勾股定理折叠动点和综合性问题（7种类型42道）解析版-2024八年级数学上册（北师大版）

勾股定理折叠动点和综合性问题

（7种类型42道）

：考点归纳

考点01折叠问题求线段长

考点02折叠问题求面积

考点03勾股定理相关综合性问题

考点04最值问题

考点05动点求值

考点06折叠与最值问题综合

考点07折叠与动点问题综合

考点专练

考点01折叠问题求线段长

1.如图，在心△力8C中，4=90。,力8=8,AC=6,将A/IA。沿CO翻折，使点A与8c边上的点£重合,

则CO的长是（）

C.y/5D.5

【答案】A

【详解】解：；在心△力8c中，4=90。，4B=8,AC=6,

/.BC=ylAB2+AC2=>/82+62=10，

,・,将“BC沿。翻折，使点A与4c边上的点E重合,

;.NCED=4=90。,AD=DE,CE=AC=6,

:.BE=BC-CE=\0-6=4,

设AD=DE=x,

:.BD=AB-AD=8-x,

Rt^DED'f»;BD'=DE'+BE'，

（8-.v）：=x2+42,解得x=3,

即4）=3,

・•・在农人力。。中，。=〃。2+必2=«2+32=3后.

故选：A.

2.如图，在RIZX48C中，=90°,AC=4cm,=3cm,现将△48C进行折置，使顶点44重合，则折痕

。上的长为（）

A.-cmB.—cmC.——cmD.5cm

248

【答案】C

【详解】解：；/。=90。，AC=4cm,8C=3cm.

1.AB2=AC2+BC2=25

AB=5cm.

由折叠的性质可得&=E8，AD=DB=^AB=^cm.

22

®AE=xcm,则8E=xcm,CE=(4-x)cm.

在Rt^BCE中，BC2+CE2=BE2,

32+(4-X)2=X2,解得x=孕，

o

25

即二上cm,

8

：.DE2=AE2-AD2=—,

64

“15

1.DE=—cm.

8

故选C.

3.如图，在△48。中，NC=90。，点。为8c边上一点，将“CQ沿力。翻折得到△力C'。，若点C在AB

边上，AC=6,BC=8,则8c的长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理，图形的翻折变换，掌握相关知识点是解题的关键.

先在AXBC中由勾股定理求出9二10,再利用翻折的性质求出47=6,再求8。的长.

【详解】•••在△48C中，ZC=90°,AC=6,BC=8,

AB=>/AC2+fiC2=府+8?=10，

由诩折的性质知，AC=AC=6,

BC'=AH-AC,=\0-6=4.

故选：B.

4.如图，在RtZUBC中,NC=90。，%C=4,4C=6,将它的锐角力翻折，使得点力落在边8C的中点。

处，折痕交力。边于点区交力8边于点R则。万的长为（）

A.2B.

【答案】D

【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出。=；5。=3,由折叠的性质可得=设

AE=DE=x,则CE=4-x,再由勾股定理计算即可得出答案.

【详解】解：•••点。为8c的中点，

:.CD=-BC=3,

2

由折叠的性质可得力七二。七，

设NE=OE=x,则CE=/C—力E=4-x,

由勾股定理得。炉+C02=DEi,

/.（4-.r）2+32=x2,

解得：、=学，

X

【答案】D

【详解】解：如图，过点、N作NHtCD,垂足为从

•••正方形纸片ABCD的边长为12,

：.NH=AD=12,

•.MN=13,NH【CD,

.•.在RtZ\NHM中,MH=NMN?-NH，=4\3’一d=5，

•••对称轴的性质可得知DE±MN,

:"DC+ZHMN=90。、

-NH±CD,

，4IMN+4MNH=90°,

：.ZEDC=ZMNH,

•••AEDC^^MNH，

：.CE=HM=5,

设DM=x,由翻折的性质可知EW=x,则MC=12-x.

在RlAV/CE中，由勾股定理得：EM2=CM?+CE2,

即：X2=(\2-X)Z+52,

169

解得："=五

.-.aw=—

24

故选：D.

考点02折叠问题求面积

7.如图，将直角三角形为3c纸片沿力。折叠，使点6落在力。延K线上的点E处.若片C=3,AC=4,则

图中阴影部分的面积是（）

3939

cA

A.4-B.4-2-2-

【答案】B

【详解】解:・.ZC8=90。,

-AB=>JAC2+BC2=5»

由折叠得ZE=48=5,DE=BD,

设。。=x,则8O=4—x,

在△OCE中，NDCE=9/,CE=AE—AC=5-3=2,

•:CE2+CD?=DE?,

.%2:+x2=(4-，

解得％=1.5,

••.CD=1.5,

119

・•・图中阴影部分的面积是；/CC0=：x3xl.5=；,

224

故选：B.

8.如图一直角三角形纸片，两直角边4C=6cm,8c=8cm,现将直角边4C沿直线/£）折叠，使它落在斜

边/第上，且与力£重合，则108的面积等于（）

C.20cm2D.25cm2

【答案】B

【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用：熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关

键.首先由勾股定理求得Z8=10cm,然后由翻折的性质求得8£=4cm,设QC=xcm,则

8O=（8-x）cm,DE=xcm,在RtaBEO中，利用勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：:在中，AC=6cm,BC=8cm,

/.AB=>]AC2+BC2=762+82=10(cm).

由折叠的性质可知：DC=DE,AC=AE=6cm,ZDEA=ZC=90°,

BE=AB-AE=\0-6=4(cm),ZDEB=90°,

设DC=xcm,则8。=(8-x)cm,DE=xcm,

在Rt/ED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD\

K|J42+r2=(8-x)2,

解仔：x=3,

DE=3cm,

•••S，m=；48OE=gxl0x3=15（cm2）.

故选:B.

9.如图，矩形川":。沿对角线8。折叠，已知长5C=8cm,宽力8=6cm,那么折叠后重合部分的面积是

A.48cm2B.?.4em2C.18.75cm?D.1Rem2

【答案】C

（分析】由矩形的性质易得DE=BE,那么可用DE表示出CE,利用Rt^CDE的三边关系即可求得DE长,

然后三角形面积公式求解即可.

【详解】解：•••四边形48CD是矩形，

:.AD〃CB,

：.ZADB=4DBC,

VZ.CBD=RDBC

:.ZADB=4EBD,

:.DE=BE,

：CE=8-DE,

•••CD=AB=6,

.•.6：+（8-。城=。炉，

：.DE=与,

4

・双加=；。七x318.75（cm2）.

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解决此类问题，应利用折叠找到相应的直角三角形，利用

勾股定理求得所需线段长度.

10.在矩形纸片48co中，J5=3cm,8c=4cm,现将纸片折登压平，使力与C重合，如果设折痕为ER

那么重叠部分△/石尸的面积等于（）cm2

-75

D.—

♦16

【答案】D

【分析】由矩形及折叠的性质可得力E小扛再由勾股定理可求得的长，从而可求得重叠部分的面积.

【详解】•.•四边形"CO是矩形

.-.JPH5C

^Z.AFE=Z-FEC

由折叠的性质知：AEFsFEC,AE=CE

'.AE=AF

设8£=xcm,则4£=C£=(4-x)cm

在Rf》BE中,由勾股定理得：3?+—=(4-工)2

7

解得：x=-

O

725

AE=AF=4——=—(cm)

88

2

S-AFF=—=—x-x3=—(cm)

、AEF22816

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，运用勾股定理建立方程求

得4E的长是解题的关键.

11.如图，在长方形4BCD中，点E在边上,把长方形48CQ沿着直线。E折叠，点4落在边8C上的

【答案】D

【分析】根据折叠的性质可得力。=。£设CFr,则DF=4D=BC=B”+CF=3+x,然后利用勾股定理列出方程

求出x值，进而可以求出△。0户的面积.

【详解】解：由折叠的性质得，EF=AE=S,AD=DF,

在长方形48CQ中，48=90°,

在〃中，由勾股定理得,

BE=ylEF2-BF2=5/52-32=4，

•••4B=AE+BE=9,

折叠的性质得，AD=DFf

在长方形48C。中，zC=90°,BC=AD,CD=AB=9,

设CF=x,如JDF=AD=BC=RF+CF=^+x,

在RSCO/中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2,

.,.X2+92=（「+3>,

••・x=12,

••・△。。/的面积='xb-CO=」xl2x9=54.

22

故选：D.

12.如图，已知ABCD是长方形纸片，8=3,在CD上存在一点E,沿直线AE将△/£/）折叠，D恰好落

在BC边上的点F处，月.S^m=6,则△，切的面积是（）.

【答案】B

【分析】根据面积求出BF、AF、CF,设DE为X,列方程求出即可.

【详解】解：ABCD是长方形纸片，

.-.AB=CD=3,

「S4八A"r£8>=—2ABBF,

.-.6=-x3

2

.•.BF=4,

:区=」.+8产=5,

.-.AF=AD=BC=5,CF=1,

设DE为x,EF=DE=x,EC=3-x,

x2=l3-x)2+l,

解得，X=I，

•••S”£0=；4Q£O=；x5x：=V,

故选：B.

考点03勾股定理相关综合性问题

13.如图，/84。=/。力尸=90。,//=力。,力。二力尸，点。/为8。边上的两点，且ND4E=45。，连结

ERBF,则下列结论；①勿；②"BEAACD；③BE+DC>DE；@BE2+DC2=DE2,

其中正确的有（）

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理.熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理

是解题的关键.

利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判断各个结论的

正确性即可.

【详解】解：•••ZDAF=90°,ZDAE=45°,

/.AFAE=NDAF=ZDAE=90°-45°=45°,

在△/1助与△力痔中，

AE=AE

<ND4E=NFAE,

AD=AF

AJ^^AJEF(SAS),故①正确:

*'-DE=EF♦

•••Z5JC=ZD/^F=9O°.

ABAC-ZBAD=ZDAF-ZBAD,

Z.CAD=Z.BAF,

在ACO与尸中，

AC=AB

/CAD=ZBAF,

AD=AF

△ZC。仝△/M(SAS),

:.DC=BF,NABF=NC,

在ABEF中,BE+DC>EF,

：.BE+DC>DE,故③正确；

Z^JC=90°,

48C+NC=90。，

...ZABC+ZABF=90°,

ZFBF=90%

在Rt△电/'中，ZE^F=90°,

二BE2+BF1=EF1，

BE2+DC2=DE\故④正确；

由题干条件无法证明出“BEOACD,

综上所述，其中正确的有①③④，共3个.

故选C.

14.如图，在△/AC中，ZACB=90°,JC=8,BC=6,平分/C/A交AC于点。，过点。作OE//8

于点E，连接CE.则下列结论：

①AD垂直平分CE；②XBDE的周长为8；

QOA

③DC的长是:；④AJCE的面积为彳.

JJ

其中正确的结论有()

AEB

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积，掌握

全等三角形的判定和性质是解题关键.根据角平分线的定义和垂线的定义，易证丝△月EO(AAS),可

判断①结论；由勾股定理求出脑二10,再结合全等三角形的性质，可判断②结论；设DC=DE=a,利用

勾股定理解方程，可判断③结论；根据等高三角形面积之比等于高所在的边之比，可判断④结论.

【详解】解：平分

:2CAD=/EAD,

vDELAB,

...ZAED=/ACD=900,

又•.•40=力。，

，△忙。注“££＞（AAS）,

:.AC=AE,DC=DE,

•・J。垂直平分CE，①结论正确；

在△力8c中，ZJCB=90°,JC=8,BC=6,

AB=y]AC2+BC2=10»

,/A/1CD=AAED.

AC=AE=8,DC=DE,

：.BE=AB-AE=2,

;»BDE的局长=DE+BD+BE=DC+BD+BE=BC+BE=6+2=8,②结论正确；

设QC=QE=a,贝lj8O=8C-DC=6-a

在RtABED中，DE2+BE2=BD'，

/.a2+22=（6-a）2,

解得：V，

Q

・•.DC的长是：，③结论正确；

在△力8c中，/彳CB=90°,4C=8,BC=6,

S.=-AC-BC=-x8x6=24,

RC22

•.•"8和是等高三角形，

,SiACE=AE=8_4

"SACBAB105*

•••S“C£=：S“*=?，④结论正确，

JJ

故选：D.

15.如图，在RtAJBC中，4c8=90。，乙48c的平分线交4。于点O,过点。作。EJL干点E,过点

C作C〃_L/8于点尸，交BD于点G,若彳C=3,8c=4.则下列结论中正确的有：①CD=DE；（2）

4

KCDG=4CGD；（3）S=-；©S—：Z.G=5：4.（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】C

【分析】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运

用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键.①根据角平分线性质即可对结论①进行判断;

②根据NQB+N必G=9()。，NCGD=/FGB,得NCGZ)+NFBG=90。，根据8。平分N/4C,得

NCBD=ZFBG,进而得NCGQ+NC8O=90。，再根据NCDG+NQ?Q=90。，得NCZ)G=/CGD,由此可对

结论②进行判断；

③先由勾股定理求出48=5,证明网98。£丝宠〃8。。([41),得8£=8。=4,进而得力七=1,设。。=。石=4,

412

则40=%。一。=3-。，在Rt44P£中，由勾股定理得CO=OE=a=a，继而得二54£。£二鼻，由

此可对结论③进行判断；④过点G作G〃_L8CJ.•点H,根据角平分线性质得G”=G尸，由三角形面积公

式MS.GSBFG=BC:BF,再由三角形的面积公式求出CE=2.4,进而由勾股定理求出M=3.2,继而得

邑史G：W.G=8C:8E=4:3.2=5:4,由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案.

【详解】解：①•••8。平分/48C,4c8=90。，DEIAB,

;.CD=DE，故结论①正确；

②在RtABFG中，4FGB+4FBG=90°,

•••Z.CGD=NFGB,

.•・NCGO+"BG=90。，

••・4。平分/48C,

Z.CBD=乙FBG,

.-.ZCGD+ZC5D=90°,

在RtA5CD中，ZCDG+ZCBD=90°,

:.NCDG=/CGD,故结论②正确；

③在Rt△力BC中，ZJCJ?=90°,AC=3,BC=4,

由勾股定理得：AB=>jAC2+BC2=A/32+42=5*

在Rl/sBOE和RS4OC中，

CD=DE

BD=BD'

R〉8QEgRtABOC(HL),

:.BE=BC=4,

AE=AB-BE=1,

设CD=DE=a,^]AD=AC-CD=3-at

在Rt△力。E中，由勾股定理得：AD2=AE2+DE2,

.•.0-炉=/+12,

4

解得：«=-，

J

4

CD=DE=〃=5，

A^.ADE=AEDE=lx1X^=-|,故结论③错误:

④过点G作G//J.8Cr点，，如图所示：

•.•点G是N/8C平分线上的点，GFtAB,

:・GH=GF,

•••S.G—|BCGH，S.BFG—IBFGF，

乙乙

•，-S,BCG-SABFG=8C：BF,

由三角形的面积公式得：SM=；4BCF=；/CBC,

1Xr

5AC・BC3x4一

A（卜=------=-------=/4.

在中，由勾股定理得：BF=NBC2-CF2=依-2%=3.2,

AS.G：S.BFG=8C：6尸=4:3.2=5:4，故结论④止确，

综上所述：正确的结论是①②④.

故选:C.

16.如图，在△49。中，ZBJC=90°,4B=AC,息D为BC中点、,在边力8上取一点E,连接OE,过点

D作DFJ.DE交4c边于点、F,连接EF.下列结论正确的个数是（）

①DE=DF；②四边形力以卯的面积等于△/4C面积的一半；③AE+AF=gD；⑥BE+CF=EF

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、

三角形的三边关系等知识.由N8/C=90。，AB=AC,得4D=8=BD=；BC,ADIBC,则

ZADE=ACDF=90°-Z.ADF,而=NC=45°,即可证明△力QE0△（»/,得DE=DF,可判断①

I上确；由SgDE=SACDF，可推导出S四边形花所=S1Moe=—S&Mc,可判断（2）।上确；因为AE=CF,珈以

4E+4/=b+力/=力。=//。，可判断③正确；由力8=力。，花=。/7,可推导出BE=AF,Ifo-AF+AE>EF,

则跖+b>EE,可判断④错误，于是得到问题的答案.

【详解】解：4c=90。，AB=AC,Z）为8c的中点，

AD=CD=BD=-BC,AD1BC,

2

•••DfIDE,

NADC=NEDF=900,

^ADE=ZCDF=90°-ZADF,

•;NDAE=ADAC=-ABAC=45°,Z.C=Z.B=45°,

2

Z.DAE=ZC,

.•.△WOEgACO/（ASA）,

DE=DF,S^DE=S&CDF»故Q）正确：

==

•',Sfl边形4£WSi1Myp.+S1MDF=S&CDF+SUJDF=QS1MBe»故Q）止确；

vAE=CF,

AE+AF=CF+AF=AC,

•••AC=\/AD2+AE2=>l2AD2=41AD，

：.AE+AF=42AD，故③正确；

vAB=AC,AE=CF,

AB-AE=AC-CF,

BE=AF,

AF+AE>EF,

:.BE+CF>EF,故④错误，

故选：B.

17.如图，点尸是等边内部一点，连接力P、BP、CP,旦4P2=BP2+CP"现将△/尸。绕点力顺时

针旋转到“08的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②4ABPmACBP；③ZD8P=90。：

④N8D4+N84=210。.其中正确的结论有（）

D.

c

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由题意知旋转角NO力尸=乙％。=6()。，AD=AP,BD=CP,ZABD=ZACP,可得是等边三

角形；由力产=8尸+C尸知力PHCP,可得AXBP与0不全等；由勾股定理的逆定理可知48。尸是直角

三角形，有NO8P=90。；推出N/CP+N力8。=/48。+/力8夕=90。，ZBAP+ZCAP=ABAC=60°,再根

据三角形内角和定理可得N4D4+/821=210。；进而可得正确答案.

【详解】解：由题意知旋转角NQ4P=N8/C=60°,AD=AP.BD=CP,ZABD=ZACP,

.•.人力即是等边二角形，故①正确：

•**AD=AP=DP»

•:AP2=BP、CP2,

：.4P寸CP,

.•.△.48P与ACBP不全等，故②错误；

•；AP'=BP2+CP2,

•••DP?=BP2+BD1，

是百角三角形，

："BP=90。,故③正确；

vZABD=ZACP,ZDBP=90°,

ZACP+^ABP=/ABD+ZABP=90°,

,•"AP+NCAP=ZBAC=60°,

ABDA+/BPA=180。-AABP-/BAP+18()。-Z.ACP-/CAP

=360°-90°-60°=210°,故④正确；

综上，正确的有①③④.

故选：C.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的逆应用，三角形的内角和定理.解

题的关键在于对知识的灵活运用.

18.如图，正方形力8c。的边长为4,E为。。上的点，DE=\,将沿彳E对折至延长E/

交8C于G.连接力G、CF.下列结论：①"BG="FG；(2)ZGAE=45°；③34G=5CG；

④，%的=芸144＞其中正确的有()个・

A

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】①正确，根据儿进行证明即可；

②正确.利用全等三角形的性质解决问题即可；

③错误，在RIAEGC中，利用勾股定理求出8G,CG即可解决问题；

(£)正确，根据=方S4cEG计算即口J.

【详解】解：①:四边形48。是正方形，

AB=AD=BC=CD=4f/BAD=/B=/BCD=ND=90°，

由翻折可知：AF=AD,NAFE=ND=90°,ZDAE=AFAE,

/.AF=AB,乙4FG=NB=90。,

在RtA/15G和RtAJFG中，

AG=AG

,4B=AF，

Rt"BG色RtAAFG(HL),故①正确,

@vRtAJ/?G^RtA/1?G,

NAGB=NAGF,

•;ZDAE=NFAE,440=90©,

^EAG=Z.EAF+ZE4G=|ZLBAD=450,故②正确，

③•/R-BGgRt""G,

BG=FG,

CD-4,OE=1,

:.DE=EF=1,EC=3,

在Rt^ECG中，C£=3,EG=EF+FG=T+BG,CG=BC-RG=4-BG,

根据勾股定理，^EG2=CE2+CG2,

即(l+/?G)2=32+(4-^G)2,

12

解得8G二彳，

J

CG=4=—,

55

12Q

:.BG:CG=-:-=3:2

55f

：.2BG=3CG.故③错误.

@'.'CG=1(CE=3,

»s18，12

c=yCG-C/?=-x-x3=y,

12

又・.FG=BG=q,EF=1,

/.FG:£F=y：l=12:5,

°12°1212144

X=

=7T-T^CW=7Z-T-TT»故④正确・

所以其中正确的是①②④，一共3个.

故选：C.

考点04最值问题

19.如图，RtZXXBC中，ZC=90%8c=4,AB=5,E/垂直平分力8,点尸为直线改上一动点，则△力尸C

【详解】解：••・£1/垂直平分力8,

••・从力关于E/对称，

如图，连接尸4，

•••当尸和。重合时，月P+CP的值最小,

此时，AP+CP=PB+CP=BC=4,

在RtZ\48C中，ZC=90°,BC=A,48=5,

:.AC7AB2-BC?=5/52-42=3,

:•△/PC周长的最小值是5C+/fC=4+3=7.

故答案为：7.

20.在四边形/14CO中，/BAD=NBCD=900,ZJZ?C=135°,44=3右，BC=1,在力。、CO上分别找

一点、E、尸，使得石尸的周长最小，求△“石9周长的最小值为

【答案】10

【详解】解：如图，作点4关于月。的对称点与，关于CO的对称点斗,连接4当，与力。、CO分别交于

点£、尸，则此时的周长最小，

由轴对称的性质可得，BE=B、E,BF=B2F,

:.4BEF的周长=BE+BF+EF=B、E+ByF+EF,

•••两点之间线段最短，

・•.此时4BEF的周长最小，为8出；，

过点当作4河_1.8々，交8片的延长线「点必，

vZ45C=135°.

.•.NMBB]=45°,

4为等腰三角形，

BM=B?M,

•:BC=\,

BB2=2BC=2,

•:BM?+BM=BB；,

BM=B?M=V2,

•：AB=3五，

:.MB、=MB+BA+AB\=TC,

•••B、B1=yjMBj+MB：=10,

.•・ABM的周长最小值为10.

故答案为：10.

21.如图，在RtZX/18。中，NACB=90°,48=10,=24,力。是/8力。的平分线.若点。和。分

别是线段AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.

【详解】解：如图：作。关于更线Z。的对称点。'，过。作CK_L4?于凡

••・4D是/历iC的平分线

•・•点。在直线相上，

•・•点。和点。'关于直线彳。对称，

:.PQ=PQ：

；.PC+PQ=PC+PQ',

点0'随着点0的运动而运动，当且仅当点。'和点/重合时PC+P0有最小值CF,

在RtZ\48C中，ZJC5=90°,48=10,SaABC=24,

：.S…'CFAB,B[J24=-CF10,

212

.-.CF=—

5

2474

・•.PC+P。'的最小值§，即PC+P。的最小值日.

故答案为：—

22.如图，在△/8C中，/C=10,月。平分/历IC,E、/分别是44、4。上的动点.若S”8c=40，则

BF+EF的最小值为.

【答案】8

【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及两点之间线段最短，垂线段最短，能够根据相关知识

得到8E+EF的最小值为5〃的长是解题的关键.

在4C上取一点£,使力£=力石，连接£T，BE，,过点4作8"_L4C「点H,可推出4尸+E尸的最小值为

BH的长，再根据面积求出BH的长即可解决问题.

【详解】解：如图，在4c上取点使力£=4E，连接EGBE',过点B作BH上4c于点H,

•••力。平分/54(7,

•••点£与点石关于直线力。对称,

：•FE'=EF,

-%BF+EF=BF+FE'>BE'>BH，

即BF+EF的最小值为BH的长，

:L8c=40,；ACBH=S"B「

‘xl05"=40,

2

解得BH=8,

.•.8"+斯的最小值为8,

故答案为：8.

23.如图，在四边形/8C。中，NABC=NB4D=90。,4B=5,AD=4,AD<BC,点£在线段8c上运

动，点厂在线段上，ZADF=ZBAE,\^^AFD=。，线段8b的最小值为.

AD

BEC

【答案】90厉-2/-2+牺

【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

求出乙4。/+ND4产=90。，由三角形内角和定理得到乙4/*=90。，取力。的中点。，连接Ob、OB,由直

角三角形斜边中线的性质得到。尸，由勾股定理求出04,由三角形三边美系定理得8b204-OF,即可得

到8户的最小值.

【详解】解：•••44。=90。,

；./BAE+/DAF=90°,

•••ZADF=ZBAE,

：.^ADF­¥Z.DAF=9^,

.­.ZJFZ)=180o-90°=90°,

.•.(9F=-/lD=-x4=2,

22

v/l(?=-JD=-x4=2,48=5,

22

•­OB=>JAO2+AB2=V22+52=>/29，

由三角形三边关系定理得到：BF>OB-OF=429-2.

故答案为：429-2.

24.如图，四边形，88中，AB!/DC,力力40=90°,48=5,BC=6,点尸是CO边上一动点，则△尸48

周长的最小值为.

D

A

--------------lC

【答案】18

【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

如图，作点8关于CD的对称点夕，连接4r证明K4+必=m+48'=13,再计算△/〃〃周长即可.

【详解】解：如图，作点4关于。。的对称点"，连接X2T

.•.68'=12,

NABC=90°,

AB1=<AB2+48"=V52+122=13，

••,PC垂直平分线段88',

:.PB=PB,

PA+PB=PA+PB'>ABr=l3,

./力+P?的最小值为13,

的周长最小俏.为21+P8-48=13+5=18.

考点05动点求值

25.如图所示,等腰三角形力AC的底边AC为&切，腰长为5s〃，一•动点尸在底边.上从点B向点C以0.25s〃/s

的速度移动，请你探究：当尸运动秒时，月点与顶点力的连线尸力与腰垂宜.

【答案】7或25

【详解】解：•.•点P从点3向点C以0.25cm/s的速度移动,设运动的时间为/秒,

.••运动的路程BP=0.25((cm),

•••尸点与顶点力的连线4与腰垂直，

二有以下两种情况：

①当产力JL/C时，过点力作/O/8C于0,如图1所示：

等腰三角形ABC的底边BC为8cm,腰长为5c〃?，

AB=AC=5cm,BD=CD=；BC=4（cw）,

在用“8。中，由勾股定理得：AD=y/AB2-BD2=752-42=3（cw）,

在Rf△力尸。中，由勾股定理得：PA2=AD2+DP2=9+DP\

在必A/PC中，由勾股定理得：PA2=CP2-AC2=CP2-15,

••・9+0尸=CP2-25,

•••CP?-。尸=34,

•：CP=DP+CD=DP+4,

二（。0+4）2-"=34,

解得：。尸=2.25,

.•.8。=80-0尸=4-2.25=1.75（。〃?），

.•.（）25/=1.75,

解得：f=7,

二当点Q运动7秒时，PALAC.

②当48时，过点力作力。14c于。，如图2所示：

由①可知：BD=CD=4cm,AD=3cm,

在白△力尸。中，由勾股定理得：PA2=AD?+DP?=9+DP?,

在山“P8中，由勾股定理得：PA2=BP2-AB2=BP2-25,

•••9+。尸=〃尸-25,

•••8P2-OP2=34，

•；BP=BD+DP=4+DP,

.♦.(4+OP)2—。22=34,

解得：。尸=2.25,

BP=BD+DP=4+2.25=6.25(cw),

0.25/=6.25,

解得：，=25,

当点。运动25秒时，PA工AB.

综上所述：当P运动7或25秒时，尸点与顶点彳的连线产力与腰垂直，

故答案为：7或25.

26.如图，点。是长方形力8co边上的一个动点，从力点开始，沿力fOrCf8T彳顺时针运动一周,

运动速度是lcm/s.当运动时间/为5s或35s时，点Q均满足依=PA则力8的长为cm.

【答案】12

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内

容是解题的关键.

利用“到线段两端点距离相等的点花线段垂直平分线上”，确定点P位置，冉证明得

C[=/P=5cm,运用勾股定理列式，代入数值得(30-48-5『=4分+52,求解得出力的长度.

【详解】解：；PB=PD,

二点尸在BD的垂直平分线上，

连接力

则长方形中8。的垂直平分线是过/IC、BD交点、O,

依题意，运动时间”5s时，P在AD上，/P=5cm：

依题意f=35s时，尸在。8上，4D+C力+。[=35,

•••四边形力8C。是长方形，

ADAB=90°,AB=CD,JZ)||BC,AO=OC,

："PAO=/[CO,

•；NPOA=ZPfiC,

­.^POA^^PfiC,

CPt=AP=5cm,

.•.JD+CD=35-5=30（cm）,

即40+48=30cm,

在RtaZBP中，BP?=AB2+AP"

即（4O—力产『=482+4尸2,

.'.（3Q-AB-5）2=AB2+52,

解得AB=12cm.

故答案为：12.

27.如图，已知48C=45。，AB=4cmf点尸为-48c的边8c上一动点，则当BP=cm时，"BP

为直角三角形.

A

【答案】2后或4&

【分析】本题考查了勾股定理，三角形的动点问题，解题关键是掌握勾股定理.

分82为直角边或斜边来讨论，利用勾股定理求解即可.

【详解】解：若8P为三角形的直角边，则为该三角形的斜边；

•••NB=45°,

：2BAPK00-Z5=90°-45°=45°,

:.AP=BP,

设=

*：AB2=AP2+BP2=2x2，AB=4,

Zr2=16»解得：x=±2&（负值舍去），

：.BP=2五;

若8尸为斜边,则H尸=90。,

vZ5=45°,

:.ZAPB=900-ZB=900-45。=45。，

ZZ?=/APB,

:.AP=AB=4»

:.BP?=AB、AP2=32,解得：3P=±4yf2（负值舍去），

综上所述，BP=2&cm或4拒cm，

故答案为：20或4人.

28.已知：△力8c中，/8=13,4C=9,8C=4屈，8。_1_4。于。.点2为射线8。上一动点，若4BDP

为等腰三角形，4尸的值为

【答案】12或停版或2M.

5

【分析】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解决问题的关键，一定不要忘记讨

论某一种情况，围绕三个顶点、三条边分别讨论即可.

分三种情况讨论，分别为BD=BP或DP=DB或PD=PB,应用等角对等边和勾股定理即可求解.

【详解】•・•△8OP为等腰三角形，

二分三种情况：

①若BD=BP,则8尸=12,

②若。尸二06,

过点。作QE_L4C于点E,如图1所示：

•••£,“=；BDCD=；BCDE,

BDCD

：.DE=

BC4V105

:,EE=J由-由=—Vi0,

5

•:DP=DBRDE1BC,

：.BP=2BE=5710,

③若PD=PB,如图2所示:

图2

•:PD=BP,

:.Z1=Z2,

•••NBDC=90。,

/.Z2+N3=90。且/I+N4=90°,

••./3=/4

:.PD=PC,

:.BP=PC,

：.BP=、BC=2M,

2

综上所述：当△瓦力为等腰三角形时，8尸=12或当厢或2而.

5

故答案为：12或半厢或2厢.

5

29.如图，在R3/IO8中，ZAOB=90°,尸为射线40上一动点，连接50，将A/BP沿用对折，已知点A

的对应点为点C,40=4,RC=R.当点C落在直线。。上时,线段OP的长为.

【答案】g或6

【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理.利用勾股定理求出力8的长，然后分两种情况：当点

P在线段04上时，当点。在线段/。的延长线上时，即可求解.

【详解】解：•.•40=4,80=3,/4。8=90°,

•••ABZOA'+OB?=6+42=5,

如图，当点P在线段。力上时,

由折叠的性质得：矛=方加=比=5,

：.OC=BC-OB=2,

设。尸=x,则〃=CP=4-x,

在Fuap中，oc?+op2=cp2,

.•，2:+x2=（4-.r）2,

3

解得：x=5，

即。P=J

如图，当点尸在线段力。的延长线上时,

由折叠的性质得：4=0阳=比=5,

CC=BC+CB=8,

设=则〃=8=4+x,

在RAOP中，OC2+OP2=CP2t

8:+x2=（4+x）2,

解得：x=6,

即0P=6；

综上所述，。尸的长为，或6.

故答案为：或6・

30.如图，在Rt△川?。中，ZC=90°,4C=8,BC=12,。是4c的中点，E是力C边上一动点.将ACQE

沿。七折叠得到△C'OE，连接力C.当△4EC'是直角三角形时，C石的长为.

【分析】此题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问

题.分两种情形：当NECN=90。时，当|N4EC=90。时，由直角三角形的性质分别求解即可.

【详解】解：如图,当NEC〉=9。。时,

A

•••NC="C'E=90°,

.•.NOC'E+NECN=180。，

••点D,C,4共线，

vCD=DB=—BC=6,AC=8,

2

•••AD=yJCD2+AC2="2+8?=10，

设CE=£C'=x,则力£=8—x,

在RtZUEC'中，则有(87)，=X2+(10-6)2,

解得：x=3,

:.CE=3.

如图，当//(EC'=90°时，ZCED=ZDEC=|ACEC=1(180°-90°)=45°,

vZC=90°,

：.NCDE=NCED=45。,

:.CD=CE=6；

综上所述，满足条件的CE的值为3或6.

故答案为：3或6.

考点06折叠与最值问题综合

31.如图，在△力3C中，Z/1CB=135°,AC=五,^C=|,D,E分别是48,4c边上的点.把△力〃。

沿直线OE折叠，若B落在AC边上的点"处，则CE最小值是,最大值是

75

【答案】

486

【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等

知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

本题分点8'与点。重合，此时的值最大，点夕与点。重合，此时CE的值最小，求出两个极值即可.

【详解】解：作力产上8C交8c的延长线于点尸，

•••6二90。，如图1：

FCW)B

图1

点)与点。亚合，此时C〃的值最大,

•••409=135。，AC=6,5C=|

:.ZFCA=1800-ZACB=45°,

Z.FAC=Z.FCA=45°,

:.AF=CF,

-AC