高三数学一轮复习练习题（基础版）直线与圆锥曲线的位置关系

§8.9直线与圆锥曲线的位置关系

（分值：80分）

ID知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共20分）

I.已知直线2x+y2=0与抛物线C：交于A,B两点,则|A8|等于（）

A.V5B.5C.3V5D.4V5

2.（2025•江西省部分高中学校联考）若直线/：产工+小与椭圆C?+?=1没有公共点，则〃?的取值范围为

（）

A.（2,2）

B”，2）U（2,+8）

C.（旧，g）

D.（8,V14）U（Vi4,+8）

3.（2025・张掖模拟）已知倾斜角为:的直线/与椭圆C：9+》2=［交于A,B两点、,〃为AB的中点，。为坐标原

点，则直线。户的斜率为（）

A.lB.Bk：.C-D.D-

234

4.已知双曲线C92=1的下焦点和上焦点分别为R,B，直线尸X+，〃与。交于A,8两点，若△18面

积是面积的4倍，则m等于（）

A.3B.B3C.—D.D—

33

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

5.平面直角坐标系中椭圆。的中心为原点，焦点在坐标轴上，点（1,孚），（国，3均在椭圆。上，则

（）

A.椭圆C的离心率为g

B.直线/：米+）40与椭圆。相交

C.椭01c的短轴长为2

D.若椭圆C上弦A8的中点坐标为（1,1）,则直线A8的斜率闿

6.己知抛物线C：）=4f的焦点为凡A,8为C上的两点，过A,8作C的两条切线交于点孔设两条切线

的斜率分别为左，心，直线A8的斜率为心，贝U（）

A.C的准线方程为尸1

B.ki，k3fB成等差数列

C.若P在C的准线上，贝以此二1

D.若P在C的准线上，则|AF|+4|即1的最小值为白

16

三、填空题（每小题5分，共10分）

7.已知4,8为双曲线f?二l上两点，且线段的中点坐标为（1,4）,则直线的斜率为,

8.已知抛物线C卢4X的焦点为凡A,8为。上的两点.若直线E4的斜率为5且福•丽=0,延长AP,

8户分别交C于P,0两点，则四边形A8P0的面积为.

四、解答题（共28分）

9.（13分）已知点MM州）为椭圆C：今）2=1上任意一点，直线/：9+2丸产2,点”为椭圆。的左焦点.

（1）求椭圆C的离心率及左焦点尸的坐标；（5分）

（2）求证：直线/与椭圆。相切.（8分）

10.（15分）已知双曲线C的中心为坐标原点O,点P（2,a）在双曲线。上，且其两条渐近线相互垂直.

（1）求双曲线C的标准方程；（6分）

（2）若过点Q（0,2）的直线/与双曲线C交于E,F两点,△OEF的面积为2vL求直线/的方程.（9分）

10能力拓展

每小题5分，共1（）分

11.（2024.内江模拟）已知双曲线。的方程为过点P（0,I）作直线/与双曲线左、右两支交于点M,

M若丽=2而，则直线/的方程为（）

A.y=x^l

B.y=x1l或产白］

C.y=xl或

D.y=xl

12.已知。为坐标原点，椭圆C目的右焦点为过点尸2作与两坐标轴既不平行也不重合的直线/

与。交于不同的两点A,B,若），轴上存在点。，使得|AQ|=|8Q|,则喘的最小值为.

b2

方法二由题意得〃2=4,〃=1,38=1,由kAB*koP=

即1X攵op=—；,所以kop=-7-]

44

4.D[由C：?T=1

可知F,(0,-2),F2(0,2),

联立3xa

y=x+m,

消元得2A2—2〃犹+3—〃P=0,

则/=4用2-8(3-mAO,即m2>2,

由△尸244面积是面积的4倍，可知B到直线44的距离是Q到直线AA距离的4倍，即与兽=

V2

4X3

今<2'

化简可得15〃?2+68〃?+60=0,

即(3〃!+10)(5〃?+6)=0,

解得加=一产或"?=一：(舍去)•]

5.BCD[设椭圆方程为mjr+ny2=1(in,n>0,且〃?W〃)，

(m+-n=l,(m=-,

则1二解得4

pm+-n=l,(n=l,

所以椭圆方程为9+y2=l,

所以<7=2,b=\,C=yj22-1=V3,e=-=?，故A错误；

a2

x—1=0(x=1

直线1的方程可整理为%r—1)+)，=0,令‘解得‘

ly=o,ly=o,

所以直线/恒过定点(1,o),

因为上+0<1,所以点(1,0)在椭圆。+)2=1内，所以直线/与椭圆相交，故B正确；

44

2b=2,所以短轴长为2,故C正确；

设A(x\,yi),B(X2,yi),

则

学+走=1,

两式相减得任止誓上2

4

=—(yi+y2)(y\~y2),

因为弦48的中点为(1,1),

所以必+也=2,)，1+2=1,

所以号包=—(川一”)，

整理得心夕=山=一；，故D正确J

Xi-x22

6.BCD［抛物线C：f=5,，抛物线C的准线方程为产一套,

A选项错误；

设4出，yi),8(x2,J2),

8x,k\—8xi,攵2=8也，

^-^^--4(X+XI),

x2~xl2

；・ki+k2=2k3,B选项正确；

由上可知直线PA:y=8.ri.r—4xf,

直线PB：y=8x2X—4x2,

解得《空，4与小)，

又P在C的准线上，

所以4口V2=一白，X1X2=-77,^1^2=64X1X2=-1,

1664

C选项正确；

依川+4|阴=)，］+4了2+搭=4*+16君+2216限12|咛=白，当且仅当内=一24时取等号，D选项正确.］

16161616

7.-

4

解析设A(x\,y\),8(X2，同，

两式相减得

(Xi+X2)(Xl-X2)

(yi+y2)(yi-y2)

9

由线段A3的中点坐标为

(-1,-4),

即一23一42)=暗也，

・・・心8=匕"=.

%1-％24

8.5()

解析由题可知，抛物线的焦点为月(1,0),因为直线用的斜率为］

所以直线AP的方程为y=^x~\),

与抛物线C的方程联立，

得，1舐+1=0,

所以4=(一18产一4>0,

设A（©,yi）,P（X2,J2）,

则XI+X2=18,XiX2=l,

故|AP|

=jl+GY<（%+不）2-4/不

=-X8V5=20.

2

因为可•或=0,

所以FALFB,

所以直线尸8的斜率为-2,

直线B。的方程为)，=-2(x—1),

与抛物线C的方程联立，

得炉一31十1一().

所以/=（一3）2—4>0,

设仇工3,53）,0（X4,%）,

则工3+式4=3,X3X4=1,

22

故|BQ|=y/1+（-2）«7（%3+x4）-4X3%4

=V5X>/5=5.

所以四边形A8PQ的面积为

加侬|二50.

9.⑴解由椭圆C：y+r=l,

可得a=\[2,/?=1,

则c=Va2一炉=],

所以椭圆的离心率为e=£=",

a2

左焦点为F(—1,0).

(2)证明由椭圆C：^-+),2=1,

可得J+M=l，即羽=]一1，

当泗=0时，

直线1的方程为x=&或x=一或，此时直线/与椭圆C相切；

当yoWO时，

xox+2yoy=2t

联立方程组

9+V=l,

可得Qy,+就*—4XM+4—4y]=0,即x2—2¥ar+诏=。,

贝1」/=（一2%）2—4町

=4诏-4/=0,

所以直线/与椭圆。相切，

综上可得，直线/:XM+2)，QY=2与椭圆C相切.

10.解(1)因为双曲线。的两条渐近线互相垂直，

所以双曲线C为等轴双曲线，

所以设所求双曲线方程为

%2一9=机(阳关0),

又双四线C经过点尸(2,-V2),

所以4—2=〃？，即in=2,

所以双曲线C的方程为?-X=2,

即标准方程为FT「

⑵根据题意可知直线/的斜率存在，又直线/过点Q（0,2）,所以设直线1的方程为），二丘+2,

E(x\,yi),

「（电，yi）,

所以原点。到直线/的距离

a~7^.，

y=kx4-2,

联立

x2-y2=2,

得(标-11+4履+6=0,

所以户中1且4=16炉一24(9-1)=24—89>0,

所以K<3,且FWI,

4k

月+初=一百,

所以|EF|=

VTTF.：J(4k)24(H一〔)x6

\k2-l\

2欢3-H

=V1+k2-

\k2-l\

所以△。所的面积为5Md

2⑸3-N2

二=2y/2,

|fc2-i|VP+i

所以鬲=1，

解得K=2,所以k=±&,

所以直线/的方程为y=y[2x+2或y=-y[2x+2.

11.C[设M(xi,yi),N{X2，竺),直线/的斜率为k,则直线/的方程为y=k.x-\,

(5x2-v2=l

联立'n(5—公”+2h一2=0,

y—kx-1

则汨+也=急，©

2

闲X2=H,②

因为而=2而，则一第=2x2,③

砥)联立解得1尸六,

_-2k

“2一后二’