高考数学一轮复习题型突破：三角函数（综合练）解析版

专题5.4三角函数综合练

题号—二三四总分

得分

练习建议用时：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题,5分，共40分.在每个小题绐出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

I.（2023春・浙江宁波•高二校联考期中）角。终边上有一点P（—l,2）,贝ijcosa=（）

A.--B.-2C.—D.-虫

255

【答案】D

【分析】利用任意角三角函数的定义求解.

【详解】因为角。终边上有一点P（T2）,所以，=|O"=右，

所以cosa=±=一或，

rV55

故选:D.

2.（2023秋•浙江杭州•高三杭师大附中校考期末）若函数/Q）=cos[在[00上的值域

是一，；,则实数。的最大值为（）

A.工B.3C.也D.

3333

【答案】C

【分析】设f=当x£[0，a],则止?，画出y=cos/的函数图像分析即可.

【详解】设/=当xelOM,则止?,

所以实数。的最大值为华.

故选:c

3.（2023春・吉林长春•高三东北师大附中校考阶段练习）在下列四个函数，©y=sin|j|（2）

），=|cos]（3）y=2sin^2j-j④y=2tan（x+^）中，最小正周期为兀的所有函数为（）

A.①②③B.②③0C.②③D.③④

【答案】B

【分析】对每一个函数逐一研究其周期即可得解.

【详解】①尸涧中为偶函数，不具有周期性，①不满足题意：

[-sinx,x<0

②函数），=|CQSH的图像是将），=COSX的图像在X轴卜•方的全部对称到X轴上方，故函数

y=|cosM的最小正周期为兀，故②满足题意;

2兀

③函数），=2sin（2x—的周期为T=g=兀，故③满足题意;

2

④函数），=2tan制的周期为7=兀，故④满足题意.

故选：B.

4.（广西邕衡金卷2023后高三第三次适应性考试数学[理）试题）已知sina-3cosa=0,

则3sina-cosa=()

9-10

A.——7D.---

109

【答案】A

【分析】先求tana,再将目标式化为齐次式求解即可.

3sinacosa3tana9

【详解】由已知得：tana=3,所以3sina-cosa=

sin2a+cos2a1+tan2a10

故选：A

5.（2023・四川成都・四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知函数/（x）=sin（的+*°>0

O

在上单调递增,则/（X）在（0,2兀）上的零点可能有（）

.o4_

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【分析】根据条件求出口的取值范围，再运用整体代入法求解.

JT7T7T

【详解】由---2ATT<（ox-\—W—F2kn、々eZ,

262

v--<x<-,:.--+2kR^--co+-^（ox+-<-（o+-<-+2kn,即k只能取0,得

642666462

-生”“三

3co36y

2兀<兀

3s‘解得()<©<：,

因为/（X）在一亲［上单调递增，则

兀、兀3

9

3fy4

由XW（0,2TI）,贝1」公1+5£［3,20兀+2，设，=&式+2，

6\66J6

,（兀c兀）e、c11（1117兀］17n7i8TTc2兀-

则，e:，2师+：>因为2/兀+,———=—=2TT+—<3n,

166J6【66」6633

/\

所以函数丁=而，在$2mt+B上的零点最多有2个；

166）

故选：A.

6.（2023•黑龙江哈尔滨•哈九中校考模拟预测）现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、

曲面，将美感发挥到极致.如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6m,

结合庙转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到顶部.现把

该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得到曲线方程为>，=4而（5+0）6>0,/>0）（x,y

的单位：m）.该游客根据观察发现整个运动过程中，相位的变化量为?兀，则。约为（）

A.0.55B.0.65C.0.75D.0.85

【答案】A

【分析】根据建筑物的高，游客的初始位置和最后位置，表达出运动过程的位移变化量，即

可计算出切的值.

【详解】由旋转楼梯高为66m知，投影到轴截面上后，

对应曲线.v=Asin（公r+0）（A>O,G>O）中.游客移动的水平距离是15.6,

•••初始时游客在最底端，

・•・当"=0时,初相为巴

•••整个运动过程中，相位的变化最为?兀，且最后游客在最高点，

4

,最后的位置15.60+（p,

/.15.669+^-6?=—H,

4

【详解】由题意可得:

4

=si.na—冗

I6j5

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分

9.（2022春•高三课时练习）下列说法中正确的有（）

A.若sina=立，则cosa=±1

22

B.已知角痔）

若tana=3,则sina=

10

4

C.已知用aw（0,兀）,若cosa='，则tana

53

D.对于任意角。都有tana二=二

cosa

【答案】AC

【分析】利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】对A,因为sina=无，所以cosa=±J1-sin%=±J,正确;

22

对B,•;tana=3,吟），sina的值为负数，不正确；

对C,。£（0,兀），在第•象限，则tana=ML4=g,正确;

5cosa3

对D,当a=m+E,火eZ时，cosa=0,tana不存在，故不正确.

2

故选：AC.

10.（2023春训川成都・高三树德中学校考阶段练习）函数

/（x）=Asin（3x+0）（A>O⑷>0,冏<乃）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是：）

B.若把/（力图象上各点的横坐标缩短为原来的g,纵坐标不变，得到的函数在卜巴句上

是增函数

C.若把函数/（"的图象向右平移]个单位，则所得函数是奇函数

D.Vxe,若/（3x）+aNf（与恒成立，则。的最小值为75+2

【答案】AD

【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据函数坐标得伸缩、平移与解析式之间得联系

求出变换后的解析式即可判断出B、C,将定义域代入函数中解得值域即可判断出D.

【详解】—2兀=7=6兀，由图可知A=2,

426兀3

将点（2兀,2）代入解析式得/（2兀）=2sin停+小2nms+8=39=一?

所以f(x)=2sinH.ATF确:

/（“图象上各点的横坐标缩短为原来的;得g（x）=2sin所得函数增区间为

20）

冗71乃,4“2九47r

——+2k兀<—x--<—+2k兀n-------+4kn<x<—+4kn(kGZ),B错误;

22623

的图象向右平移]个单位得/（K）=2sin[g]兀7T（*胃，C错误;

x—=2sin

2)6

31n

〃3.r)+〃”+42石，分离参数口J得“26-2sinx——

6

7171兀，5/3-2sin[J

VXGX——€-1,6+2],所以。的最小值

iS时'6

为6+2,D正确.

故选：AD

11.（2023春•辽宁沈阳•高三校联考期中）一半径为4.8m的水轮示意图如图所示，水轮圆心

O距离水面2.4m,已知水轮每60s逆时针转动•圈，若当水轮上点。从水中浮出时（图中点

A.点尸距离水面的高度力(m)与小)之间的函数关系式为〃=4.8sin9J+2.4

I.SUo)

B.点夕第一次到达最高点需要10s

C.在水轮转动的一圈内，有20s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8m

D.当水轮转动50s时，点P在水面下方，距离水面1.2m

【答案】AC

【分析】对于选项A,先由题意结合图象可判断函数关系为三角函数模型，代入相关数据即

可；对于B项，由三角函数最值判定；对于C项，利用三角函数的单调性解不等式即可；

对于D项，带入函数关系式求函数值即可.

【详解】对于A,由题意可判定点P距离水面的高度〃(m)与/(s)的函数关系为三角函数模

型，

以水轮中心为原点，以平行水平面的直线x轴建立平面直角坐标系，

当f=0时，《(2.46,-2.4),以OP为终边的角为-2，根据水轮每60s逆时针转动一圈可知

水轮的角速度为白，由题意可得：〃=4.8sinjAflL2.4,A正确；

对于B,令白/-?=[，解得r=20,点P第一次到达最高点需要20s,B错误；

30o2

对于C,令4.8$访(二/-M+2.424.8(04k60),解得1(]</430,即在水轮转动的.圈内，

13()67

有20s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8m,C正确；

对于D,当1=50时，〃=4.8sin(3；x50-m+2.4=-2.4,即点尸在水面下方，距离水面2.4m,

\30o)

D错误，

故选：AC.

12.(2023春•江苏泰州♦高三江苏省口岸中学校考阶段练习)下列各式中，值为g的有()

A.sin7°cos230+sin830cos67°B.4sin10°cos200cos400

CGeos10。-sin10。DJ

•2sin25°cos25°*(l+(an37°)(l+ian8°)

【答案】ABD

【分析】对于A,由诱导公式及两角和的正弦公式化简求值；对于B,用二倍角公式化简求

值；对于C,由二倍角公式及辅助角公式化简求值：对于D,先去括号，由两角和的正切公

式化简求值.

【详解】sin70cos230+sin83°cos67°=sin7Ocos230+cos70sin230=sin(7°+23°)=sin300=i,故A正

确;

“.s。8sin10°cos10°cos20°cos4004sin20°cos20°cos40°

4sin10°cos20°cos40°=-------------------------------=------------------------

2cos1002cos10°

2sin40°cos40°sin8(T1„/必

=----------------=---------=",故B正确；

2cosl0°2cos1002

(巧1

l厂2—coslO°--sinlO°

V3cos10°-sin10°V3ccsl00-sin10°(22

2sin25°cos25°-sin50°-sin500

2(sin60°cos10°-cos600sin10°)空端"二2,故C错用

sin50°

I__________________1________________

对D,

(1+tan37°)(1+tan8°)i+tan37°+tan8°+tan8°tan37°

]_________________________

I+tan(37°+8°)(1-tan37°tan8°)+tan8°tan37°

______________________1______________________/

故D正确.

1+tan450(1-tan37°tan8°)+tan80tan37°2

故选；ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

⑶（2。23春・辽宁锦州•高三校考期中）若黑黑"3…他"）=2,则tan（2a"）=

4

【答案】

【分析】先根据商数关系化弦为切求出lana,再根据tan（2a"）=tan［（a-4）+旬利用两

角和的正切公式即可得解

sina+cosatana+l.

【详解】-----------=--------=3,解得tana=2，

sina-cosatana-1

则tan(加-0)=tan[(a—尸)+a]2+2_4

l-2x2--3

故答案为：-土4

2\x>0

14.（2023春•山东日照•高三日照一中校考阶段练习）函数/（力=<

2sin2.r+—,-7t<x<0'

6)

若方程/（”=〃恰有三个不同的解，记为巧，x?,x3,则$+/+&的取值范围是.

【答案】

【分析】作出函数的图像，由恰有三个不同的解，得/*）的范围，得到公士的对称

性，再判断为的范围，利用数形结合求解.

【详解】作出函数的图像如图所示,

根据图像可知fM=a恰有三个不同的解时f(x)e[1.2),设再<x2<x3.

令2x+工=2E+工,ZeZ,可得x=至+EMeZ,令k=-l,^x=~—,

6266

根据对称性可知N，&关于x=-学对称，所以玉+%=~

63

乂因为NW。1），所以（再+9+&）£

57c5立、

故答案为:—」----

33)

15.（2023春•江西景德镇高三景德镇一中校考期中）己知函数

），=4而（3+。）（4。＞0,0＜夕＜兀）的部分图像如图所示，则函数的解析式为

【答案】y=4sin袅+；

【分析】根据题意，由图像可得函数周期从而得到再将点（1,0）,（0,2）代入，即可得到结

果.

【详解】由图像可知,1=（7-1）=6,即7=12,则©喑吟

将（L0）代入可得，Asin30）=0,即展仄，kwZ,

TT

解得。=-^+E,keZ,

6

且0＜0＜兀，则*=2加，

6

再将（0,2）代入可得,可得Asin；n=2=A=4,

所以函数解析式为y=4sin但x+当.

166)

I,tj”£、［4,冗57t)

故答案为：y=4sin-x+—

166；

16.(2023春・河南南阳•高三校联考阶段练习)sinA+sin+2sin|siny=

［答案］"XI

【分析】利用诱导公式、倍角正弦公式得si哈+sinj|+2si吟sin~^=si哈+8$5+立1：,

再由sina+cosa.sin。cos«关系求值即可.

■▼,兀5兀c♦兀.37t,71.7171.c・兀-/兀兀、

Ii("hizfJsin—+sin—+2sin—sin—=sin—+sin(z-----)+2sin—sin(-----)

12128812212828

•7C7t,717C.7C7c.lc

=sin—+cos—+2sin-cos—=sin—+cos—+sin—,

12128812124

・瓦兀，、

由(sinE+cosZy=I+2sin-cos—=l+sin-=—sin—+cos—>0

12121212621212

所以sin』-+cos/-逅

12122

兀.5兀日.兀.3兀V6+V2

综上,一+sin—+2sin—sin—=

1212882

故答案为:

-2-

四、解答题：本题共.6小题，共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.（2023春•安徽合肥・高二合肥一中校考期中）合肥一中云上农舍有三处苗圃，分别位于

图中/8C的三个顶点，已知AB=4C=20拒m,BC=40m.为了解决三个苗圃的灌溉问题,

现要在ABC区域内（不包括边界）且与脱。等距的一点O处建立一个蓄水池，并铺设管道

⑴设=记铺设的管道总长度为）血，请将），表示为。的函数;

⑵当管道总长取最小值时，求6的值.

2O(2-sin0)

【答案】（l）），=20+

cos。4J

⑵吟

【分析】（1）根据锐角三侑函数即可表示8O=C，。。=江当

,进而可求解,

cos3cos0

（2）利用2=三萼，结合三角函数的最值可得kN6,即可利用辅助角公式求解.

cos夕

【详解】（1）由于A3=AC=20夜巾.。8=。。,「.0在8。的垂直平分线4。上，

20sin

若设NOBC=〃，则80=包-,O.=20sin-A=20-^

cos0cos0cos0

八2020（2-sin^）f八号

则y=20-20iane+2x-^-=20+—^-------0<^<-；

cos<7cosI?I4）

故公23,又k>0,故A之石贝|J），nun=20+20x75

此时：2nn0=G,即后cosO+sin夕=2sin（8+二]=2得sin（夕+4]=1

cos0\3JV3J

又夕wfo,：）,故夕+2=g,故

I4j326

18.（2023春•江苏常州•高一统考期中）已知函数

/（x）=cos2x-2sinxcosA-sin2x+m（meR）的最大值为&+1.

⑴求/（"的最小正周期；

⑵求使/（6之。成立的自变量x的集合.

【答案】⑴北

【分析】（1）用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由周期公式求函数最小正周期，由

函数最大值求出，〃的值.

（2）根据函数解析式，利用整体代入法解不等式.

【详解】（1）S^j/（x）=cos2x-2sinxcosx-sin2JC+//Z

=cos2x-sin2x-sin2x+m=cos2x-sin2x+m=x/2cos2x+—j+/«.

根据题意，/(X)a=&xl+〃7=&+l,解得6=1.

/\

故/(X)=V5COS(2X+(J+1.

所以函数的最小正周期T=g=%.

(2)由/(x"0,即V5COS(2X+：)+1N0,COS(2X+：、2—孝.

则2E—包K2X+£K2E+丑，解得E—+四，其中攵eZ.

44424

故使/(x)之0成立时x的集合<xlat-^<x<k7i+^keZ>.

19.(2023春・北京•高三101中学校考期中)已知函数/(x)=2sin(x-]J.

⑴某同学利用五点法画函数/(x)在区间上的图象.他列出表格，并填入了部分数据,

请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象;

(2)已知函数g(X)=f{cox)(co>0).

①若函数g("的最小正应期为求g(x)的单调递增区间；

②若函数晨工)在卜,』上无零点，求G的取值范围(直接写出结论).

n5冗11717兀

X

3~6T

713兀

X——0n2兀

3V

/(“0200

【答案】(1)答案见详解

7r2k冗5万2k汽,

⑵①T(z&eZ)；②(0,1)

Io•31o3

【分析】(1)令X-三为。4,兀,当,2兀可完善表格，描点可得图象；

322

(2)①先求出g(x)的解析式，根据周期可得s,然后可得单调区间;

②先求的范围，再根据没有零点列出限制条件，可得范围.

【详解】(1)表格填写如下：

5点4不1\717乃

X

T~6T~6~T

乃n31

X----()兀2笈

32~2

./(A)020-20

7=—=—,口=3,即g(x)=2sinj3x_f1

co3I3J

令一1+2心3/一5瑞一2〃万，解得q+竽Kx啜+竽.

所以g。)的单调递增区间为1-2+斗焉+4[(keZ).

_1o51o3

\r・(兀)「小九1171「710兀-7T

②g(%)=2sin[公丫一xe0,-时，^x--€---,

因为函数g(x)在。卷上无零点，所以-々＜受工＜0,解得Ovovl,

所以0的取值范围为(0,1).

20.已知角。的终边经过点尸(4«3。乂〃＜0).

(1)求sin。、cos求的值;

1+2sin（7t+/9）cos（20237t-^）

（2）求.仁小2/5兀/的值.

sinI—+0-cosI---0

34

【答案】（l）sin®=-g,cos^=--

（2）7

【分析】（1）由三角函数的定义可求得sin。、cos。的值；

（2）求出tan。的值,利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】（1）解：因为角0的终边经过点*4a,3Ge<0）,

.3a3a3

由三角函数定义可得S"1"n百荷"M"

Ka_4

COS0=/=

J(4a)2+(3a『-5a5,

⑵解:由三角函数的定义可得⑶e《j

cos20+2sin0cos0+sin，0_(cos<9+sin<9)2

原式=

cos2。-sin20(cos9+sin(cos。一sin6)

3

cos。+sin。1+tan+A_

。=7.

cos0-sin0I-tan03

-4

21.（2023春・北京・高三101中学校考期中）已知函数/（x）=cos25+Gsin@xcos©r+6

3>0,〃?eR）,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数/（x）的解析式

的两个作为已知.

条件①：函数/"）的最小正周期为兀：

条件②：函数/"）的图象经过点（0,；）;

条件③:函数“X）的最大值为

⑴求/（"的解析式及最小值；

⑵若函数””在区间［（）,小>0）上有且仅有2条对称轴，求’的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x），选择①②：由周期得出。，由/（（））二；得出加，

3

进而求出f(x)的解析式及最小值;选择①©:由周期得出。，由f(x)的最大值为三得出机，

进而求出“力的解析式及最小值；选择②©:由/(0)=1+〃?=3得〃?=-g,乂因为函数

“X)的最大值为小+,=T，所以〃=70,与〃?=-g矛盾，不符合题意.

71.7T

(2)因为xw[0j]G—,27+—，由题意得冷<2/+-<—,求解即可.

6662

【详解】(1)由题可知，/(x)=cos，5+x/5sin5cos〃)x+〃?

=—sin2^x+-cos2(vx+m+-=sin(2(vx+-]+m+-.

选择①②：

因为丁=F="，所以3=1，

2(0

乂因为/(())=1+，〃=；,所以加=-：

/、

所以,f3=sin2x+J.

当2x+^=2E_],ZeZ,即x=时，/(x)=-1

所以函数/(x)的最小值为一L

选择①③：

因为『=包=五，所以3=1,

又因为函数/(力的最大值为小+'='!，所以机=6

所以f(x)=sin

当Zt+2=2E-士攵eZ,lipx=kn--,keZffJ,sin|2x+y=-1.

623I6j

所以函数/(x)的最小值为-1+[=-

乙乙

选择②③：因为/(0)=1+〃?=；,所以〃?二一；.

乙乙

又因为函数的最大值为，〃+^=[，所以m=0，，m=-；矛盾，不符合题意.

(2)因为工«()4,所以2%+弓6/2/+弓,

又因为/(“在区间上［0/上有且仅有2条对称轴,

7i57iUL,、I2兀，7兀2兀77rl

所以?42/+:<q-,所以丁4/<二-，所以~T'~Tr

26236L3o7

22.(2023春•四川成都・高三树德中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=J5sin"+1)+2sin2传+升1的相邻两对称轴间的距离为^>0.

⑴求/(x)的解析式和单调递增区间