高三数学一轮复习讲义（标准版）空间直线平面的平行

§7.4空间直线、平面的平行

【课标要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明2掌握直线与平

面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

如果平面外一条直线与_____________

判定

的一条直线平行，那么该直线与此平——1

定理

面平行]

一条直线与一个平面平行，如果过该

性质

直线的平面与此平面________,那么——1>^a//b

定理

该直线与交线平行

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

、

判定如果一个平面内的两条____________与

Q沙〃a

定理另一个平面平行，那么这两个平面平行口

两个平面平行，如果另一个平面与这两/vfn

性质------'

个平面________,那么两条__________U-J-7b

定理a

平行

-----------------------,

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“4”或“x”）

（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.（）

（2）若直线。与平面”内无数条直线平行，贝）

（3）若直线au平面a,直线”平面8,a//b,则a//[i\)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行.()

2.如果直线。〃平面a,那么直线a与平面a内的()

A.一条直线不相交B.两条直线不相交

C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交

3.设有两条不同的直线〃?，〃和两个不同的平面a,小则下列命题正确的是()

A.若加〃a,则〃?〃〃

B.若小〃a,加〃夕,则a〃夕

C.若m//nfm//a,则〃〃a

D.若a〃夕，"iua,则机〃夕

4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形为截面，则四边形EFGH的形状

为.

回微点提醒

1.掌握三种平行关系的转化

性质定理

T判定定理划定定理

线线'K行器三线面平行「急於面面平行

性质定理性质

2.灵活应用以下结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_La,a邛,则。〃“

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃.，p//y,则

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a_La,bVa,则。〃儿

(4)若a〃夕，aua,则a〃⑶

■探究核心题型.

题型一直线与平面平行的判定与性质

命题点1直线与平面平行的判定

例1如图，在四棱锥PA3CO中，底面A8C力为梯形，AB//CD,AB=2,七为PC的中点.

求证：BE〃平面PAD

A

命题点2直线与平面平行的性质

例2如图所示，在四棱锥PABCD+,四边形A8CO是平行四边形，"是〃。的中点，在0M上取一

点G,过G和0A作平面交8。于点”.

求证：PA//GH.

思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点).

②利用线面平行的判定定理(Ma,baa,a//b^>a//a).

③利用面面平行的性质(a〃4,aua=a〃B).

④利用面面平行的性质(a〃夕，郎,a//a^a//p].

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.

跟踪训练1如图，四边形"CO为长方形，点、E,尸分别为A。，PC的中点.设平面PDCCI平面

P8£=/.证明：

⑴。尸〃平面PBE；

(2)。尸〃/.

题型二平面与平面平行的判定与性质

例3⑴

例4如图，在斜三棱柱A8cAlc1中，D,£>i分别为AC,AiG上的点.

⑴当当为何值时，BG〃平面AB。"

⑵若平面8G。〃平面A氏。1,求券的值.

思维升华解决面面平行问题的关键点

(I)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在

应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于

“模式化”.

⑵解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.

跟踪训练3如图，在四棱锥48CDE中，N是8c的中点，四边形8CDE为平行四边形.状探究在线段

4E上是否存在点M,使得MN〃平面AC力？若存在，清确定〃点的位置，并给予证明；若不存在,

请说明理由.

答案精析

落实主干知识

1.此平面内adabaaa//b相交

a//aau0aC\p=b

2.相交直线auBbuBaDb=Pa//ab//a相交交线B

aC\y=a阳产/?

自主诊断

l.(l)X(2)X(3)X(4)X

2.D3.D4.平行四边形

探究核心题型

例1证明方法一如图，取P0的中点厂,

连接EF,FA.

由题意知E/为△POC的中位线，

：.EF//CD,且EF=：CD=2.

又,：AB〃CD,AB=2,CO=4,

：.AB\EF,

・•・四边形ABE广为平行四边形，

:・BE〃AF.

又AFu平面PAD,8EQ平面PAD,

•'BE〃平面PAD.

方法二如图，延长D4,C8相交于"，连接PH,

•:AB〃CD,AB=2,8=4,

HCCD2

即8为“。的中点，

又E为PC的中点、：.BE//PH,

又8加平面PAD,

平面PAD,

・・・8E〃平面PAD.

方法三如图，取CO的中点〃，连接8”，HE,

•：E为PC的中点,

：.EH//PD,

又用孤平面PAD,

PQu平面PAD,

・・・E”〃平面PAD,

又由题意知，

••・四边形A8HO为平行四边形，

又AOu平面PAD,

平面PAD,

平面PAD,

又BHC\EH=H,

BH,EHu平面BHE,

・•・平面BHE〃平面PAD,

又8Eu平面BHE,

・・・8七"平面PAD.

例2证明如图所示，连接AC交6£＞于点O,

连接0M,

•・•四边形A8CO是平行四边形，

・・・0是AC的中点，

又M是PC的中点，

：.PA//OM,

又OMu平面BMD,

PAQ平面BMD,

・・・PA〃平面BMD,

又PAu平面PAHG,平面P4HGC平面BMD=GH,：,PA//GH.

跟踪训练1证明

⑴取P8的中点G,连接/G,EG、

因为点尸为PC的中点，

所以FG〃BC,

FG《BC,

因为四边形A8co为长方形，

所以BC//AD,且BC=AD,

所以DE//FG,DE=FG,

所以四边形。EG尸为平行四边形，

所以DF〃GE,

因为DE平面PRE,GEu平面PRE,所以D尸〃平面PRE.

(2)由⑴知。尸〃平面PRE,

又。尸u平面PDC,平面平面PBE=l,

所以DF〃/.

例3(1)证明连接8D

A

因为E，尸分别是棱AC,8C的中点，

所以EF//AB.

因为ERz平面CiEF,A阿平面GEF,

所以A3〃平面C\EF.

因为D，尸分别是棱BiCi,BC的中点，所以BF//C\D,BF=C、D,

所以四边形8OG/7是平行四边形，则BD//C\F.

因为GFu平面CiEF,8ZK平面CEF,所以〃平面GEF.

因为ABCBD=B,

AB,BOu平面ABD,

所以平面4A。〃平面GEF,

因为ADu平面AI3D,

所以A。〃平面GEE

(2)证明•・•圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，

・•・圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.

・•・母线与母线85的延长线必交于一点，

・・・4,4,5,8四点共面.

•・•圆。i〃圆。，且平面ABBMC圆Oi=AiBi,平面ABBAC圆O=AB.

跟踪训练2证明⑴•・•在三棱柱A8CABG中，

・•・平面A8C〃平面A归iG,

又；平面8C”Gn平面ABC=BC,

且平面8C”Gn平面A\BxC\=GH,

・•・由面面平行的性质定理得BC//GH.

⑵・・・E，尸分别为AB,AC的中点,

J.EF//BC,

,/EM平面BCHG,

8Cu平面BCHG,

・"尸〃平面BCHG.

又G,E分别为4用，48的中点,

：,AXG^=EB,

・•・四边形4EBG是平行四边形，

:・A\E〃GB.

•••4加平面BCHG,

G8u平面BCHG,

・・・4£〃平面BCHG.

又〈AiECEF二E,

AiE,E/七平面EFAt,

・•・平面EF4〃平面BCHG.

例4解⑴当黑匕时，

Dlcl

8G〃平面ABMi.

如图，连接A8交A以于点0,

连接。灯

由棱柱的性质