,一2+2小），

。（0,—2—2小），则|/W|=4小，|CQ|=4小，

所以四边形ABCO的面积S'=Jx4小X4小=24,D错误.

（2）（2022・新高考全国I）写出与圆片+产=1和。•一3产十。-4）2=16都相切的一条直线的方程

答案x=-l或女一2分—25=0或3x+4.y—5=0（答案不唯一，只需写出上述三个方程中的

一个即可）

解析如图，因为圆/+）2=1的圆心为0。0）,半径n=1,圆（X—3）2+（），-4）2=16的圆心

为A（3,4）,半径rz=4,

所以QAI一5,八十，2—5,所以|。4|一"十/2,所以两圆外切，公切线有三种情况:

①易知公切线/i的方程为*=-1.

②另一条公切线/2与公切线/1关于过两圆圆心的直线/对称.

易知过两圆圆心的直线/的方程为产获

由对称性可知公切线/2过点（一1，一号.

4

设公切线/2的方程为y+w=©x+l）,

则点。（0,0）到/2的距离为I,

所以公切线，2的方程为＞+1=五（工+1），

即7x-24y-25=0.

3

4+

③还有一条公切线八与直线/：）=§我•垂直，设公切线A曰勺方程为y-

4A

易知分0,则点0（0,0）到A的距离为1,

所以1=kl

、/（-9；+（一4

解得/=,或，=一永舍去）,

35

十-

所以公切线/3的方程为y=一甲4

即3x+4），­5=0.

综上，所求直线方程为入=-1或7x—24y—25=0或3x+4），­5=0.

专题强化练

一、单项选择题

1.直线/经过两条直线X—），+1=0和2x+3），+2=0的交点，且平行于直线X—2），+4=0,

则直线/的方程为（）

A.x—2y—1=0B.x—2y+l=0

C.2t-y+2=0D.2x+），-2=0

答案B

x—v+1—0,i

解析由',得两直线交点为（-1,0）,直线/的斜率与x—2y+4=0相同，为5,

[2x+3），+2=02

则直线/的方程为y—0=；（x+l）,

即x—2y+1=0.

2.(2022・福州质检)已知4一小，0),B(小,0),2(0,3),则△ABC外接圆的方程为()

A.。一1)2+产2

B.(x-l)2+/=4

C.r+⑪-1)2=2

D.I)2=4

答案D

解析设△ABC外接圆的方程为(X-4)2+()，一加2=户

(一5一。)2+(0一6)2=产，。=0,

(小一〃)2+(0—。)2=/，解得.b=T,

{(0—4)2+(3—〃)2=r\/=2.

则△A3。外接圆的方程为『十。-1）2=4.

3.（2022・新高考全国11）图1是中国古代建筑中的举架结构，A4',BB',CCf,DD'是

桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其

中。CCi，BBi，A4是举，ODi，QG，CBi,34是相等的步，相邻桁的举步之比分别

为黑=0-5,等=木，嘿=h，^已知心，依，h成公差为04的等差数列，且直线

O1J\/>CinA\

04的斜率为0.725,则公等于（）

图1图2

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

答案D

解析设OQi=OG=C8i=84=l,

则CG=ki,BB尸kz,AA=Z：3,

依题意，有攵3—0.2=ki,Aj—0.1=kz,

且。。1+。。1+。8]+朋1-9''

叱1、,0.5+3h一0.3八…

所以-----4-----=。.725,

故禽=0.9.

4.过圆C：(x-l)2+y2=l外一点P作I员IC的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若PALPB,

则点P到直线/：工+厂5=0的距离的最小值为()

A.IB币C.2jD.3啦

答案B

解析因为过圆C：。一1?+尸=1外一点。向圆C引两条切线以，PB,切点分别为A,B,

由以_LP3可知，四边形C4P3是边长为1的正方形，所以|。尸|=表，

所以P点的轨迹是以C(l,0)为圆心，血为半径的圆，则回心。(1,0)到直线/：叶)，-5=0的

距离J+岩丝将2叵所以点尸到直线/：4+)，-5=0的最短距离为d—r=2也一班

5.与直线x-y-4=0和圆(x+1)2+0，-1)2=2都相切的半径最小的圆的方程是()

A.(x+1)2+°，+1)2=2

B.(x+l)2+(y+1)2=4

C.(xT)2+(y+1)2=2

D.(x-l)2+(j'+l)2=4

答案C

解析圆(x+1)2+。-1)2=2的圆心坐标为(-1,1),半径为，5,过圆心(-1,1)与直线x-y—4

=0垂直的直线方程为x+y=O,所求圆的圆心在此直线上，又圆心(一1,1)到直线x—y—4=0

的距离为;^=3吸，则所求圆的半径为止，设所求圆的圆心为3,份，且圆心在直线x+)，=0

上，所以且。+〃=0,解得〃=1,/?=—l(a=3,6=—3不符合题意，舍去)，

故所求圆的方程为(x—l)2+(y+1)2=2.

9

6.已知圆O：9+产=不圆历：(]一。)2+。-1产=1,若圆M上存在点P,过点P作圆O

的两条切线，切点分别为A,B,使得NAPB一多则实数a的取值范围是()

A.[-A/B,VI5]

B.[一小,<3]

C.I小,V15]

D.[-V15,一5]5小，仃]

答案D

3

解析由题可知圆。的半径为子圆M上存在点几过点〃作圆O的两条切线，切点分别为

A,A使得NAP8=9,则NAPOW，

30

在Rt△外。中，俨0|=3,

，点尸在圆^+尸=9上，

由于点P也在圆M上，故两圆有公共点.

又圆M的半径等于1,圆心坐标M(a,1),

.•・3-lWQM|W3~H,

・・・2«标+0,

・"£[一行，一小]口[小，V15].

7.已知圆G：(X+6)2+G，-5)2=4,圆C2：伏-2)2+()，-1)2=1,M,N分别为圆G和C?

上的动点，尸为x轴上的动点，则IPM+IPM的取值范围是()

A.[6,+8)B.[7,+oo)

C.[10,+«>)D.[15,+8)

答案B

解析C(—6,5),C2(2,l),G关于％轴的对称点为CK—6,-5),

故IPG|+IPCzl冽C2c3|=、64+36=10,

又两圆的半径分别为2/，

则IPM+IPN21。-2—1=7,

故IPM+IPN的取值范围是R,4-oo).

8.(2022・荷泽质检)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位

于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△48C,

|人用=|人C|,点点C(3,5),过其“欧拉线”上一点P作圆O：/+)，2=4的两条切线，

切点分别为M，M则|M*的最小值为()

A.72B.2^2

C4D.2小

答案R

解析由题设知的中点为(1,3),

“欧拉线”斜率为2=一;=一1,

所以“欧拉线”方程为y—3=—(x—1),

即x+y—4=0,

4

又。到工+)，-4=0的距离为4=关〉2,即“欧拉线”与圆。相离，

要使|MN|最小，则在RtZkPMO与Rt^PNO中，NMOP=NNOP最小,即NMPN最大，

而仅当OP_L“欧拉线”时，NMPN最大,

所以d=|OP|=2，5,

则|MM=2rsin/NOP,

>•、万

且圆。半径r=2,cosZ/VOP=^=2*

所以sin/NOP=4，即|MN]min=24I

二、多项选择题

9.已知直线/过点(3,4),点A(—2,2),B(4,-2)到/的距离相等，贝/的方程可能是()

A.x-2y+2=0B.2x~y~2=0

C.2x+3y-18=0D.2x-3y+6=0

答案BC

解析当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为4=3,此时点4到直线/的距离为5,点8

到直线/的距离为1,此时不成立；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y-4=©x-3),即日一)，+4—34=0,

•・•点4—2,2),8(4,-2)到直线/的距离相等，

.|一2%—2+4-3川I4Z+2+4—31

一也2+1~也?+1'

2

解得上=—Q或k=2.

?2

当2=-］时，直线/的方程为），-4=一3）,整理得2r+3y—18=0,

当2=2时，直线/的方程为），-4=2。-3）,整理得2A•—y—2=0.

综上，直线/的方程可能为2r+3y-18=0或公一），-2=0.

10.在平面直角坐标系中，圆C的方程为/+），2一张=0.若直线），=欧》+1）上存在一点「，使

过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的可能取值是（）

A.1B.2C.3D.4

答案AB

解析由r+）2—标=0,得。-2）2+）2=4,

则圆心为C（2,0）,半径r=2,过点P所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A,B,

叱0土川

连接AC,8C,所以四边形用CB为正方形，即PC=g=2吸，圆心到直线的距离d=

w+上

<2也，

即一26忘心2吸，

所以实数女的取值可以是1,2.

11.（2022・南通模拟）已知P是圆O：x2+y2=4上的动点：直线l\：xcos〃+jsin0=4与小

xsin0一）eos。=I交于点。，则（）

A.Zil/2

B.直线人与圆。相切

C.直线，2与圆。截得弦长为2小

D.IPQ长的最大值为J万+2

答案ACD

解析圆。半径为2,

cosOsin0+sin〃•(一cos0)=0,

所以/1JJ2,A正确；

4

圆心。到/i的距离为〃=4>2,

1/cos2+sin汨

八与圆O相离.B错误:

圆心O到直线/2的距离为

cl'1,

Nsin5+(—cosJ)?

所以弦长为242f2=2小,C正确;

xcosO+ysin9=4,

由'

xsin。-ycos9=1,

x=4cos〃+sin〃,

y=4sin9—cos8,

即Q(4cos夕+sin仇4sin夕一cos8),

所以|OQ|=N(4COS，+sin〃)2+(4sin，-cos夕产

=4万，所以|PQ|的最大值为万+2,D正确.

12.(2022・龙岩质检)已知点P(xo,yo)是直线/：x+)=4上的一点，过点P作圆。：A2+/=2

的两条切线，切点分别为A,B,连接04,OB,贝1]()

A.当四边形OAP8为正方形时，点P的坐标为(2,2)

B.|以|的取值范闱为[#,+oo)

C.当△附B为等边三角形时，点尸的坐标为(1,3)

D.直线A3过定点0,£)

答案BD

解析对于A选项，当四边形。为正方形时，

则|0*=|0用=|AP|=|BP|,

•・•圆O：%2+y2=2=>r=V2,

・・・修。1=、柩2+(圾2=2.

又点尸(刈，泗)是直线/：x+y=4上的一点,

设P(沏，4—沏)，

:.俨。|=N5)—0)2+(4—XL0)2

川2自一8xo+l6=2,

即焉一4刈+6=0,该方程/<0,xo无解，

故不存在点产使得四边形O八?6为正方形,

A错误；

对于B选项，由A知，

附1=\仍。|2-|。川2=皿0|2-2,

又『。|2=蟠+(4—xo)2=2xS—8汨)+16

=2(XO-2)2+828,

・・・『0|2—226,则|布|2道,

即外的取值范围是［班，+8),故B正确；

对于选项C,若△雨5为等边三角形，

易知/AP8=60。，又OP平分NAPB,

・•・NAPO=NEPO=30。.

在Rl△%O中，由于|。4|=也，

\OA\I-

Asin30。=晶司0夕|=2、2.

又P点坐标为(xo,4—xo),

・••珀+(4—&)2=8,

即2就一8M)+8=On(xo—2)2=O,

工入0=2,yo=2,故C错误；

对于选项D,・・・P®),4—必)，

\POf=xo+(4—xo)2=2%n—8xo+16,

记O"的中点为喈，宁则以。为圆心，苧为半径的圆与圆。的公共弦为Aa

・•・圆D方程为(%—5)2+(),一与可2

=；(2端-8祀+16),

整理得小十卡一叱一(4一为»=0,

(4—xo)y=O,

联工1/+产=2,

化简得XM+(4—xo)y=2,

即得直线方程为xox+(4—x())y—2=0,

将x=)，=T代入方程恒成立，

故直线人8过定点Q,：),D正确.

三、填空题

13.与直线2x-y+1=0关于工轴对称的直线的方程为.

答案2丫+〉+1=0

解析直线2x—y+1=0的斜率为2=2,与x轴交于点八(一/0),

直线2x-y+1=0关于x轴对称的直线的斜率为一&=一2,并且过点A,

由直线的点斜式方程得厂0=—2(尸尚，

即2x+y+l=0,

所以所求直线的方