勾股定理-2024冀教版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

17.3勾股定理冀教版（2024）初中数学八年级上册同步练习

分数：120分考试时间：120分钟命题人：

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在单位长度为1的正方形网格中，各三角形的顶点都在格点上，下面的三角形是直角三角形的是（）

2.如图，△/18C的三个顶点都在正方形网格的格点上，那么乙4的正切值是

m

C

A.2<5；C.I；D.2.

3.如图，已知△49。的三个顶点均在格点上，则cos/的值为（）

D.笫

4.已知：如图，在△48C中，CDLAB于点、D,BC=a,AC=b,

AB=c,CD=h,下列结论中，正确的是（）

①当标+炉=。2时，则乙4cB=90。.

②当乙4c8=90°时，则a+b=c+/i.

③当乙4c8=90啊，则白+表=a.

④当乙AC3=9O0时，^\ab=ch.

A.①②B.①②©C.①③④D.①②③④

5.如图，在2x3的止方形网格中，乙/MB的度数是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

6.如图，在2x3的正方形网格中，41MB的度数是（）

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

7.如图，在△ABC中，4力CB=90。，AC=4,BC=3,将△/OE沿。E翻折，使点A与点8重合，则AE的

长为（）

「25

CT

8.一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙1.4m,如果梯子的顶端下滑0.8m,那么

他的底部滑行了（）

A.0.8mB.1mC.1.2mD.1.6m

9.下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）

A.Q=2,b=4,c=6B.a=1,b=2,c=2

C.a=3,b=4,c=5D.a=4»b=S,c=10

10.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为匕时，顶部边缘。

处离桌面的高度DE为20cm,此时底部边缘4处与E处间的距离4E为15cm,小组成员调整张角的大小继续

探究，最后发现当张角为N84/时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离8c为7an,则底部边缘力处

与C之间的距离4。为（

A.13cmD.24cm

11.如图，回ABC的三边8C=17,&4=18,48=19,过回ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为。、E、

F,且8O+CE+AF=27,则8。+8户的长足（）

A.18B.10+6<3C.19D.17

16.如图，点。在△力BC中，NBDC=90。，48=6,AC=BD=4,CD=2,则图中阴影部分的面积

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

如图，在正方形48CD中，E是BC的中点，尸是CD上一点，且CF=：C/）,求证：LAEF=90°.

4

18.（本小题8分）

如图，在四边形A8C。中，AB=BC=2,CD=3,AD=1,且4ABe=90。，试求乙力的度数.

19.（本小题8分）

如图，△4BC中，D是BC上的一点，若48=10,BD=6,AD=8,AC=17,求A/IBC的周长.

.1

20.(本小题8分)

加图，△/口。内有一点《，N/CR=90。.已知=3cm.BC=4c?n,AD=13cm,DB=12cm,求图中阴

影部分的面积S.

21.(本小题8分)

如果我们称正方形网格中的交点为格点.如图，已知4B两个格点.

图2

(1)在图1中找出两个格点C,使得△力BC是以力B为腰的等腰三角形，并画出点C；

(2)在图2中找到一个格点。，并画出△A8。，使得△力8。是等腰直角三角形，若每个小正方形H勺边长为1,

求A480的面积.

22.(本小题8分)

(1)如图1,△48C的顶点都在正方形网格的格点上，若每个小方格的边长均为1,试判断的形状，并

说明理由.

(2)在图2的网格中画出边长分别为衣,，17,星的格点三角形DEF(顶点均在网格格点上的三角形称为格

点三角形)

23.(本小题8分)

在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1,如图所示，点上B,。都

在格点上，求N/OB的度数.

24.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系内，。为原点，点4的坐标为(10,0),点8在第一象限内，BO=5,sin^BOA=1

求：

(1)点8的坐标；

(2)cos4相。的值.

25.(木小题8分)

消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏

散等救援任务.如图，已知云梯最多能伸长到25m(44'=88'=25m),消防车高47n.某次任务中，消防

车在4处将云梯伸长至最长，消防员从19m(AM=19m)高的4处救人后，消防车需到达B处使消防员从

24皿4M=24m)高的e处救人，求消防车从人处向着火的楼房靠近的距离48.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角

三角形.也考查了勾股定理.由勾段定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案.

【蟀答】

解：人三角形的三边为，22+M=4,V22+22=2/2,3,而(、行y+(2JI)2H32,所以这个三角

形不直角三角形，本选项不符合题意；

B、三角形的三边为＜22+M=v丐,V32+l2=/10,V42+l2=/17,W(/5)2+(/7)2^(/17)2,

所以这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；

。、三角形的三边为“32+12=d，V32+l2=/To,V424-22=2/5,而(D”+«10)z=

(2、住尸，所以这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；

D、三角形的三边为d32+12=、门d"32+12=/10,V22+22=2/2,而(65)2+(2Vl)2*

(710)2,所以这个三角形不是直角三角形，本选项不符合题意.

故选C

2.【答案】C

【解析】解：如图，连接8。

AD=V22+22=2/2.AB=V32+l2=/10»BD=Vl2+l2=

♦••心+8/)2=I。，心=I。，

AD2+BD2=AB2,

••.△ABO为直角三角形,

Z.ADB=90°,

BD1

A-

•••tanAD2

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键.连接

8D,根据勾股定理的逆定理判断出ZiABD的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论.

【解答】

解：设每个小止方形的边长为1.连结8D,如图，

•••BD2=12+12=2,AB2=I2+32=10,AD2=22+22=8,

•••2+8=10,

是直角三角形，且NADB=90。，

AB=Vl2+32=AD=V22+22=2/1，

repl-AD2>/~22/5

所以c0sA=^=币=1-'

故选。.

4.【答案】C

【解析】解：①当。2+b2=，2时，贝必C(=90%说法正确;

②当"1。8=90。时，贝i」a・b=c九，原说法错误；

③当4力C8=90°时，.••ab=M,

•••a2/?2=c2h2,

.1_1

‘寿二丽’

3_1

二港=溟'

由勾股定理得：a2+b2=c2,

11_b>2+a2_c2

.•Q2'力=a2b2=a2b2

二，+a=说法正确;

④当4力。8=90。时，则ab=ch,说法正确：

故选：C.

根据勾股定理的逆定理得出乙1C8=90。.进而利用勾股定理判断解答.

本颍考杳了勾股定理，熟练堂樨勾股定理是解撅的关健.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键.

连接力8,设小正方形的边长为1,根据勾股定理求出48、AM.BM长度的平方，根据勾股定理的逆定理得

是直角三角形，再求出答案即可.

【解答】

解：连接力氏设小正方形的边长为1,

由勾股定理得：AM2=12+22=5,AB2=12+22=5,BM2=I2+32=10,

­-AM=AB,AM2+AB2=BM2,

.••△MAB是直角三角形，

是等腰直角三角形，

:，£AMB=45°,

故选：C.

6.【答案】C

【解析】解：连接力8,设小正方形的边长为1,

由勾股定理得：AM2=12+22=5,AB2=12+22=5,BM2=I2+32=10,

•••AM=AB,AM2+AB2=BM?,

••・△M48是直角三角形，

是等腰直角三角形，

:.Z.AMB=45°,

故选：C.

7.【答案】D

【解析】解：设4E=BE=x,则CE=4-x,

在也△"£•中，BE2=CE2+BC2,

即公=(4-x)2+32,

解祗=等，

O

故选：D.

在RCA8CE中，由BE?=+8C2,得到1=(4一人/十32,即可求解.

本题考查的是翻折变换(折叠问题)，明确4E=BE是本题解题的关键.

8.【答案】D

【解析】【分析】

木题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股

定理求CE的长度是解题的关键.

根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据勾股定理求解.

【解答】

解：如图,

•.•在Rt△48。中48=5,0A=1.4,

:.OB=V52-1.42=4.8，

•••下滑OSrn,

GC=4.8-0.8=4,

在At女。。中，CD=5,0C=4,

:.GD=V52-42=3»

40=3—1.4=1.6.

9.【答案】C

【解析】解：力、22+42462,故不是直角三角形，故本选项错误；

B、产+22工22,故不是直角三角形，故本选项错误；

c、32+42=52,故是直角三角形，故本选项正确；

D.42+82^102,故不是直角三角形，故本选项错误.

故选：C.

由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股

定理的逆定理加以判断即可.

10.【答案】D

【解析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键：由勾股定理求出4)=25cm,则

AB=AD=25cm,再由勾股定理求出4?的长即可得到答案.

【详解】解：由题意可知，

AB=AD,DE=20cm,AE=15cm,BC=1cm,

在RCElzlDE中，由勾股定理得：AD=V202+152=25cm,

:.AB=AD=25cm,

在RtElABC中，由勾股定理得：AC=>JAB2-BC2=V252-72=24cm,

故选：D.

11.【答案】4

【解析】连接、设利

P4PBPC,BD=%CE=vMF=z,^CD=17-xfEA=18-y,FB=19-z,

用勾股定理分别列出三个方程，亿简可得17x+18y+19z=487,从而得出x=z-l,进而得出答案.

【详解】解：连接PA、PB、PC,

设BO=x,CE=y,AF=z,

则。。=17—%E4=18-y,FB=19-z,

由勾股定理得，

x2+PD2=(19-z)2+PF2@,

同理得，2222

y+PE=(17-%)+PD@t

z2+PF2=(18-y)2+/③,

①+②+③得，

x2+y2+z2=(17-x)2+(18-y)24-(19-z)2,

化简得，17x+18y+19z=487,

•••x+y+z=27,

••x—z—1»

AfiD4-BF=x+(19-z)=18,

故选:A.

12.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

设运动时间为xs时，PQ=10cm,WOCP=(11-x)cm,CQ=2xcm,利用勾股定理即可得出关于x的一元

二次方程，解之即可得出结论.

【解答】

解：设运动时间为％s时，PQ=10cm,则CP=(11-x)cm,CQ=2xcm,

根据题意得：4x2+(ll-x)2=100,

解得：

Xi=1.4,x2=3.

故选：D.

13.【答案】45。

【解析】解：如图，连接力B,

。屋=12+32=10,AB2=12+32=10,0B2=22+42=20,

v10+10=20,^OA2+AB2=0B2,

40B是等腰百角三角形，

:.LAOB=45°.

故答案为：45。.

连接力B,利用勾股定理的逆定理判断出△AOB的形状，进而可得出结论.

本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知如果三角形的三边长Q，b,C满足Q2+b2=c2,那么这

个三角形就是直角三角形是解题的关键.

14.【答案】96

【解析】【分析】

本就考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到用48c是直角三角形是解题的关键.同时考查了直

角三角形的面积公式.

连接4C,先由勾股定理求出力C,再由勾股定理的逆定理判定团ABC是直角三角形，然后由三角形面积即可

得出结论.

【解答】

AD=12m,CD=9m,Z.ADC=90\

AC=VAD2+CD2=V1224-92=15(zn),

又•.AB=25zn,BC=20m,

:.AC?+BC?=152+202=252=泗，

.•.团ABC是直角三角形，乙4cB=90°,

•••这块地的面积=目A8C的面积一目AC。的面积=|xl5x20-ix9xl2=96(m2).

故答案为：96.

15.【答案】450

/45度

【解析】先标注格点，连接CD，CE,证明42=ZT0B,ZDCE=900,NCDE=45。，再进一步解答即

可.

【详解】解：标注格点，连接CD,CE,

由网格特点可得：AB//CD,

:.z2=乙CDB,

由勾股定理可得：

CD=VI2+22=/5,CE=012+22=/5,DE=VI24-32=/10,

：.CD2+CE2=DE2,CD=CE,

ZDCF=90°,Z.CDE=45°,

：•£CDB+=90°—45°=45°,

zl+z2=45°,

故答案为：45。

16.【答案】4/5-4

【解析】【分析】

本题考查的是勾股定理，勾股定理逆定理，三角形的面积.解答区题的关键是求出8c的长.先利用勾股定

理求出8C,再利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，然后求出△48。和△BOC的面积，即可解

答.

【解答】

解：•••48DC=90°,BD=4,CD=2,

•••BC=7BD?+CD2=5/42+22=2/5,

AB=6,AC=4»

:.AC2+BC2=42+（2/5）2=36,

vAB2=62=36,

AC2+BC2=AB2,

是直角三角形,44cB=90。,

•••S&ABC=|x5Cx/lC=1x2x/~5x4=4V~5,

S^BDC=爹xBDxDC=~x4x2=4,

.,.陇昌2锢1分的面利l为-S^DDC—4，耳—4.

故答案为4v5-4.

17.【答案】证明：•.・四边形ABC。为正方形，

:.AB=BC=CD=DA,=zC=zD=90°.

设48=8C=CD=£M=4a,

•••E是BC的中点，且CF=：CD,

4

•••BE=EC=2a,CF=a,

在At△ABE中，由勾股定理可得ME?=AR2+BE2=20a2,

同理可得：EF2=EC2+FC2=Sa2,AF2=AD2+DF2=25a2,

vAE2+EF2=AF2,

.•.△4"为直角一:角形，

Z.AEF=90。.

【解析】本题主要考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关

键.

设正方形的边长为4a,先依据勾股定理求得/E、AF.EF的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明△AEF

为直角三角形即可.

18.【答案】连接4。.在/^448。中，、・48=8（?=2,.,.484。=45。，

AC2=AB2+BC2=22+22=8.在△O4C中，'：AD=1,CD=3,

:.力。2+力。2=8+12=9=32=CD2,:.ADAC=90°,

二Z.DAB=LBAC+^DAC=45°+90°=135°.

【解^5］略

19.【答案】解：BD2+AD2=62+82=102=/1^2,

.••△48。是直角三角形，

:.AD1BC,

在△4CD中，CD=\/AC2-AD2=V172-82=15,

•••三角形ABC的周长为：AB+BC+AC=AB+BD+DC+AC=10+6+15+17=48,

因此△ABC的周长为48.

答：△ABC的周长是48.

【解析】根据48=10,BD=6,/ID=8,利用勾股定理的逆定理求讦△48。是直角三角形，再利用勾股

定理求出C。的长，即可得出答案.

此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定

理求证△"BD是直角三角形.

20.【答案】解：由勾股定理得力股=AC2+8c2,即=232+42=5(cm),

在以AB。中，AB2+BD2=52+122=25+144=169=AD2,

乙4〃。是直角，

:.S=^AB•BD-^AC-^C=ix5xl2-1x3x4=24(cm2).

【解析】先利用勾股定理求出4B,再利用勾股定理的逆定理判断出△48。是直角三角形，然后分别求出两

个三角形的面积，从而求出阴影部分的面积.

此题考杳了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是判断出△48。为直角三角形.

21.【答案】解：(1)如图1,点C'和C〃即为所求(答案不唯一).

(2)如图2,△力和△48。〃均满足题意.

图2

由勾股定理得，AB=BD'="32+12=^To，力。"=BD"=VI24-22=

：.△48。的面积为•BD'=gx710x/10=5,

△初。〃的面积为聂D〃・BD"=1x/5x/5=1.

.•・△A80的面积为5或|.

【解析】(1)根据等腰三角形的判定确定点。的位置即可.

(2)根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可；利用三角形的面积公式

计算即可.

本题考查作图一应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键

是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

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