高三数学一轮复习讲义（教师标准版）圆的方程

§8.3圆的方程

【课标要求】1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程2能根据圆的

方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定运的点的集合叫做圆

圆心C(a,b)

标准(X—4)2+0—〃)2=，(/>0)

半径为c

方程圆心《一,-f)

^+y2+Dx+Ey+F=0

一般

(D2+E2-4F>0)半径，W[D2+E2-4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M(xo，泗)与圆C：(x—a)2+(y—〃)2=户之间存在着下列关系：

(1)|MC]>r=M在圆外,B[J(xo—(yo—b)2>f2<=>M在圆外；

(2)\MC\=在圆上,即(xo—«)2+(yo—b)2=r<=>M在圆上；

⑶|MC|<r=M在阚内，即伽0—。尸+()，0一切2〈户=加在圆内.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或“义”)

(I)确定圆的几何要素是圆心与半径.(7)

(2)。-2)2+°，+1)2=〃2(“£0)表示以Q,1)为圆心，。为半径的圆.(X)

(3)方程A¥2+8o+Cy2+Dt+£>，+尸=0表示圆的充要条件是A=CW0,8=0,D2+E2-4AF>0.(Y)

(4)若点,阿在圆/+9+队+£)，+/=0外，则就+必+Oxo+@o+QO.(7)

2.已知圆/+)2+2、—4)，+1=0关于直线工一〉+/=0对称，则实数，等于()

A.-3B.I

C.-lD.3

答案D

解析由x2+y2+2x—4y+l=0得a+1)2+()，-2)2=4,

则圆心坐标为(一1,2),

又因为圆f+V+Zr—4y+1=0关于直线x—)，+/=()对称，

故由圆的对称性可知，圆心(-1,2)在直线x—y+/=0上,

则t=y—x=2—{—\)=3.

3.(多选)已知圆C：丁+)，2—4%+63，+11=0与点40,-5),则()

A.圆C的半径为2

B.点A在圆C外

C.点A在圆C内

D.点A与圆C上任一点距离的最小值为应

答案BD

解析因为x24-y2-4x+6v+11=0,即(x-2)2+(y+3)2=2,所以圆心为CQ,-3),半径r=V2，故A错

误；

又|AC|=J(2-0)2+(-3+5/=2花〉/•,所以点A在圆。外，故B正确，C错误；

因为|AC'|=2V2,所以点A与圆。上任一点距离的最小值为|ACLr=V2,故D正确.

4.以点A(0,-1),8(2,1)为直径端点的圆的方程为.

答案(x-l)2+y2=2

解析由题意可知，圆心为线段AB的中点(1,0),且|AB|=J(0-2)2+(-l-l)2=2鱼,

所以圆的半径「二¥=我，

因此，所求圆的方程为。―1)2+)，2=2.

I.掌握圆的两个性质

(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

(2)圆心在任i弦的中垂线上.

2.牢记两个相关结论

(1)圆的“直径式”方程：以A(X1，＞,|),8(X2，＞2)为直径端点的圆的方程为(X—X1)(X—X2)+(y—巾)()，一)，2)=0.

(2)圆的参数方程：圆心为3,b),半径为r的圆的参数方程为f=Q+r8sa其中。为参数，可用来设圆上

(V=b+rsin。，

的点的坐标.

题型一圆的方程

例1设OM的圆心M在直线2x+y—1=0上，点(3,0)和(0,1)均在OM上，则OM的方程

为•

答案(X—1)2+。+1)2=5

解析方法一设。M的方程为。一。)2+°，-b)2=，(/>0),

2。+匕-1=0,(a=l,

(3-Q)2+/=r2,解得(匕二一i,

(a2+(l-Z))2=r2,(r2=5,

。M的方程为(x—1)2+(y+1)2=5.

方法二设OM的方程为,x2+/+D.r+Ey+F=O(Z)2+E2-4F>0),

则M(-《,-f),

仔•(一9+(—§T=。，(D=-2f

，J9+3O+F=0,解得彳E=2,

ll+E+『=0,〔F=一3,

，0M的方程为^+/-2r+2y-3=0,

即Ct-l)2+G，+l)2=5.

方法三设A(3,0),8(0,1),。”的半径为r,

则&册=吾=一]线段A8的中点坐标为(I，3，

・,・线段A8的垂直平分线方程为广；31一|),

即3x—y—4=0.

联立产7-4=0,解得『=1,..M(],_]),

(2x+y-1=0,(y=-1,

・・.7=网川2=(3—+[()_(_1)f=5,

・•・OM的方程为。-1)2+。+1)2=5.

思维升华求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(〃，力和半径,•有关，则设圆的标准方程，求出〃"，/•的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,产的方程组，进而求出。，E,/的值.

设M(x,)，)，且A(-2,0),BQ,0),

由|肌4|二鱼|加用，得。+2)2+)?=2。-2)2+2)，2,

化简得M的轨迹方程为圆(%—6)2+)，2=32()W0),半径r=4或,

如图，有5.8巧|4卦「=8心

所以△MA8面积的最大值为8企.

命题点2定义法

例3已知圆C(x—1)2+。-1)2=1,点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2,则点A的轨迹

方程是()

A.y2=4x

B.x2+/-2x-2y-3=0

C.x2+y2-2y-3=0

D.y2=-4x

答案B

解析因为圆C：Q•—1)2+。-1)2=1,

所以圆心。(1,1),半径r=l,

因为点M是圆上的动点，所以|MC1=I,

又AM与圆相切，且|AM|=2,

则14cl=J|MC|2+MM|2=V5,

设AQ,y),则(x—1)2+。-1产=5,

即W+y2_2x_2y_3=0,

所以点A的轨迹方程为2y-3=0.

命题点3相关点代入法

例4(2024•新课标全国II)已知曲线C：X24-/=16(3'>0),从。上任意一点P向x轴作庭线段PP',P'

为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为()

A.g+?=1。>0)B.g+?=1。>0)

C.fJ+y=10>0)D.(+9=1G>0)

答案A

解析设点,y),

则P(.r，州)，P\x,0),

因为M为PP，的中点，

所以g=2y,即P(x,2y),

又P在曲线x2+产=16。>0)上,

所以1+4V=16()>0),

即5+?=10>0),

即点M的轨迹方程为亡+^=l(v>0).

164

思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

跟踪训练2已知RtZ\A8C的斜边为A8,且4—1，0),8(3,0).求:

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边8c的中点M的轨迹方程.

解⑴方法一设C(x,y),因为A,8,C三点不共线，所以yWO.

因为AC1BC，且AC,BC斜率均存在，

所以Me以。=一1,

又以c=W，皿=土

所以备三=一

化简得寸十,，2-2丫-3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为r+/-2r-3=0(>^0),即1)2+)2=4。£()).

方法二设线段AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=jA8|=2.由圆

的定义知，动点C的轨迹是以0(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线，所以应除去与x

轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为

(x—1尸+)2=4(),：/：0).

⑵设M(x,y),C(xo,y0),

因为B(3,0),且M是线段8C的中点，

所以由中点坐标公式得工=第,)=竽，

所以M=2.V—3,yo=2y.

由(I)知，点C的轨迹方程为

(x-1尸+9=4(k0),

将xo=2x—3,)，o=2y代入得(2x—乙产+(2)，)2=4。力0),即(1-2)2+尸=1()孚0).

因此直角边4C的中点M的轨迹方程为

(x—2尸+)2=1()¥0).

■微拓展■

阿波罗尼斯圆

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(・。，0),B(a,0)(加>0)的距离之比为正数"/IWI)的点的轨迹是

以C^a,0)为圆心，|怒|为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

典例(1)设4,8是平面上两点，则满足震二&(其中改为常数，Q0且岸1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(V6,

0),3件，0),且女=直，则点P所在圆M的方程为.

答案x2+>,2=3

解析设P(.jy),由题意可得，罂二四，

即俨川二企仍用，

2

则(%-A/6)2+.y2=2Kx-y)+y2,

整理得F+>2=3.

(2)已知在△ABC中，角人，8,C的对边分别为a,b,c,sinA=2sinB,acosB+bcos4=2,则△人BC面积的

最大值为.

答案;

3

解析依题意，由sinA=2sinB,

得18cl=2HQ,“cosB+bcosA

a2+c2-b2b2+c2-a2

=--------+---------=c=2,

2c2C

即|A阴=2,以AB边所在的直线为x轴，线段A8的垂直平分线为)，轴建立平面直角坐标系，

设A(1,0),8(-1,0),C(x,y),#0,

由|8C|=2|Aq,则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为卜；)2+)2=：,x#0,

边A8上的高的最大值为(，

所以(S》BC)max=

题型三与圆有关的最值问题

命题点1利用几何性质求最值

例5(多选)已知实数4，y满足人2+)?——+3=0,贝ij()

A.当xHO时，丫的最小值是一遮

X

BM+y2的最小值是1

C.y-x的最小值是2-V2

D.|x+)，+3|的最小值为2

答案BC

解析由W+y2—4y+3=0,得f+()，-2尸=1.该方程表示圆心为C(0,2),半径r=l的圆.

设(=总20),则k表示圆上的点(除去点(0,1)和(0,3))与原点0(0,0)连线的斜率，

由)=心心之0),则Tlwi

J-

解得攵28或攵W-H,故A错误；

因为F+)，2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在)'轴上，

所以当X=0,)，=1时，/+)，2取得最小值，且最小值为1,故B正确；

设厂,则y=x+b"表示当直线y=x+力与圆有公共点时，直线在)，轴上的截距，

则W1,

J"5】)?

解得2—&W8W2+或,

即yr的最小值是2V2,故C正确；

卜+)43|表示圆上的点到直线x+)，+3=0距离的鱼倍，

圆心(0,2)到直线x+y+3=O的距离为d=*,

则|x+y+3|的最小值为&X偿-1)=5-&，故D错误.

命题点2利用对称性求最值

例6已知A(O,2),点夕在直线x+y+2=0上，点。在圆C：产+)，2—41一为=0上，则俨A|+|PQ的

最小值是.

答案2遍

解析因为圆C:f+)2—4x—2)，=0,

即(x—2)2+。-1产=5,

所以圆。是圆心为C(2,1),半径—二遮的圆.

设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A\m,〃)，

'm+0

+手+2=0,

所以2

n-2

二1,

、m-0

771=-4

'故A'(—4,-2).

(n=-2,

连接AC交圆C于。(图略)，交直线x+y+2=0于P,此时，|PA1+|PQ|取得最小值，

由对称性可知|PA|+|PQ=|P4l+|PQ=|A'Q=HCl-r=2遍.

命题点3利用函数求最值

例7设点P(x,四是圆/十()，-3)2=1上的动点，定点A(2,0),B(—2,0).则万•丽的最大值

为

答案12

解析方法一由题意，得而二(2—x,~y),

PB={-2-x,—y),

所以正•丽+)，-4,

由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程

3产=1,故F=一()，-3尸+1,

所以刀•丽=一0—3)2+1+)2—4

=6y-12.

易知2WyW4,所以当y=4时，西•丽的值最大，最大值为6X4-12=12.

方法二(极化恒等式)

由题意知线段AB的中点为0(0,0),瓦5=(4,0),

PAPB=-[(PA¥PB)2-(PA-PB)2]

4

=Pdz--BA2=\P0\1-4,

4

易知|沔F的最大值为[J(0-0)2+(3-0)2+1]2=16,

所以刀•丽的最大值为12.

思维升华与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值：形如〃=号,t=ax^rby,(x—。)2+。一4形式的最值问题.

(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判

别式法、基本不等式法等求最值.

⑶求解形如IPM+IPM(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化

定”，把与圆上动点的距禹转化为与圆心的距离；②“曲化直’，即将折线段之和转化为同一直线上的两

线段之和，一般要通过对称性解决.

跟踪训练3(1)(2024・商洛模拟)已知P(xo,州)是圆C：/+炉一2工一2)，+1=()上任意一点，则”的最

大值为()

A.-2B.--

2

c.-

33

答案D

解析设攵=叫，

x0-3

变形可得“口)一3)一泗一1=0,则”的几何意义为直线左。一3)一)，-1=0的斜率，

的)-3

圆C：X2+y2——2y+1=0可化为。-1)2+()，-1)2=1,所以圆。的圆心为C(1,1),半径为I.

因为P(x(),)»)是圆C：.r+y2—2.v—2y4-1=0上任意一点，

所以圆C与直线©x—3)—)，-1=0有公共点，

即圆。的圆心C(1,1)到直线k(x—3)—y—l=0的距离不大于圆C的半径，

所以,

州+1

解得与,

JD

即”的最大值为1

X0~33

(2)已知圆C：(x—3)2+(y—4)2=l,设点f是圆。上的动点.记d=|P8/+|PA|2,其中40,1),5(0,-

1),则d的最大值为.

答案74

解析设P(M，州),则d=|P8F+|P4|2=%］+(yo+1)2+据+°，0-1)2=2(密+光)+2,就+%表示圆上任一

点到原点距离的平方，，(就+*)1m=(5+1)2=36,...4射=74.

课时精练

［分值：90分］

I。知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.(2024•北京)圆f+9-2A.+6),二。的圆心到直线工一)，+2=0的电离为()

A.V2B.2

C.3D.3V2

答案D

解析将圆的方程化为标准方程，

得(X—1)2+G，+3)2=10,

所以该圆的圆心(1,—3)到直线X—y+2=0的距离为「⑹12|=捻=3或

小2+(一1)2

2.圆心在y轴上，半径为2,且过点(2,4)的圆的方程为()

A.x24-ty—1)2=1

B.(X-2)24-/=4

C(x-2)2+(y—守=4

DY+G，-4尸=4

答案D

解析依题意设圆心坐标为(0,b),则圆的方程为一与2=4,又22+(4-^)2=4,解得b=4,所以圆

的方程为4尸=4.

3.(2024・西安模拟)若过点尸(0,1)可作圆『十92A4y+a=0的两条切线，则a的取值范围是()

A.(3,+8)3)

C.(3,5)D.(5,+8)

答案C

解析圆X2+/-2X-4>-+«=0,即圆(工-1)2+6，-2)2=5—。，则5-a>0,解得。<5,又过点P(0,1)有两

条切线，则点p在圆外，J(1-0)2+(2-1)2>G^7,即2>5—〃，解得a>3,故3<r/<5.

4.已知A(—1,0),8(1,0),若点P满足则点P到直线/：〃?*一遍)+〃。，-1)=0的距离的最大

值为()

A.lB.2

C.3D.4

答案C

解析由FALPB可得点尸的轨迹为以线段A3为直径的圆(去除点A和点B),圆心坐标为(0,0),半径为

1,又直线/：〃仆一百)+〃6—1)=0,其过定点(百，1),故距离的最大值为J3+1+1=3.

5.(2024・南宁模拟)已知坐标原点。在直线〃?x-2)=2/〃+8上的对影为点P(x°,找)，则血，刈必然满足的关

系是()

22

A.(xo+l)+(yo-2)=5

22

B.(x0-l)+(y0+2)=5

22

C.(xo+l)+(yo-2)=2O

22

D.(xo-l)+(yo+2)=2O

答案B

解析直线I:〃口—2y=2〃?+8,

即m(x-2)—2(y+4)=0恒过定点4(2,-4),

由原点0在直线/上的射影为点P,得OPJJ,

则点户在以。4为直径的圆上(去除点(2,0)),

该圆圆心为(1,-2),半径为r=Jl2+(-2)2=V5,

所以同，泗必然满足的关系是(q-l)2+(yo+2)2=5.

6.已知〃?WR,直线八："a一y—"1+3=0与直线，2：X+〃少一〃?一5=0相交于点P,则P到直线2r+y+7=

0的距离的取值范围是()

A.|V5,3V5]B.(V5,3遍|

C.[2V5,4俑D.(2V§,4俑

答案D

解析因为律1+(-1)•〃，=(),

所以直线人与/2始终垂直，

又由条件可得直线恒过定点M(1,3),直线恒过定点M5,I),

所以两直线的交点尸在以线段为直径的圆上，

该圆的圆心坐标为(3,2),半径为加N]=gJ(5-1)2+(1-3)2=V5,

所以该圆的方程为(X—3)2+()，-2-=5,

圆上点(1,1)是过定点M(1,3)且斜率不存在的直线与过定点M5,1)且斜率为0的直线的交点，故点P的

轨迹不经过点(1,1).

圆心(3,2)到直线2r+)，+7=0的距离仁等工挈=3遥，

收+12

所以圆上的点到直线21+)，+7=0的距离的最大值和最小值分另J为4通和2代,

又点(1,1)到直线2x+)，+7=0的距离为2县,应舍去，

所以P到直线2丫+)，+7=0的距离的取值范围是(2向，4通］.

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.设圆C：(x—攵)2+()，一攵)2=4伏ER),则下列命题正确的是()

A.任意圆的面积都是47r

B.存在使得圆C过点(3,0)

C.经过点(2,2)的圆。有且只有一个

D.不论k如何变化，圆心。始终在一条直线上

答案AD

解析由于对任意圆的半径都是2,故面积都是4花，A正确；

由于(3T)2+(0T)2=2d—6攵+9=2,一丁十罗》4,故圆。必定不过点(3,0),B错误；

对火=2-&和&=2+夜，均有(2—々)2=2,故(2—攵)2+(2—々)2=4,即圆C经过点(2,2),C错误；

圆心C(k,攵)始终在直线y=x上，D正确.

8.(2024・丹东模拟)已知曲线E：/+)，2-2|川一21yl=0(x,)，不同时为0),则()

A.曲线E围成图形的面积为8+4兀

B.曲线E的长度为4或兀

C.曲线E上的点到原点的最小距离为企

D.曲线E上任意两点间最大距离为4V2

答案ABD

解析当x》(),>20,且x,y不同时为0时，曲线E：(X—1)2+。-1)2=2;

当工20,产0时，曲线E：(汇一1)2+°，+1)2=2；

当x<0,歹20时，曲线E：(X+1)2+°，-1)2=2；

当x<0,3<0时，曲线E：。+1)?+。+1尸=2.

画出曲线E的图形，如图所不.

对于A,曲线E围成的图形可分割为一个边长为2或的正方形和四个半径为企的半圆，

故面积为2鱼X2a+27tX(鱼)2=8+4兀,故A正确；

对于B,曲线E■由四个半径为四的半圆组成，故周长为2X2兀＞：a=4a兀，故B正确；

对于C,曲线E上的点到原点的最小距离为2,故C错误；

对于D,当曲线石上任意两点的连线过圆心及原点时，距寓最大，最大为4V2，故D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.已知P(〃2,〃)是圆C：f+y2-6.v+23=o上一点，则-1)2+几2的最小值是.

答案2a

解析表示圆上的点P(ni,〃)到点(1,0)的距离，

由W+)，2—8X—6.V+23=0可化为。-4)2+()，-3)2=2,

则圆心为(4,3),半径为为,点(1,0)到圆心的距离为J(1-4)2+(0-3/=3企,

所以点P(m,〃)到点(1,0)的距离的最小值为3A/2-V2=2V2,

即-1)2+几2的最小值是2V2.

10.已知圆C以。(1,1)为圆心，巨与直线"^一)，一2〃7=0(〃?£阳相切，则满足以上条件的圆。的半径最大

时，圆C的标准方程为.

答案(X-1)2+(.V-1)2=2

解析直线nLx—y—2m=0可化为m(x—2)—y=0,

X-2—0；._x=2,

解得ze=s

{-y=o,.y=o,

所以直线过定点A(2,0),

当C4与直线mx—y—2阳=0垂直时，圆C的半径最大，半径为J(2^7)2+(0^^)2=&,

所以圆C的标准方程为(工一1)2=2.

四、解答题(共27分)

11.(13分)已知圆C的圆心在x轴上,并且过4(1,3),5(3,3)两点.

(1)求圆。的方程；(6分)

(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8,0),点。满足丽=3丽，求点。的轨迹方程.(7分)

解(1)由题意可知，线段A3的中点为(2,3),08=0,所以线段AB的垂直平分线方程为x=2,

它与工轴的交点为圆心C(2,0),

又半径r=HC|=m,

所以圆C的方程为。-2)2+)?=10.

(2)设P(x(),yo)，Q(x,y),

由丽=3Q必,得(8—xo,—yo)=3(8—x,—y),

XQ—3x—16,

所以

M)=3y,

又点P在圆。上，故(即一2y+*=10,

所以(3x-18)2+(3y)2=10,

化简得点Q的轨迹方程为(工一6)2+『=三

12.(14分)已知圆G经过点41,3)和8(2,4),圆心在直线知一>一1=0上.

(1)求圆G的方程；(6分)

(2)若M,N分别是圆G和圆。2：(x+3)2+()，+4)2=9上的点，点P是直线x+y=0上的点，求|PM|+|PN|

的最小值，以及此时点P的坐标.(8分)

解(1)由题意知线段A3的中点坐标为(|,|),

,4-3.

・•・线段AB的垂直平分线方程为y~\=x—3,

2.

即)=5—x,

仁二解得x=2,

联立

尸3,

即圆G的圆心为Ci(2,3),半径r=|AGI=l,

其方程为(x—2)2+()，-3)2=1.

(2)注意到点0(2,3)和点。2(—