高三大题优练8 电磁感应中的动力学和能量问题 教师版

大题优练8

例1.如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=\

T,每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m,现有一边长/=0.2m、质量相=0.2kg、

电阻R=0.1Q的正方形线框MNOP,以v0=5m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，重力加速度g取10

(1)线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小尸玄和加速度a的大小：

(2)线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热。；

(3)线框水平向右的最大位移

【解析】(1)产生的感应电动势为£=

根据闭合电路的欧姆定律得“

所以安培力为4=B〃=2N

根据牛顿第二定律得F="安=ma

解得〃=10&m/s2。

(2)设线框速度减到零时，线框下落的高度为，，根据能量守恒得

121,

mgH+—/??v0=Q+—mv~

在竖直方向上，根据自由落体得28"

解得Q=2.5J。

2

B-lva人

------------A/=m•Av

(3)在水平方向上，在磁场中运动时，根据动量定理得a

x=u.="I呼=2.5m

所以线框在磁场中运动的距离为B~l~

每个磁场宽度为0.5m,所以线框在穿过磁场边界时才做减速运动，则穿过边界的次数为

/?=-=12.5

d次

一个磁场两个边界，所以线圈会穿过6个磁场，6个空白区域，第7个磁场进入的距离为

x'=x-6d=0.1m

之后，速度减为零

所以线框水平向右的最大位移/=12d+x'=6.1m。

例2.如图甲，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B,足够长的光滑水平金属导轨的间距为/,

质量分别为〃?、的导体棒I、2均垂直导轨放置，计时开始，导体棒1以初速度小水平向右运动，在运动

过程中导体棒始终相互平行与导轨保持良好接触，直到两棒达到稳定状态，图乙是两棒的y-/图象。如图丙，

空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为8,足够长的光滑水平金属导轨M与N、P与。的间距分

别为/、21。质量分别为〃?、2〃?的导体棒。、〃均垂直导轨放置，计时开始，a、〃两棒分别以v()、2即的初速度

同时水平向右运动，两棒在运动过程中始终相互平行且与导就保持良好接触，•总在窄轨上运动，〃总在宽就

上运动，直到两棒达到稳定状态，图丁是两棒的〃一/图象。

(1)若〃、〃两棒在M时刻达到相同速度，求0〜m时间内通过〃、，，两棒的平均感应电流；

(2)从计时开始到两棒稳定运行，求图甲、图丙两回路中生成的焦耳热之比；

(3)从计时开始到两棒稳定运行瞬间，求通过图甲、图丙两回路中某一横截面的电荷量之比。

【解析】(1)设某时刻〃、〃两棒的速度分别为匕、匕,°〜/时间内回路的平均感应耳流为i,根据

右手定则、，一/图象以及左手定则可知，两棒达到共同速度之前，。所受安培力为动力，〃所受安培力为阻力，

对。棒由动量定理有：比〃=叫一叫

对方棒由动量定理有：-2=2加以_2〃zx2%

两棒速度相等时匕

3

联立解得：2

代入"％

.〃明

I-

解得：28"。

(2)对图甲中回路，两棒组成的系统动最守恒，设最终共同速度为L则：6％=3”口

Q=-mvl--x3/nv2

由能量守恒定律可知，图甲回路中产生的焦耳热为22

二12

Q=W机埼

解得3

对图丙中回路，当两棒产生的感应电动势大小相等时，回路中感应电流为零，。、〃两棒不受安培力，达到稳

定状态，即飒'=28%

对〃棒由动量定理有应力="匕，

对b棒由动量定理有=2〃%'-2mx2%

解得4=2%%

设图丙回路中产生的焦耳热为°,，由能量守恒定律有

r22

G+-mv:+；x2/nv；=g+；x2m（2v0）

。32

Q=彳〃7%

联立解得2

Q_=l

则。一9。

(3)对图甲中的2棒，由动量定理有：B1q=2m\，

q=2

解得38/

图丙回路中，对"棒由动量定理有：应'〃"〃*’一机％

结合匕'=2%

通过图丙回路中某一横截面的电荷量

解得B/

联立解得"而%方=血子

加速度为恒量，所以导体棒做匀加速直线运动。

2.如图所示，水平轨道与半径为，的半圆弧形轨道平滑连接于S点，两者均光滑且绝缘，并安装在固定的竖

直绝缘平板上。在平板的上下各有一个块相互正对的水平金属板P、Q,两板间的距离为4半圆轨道的最高

点八最低点5、及P、。板右侧边缘点在同一竖直线上。装置左侧有一半径为L的水平金属圆环，圆环平面

区域内有竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，•个根长度略大于心的金属杆一端置于圆环上，另一

端与过圆心Oi的竖直转轴连接，转轴带动金属杆逆时针转动(从上往卜看)，在圆环边缘和转轴处引出导线分

别与P、Q连接。图中电阻阻值为R,不计其他电阻。右侧水平轨道上有一带电量为七、质量为，〃的小球1

以速度％=网7向左运动，与前面静止的、质量也为;〃?的不带电小球2发生碰撞，碰后粘合在一起共同向

左运动。小球和粘合体均可看作质点，碰撞过程没有电荷损失，设P、Q板正对区域间才存在电场，重力加速

度为g。

(1)计算小球1与小球2碰后粘合体的速度大小I，；

(2)若金属杆转动的角速度为①，计算图中电阻R消耗的电功率P；

(3)要使两球碰后的粘合体能从半圆轨道的最低点S做圆周运动到最高点T,计算金属杆转动的角速度的范围。

【解析】(I)两球碰撞过程动量守恒，则：

解得：v=杵。

11,

(2)杆转动的电动势£=BLv=BLx—Leo——BLco

22

电阻R的功率2=《=红或。

R4R

⑶通过金属杆的转动方向可知：P、。板间的电场方向向上，粘合体受到的电场力方向向上.在半圆轨道最低点的

速度恒定，如果金属杆转动角速度过小，粘合体受到的电场力较小，不能达到最高点。临界状态是粘合体刚好达

到丁点，此时金属杆的角速度助为最小，设此时对应的电场强度为自，粘合体达到7点时的速度为也。

在丁点，由牛顿第二定律得件-必=〃£

r

从S到T,由动能定理得乡&-2r--2r=mv；-mv2

解得T

杆转动的电动势回

两板间电场强度片=§

a

联立解得外=嚅

qBL；

如果金属杆转动角速度过大，粘合体受到的电场力较大，粘合体右S点就可能脱离圆轨道，临界状态是粘合体

刚好在S点不脱落轨道，此时金属杆的角速度s为最大，设此时对应的电场强度为反。

二

在S点，由牛顿第二定律得叫=用匕

杆转动的电动势邑=；

两板间电场强度反=§

a

联立解得牡=假

综上所述，要使两球碰后的粘合体能从半圆轨道的最低点5做圆周运动到最高点厂金属杆转动的角速度的范

mgd<一/mgd

围为:

湎3即。

3.如图所示，两根固定的水平平行金属导轨足够长，间距为心两根导体棒（力和cd垂直导轨放置。已知两

根导体棒功和4的质量分别为机和2〃?，电阻均为R,导轨光滑且电阻不计，整个导轨平面内都有竖直向上

的匀强磁场，磁感应强度大小为8。

⑴如图所示，若面棒固定不动，现用平行导轨向右的恒力尸（己知）拉动M导体棒，求〃导体棒的最大速度Km。

⑵如图所示，若初始时〃〃和cd两导体棒有方向相反的水平初速度，大小分别为2叩和3曲，求：

①从开始到最终稳定的过程中回路总共产生的电能；

②当ab棒的速度大小变为物时，cd棒的速度大小以及两棒与导凯所组成的闭合回路的面枳与初始ab棒速度

为2囿时相比增大了多少。

【解析】（1）对〃导体棒列牛顿第二定律方程厂一心培力"2机"

当。二°时速度最大为匕”

j_E_

安除力=【

FLB2R,E=BLvm

2FR

匕11-r>2r2

解得BL。

(2)①从开始到最终稳定的过程中，两棒的总动量守恒，取水平向右为正方向，由动量守恒定律有

2mx3v0-inx2v0=3m

4

u共

解得

由能量守恒定律可得，从开始到最终稳定的过程中回路总共产生的电能

।25

22

418产jX26x（3v0）+/n（2v0）-=彳"诉

JJ

②分析两种情况可知，当，活棒的速度大小是%时有两种情况

当血棒的速度未反向，即向左时，设此时〃棒的速度是匕，根裾动量守恒得

2mx3v0-mx2v0=2〃％-mvQ

5

w=5%

解得

当血棒的速度反向，即向右时，设此时棒的速度是叱，根据动量守恒得

2mx3v()-mx2v0=2mv2+〃w()

3

v=—v

解得22o0

对〃棒，由动量定理得=

其中4=B/Lq=h

5mv

V|=—v0q、=—

代入两种情况可得，当2时，通过〃棒的电荷量为BL

33mv

v2=-v0q、=----

当2时，通过〃棒的电荷量为~BL

B'S

由2,~^R~

可得B?L,-B2L

4.如图，两根固定的平行光滑轨道AC。、4CQ是由竖直平面内的;圆弧绝缘轨道

AC、A，C和与之分别相切

C、。点的水平直轨道CO、CO组成的，圆弧半径，・=1.8m,轨道间距力=0.5m。电阻均为R=0.2C、长均为

L=0.5m、用绝缘轻杆连接的两根金属棒1、2静止在图示位置，轻杆与金属棒恰构成正方形，矩形区域他cd

内存在磁感应强度大小&)=0.8T、方向竖直向上的匀强磁场，氏c间距&t.=0.81]1。一质量机=0.1kg,电阻

R=0.9Q的金属棒3从A/V处由静止开始沿轨道滑下，棒3与金属棒I发生弹性正碰，棒3碰后反向弹回，上

升的最大高度〃=0.2m。取g=10m/s2,棒始终与轨道垂直且接触良好，棒1初始位置左侧轨道均绝缘，右侧

轨道均导电，且电阻不计，棒2初始位置与岫重合，Co和d。足够长。

(1)求碰前棒3经过CC时对轨道的压力大小；

(2)求金属棒1、2与杆的总质量以及棒1恰好进入磁场时棒2的远度大小；

(3)若仅磁感应强度大小可调，求使棒1出磁场后，棒3不能追上棒1的磁感应强度的最大值。

【解析】(1)设棒3的°C'处的速度大小为%,棒3下滑过程中，根据机械能守恒定律有

I

mgr=­

P片

棒3在CC处，根据牛顿第二定律有〃

解得％=6m/s,FN—3N

根据牛顿第三定律知，碰前棒3经过°C时对轨道的压力大小为FN=FN=3N。

,1

mgh=-mv2

(2)设碰后瞬间棒3的速度大小为匕，则有2{

解得M=2m/s

设金属棒1、2与轻杆的总质量为碰后瞬间的速度大小为2,棒I恰好进入磁场时的速度大小打，棒3

与棒1发生弹性正碰，则有

"7%=〃7（_匕）+

1,121”2

—=—mv~+—MV2

解得M=0.2kg,v2=4m/s

对棒1、2和杆组成的系统进入磁场的过程，根据动量定理有

=M匕一

MV2

-AO

ht=—=

}2K2R

解得匕=3m/s。

(3)设棒1离开磁场时的速度大小为%,则从棒2进入磁场到棒1离开磁场右边界的过程中，根据动量定理有

--RJ2

/%+，2,2=—

整理得匕=(4325硝m/s

同理棒3穿过磁场区域的过程中有J8'"%=机"一加匕

73%=竿N

纣。

整理得VC"⑹询

当彩=〜，棒3恰好不能追上棒I.此时磁感应强度最大

4

=-T

解得3。

5.某兴趣小组设计制作了一种磁悬浮列车模型，原理如图所示，户。和MN是固定在水平地面上的两根足够长

的平直导轨，导轨间分布着竖直(垂直纸面)方向等间距的匀强磁场小和仪,二者方向相反。矩形金属框同

定在实验车底部(车厢与金属框绝缘)。其中ad边宽度与磁场间隔相等，当磁场Bi和&同时以速度vo=10

m/s沿导轨向右匀速运动时，金属框受到磁场力，并带动实验车沿导轨运动。已知金属框垂直导轨的。。边长

L=Q1m、总电阻R=0.8Q,列车与线框的总质量〃?=4.0kg,B=^2=2,0T,悬浮状态下，实验车运动时受

到恒定的阻力/=0.4N。

(1)求实验车所能达到的最大速率；

(2)实验车达到的最大速率后，某时刻让磁场立即停止运动，实验车运动20s之后也停止运动，求实验车在这

20s内的通过的距离；

(3)假设两磁场由静止开始向右做匀加速运动，当时间£=24、时・，发现实验车正在向右做匀加速直线运动，此

时实验车的速度v=2m/s,求由两磁场开始运动到实验车开始运动所需要的时间。

【解析】(1)实验车最大速率为Vm时相对磁场的切割速率为VO-Vrv则此时线框所受的磁场力大小为

,_4^2L2(P-V)

1R---------0----

R

此时线框所受的磁场力与阻力平衡，得：F=f

in

(2)磁场停止运动后，线圈中的电动势：E=2BLv

线圈中的电流：1=2

R

实验车所受的安培力：F=2BIL

根据动量定理，实验车停止运动的过程：Z尸加+#=，〃%

+,nvx

整理得：Z"/上加ft-m,而z必’=

解得：x=120m

(3)根据题意分析可得，为实现实验车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始

做匀加速直线运动的加速度相同，设加速度为小贝h时刻金属线圈中的电动势

E=2BL(at-v)

金属框中感应电流/=2比(—)

R

又因为安培力F=2BIL=42m"一』

R

所以对试验车，由牛顿第二定律得竺写3一/=〃口

得a=l.Om/s2

设从磁场运动到实验车起动需要时旬为如则时刻金属线圈中的电动势

E()=2BLato

金属框中感应电流2RLai。

R

又因为安培力玲=2BI.L=竺&®

对实验车，由牛顿第二定律得：F°=f

解得：fo=2s。

6.如图所示，MWIPIQI和M2Mp2Q2为在同一竖直面内足够长的金属导轨，处在磁感应强度为8的匀强磁场

中，磁场方向竖直向下。导轨的MM段与M2M段相互平行，距离为L；外。1段与P202段也是平行的，距离

为|心质量为〃?金属杆。、〃垂直与导轨放置，一不可伸长的绝缘轻线一端系在金属杆〃，另一端绕过定滑轮

与质量也为机的重物。相连，绝缘轻线的水平部分与PIQI平行且足够长。已知两杆在运动过程中始终垂直于

导轨并与导轨