高三数学一轮复习讲义（提高版）球的切接问题

§7.2球的切、接问题

【重点解读】球的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计

算能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几

何体的切、接问题来解决.

一、正方体与球

1.内切球：内切球直径2穴=正方体棱长久

2.棱切球：棱切球直径2代正方体的面对角线长在a

3.外接球：外接球直径2R=正方体体对角线长百”

二、长方体与球

外接球：外接球直径2R二体对角线长VQ2+>+/（a,乩c分别为长方体的长、宽、高）.

三、正棱锥与球

1.内切球：丫正梭检邛表•桔S底力（等体积法），「是内切球半径，，为正棱锥的高.

2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E,半径为r,代二（/小）4/（正棱锥外接

球半径为R,高为〃）.

四、直棱柱的外接球

球心到直棱柱两底面的距离相等，直棱柱两底面外心连线的中点为其外接球球心.R2=C）+/（直棱柱的

外接球半径是R,高是力，底面外接圆半径是「）.

五、圆柱的外接球

是圆柱外接球的半径，〃是圆柱的高，「是圆柱底面圆的半径).

六、圆锥的外接球

R2=SR)2+/(R是圆锥外接球的半径，/Z是圆锥的高，;•是圆锥底面圆的半径).

■探究核心题型.

题型一外接球

命题点1补形法

例1(1)古代数学名著《九章算犬•商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为

“阳马”.若四棱锥P/WC。为“阳马”，P4_L平面A8CO,AB=BC=4,PA=3,则此“阳马”外接球的

表面积为()

A.回B.—

24

C.\Z417rD.417T

(2)己知三棱锥SA8C的四个顶点都在球0的球面上，旦SA=8C=2,SB=AC=fi,SC=AB=病,则球。

的表面积是.

思维升华满足下列条件的可以补成长方体

(1)(墙角模型)三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，如图①.

(2)三凄锥的四个面均是直角三角形，如图②.

(3)(对棱模型)三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图③.

跟踪训练1在三棱锥PA4C中，PAJ_平面A8C,AB=BC=CA=2&,且三棱锥PA4C的体积为/若三

棱锥PARC的四个顶点都在同一-球面上，则该球的表面积为()

A.4兀B.—

3

C.8TID.167：

命题点2定义法

例2（2024・六盘水模拟）如图，在四面体ABCO中，NAC8=乙408=9（）。，AB=2,则四面体A8CD外接

球的表面积为（）

A.2TIB.4TIC.8n

思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则

球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

跟踪训练2已知菱形A8CO的边长为2,N8=60。.将AABC沿AC折起，折起后记点3为P,连接

PD,得到三棱锥PACD,如图所示,当三棱锥PACO的表面积最大时，三棱锥PAC。的外接球体积为

.5\5nn4\^3-rr

A-B—

C.2岛D.学

命题点3垂面法

例3（2024•双鸭山模拟）已知四面体A8CO的各顶点均在球。的球面上，平面48C_L平面BCD,

AB=BC=AC=CD=2,BCA-CD,则球0的表面积为（）

思维升华找两个三角形的外接圆的圆心，过圆心分别作这两人三角形所在平面的垂线，两垂线的交点就

是球心.

跟踪训练3在三棱锥PA8C中，NBAC=90°,PA=PB=PC=8C=2,则三棱锥/<48。外接球的表面积为

（）

4n8n„llnr\16n

AATnBTC-D—

(2)两滦Oi和。2在棱长为2的正方体ABCD-4囱GQ的内部，且互相外切，若球Oi与过点A的三个面相

切，球02与过点G的三个面相切，则球。和5的表面积之和的最小值为()

A.3(2-V3)HB.4(2-遮)兀

C.6(2-V3)HD.12(2-V3)n

答案精析

探究核心题型

例1(1)D［由于PA_L平面A8C0,48,4Qu平面A8C。，

所以PA1AR,PA1AD,

由于四边形48co是矩形，

所以A3-LA。，

所以A8,AD，抬两两互相垂直，

所以四棱锥PABC。可补形为长方体，且长方体的体对角线为PC=V32+42+42=V41,

所以外接球的直径27?=同，

所以外接球的表面积为4兀汽=41兀］

⑵8兀

解析将三棱锥SA8C放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,如图所示，则

(a2+炉=5,

ja24-c2=7,

\b24-c2=4,

则4+〃+C2=8,因为球。的直径即为长方体的体对角线，

则球。的半径为号史二企，

所以球0的表面积是4兀X(&)2=8兀

跟踪训练1D「・•三棱锥PAAC的体积为?，

.•JX^X(2V2)2XPA=1,

・・・PA:竽，将三棱锥补成三棱柱，可得球心为三棱柱外接球的球心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高

PA的一半竽，

•二△4BC是边长为2或的正三角形，

•••△ABC外接圆的半径『手，

・•・球的半径为R=>/d2+r2

4(呻+(等=2,

•••该球的表面积为47rX22=167i.］

例2B［设。是A8的中点，

连接0C,0D,如图所示，

由4cB

=ZADB=90°,

得OA=OB=OC=OD,

所以。是四面体外接球的球心，且半径为OA=OB=OC=OD=^AB=\,

所以外接球的表面积为4兀X12=4兀］

跟踪训练2D［由题意可得，△4C。，A4CP均为边长为2的等边三角形，△氏/),△PC。为全等的等

腰三角形，则三棱锥R4CZ)的表面积

S=2SAACD+2SAPCD=2X：X2X2Xy+2x|x2X2sin/尸。。=2百+4sinNPCQW26+4,

当且仅当sinZPCD=\,

即八二LCO时，

三棱锥PACO的表面积取最大值，

此时△P4。，△PC。为直角三角形，

PD=yiPC2+CD2=2yf2,

取夕。的中点。，连接。4,。。(图略)，由直角三角形的性质可得O4=0C=0Q=0P=&,

即三棱锥PACD的外接球的球心为0,半径R=V2,故外接球体积丫三兀X(&>=学.]

例3C|如图，取8c的中点E,8。的中点尸，所以尸为△BCQ的外心，

连接AE,EF,设△A8C的外心为G,

因为AB=BC=AC=2,

即△ABC为等边三角形，

所以点G在AE上，连接0G,OF,

贝ijOGJ•平面ABC,。/，平面BCD,

囚为平面/WC_L平面BCD,

所以OG±OFt

因为△ABC为等边三角形，E为8c的中点，

所以AE_L8c,

因为平面A8C_L平面BCD,平面A8CC平面BCD=BC,

AEu平面ABC,

所以AE_L平面BCD,贝ljAE//OF,

又“u平面BCD,所以AE1EF,

同理En1_平面ABC,所以EF//OG,

故四边形OGE尸是矩形.

由BCA.CD,

可得BL)=y/BC2+CD2=2y/2,

故DF=>/2,

又0尸二反沼460°=v,

333

设球。的半径为R,

贝IjR2=O£）2=O产+松],

J

所以球O的表面积5=4兀六二等.]

跟踪训练3D|如图，设Oi是BC的中点，连接GA,OF,由于NB4C=90。,

所以。|是△ABC的外心，0iA=0iB=0C

由于PA=PB=PC=BC=2,0i是BC的中点，

贝ljPOxLBC,POi=V3,O]A=\,

贝"鬣+O#=PA?,

则POxLOyA.

又OiADBC=Oi,

OxA,BCu平面ABC,

所以P。」平面ABC,

而POiU平面PBC,

所以平面P8C_L平面ABC.

由于△P8C是等边三角形，设。是△PBC的外心，连接0A,OB,OC,

贝ljOP=OB=OC,

又因为。在POi上，

所以OB=OC=OA,

则。也是三棱稚P44C外接球的球心.

设外接球的半径为厂，根据等边三角形的性质可知尸。片|。/=手,

2

所以外接球的表面积为4兀7=4兀X（等）二等.]

例4B[如图所示，根据题意可知OiA=2,OiB=\2,。。2=10百.

设圆台容器内能放置的最大球的球心为0,且与下底面和母线八A分别切于。2,C,

因为lanZ/4^O2=T7^|=V3,

12-2

所以/A8O2=60。，所以NO3O2=30。，

所以可知球的半径R=OO2=O2Bian30°=I2X^=4V3,

J

此时球的直径为2H=8V5<OIO2=10\/5,

即此时球与圆台容器上底面不相切，因此圆台容器内能放置的最大球的表面积5=4兀收=192兀J

例5B［如图所示，因为正四棱锥底边边长为2,高为迎，

所以OB=y/2,

SB=2,

。到S8的距离为公三#=1,

SB

同理O到SC,SD,SA的距盅为1,易知。至l|A8,8C,，OA的距宙也为1,

所以。为球的球心，所以球的半径为1,

所以球的表面积为4兀］

跟踪训练4(1)D［设正方体的棱长为a,则6/=24,解得。二2.

又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长即为球的直径长，所以球的半径长是虎,所以此球

的体枳为、X(鱼尸=5磬」

•3*5

(2)A［原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，该内切球的半径与该圆锥轴截面的内切圆半径相等，

画出该轴截面如图，

由母线长为3cm,底面半径为1cm可得该圆锥的高/?=V32-12=272(cm),

设内切球的半径为r,则有S拍纸面§X2X2或