高考数学一轮复习题型突破：数列求和（原卷版）

专题7.4数列求和

SI题型目录

题型一倒序相加法

题型二分组求和法

题型三并项求和法

题型四奇偶数列求和

题型五裂项相消法

题型六含绝对值数列求和

题型七数列求和与不等式

区典例集练

题型一倒序相加法

例1.（2023・全国•高三专题练习）设函数/（%）=l+ln匕=设4=1,

.X

+L+/

⑴计算〃司+/（1-k的值.

⑵求数列｛q｝的通项公式.

例2.（2023・全国•高三对口高考）已知函数/。）=一£一，则/。）+/（17）=_________

4'+2

数列｛为｝满足肃，则这个数列的前2015项的和等于.

4UIV/

举一反三

练习1.（2022秋.天津南开.高三天津市天津中学校考期末）己知函数

/（x）=x+3sin（T）+g,数列｛叫满足/=矗，则“4）+/（%）+..T〃限）=（）

A.2022B.2023C.4044D.4046

COSX

练习2.（2022秋•河南漂河•高二漂河高中校考期末）已如函数/。）=,则

cos（30。一x）

〃巧+/（2。）+/（3。）++〃59。）=.

2023y73

练习3.（2022•全国•高三专题练习）己知定义在R上的函数/（x）=X-+,则

3898；2022

【福卜］磊M嬴+•••”勰卜----

2021

（丫+2CCSY（

练习4・（2。23•全国•高三专题练习）已知小+?1\=则V（运i卜\一，

I-V

练习5.（2023・全国•高三专题练习）设函数/（x）=l+ln——，设％=1,

X

%=/用+/舄+/（讣L+/［、1）（,?­♦,”22）.求数列｛4｝的通项公式.

题型二分组求和法

例3.（2023春・四川广安•高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知等比数列｛〃”｝的各项

均为正数，且生+%+4=39,%=2/+3%.

⑴求｛4｝的通项公式；

（2）数列也｝满足bn=n+an,求也｝的前n项和T..

例4.（2023春・北京海淀•高二北京交通大学附属中学校考期中）已知等差数列｛4｝满足

%=-9,即）=5.

⑴①求公差d;

②求数列几｝的通项公式；

③设数列｛《,｝的前〃项和为S”，求使得S”最小的〃的值：

⑵若数列｛%+"｝是首项为1,公比为2的等比数列.

①求数列出｝的通项公式；

②求数列也｝的前"项和J

举一反三

练习6.（2023春・吉林长春・高二长春十一高校考期中）设等比数列｛，“｝的前〃项和为S,,公

比“>1,。2=16,/=84.

⑴求数列仅“｝的通项公式；

⑵求数列5+的前〃项和为。.

练习7.（2023•全国•高三专题练习）如图，已知的面积为1,点。，E,尸分别为线段

AB,AC,8C的中点，记」）£户的面积为％；点G,H,/分别为线段A。，AE,OE的

中点，记-G”/的面积为a?；…；以此类推，第〃次取中点后，得到的三角形面积记为

⑴求叫，出，并求数列｛。｝的通项公式；

（2）若"=log2可，求数列［（-1/"｝的前〃项和S”.

练习8.（2023春・北京丰台•高三北京市第十二中学校考期中）已知数列｛〃”｝的前n项和为S”,

且叼=4,3I/+1=4〃I2（〃eN）,则使得工>2023成立的〃的最小值为（）

A.32B.33C.44D.45

练习9.（2023•江西•校联考模拟预测）已知数列｛q｝满足q=2,=3%+2"-2.

⑴令4=4,+2"-1,证明：数列｛2｝为等比数列;

⑵求数列也｝的前〃项和s..

练习10.（2023・重庆•校联考三模）已知数列｛可｝满足：/+2+（-1）"%=2，％=1，”2

⑴求数列｛为｝的通项公式；

⑵记数列｛q｝的前〃项和为工，求、%23.

题型三并项求和法

⑵数列低｝满足“=%・sin^,求低｝的前100项和小.

练习15.（2023・海南・统考模拟预测）已知数列｛q｝满足。”=2%-2〃+4（佗2,

4=4.

⑴求证：数列｛。,,-2〃｝为等比数列，并求也｝的通项公式；

（2）求数列｛（一1）"《,｝的前/!顶和S”.

题型四奇偶数列求和

例7.（2023・山东济宁・统考二模）已知数列｛%｝的前〃项和为S/%+4川=24（〃之2,"cN"）,

且4=1,55=15.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若2Ml,求数列也｝的前2〃项和4.

例8.（2023•湖南岳阳•统考三模）已知等比数列｛凡｝的前〃项和为工，其公比〃工-1,

笃&且邑=久+93.

a7+427

（1）求数列｛g｝的通项公式；

log1可,”为奇数

⑵己知"川§,求数列出｝的前〃项和

凡，〃为偶数

举一反三

练习16.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛q｝满足4+3%++（2〃-1）4=”.

（1）求应｝的通项公式;

⑵已知%='〃'口Z甲物求数列｛qj的前20项和.

。外+2，〃为体数，

练习17.（2023春•全国•亶三期中）已知数列｛4｝满足4+%=2,，〃为偶数，

数列｛《｝满足g="2”T.

（1）求数列｛%｝和｛%｝的通项公式;

⑵求数列｛q｝的前〃项和S“.

练习18.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的前〃项和为s“，，=3,且

a+l,n=2A:-l,/:eN*

n则S[6=

+1,〃=2k,kGN*

练习19.（2023春•北京・高三北京五十五中校考阶段练习）设等差数列｛%｝的前〃项和为S”,

且生=8,S4=40,数列｛〃,｝的前〃项和为人且2b“+3=0,

⑴求数列｛q｝，他｝的通项公式；

⑵设q,二?'〃为他和，求数列｛q｝的前2〃+1项和E…

On,rly'J］内XA.

练习20.（2023春•浙江杭州•高三浙江大学附属中学期中）（多选）已知数列｛为｝满足4=1,

为奇数

则卜.列说法正确的是（)

q+2向，〃为偶数

A.6=7B.。2022=42C./旧=

2n+3

D.352B+1=2-6n-5

题型五裂项相消法

例9.（2023・福建龙岩・统考模拟预测）己知等差数列｛〃』前八项和为S“,%=5,S「53=27,

数列｛2｝前〃项积为T=3竽.

⑴求｛q｝，｛4｝的通项公式；

⑵设c“二；互，求数列上｝的前〃项和

n"+n

例10.（河南省TOP二十名校2023届高三猜题大联考（二）数学（文科）试题）已知等差

数歹6｛%｝的前〃项和为Sn,a2+%=&S’,=36.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

出若数列匕,｝满足*「1=，'（〃£⑹）2=1,求数列｛5｝的通项公式.

举一反三

练习21.（2023春・河南南阳•高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）数列1/:1的

前2022项和为（）

A.,2022+1B.32022-1C.J2023+ID.72023-1

练习22.（2023・河北・统考模拟预测）已知数列｛《,｝的前〃项和为S”，且『=一.

⑴证明：数列｛4｝是等差数列；

（2）若生+1,4+1，生成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列｛2｝的前〃项和人

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

.n.1,2〃+3

①"=22；②"=/,/；③瓦=^7?.

练习23.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列｛q｝满足q=1,

%=2q+1.

⑴证明：数列｛4+1｝是笔比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

⑵设“=旦土」，求数列低｝的前〃项和人

an,an+\

练习24.（2023春.河南南阳•高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）已知数列｛q｝的前〃

项和为Sn,且满足a”=；S0+2,〃eN".

（1）求数列｛为｝的通项公式；

（2）令"=loga,求数列的前n项和T„.

2n5-1J

练习25.（2023•安徽合肥合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列｛4｝,其前〃项和

为S…且满足（可+1『=4⑸+1）,数列也｝满足2=（-1产—，其前〃项和小设北N,

anan+l

若4%对任意,?GN'恒成立，则2的最小值是___________.

题型六含绝对值数列求和

例11.（2023・河北.统考模拟预测）在正项数列｛叫中，“2=24=4,

=2a：+2a,4T？2）.

⑴求数列上｝的通项公式；

⑵若〃=K-31|,求数列也｝的前〃项和T„.

例12.（2023・全国•高三对口高考）等差数列｛%｝中，S”是它的前〃项的和，且满足

q=13,S3=S”.则S”的最大值为；数歹U||«„|）的前〃项和（=.

举一反三

练习26.（2022秋•上海浦东新•高三上海市建平中学校考开学考试）已知数列｛%｝的通项公

式为%=|〃-13|,那么满足4+%+…+*9=102的整数攵的个数为.

练习27.（2023春•高三课时练习）已知数列｛q｝的通项公式为=〃+寸，则

|4-%|+|4一局+…+|%-4oo|=（）

A.150B.162C.180D.210

练习28.（2022两三课时练习）已知数歹U｛〃,+81｝是公比为3的等比数列，若为=-78,则

数列｛同｝的前100项和£oo=（）

3101-162033'00-15387厂3KH—15387「3100-16203

AA.--------DB.--------C.--------L）.--------

2222

练习29.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且〃”+5“=1.

⑴求数列｛〃”｝的通项公式；

（2）若数列出｝满足么=12+log24,设4=间+陶+…+闻，求却

练习30.（2023春•河南•高三校联考阶段练习）已知数列｛〃”｝的前〃项和S.=14〃-/+i,

若北=闻+|电|+同+—+同，则金=（）

A.578B.579

C.580D.581

题型七数列求和与不等式

例13.（2023春・山东德州•高二校考阶段练习）已知数列｛%｝满足

4+4生+：%++L“=/+〃（〃WN+）,设数列也｝满足：2=卫上L数列也｝的前〃项

23nanan+\

和为若（＜34〃wN+）恒成立，则实数4的取值范围为（）

A.卜8）B,（卜8）C.

例14.（河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数学

试题）数列｛《,｝是首项和公比均为2的等比数列，S.为数列几｝的前〃项和，则使不等式

R+之+…+成立的最小正整数〃的值是（）

A.8B.9C.10D.11

举一反三

练习31.（2023春・北京•高三北京四中校考期中）已知数列｛叫的前〃项和S,,=〃26wN）

数列低｝的前〃项和为