高考数学一轮复习 平面向量与复数 重难点突破03 归纳平面向量中的范围与最值问题 （十大题型）解析版

重难点突破03最全归纳平面向量中的范围与最值问题

目录

题型一：三角不等式

题型二：定义法

题型三：基底法

■方法技巧总结

技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法：

(1)定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

(2)坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

(4)几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

技巧二.极化恒等式

(I)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|〃+W+|〃一/；|2二2（|£|2+|汗）

证明：不妨设A月=4,4方=。＞则AC=a+Z^,DB-a-b

=充2=(〃+,=冏+2公石+,①

|DB|2=DB2=(«-6)2=同一2d1+用②

①②两式相加得：

向卜阿『=2忖+粕=2(|同+|而"

(2)极化恒等式:

上面两式相减，得：;[(£+力-------极化恒等式

①平行四边形模式：砰]

几何意义：向量的数量枳可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与"差对角线”平方差

的二

4

②二角形模式：7〃二|4历『—1|。网2(M为80的中点)

技巧三.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点0是矩形ABC。与所在平面内任一点,

证明：OA2+OC2=OB2+OD2.

【证明】(坐标法)设48=aAO=〃，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系人少，

则B(a,0),D(0㈤,C(a㈤,设。(x,y),则

OA2+0C-=(x2+/)+[(x-a)2+(y-b)2]

OB2+OD2=[(.r-a)2+y2]+[x2+(y-b)2]

:.OA2+OC2=OB2+OD2

技巧四.等和线

(I)平面向量共线定理

已知。4=20月+若义+〃=1,则A及。三点共线；反之亦然.

(2)等和线

平面内一组基底丽,加及任一向量0户，OP=AOA+pOlia,若点P在直线AB二或者在平行

于AB的直线上，则％+〃=%(定值)，反之也成立，我们把直线你以及与直线相平行的直线称为等和线.

①当等和线恰为直线M时，k=l；

②当等和线在O点和直线A4之间时，^e(0,l)；

③当直线在点。和等和线之间时，kw(l,+8)；

④当等和线过O点时，攵=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值&互为相反数;

技巧五.平行四边形大法

1、中线长定理

2

2AO=|AB|2+|/4D|2-||DB|2

2、尸为空间中任意一点，由中线长定理得：

2P0=|喇+附「一；“『

2PO=|PD|2+|PB|2一；104f

两式相减：1PAi'〔PCI2T「q2+|pB「)」AC|;忸。|=2//0)

技巧六.向量对角线定理

死而.+8(？2)_(A^+C炉)

.~2

B

必考题型归纳

题型一：三角不等式

例1.(2023•全国•高三专题练习)已知向量打；1满足13=2,由=1,|1上」|=1，若对任意2，

(:・工)2+(]一%f.I恒成立，则2%的取值范围是__________.

【答案】~2-

rr、2rr、2rrrzrrr

【解析】解析：因为(zc-a)+z/叫一[一z〃一〃x)=c2-2ab,

则S=(1)2+(；」『=\+c-2ab,因为卜+〃卜[1,3],

由|口_,+力|§；_；_力|=|；_。+力)区+力,

由l=|c-(a+〃)|Wc+〃+力，即“21-4+0,由〃+力w[l,3],则I-“+/?恒成立.

由+Wc-(a+Z?)|=1,即a+b-1<|c|<1+a+b

则£皿=l+(|a+N+l)2-%・〃=l+?+?+l+2d+2J1

=7+2j5+2。.力<11»

解得】晨彳，又2b-那=-2

rr「

所以ame-2,--.

故答案为：-2,-1

例2.(2023・全国•高三专题练习)已知平面向量不出忑满足：\a\=\,f)a=-\,若对满足条件的任意向量5,

m-5m修一万|恒成立,则cos优+a.a)的最小值是.

【答案】立

2

【解析】由题意设乙=(1,0)出=(-1,此),4=(%,训,c-5=(x+l,y-m),c-a=(x-l,y),

由|一囚因乙一ci|,{(x+f)2+(〃L»>y/(x-l)2+y2,

化简得"『一2〃?y+4x20恒成立,所以△W0,)户W4x,x>0,

c+a=(x+l,y),

/k,k7x+1、x+11、&

cos您+a,a)=/>/=j>——

J(x+l/+y2"(K+1)2+4Xi4x2,

V(xT17

当且仅当炉=4x且“1时取到等号;

故答案为：旦.

2

例3.已知向量口反5满足|同=忖=同=2,小5=0,若关于，的方程疝+g--二g有解，记向量的夹角

为。，则sin。的取值范围是.

r131

【答案】7，了

_44

【解析】不妨令1=（2,0）出=（0,2）1=小,%）,

由忖=2,可得*+y：=4；

S+5Y=（2，,O）+（O,l）-（Xo，yo）=（2，-Xt）,l-yo），

故可得笈+,Y=<=J（2f_/）-+（1一）b）一，

乙乙

3io

整理得"-45+片+)，；-2%+^=4/―4V+--2%=0,

要使得该方程有解，则△=164-16(?-2%'0,

।q

整理得第+2%-?2。，又因为年+y=4,

4

「]3一

故可得4y；-8y0+3<0,解得y0e—,—.

又因为cos。=pp=；%,故可得s加。=Jl-cos*=J—%；==如。|,

-13-

故可得"be-r~.

[44j

'13~

故答案为：.

l_44j

变式1.已知％„是平面向量,且吊胃是互相垂直的单位向量,若对任意R均有|4+4\]的最小值为

后-W，则-胃+4的最小值为.

【答案】3

【解析】根据忖+词的最小值为E-可，代入得关于五的一元二次不等式，利用等号可以取到判断出

A=4（I£）2_4（2藐'-1）=0,然后设冢为x轴的方向向量，£为>轴方向向量，~ey=xex+ye[,则得关于点

（x，F）的轨迹方程，利用抛物线的定义将向量模长转化为距离，计算最小值.

&+同=同+2靖4+*可2k-司=同-23，+同,即公+2妈％+羽©3—120,所以

A=4(获『一4(2蕊*-1)=0,即|：44)2-WB+|=O,设1为无轴的方向向量，Z为了轴方向向量，所以

4=露+ye2,对应的坐标为(M>),所以/-2y+1=0,得』=2(y-；):

忖+3耳-]+厘-4=|(1,3)-*,到+|(内)-(0,1)|,因为f=2(k》为抛物线寸=2)，向上平移！个单位，

所以焦点坐标为(0,D,准线为y=。，所以点®y)到(0,1)的距亶与到y=o的距离相等,

|(l,3)-(x,y)|4-|(x,y)-(O.l)|=|(l-x,3-.y)|+|y|^|3-y|4-|y|=3,当且仅当x=y=l时，取最小值.

故答案为：3

变式2.已知平面向量力,鼻满足卜2-4=2,设1=4+4£5=1+1，若1K/.5W2，则I&I的取值范围为

【答案】[X/3-1,75+1]

【解析】设3=4-石，则〃=；5+习，则由条件14无弓42知2〈小(d+KK4,

所以34々2+九£+卜*5,所以卜+g<75,1^1=1,

又叱£一©第二"0—£西+电闾

2211222||2|

所以石一14旧区6+i.

故答案为：

7

变式3.(2023•浙江金华・统考一模)已知平面向量。，B，3满足44二:，la-5l=3,(«-？i(^-c)=-2,

则同的取值范围是___________

【答案】[「3-，-5~.

【解析】如图，

设⑸二乱丽=瓦比=/,贝um-5i=i丽i=3,

取A8的中点。，

则二◎+丽尸-◎-两2=4帚心理=。人君g闲2_2J,

4444

|。25|=2,

X(d-c>(^-c)=-2,

•'-C4•5=-2,

.KE(CA+C^2-(CA-C^)24c厅一4A6_,K,29、

••CA»CB=-------------------------------=-------------------=|CDI=-2，

444

|CD|=1,

A\OD\-\CD\^c\\OD\+\CD\,即T别1*1j-

35

故答案为：［5,5］.

题型二：定义法

例4.已知向量大方的夹角为W，且22=3,向量"•满足"=而+(1-/1历(0<2<1),且［"=尻入记x=背,

cb

>'=W，则厂+厂一个的最大值为.

27

【答案】v

O

【解析】

设oA=a,oB=hoC=e,贝|」4。8=三，

由小5二3，知|,卜|〃|8$三=3,即|0|.|/；|=6,

市I」C_1I-］［工］兀_1XG_3\Z§>

〃「以S'O&B=-|«l-l^|sin-=-x6x—=——,

/J/4

因为3=/14+(1—义而(0<义<1),所以点C在线段ABE,

设Z4OC=a,则/80C=g-a,

n

所以Y一孙=|m|2cos2a+\cfcos2aj-|c|cosa|c|cosIy-cr

qsa+qna\

=|c|2cos2a+|c|2-|c|cosa|c|—cost?+——sina

2222

心…+"――。.£…a

=1rI2cos2a+—cos2a+

42422

3.

=Ich

4

故原问题转化为求I?I的最大值,

在AOAB中，由余弦定理知,

\ABf=\af+|6『-2|«||/?|cos^=|«l2+\bf-\d\-\b\

N2kH可-|同网=|M.同=6,当且仅当何=同=卡时，等号成立,

故AB的最小值为指，

因为而=而，所以他一孙”0,即A8_LOC,

所以S.=—|AB|-|OC|=——，

ACOz/iBo2.2

即凶=漆手睢即年唳

所以/+,，2一个=7/3"彳77.

27

故答案为：—

O

例5.（2023•四川成都•高二校联考期中）己知向量。，5，*满足同=1,=无5=-1，向量”4与

向量的夹角为:，则同的最大值为

【答案】M

G•b—1/一\37r—/、

【解析】依题意可知cosR，6）=丽=前二一亍，所以e力）=彳，不妨设。4=在（叫,

。月=6=（一1,1）,dc=c»则NAOB=T

由『与力的夹角町可知46个所以0MCB四点共圆，即点C在⑨回的夕卜接圆上.

A月=（-2,1）,则|而卜逐，由正弦定理得△Q48的外接圆直径2R=’?=加，所以同的最大值为JF5.

sinT

故答案为：M.

例6.（2023•浙江绍兴♦高二校考学业考试）已知向量G，坂满足|4=1,欠=6,且£_1人若向量2满足

1H.=2忖叫，则口的最大值是_____.

【答案】6

【解析】如图，设方=2，OB=h，OC=o丽=2+5，

连接AO,BD,

则由3_L5可知四边形OADB为矩形，

则卜+力==2.

由k一

可得卜-a-q=2./一勾，

连接CO,

则因=4,

所以点C在以点。为圆心，4为半径的圆上，

I-J|Uiini|||ULni]

所以pq的最大值为口4+|图=2+4=6.

变式4.已知向量/7满足口=1,W卜石，且小B=-1,若向量a—m与白-

的夹角为30。，则I1的最

大值是___________.

【答案】26

【解析】

设苏=1,o2=W,

所以H=a/一1=&，所以/4圆=30二

->->_3厂

所以COSV4/>==一=——-，

\a\\b\⑺2

因为<H>e［（T,180卜

所以<I/；>=150,NA08=150：.

所以。4脱。四点共圆.设外接圆半径为七

要使13最大，所以OC必须过圆心，

此时，在AQAB中，由余弦定理得A82=i+3—2j5cosl50=7".A8=J7.

4«L

由正弦定理得OC-2R-./…-2s.

sinZAOB

故答案为：2出

变式5.已知向量漏，满足忖=2忖=3忖=6,若以向量漏为基底，将向量"表示成三芝+四力〃为

实数），都有忆+4,1,则的最小值为

【答案】4-4Vi0

【解析】由题可知，忖=6,忖=3书=2.

不妨设况=2=（60）,祝二九瓦=",则点3、C分别在以原点为圆心，半径分别为2和3的圆上运动，

又c=/lZ+4&九〃为实数），都有以+”,,1,

所以当A、B、C三点共线时且此线与半径为2的圆相切时，向量凉;的夹角。最大，此时，"出的最小.

此时，在“OC中，由余弦定理可得,

O/\2+3OC2-4C262+32~(^+4^)2-2y/\0

cosZAOC=

202OC-2x3x6--9"

a・坂=忖・Wcos〃=6x3cosZAOC=4-4\Ao

故答案为：4-4V10.

变式6.已知向量a、。满足：卜一石=4,卜=&忖.设力一分与a+坂的夹角为夕，则sin。的最大值为

【答案】2^/1V2

33

【解析】设M=/,则同=",设向量）、加的夹角为〃，

3/2-16

若卜一,=4,则a~-2ab+b~=3r-2\/2rcosa=16可得cosa

272?

由题意可得潦KI,解得4（夜-1）Q4（0+D，

所以，忖+@=a~+2ab+b'=3r+2>/2rcosa=6r-16,.，.卜+q=-16,

故答案为：空.

3

题型三：基底法

例7.已知菱形ABC。的边长为2,N8AD=120。，点E,“分在边8C,。。上，丽=2前,DF=pDC.若

2

4+〃=则屉.标的最小值为

【答案】J4

【解析】如图，

____2

••JE=Z13C>。1=〃OC•，且％+〃=§,

「•AE-AF=(AB+BE)(AD+DF),

=(AB+ABC)(AD+//DC)=(A#+AAD)-(AD+〃八6)

=(\+Ap)ABAD+A\ADf:+〃|A8f

|Q

=(1+A//)x2x2x(——)+4(A+〃)=-2(1+A//)+-.

23

由趣意可得，2,〃>。，

?

入内、(■：〃)="，则-2(1+沏)...一等，

2(1+4/)+*](当且仅当/=〃=5时等号成立)，

4

*'•立S尸的最小值为

4

故答案为：—.

例8.(2023・天津•高三校联考阶段练习)已知菱形A8C。的边长为2,/班。=120。，点E、F分别在边BC,

CQ上，现=2阮,DF=fjDC,若2义+〃=|,则9杆的最小值__________.

【答案】3

【解析】AB-^D=|®|-|AD|COS120=-2荏Q=(而+2配)•(而+〃配)="一;〃+3,

〃2一;〃+3=(〃一!)+%.由于0《2/1工2,；三〃工1,在区间上为增函数,故当〃=；时取得最小值为3.

2\4/32.2

例9.如图，菱形A/6CO的边长为4,/曲。=30。，M为。C的中点，若N为菱形内任意一点（含边界）,

则AM-AM的最大值为

【答案】24+126/12百+24

【解析】由题意AM=A/5+=gA分+A/5,设XN=x4*+)，AZj(()KxK1,OKyK1),

7^=(^AB+^)(xAB+yAD)=^xAB2+(x+^y)ABAD+yAD2

=8x+(x+yy)x42xcos300+16y=8(1+方)x+4(4+6)),,

所以工=1,)，=1时，丽取得最大值24+126.

故答案为：24+126.

变式7.菱形A8C。的边长为4,ZBAD=30°,若N为菱形内任意一点(含边界)，则而•丽的最大值为

【答案】16+8X/3/8N/3+16

【解析】设版=x4月+y瓶(04xWl,0Wy41),

则ABAN=AB(xAB+yAD)

=xAB~+yAB-AD

=A|AB|2+V|4S|-|AD|COSZBAD

=16x4-yx42xcos30°=16.r+8>/3v,

所以当x=l,y=l时，丽・丽取得最大值16+86.

故答案为：16+8G.

变式8.如图，菱形ABCO的边长为4,/8人。=60为QC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界),

贝I」丽•丽的最大值为.

【答案】36

【解析】AM=^AB+ADtAN=AAB+^AD,其中％£[()4],〃£[()4],

所以AM.A”=(g•(aAp+〃A》)=g/iAA。+(%+；〃)A月.A力+〃而2

所以当4=4=1时，RV•丽取得最大值，最大值为16+20=36.

故答案为：36

变式9.平面四边形ABC。是边长为2的菱形，且44=120。，点N是DC边上的点，且丽=3祈，点M

是四边形A8C。内或边界上的一个动点，则而7.丽的最大值为.

【答案】於5

【解析】如图所示,

根据数量积的几何意义知：.当点M在。点时，湎7在而上的投影向量与丽同向，且长度最长，

所以此时AA7.AN.最大，

因为XN=A力+加=人万+3。。=4力+34后,AC=AB+AD^

44

所以入内衣=(八小^-AR)(AR^AD)=-AB24AD+-ARAD

444

Q717

=-x4+4+-x2x2x(-l)=-,

4422

所以威.而的最大值为

故答案为：:7

变式10.(2023・全国・高三专题练习)已知向量心方满足|万+同=3,万历=0.若*=筋+(1-刃〃，且不.万".方，

则同的最大值为.

3

【答案】j

【解析】令口=湎7，b=~MB＞则4+5=戒+砺=而，故|而卜3,又无6=0,所以就_LM*.以AB为

宜径作直角三角形4W的外接圆。，进而得出当丽_L同时，而即同取得最大值.

令病二而万，连接MV.i&c=~AC因为三=人］+(1-勾4,所以点C在直线A/N上，又小方一停g,所以

c(a-b)=O,即Ad.MV/=O，所以正1而.结合图形可知，当N方_L4/时，而即同取得最大值，且

同TM=|.

故答案为：；

变式11.已知平面向量3,5,工满足问=逝，W=Lab=-\^且。二与力，的夹角为?，则口的最大

值为.

【答案】M

【解析】・・・而|=夜，由=1,2出=-1,

Acos<a.b>=~—>即―与坂的夹角为年，

24

如图，fiOA=ci♦OB=b*OC=c»连接AC，BC,则a—c=CA，b—c=CB»

・•・ZACB=-,

4

又NA08=当，.・・0,4,C,8四点共圆，

4

故当。。为圆的直径时，忆|最大，

此时4=8=工，04=75，（95=1,ZB0C=--ZA0C,

24

0A

在放入4。。中，0C=

cos^AOC

在"札

OAOB历公1______

，L，J呼-

cosZS4OCcosZ.BOCCOSIAOCcos^AOC)'

cosZAOC=^2(-乎cos/AOC+孝sin/AOC),

整理得，2cosNAOC=sin/AOC,

tanZ/4OC=2,cosNAOC=下,

V2

.・.℃=1=J6，即121的最大值为JiU.

忑

故答案为：x/fo.

变式12.已知平面向量九b>2瞒足忖=4,1卜3,，=2,bc=3>则（a-石）（a—c）-c）］

最大值为.

【答案】I39+24V21

【解析】设）=吊砺=瓦宓=3万-5与：，所成夹角为e

贝•(£―/—[(£—今(£一矶2TAdkd—Mdkcfcos/

222

=|AB||AC|sin0=|阴21Aq2shi2ZC4B=4s鼠时

因为小Z=6cos(52)=3,cos(/；Q=；,所以瓦2的夹角为60。

设8(3,()),C(1,6),则忸C|=J32+2?-2x3x2xg=不

所以S&o8c=gx3x2xsin60°=手，设°到8C的距离为〃

则;所以人孚

~乙，

因为何=4,所以点A落在以点。为圆心，以4为半径的圆上

所以A到BC的距离最大值为4+汽=4+诙

7

所以Sjsc的最大值为;xJ7x

36丫

所以（£一石）（£一°一的最大值为425+=(4x/7+3扬2=139+24y/2l

2

故答案为：139+24在'

变式13.在中，M为边BC上任意一点,N为AW的中点，且满足病=义；4&+〃/,则外+/的

最小值为.

【答案】1/0.125

O

【解析】由"为边8c上任意一点，则丽=/而,（0工7工1）,

==g（A月+4贬）=^（八8+/83）=；人月+^（43—人月）=子人月+]43,

可得,2,则％+〃=；,即4=g—〃，由OKyKl,可得则4c0,1,

当”=!时，万+川取得最小值为:

48

故答案为：

O

题型四：几何意义法

例10.（2023•全国•模拟预测）已知£,例工是平面向量,满足%—q=W+q,忖=2忸卜2,『+2—4=石,

则向量2在向量Z上的投影的数量的最小值是.

【答案】-2-V5

【解析】由卜-0=卜+4,则F—邛=忖+石2,

即7-2£石+力=/+2£3+^，即》0,即21万，

又由同=2恸=2,所以忖=2,忖=1,

不妨设a=(2,0),5=(0,1),c=(.r,y),

则"不一6=(X+2,)，-1),^+a-b\=yj(x+2)2+(y-\)2=>/5.

即(x+2)2+(y—l)2=5,则

Vd_2x

故问品工在向最Z上的投影的数最为同cos©G

X(.V+2)2<5,所以-2-逐KXK-2+石,

所以向最2在向最£上的投影的数最的最小值是-2-石.

故答案为：-2-V5.

例11.（2023•上海浦东新•上海市建平中学校考三模）已知非零平面向量3,b，2满足：Z，B的夹角为:,

4

2-2与"—石的夹角为曰，,―4=&，卜―4=1，则加2的取值范围是.

【答案】（（）,■!十旧

【解析】如图:

由入B的夹角为：，工-£与的夹角为当可知：四点QAaC共圆,

44

由收一.=&,p_.=l得A8=&，BC=1,

AD叵_I

在A/WC中：.=.即〈in3花―sin/CAB

sinZ/.ACrBsinZ.CABsin—

4

所以sinNCAB='，所以NC44=巴，

26

由同瓠所对的圆周角相等，可得NCO8=m，

6

设NOCB=e,则4MC=2-e,

6

BCOBoc

在△O4C中:崛.

所以OB=2sin0,OC=2sin

=|同同cosNC08=08xOCxcos^uZsin〃x2sin（V一〃）出

X——

2

=25/3sin0—cos^+—sin^=>/3sin^cos^+3sin?G

22

百33

=，sin26-±cos2e+3

222

，、八5冗冗c八兀4冗

——,一一<2。一一<—,

6333

/.--<sin20——K1,<\Z5sin（26-百,

2I3；2I3）

.\0<>/3sinf2^--|+-<X/34--,

I3j22

则62的取值范围是（（），|+G

故答案为：（og+6

例12.(2023・全国•高三专题练习)已知平面向量痴夹角为?，且平面向量3满足归-a=k一闸=1,

传一司收一行)=彳，记/"为/(/)=W+(IT问(re/?)的最小道，则〃?的最大值是__________.

【答案】；3

【解析】设。乂=@，OB=b^OC=c^则43=*—万，BC=c-b,

依题意可知，AC=BC=\,N408=q,乙研/,故点。在△48C的外接圆M匕

BC

其半径R=m为点。到直线AB的距离OH,

2sinZ.CAB-2sin30

13

显然，当。运动到点/，处时，〃，有最大值,=2"。八2-57

3

故答案为：-

p

Q

变式14.（2023・全国•高三专题练习）己知平面向量入心工满足7万=-3,口-4=4,与的夹角

为不则『一I4的最大值为.

【答案】1+26

【解析】•••>5=—3，|£-q=P叫=&；_邛।4c；,=2,

如图所示，设平面向量泊B，"都是以。为起点，终点分别是43C,

则平面向量♦+五的终点N到。的距离为2,

设A3的中点为M,则|MM=1,，N在以M为圆心，半径为1的圆周上.

由c-a与c-B的夹角为（，「•点C在以为弦的圆周角为鼻■的优弧上，

当CMN共线，且CN在直线48的两侧，并且CM1A8时，QM最大,也就是卜-2-4取得最大值,

此时|CM|=26，|MV|二1，QN=1丁2百，

故答案为：1+26.

变式15.（2023・四川内江•高二四川省内江市第六中学校考开学考试）已知非零平面向量九务,"满足：£

方的夹角为g,u与］坂的夹角为?，|［.=26,/一4=2,则32的取值范围是

【答案】（0,6+4。］

【解析】如图：

以点O为起点作向量OA=ci，OB=b♦OC=c>

则丽=£-加BC=c-b>AC=c-a>

由"，A的夹角为g,U与1分的夹角为斗可知：四点。A8,C共圆,

由口一4=26，，-q=2得A4=2/,BC=2,

六ADC小ABBCH”.26二——?——

在AABC中：•/“.二•/C即公2乃sinZCAB

sin/.ACBsinZ.CABsin—

3

所以sinNCA8=1,所以NCA8=9，

26

由同弧所对的圆周角相等，可得嗫

设NOCB=e,则/。8。=兰-，

6

BC二OBCC

在△OBC中:0；,、4sin。TT

sin—s.in(-5---0),

6U)

所以OB=4sin6,OC=4sin

G.c=恸恸cosZ.COB=OBxOCxcos—=4sin^x4sin|—x4

616,2

=8\/3sin^—cos6^+—sin6?>|=4V3sin^cos^+12sin20

122J

=2Gsin20-6cos2。+6=4石sin(2^-y1+6,

57r乃c八44万

,/0<<Z19<—,,/——<20——<—,

6333

7t,\-6<4^sinl26>--l<4V3,

23

.•.0<4>/3sin^2<9-y]+6<4^+6,

则航的取值范围是仅，6+4何

故答案为：（。，6+46]

变式16.已知非零平面向量九人工满足h-同=2,且（小步=o,若3与五的夹角为。，且8c

则总的最大值是.

【答案】3+6/6+3

【解析】根据题意，作图如下:

令&=（双6=。£]=衣,

根据题意可得：|的=2,且/4。8=90。,

取A8中点为M,故|CW|二g|AB|=l,点。在以/W为直径的圆M上运动；

显然当O,M,C三点共线时，|因取得最大值，即函|皿=|叫+1；

不妨设三角形OAB的外接圆圆心为G,显然GM_LA3,

在三角形。48中，由正弦定理可得：2\OG\=^~,即|OG|=」ze』U

11sin<9sin。63

故陷a=2,当且仅当。带时取得，同时阿|皿=亚比口=5

显然当o,M,G三点共线时，|词]取得最大值，

此时I的L=|OGL+|GML=2+b

故|西=3+73,当且仅当。=。，且O,M,G,C四点共线时取得.

IImax6

故答案为：3+G.

变式17.（2023・全国•高三专题练习）平面向量6,反2满足：［g的夹角为?，\a-b\=\b-c^\a-c\=2^,则几工

的最大值为.

【答案】8+4//4«+8

【解析】设况=d，OB=b>0乙=*,则有|A昨|耐=|Ad|=2",/AOB=1,

设线段8C的中点为。，则丽=-反\|反|=百，

则鼠3=0从0己=（0）+0历（0万+03）

=（Ob-DC）（OD+DC}

=OD2-DC=OD-3^

因为乙408=（,|A万|=26，

|柏|二2一

所以“103的外接圆的直径sin4OB一6，

T

所以点。的轨迹是过A、8且半径为2的圆（除去A8两点），记圆心为石，

当。在圆E上时，|DE|=-x—X2>/3=H此时|O万|<2+1=3（。不能与A重合），

32

所以5•忑=益'-3<9—3=6，

当C不在圆£上时，^AEB=—,ZEBA=-f乂NABD=J

363

所以NQ4E=',所以|£)E|==

所以|。方区2+",

所以〃1=0力’一34（2+近）2—3=8+4>/7，

故B々的最大值为8+4。.

故答案为：8+4万

变式18.（2023•广东阳江•高二统考期中）已知非零平面向量心5,^满足忖一4=4,且伍=

若万与5的夹角为。，且〃e；，；，则？的模取值范围是.

【答案】［2-百,36］

【解析】如图1,令%=次，5=砺，守=反，则|丽|=4,取A8中点例.

次召=（由+丽•（而-丽=|可2-网2=|函I；］阿=,

所以|W1=3,即C在以M为圆心、6为半径的圆上.

由忖=|。而+网，当0、M、C三点共线时（加在线段℃上），同皿二|而|+6.

由于。在以A8为弦的圆弧上，设圆心为G,

由正弦定理可知2国=g，即瓯卜烹，。6方微

当。时，圆G半径|0G|取得最大值《后.

当。、M、G三点共线（G在线段OM上），且6=1时,

［OM］取得最大值，此时p而L=|砺|+|砒1=26,

所蚱L=|两L+g=3®

如图2,显然当。、M、C三点共线（点C在线段0M上），同加,=口必卜退

当6=5时，圆G半径|0G|取得最小值2.

\GM\==V22-22=0,即M、G两点重合两取得最小值为2.

则&二=时，同.=2-G.

O।\nun

故阿吊吃的模取值范围是［2-6,3&］

故答案为：［2-6.3百］

变式19.（2023•浙江•高三专题练习）已知平面向量入b>-若加卜W=|£-0=1,且|2Z-4+|25+4=2后,

则产-彳的取值范围是.

【答案】

【解析】由题意知：向量Z，否为单位向量，

rrr2r2rr__1

因为。一〃二1,所以。+耳-2ab=\,则〃力=5，

rr

r\ab1

所以cosva1>=丽=5,即2与办夹角为60。.

如图作向量5X=2G，OB=-2b^OC=c^

则网=2,画=2,408=120°,NA=NB=30°,

因此J器卜74+4-2X2X2COSI20°=26,

则.一目+悭+相2£_2叶2鼠4=同+同=26

所以倒+叵卜网，

故A,B,C三点共线，即点C在线段A3上，

则口-W的几何意义表示线段OA的中点到线段AB上点的距离，

记线段。4的中点为O,过点D作DEJ.ABF点E,贝U|。目=|人。忖1】A=g,

\AE\=\AD\cosA=^-,所以忸同=|4B|-|AE|=¥，

因此忸D|=J|O目2+1附'=g+,=y/l,

由图形可得，|。同＜£—忸q,

所以卜一习的取值范围为最近.

B

故答案为：；,五.

变式20.（2023•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知向量入万满足时咽=1,且力=0,

若向量2满足『+2+4=1，则口的最大值为.

【答案】V2+1/1+V2

【解析】因为Z4=0,所以Z_L讥

又同=W=1.|c+a+S|=|5+^-（-c）|=l,

如图，向量々的终点在以A点为圆心I为半径的圆上，

乂|CZA|=J（G+Z?）=＞ld2+2ab+b2=41，

所以卜a的最大值为亚+1,即口的最大值为五+i.

故答案为：＞/2+1.

变式21.（2023・浙江•模拟预测）已知向量入万，2满足0-3+?|=正|4=人，万一2与Z的夹角为弓，则

口的最大值为.

【答案】2&

【解析】因为|［一万+引=忘14=啦，所以B-6+4=&,w=i.

设SX=B-£，诙=■，oc=c^则2=丽，

b-a-c=OA-OC=CA，圈=1,同=应.

因为五—£与£的夹角为乃，所以NOAB=f,

44

2-I。阴一1_历

△38的外接圆的直径为：'"一sinNAO8一.彳一W

sin一

4

则动点A的轨迹是半径为正的圆。中的优弧（不含点。，8）,

2

rh|cX|=>/2,则动点。的轨迹是以A点为圆心、半径为行的圆，如图，

结合图形可知，当点。，D,A,C四点共线，且C在线段04的延长线上时，|反|最大，且最大值是2人,

故H的最大值为2&.

故答案为：2&

变式22.（2023・全国•高三专题练习）已知平面向量满足：a-h=5,向量；与向量了的夹角为,

；二=2丛,向量:二与向量"的夹角为与，则:+，的最大值为.

【答案】60

【解析】

B

C

O

如图所示,设&/，

所以。力二|启|=5,a-c=|CA|=2x/3,

因为向量:与向量了的夹角为g，向量与向量的夹角为弓，

所以乙404=工,NAC4=」，所以NAO3+/4c3=用，

33

所以0,48,。四点共圆.

2后_5.八》「一3

在△A8C中，由正弦定理得AABC=二不

sinsin—