高考数学一轮复习题型突破：一元二次不等式与其他常见不等式（解析版）

专题2.3一元二次不等式与其他常见不等式

三）题型目录

题型一解不含参的一兀一次不等式

题型二分式不等式

题型三绝对值不等式

题型四指数，对数不等式

题型五局）次不等式

题型六解含参的一兀一次不等式

题型七一兀一次不等式的怛成立问题

题型八一兀一次不等式的有解问题

题型九一兀一次不等式的实际应用

才典例集练

题型一解不含参的一元二次不等式

例1.（2023・四川自贡•统考三模）已知集合A={M（X-1）（X-2）=0},集合

B={xeR|（2x-l）2<9},则A3=（）

A.{-1,2}B.[U]

C.[-1,2]D.{1,2}

【答案】C

【分析1先分别求出集合A&再根据并集的概念运算可得.

【详解】因为人={必工一1）（公2）=0}={1,2},

B=R|（2X—1）~W9）={xeR||2x-1|<3|=jxeR|-1<x<2^,

,4UB={XGR|-1<X<2}.

故选：C.

例2.（2021秋・广西桂林•高二校考期中）求下列不等式的解集：

（1）-X2+3X+2<6X-2；

（2）（2X+1）（X-3）>3（X2+2）

【答案】（1）{A仃<-4或x>l}

⑵0

【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】（1）原不等式整理得，X2+3X-4>0,

BP（x-l）（x+4）>0,解得xv—4或x〉l,

•••原不等式的解集为{小或汇>1}

（2）原不等式整理得,A2+5x+9<0,

•.•A=52-4X|X9=-1I<0>

••・原不等式的解集为0.

举二1反I三！

练习1.（2022秋・浙江温州•高一校考期中）不等式V-4%+5v（）的解集为（）

A.0B.（-l）u（5,+<x"）C.（—1,5）D.R

【答案】A

【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】•・•不等式f—4x+5v0,

XA=16-20=-4<0,

・•.不等式/_4X+5V0的解集为。.

故选：A.

练习2.（2023・北京•高三统考学业考试）不等式/>（）的解集是（）

A.{巾=0}B.{巾工。}

C.{x|x>0}D.{x\x<0}

【答案】B

【分析】由二次函数的性质，解二次不等式.

【详解】当x=0时，x2=0；当xW0时，f>0,

所以不等式V>0的解集是{x\x工0）.

故选：B

练习3.（2023•全国•高一专题练习）（x-2）（x+2）>0的一个充分不必要条件是（）

A.x<0B.x>0C.x>3D.x>2或工〈-2

【答案】C

【分析】解不等式（x-2）（x+2）>0,利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】解不等式（x-2）（x+2）>0可得xv-2或x>2,

因为{x|x23}{x|x<-2或工>2},

故只有C选项中的条件才是“(x-2)(x+2)>0”的充分不必要条件.

故选：C.

练习4.(2020秋・福建泉州•高一晋江市第一中学校考阶段练习)已知集合

A=1X|X2-2X-3<0},4={小=«},则AC|A=()

A.{.小之-3}B.{H()M.tM3}C.D.{x|O«xMl}

【答案】B

【分析】求解一元二次不等式化简集合A,利用被开方数大于零化简集合8,再利用交集的

定义求解Ac8.

【详解】化简集合A={x|TW3},B={x\x>6}f

根据交集的定义，Ar>B={X\0<x<3].

故选：R

练习5.(河北省名校2023届高三5月模拟数学试题)设全集为R,集合4=卜,-5、+6<0},

fi={x|lav>l},则Q(Ac8)=()

A.(e,3)B.(-<x>,e|u(3,+co)

C.(e,2]=[3,+8)D.(-<»,e]u[3,+oo)

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式以及对数函数的单调性计算得出4B,然后求出交集，根据集

合的补集运算计算，即可得出答案.

【详解】由已知可得川=卜,2一5丹6<。}=(2,3),B=Whir>l}=(e,+8),

所以，Ap8=(e,3),

所以Q(Ac8)=(YO,e]q3,+<»).

故选：D.

题型二分式不等式

例3.(2023・上海•高三专题练习)已知A=・x?W()},B=卜,N1},则3=.

【答案】{1}

【分析】解不等式，再求交集.

3

Au8={jdX>4ngA-<y».

故答案为：{Mx>4或XW1};{MXN4或

练习7.（2023春・湖北•高•随州市第•中学校联考阶段练习）全集U=R,设集合

A='x--j-<3-,^=1-v|2.r2+x-6<01,则（Q[A）cA=（）

A.1-吗B.（-2,-1]C.（-2,-1）D.0

【答案】B

【分析】解分式不等式与一元二次不等式求得集合A与集合8,运用集合的补集、交集计算

即可.

【详解】因为[<3=「-3W0n—।二:=>A-<-2ngx>-l,

x+1x+1x+1[x+1/O?

所以/1={X|KM-2或K>—1},所以&A={x[-2<xN—1},

33

又因为2/+1一6<0=-2<1<5，所以8={x|-2<x<]},

所以（①A）n4={x|—2<x4—l}.

故选：B.

练习8.（2022秋.云南昆明.高三统考期末）写出一个的充分条件.

X

【答案】（。,£|（答案不唯一）

【分析】解不等式得0VXV1,只要找Ovxvl的一个子集即可.

X

111-r

【详解】人>1等价于上-1>0,即—>0,

xxx

则Mx-1）<。，解得0。<1,

所以（）v.r<l的一个充分条件是

故答案为：（0，；]（答案不唯一）.

练习9.（2023•天津河西•天津市新华中学校考模拟预测）已知全集。=1i,集合

^={x|log05x>-l},6=%生？之1»,则AC（。⑻=（）

X—1

A.{A-|1<x<2}B.{x|l<x<2}C.{x|l^x<2}D.{邓Wxv4}

【答案】c

【分析】可解出集介A,B,然后进行补集、交集的运算即可.

【详解】集合A={Hlogo$x>-l}=plog|X>Iogl2^={A|0<x<2},

22

门2x-5、］2x-5，、八x-4

B=\x------->\（=<x----------1>020={加24或x<1}；

x-1Xx-\Jx-1

.,.QrB={x|lWxv4}：

则4n（4,8）={即《x<2}.

故选：C

x-3

练习10.已知集合4=卜卜一2|01,1€口},8nx-----<0,x€R,求Ac3.

x+1

【答案】U,3).

【分析】解含绝对值符号的不等式化简集合人，解分式不等式化简集合从再利用交集的定

义求解作答.

【详解】依题意，解不等式|x-2区I,^-I<x-2<1,解得1W,则泊=口,3依

解不等式二<0,得(x—3)(x+l)v。，解得一I<xv3,则"=(一1,3),

x+1

所以4n8=[1,3).

题型三绝对值不等式

例5.(2023・全国•高三专题练习)已知集合A={x|2、>2},B={x||x-l|<2},则4口8=()

A.(f3)B.(-1J)C.(1,3)D.(3收)

【答案】C

【分析】先求出集合A,从然后进行交集的运算即可.

【详解】依题意得从={小>1},B={x\-\<x<3},

所以Ac3=(l,3).

故选：C.

例6.(2023•全国•模拟预测)已知集合A={67,8,9},8=卜卜—号>|},则Ap|他B)的

非空真子集的个数为()

A.14B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】由绝对值不等式化简集合凡进而由集合的交补运算即可化简Ac@Z?)-{6,7,8}即

可求解.

133133133

[详解]由工一十〉；可得或1一与<_：，故集合B={x|x<5或x>8},

所以今8=[5,8],

所以Ac@8）={6,7,8},所以4n低8）的非空真子集的个数为23-2=6.

故选：B.

举闩反I三I

练习11.（2021春•陕西渭南•高二校考阶段练习）不等式卜―1|<2的解集是（）

A.{x|-l<x<3}B.{x|l<x<3}

C.{x|x<-lngx>3}D.{巾<1或x>3}

【答案】A

【分析】由绝对值不等式的解法解原不等式即可得解.

【详解】由打一1|<2可得.一2vx—l<2,解得一1VJVV3,

故原不等式的解集为{+1<xv3}.

故选：A.

练习⑵（2023•全国•高三专题练习）已知集合人=何27<1},9=卜卜-1|<3卜则408=

（）

A.{x|-2<.v<l}B.{小<4}C.{x|l<x<4}D.{x\x>-2}

【答案】C

【分析】分别化简集合A4,由集合的交集运算即可得出结论.

【详解】由题意可得人={小>|},B={x|-2<x<4},则AcB={x[l<x<4}.

故选：C.

练习13.（2023・上海•高三专题练习）若不等式则x的取值范围是.

【答案】卜|1<%<3}

【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.

【详解】V|x-2|<l,则一1<X一2<1,解得l<x<3,

・・・工的取值范围是{x|lc<3}.

故答案为：{x|lvx<3}.

练习14.（2023♦四川成都,四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知全集

U={xeN+||x-3|<3},集合S={1,2},集合7={3,4},则率（S3）等于（）

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】A

【分析】计算U={L23,4,5},S|jr={l,2,3,4},再计算补集得到答案.

【详解】U={xcN+||x-3|<3}={1,2,3,4,5},S|J7={1,2,3,4},^（S|JT）={5}.

故选：A

练习15.（2023・河南新乡・统考三模）已知集合人=次|国<3},8=自6工2,.1£2},则加。二

（）

A.[0,3]B.{0,3}C.{0,123}D.[3,4]

【答案】C

【分析】根据题意求集合A8,进而求Ac3.

【详解】因为A={d-3Kx<3},/?={03,2,3,4},

所以AflB={0,1,2.3}.

故选：C.

题型四指数，对数不等式

例7.(2023・浙江•高三专题练习)若集合A={小-1|<3},B={x|2、v8},则Ap|8=()

A.(-2,4)B.(-2.3)C.(0,4)D.(0,3)

【答案】B

t分析】首先解绝对值不等式求出集合A、再解指数不等式求出集#8,最后根据交集的定

义计算可得.

【详解】由4一k3可得-3vx-lv3,解得—2<x<4,所以A={小—“<3}={x[—2<x<4},

由2”<8,可得2、<2\所以x<3,即8={x|2'v8}={x|xv3},

所以Ap|B=(—2,3).

故选：B

例8.(2023♦全国•模拟预测)若集合4={型区？3},4={即0氏(2-力<0},则A^\B=()

A.B..xx>--

22

33

C.<x-<x<2\D.<x—<x<2>

22

【答案】C

【分析】由绝对值不等式及对数不等式求两个集合，在用交集运算即可.

33

【详解】由题意得4=W彳4-5或"豆卜B={^\<x<2},

'3

所以Ac3=〈x—Kxv2\.

2

故选：C.

举一反三

练习16.（2022秋.浙江杭州.高三校考期中）不等式4、-25+720成立的一个充分不必要

条件是（）

A.XG{3,4}B.x>0C.x>\D.0<x<2

【答案】A

【分析】解指数不等式，根据选项是条件的充分不必要条件来判断即可.

【详解】不等式4'-2"3+720可以化简为：（2，）2-82+720,解得2,7或2”1，则

x21og〃或xKO,所以满足条件则选项为A.

故选：A

练习17.（2021春•广东•高三校联考专题练习）已知全集（7=1<,集合4=卜,阻1},

B={x|lnx>0）,则（）

A.AuB=BB.AD8=A

C.aA）?“？D.稠土"

【答案】C

【分析】先化简集合A和3,再结合选项一一判断即可.

［详解】由4=卜,2|}=卜上4一］或xNl},«={x|lnx>0}={x|x>l}

所以=4n4=B,所以选项A,B都错；

因为64=3-1<4<1},贝,所以选项C正确；

由电3=卜上<1},所以楸口〃从故选项D错

故选：C

练习18.（2023•全国•模拟预测）已知集合，M={x|log2|x-2|>1},N={x|x>4或2},

则A/cN=（）.

A.{巾24或xWO}B.{小>4或工<-2}

C.{x|x>4ngx<-2}D.{小2-2}

【答案】B

【分析】解法一利用对数不等式及绝对值不等式的解法，结合交集的定义即可求解.

解法二利用特殊值及交集的定义即可求解.

【详解】解法一：由题可得知二卜卜—2|22}=卜,之4或HO},N={x|x>4或xW-2},

所以McN={x|x>4或/4一2}.

解法二：由题可得4£N,所以4gMeN,故排除A,D；

乂一2GM且-2wN,所以-2cMcN,故排除C.

故选：B.

练习19.(2023春・河南•高三校联考阶段练习)已知集合A={x|lg*WO},/?={A-||X2-1|<l},

则AC18=()

A.AB.BC.Q4D.

【答案】A

【分析】首先解对数不等式及一元二次不等式，求出集合A、B,再根据交集的定义计算,

即可判断.

【详解】由IgxW。，即IgxKIgl,所以OvE,所以A=aigxWU}=(O,l],

由,2一3[,得一1«炉_]«],所以()0242,解得-y/iwxW无,

所以3=卜卜2_[臼}=卜|_夜"<&},所以AC8=(O,1]=4.

故选：A.

练习20.(2023春•江西南昌•高三校考阶段练习)已知集合人={闻/一I<()}1={即(2”4},

则Ap|8=()

A.(O,1JB.10,1]C.[-L0)D.[-1,0]

【答案】B

【分析】解集合中的不等式，得到集合4B,再求两个集合的交集.

【详解】不等式/一1工。解得TKxWl,AA=[-l,l],

不等式1W2Y4即2°K2”22,解得0KXW2,AB=[0,2],

则4「8=[-1,1]「[0,2]=也1]

故选：B

题型五高次不等式

例9.(2023・上海•高三专题练习)已知函数y=，1+/>+，的图像如图所示，则不等式

(ax+Z))(〃x+c)(cr+a)<0的解集是.

【分析】根据图像判断出。也。的关系，进而求得不等式(方+方)(加+c)(s+a)<0的解集.

【详解】根据函数尸尔+法+c的图像可知：

bc

«>0,c>0,1+2=3=——,6<01x2=2=—,即/?=一3。,。=2a,

aa

不等式(ar+/?)(/?x+(?)(Gr+a)<0可化为(ov-3〃)(-3冰+2a)(2or+a)<0,

g|J(x-3)(3x-2)(2x+l)>0,

12

解得-或x>3,

23

所以不等式(依+))即c)(5+a)<0的解集是(一黄卜(3,+co).

故答案为:(彳扑(3，-8)

例10.(2019春•安徽芜湖・高一芜湖一中校考阶段练习)不等式、,_-之。的解集是

r-6x-7

【答案】{x|—1vx42或x>7}

【分析】将该不等式进行等价转化，从而利用数轴标根法即可得解.

【详解】不等式，「了。可化为仆依故等价于C.7n，

.r-6x-7(A-7)(X+1)0+1)(%-7)H0

利用数轴标根法解得-1<1«2或工〉7,

即不等式的解集是{x|T〈x£2或x>7}.

故答案为：{x|-lvx«2或x>7}.

举一反三

练习21.(2004.全国.高考真题)不等式X+VNO的解集是.

【答案】。+8)

【分析】原不等式化为x(l+/)N()，即得解.

【详解】原不等式可以化为双1+/)20,

因为/+1>。，所以xNO.

所以不等式的解集为似+W.

故答案为：［0，内)

练习22.(2022秋・河北保定•高三校考阶段练习)解F列不等式

(l)(2x+l)(x+3)(5-x)>0

(2)-耳/+3x-5>0

［答案］⑴{小v_3或_g<x<5},

(2)无解

【分析】(1)将原不等式转化为两个不等式组，然后解不等式组即可得答案，

(2)先对不等式变形,得》-6%+10<0,然后通过求判别式结合抛物线的性质可得结果.

(1)

由(2x+l)(x+3)(5—力>0,得

(2.r+l)(x+3)>0(2x4-1)(x+3)<0

或，

5-x>05—工V0

得卜㈠曲)4或-3<”6,

x<5x>5

由.%(-3时)-5,解得人y-3或-<<工<5,

[x<52

-3<r<——

由'2,解得XG0,

x>5

综上，xv-3或-;<x<5,

所以原不等式的解集为{小<-3或-;<x<5},

(2)

由-5f+3工-5>。，得/2一6彳+10<0，

因为△=(一6)2-40=-4<0,抛物线y=V—6x+10的开口向上，

所以XW0,

所以原不等式无解.

练习23.(2022秋•宁夏石嘴山♦高二石嘴山市第三中学校考阶段练习)不等式

(2-x)(x-6)

20的解集为_________________

(4+x)(2x+3)

【答案】1-4,一■|)U[2,6]

(2-x)(x-6)(4+x)(2v+3)>0

【分析】由题知＜，再根据穿根法求解即可.

(4+.r)(2r+3)H0

(2-xKx-6)

【详解】解:因为20,

(4+x)(2x+3)

N.HI(2-X)(X-6)(4+X)(2A+3)>0

MTLI<

1(4+X)(2K+3)H0

3

因为(2-x)(x-6)(4+x)(2x+3)=0的根为％=-4,x2=--fA3=2,x4=6,

(3

所以如图，根据穿根法可得可得不等式的解集为-4,-$

故答案为：1-4,—■|)U[2,6]

练习24.(2022秋・安徽亳州•高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习)不等式北土二＞1

x-1

的解集为()

A.(-1,6)B.(-l,l)u(l,6)

C.[-1,l)u[6,+cc)D.(-1,1)J(6,+co)

【答案】D

【分析】原式可化为了一”-6＞0,解不等式即可.

x-\

【详解】解：原式可化为止也心＞(),

X-1

x2-5.r-6>0X2-5X-6<0

即IX)或

x-KO

解得：xw(6,+x)或XC(-1,1).

，不等式解集为：(-1,1)"6,母).

故选：D.

练习25.(2022秋•上海徐汇•高一上海中学校考期中)不等式―~的解集

为.

【答案】(/T5i，2)3°｝

x2(x+l)

【分析】将不等式变形为/公/~八24°，利用数轴标根法得到不等式的解集.

x2(x+l)Cx2(x+\)八

［详解］解：不等式G、/I、/,二之。，即7“~代"°，

(2-x)(x-l)(x-3)(X-2)(X-I)(X-3)

方程x2(x+］)(x_2)a-D(x_3『=0的根有3(2重根)，1,2,-1,0(2重根),

按照数轴标根法可得不等式的解集为(…,-12(1,2)口｛0｝.

故答案为：(YO,T［5L2)D｛0｝

题型六解含参的一元二次不等式

例11.(2023・全国•高三专题练习)解下列关于1的不等式(x-2)(x-a)W0

【答案】答案见解析

【分析】讨论。，2大小关系求一元二次不等式的解集.

【详解】由(x-2)(x-a)=0,可得工=2或x=。，则：

当。<2时，原不等式解集为｛x|aKx<2｝：

当〃=2时，原不等式解集为｛2｝；

当〃>2时，原不等式解集为｛x|2WxWa｝；

例12.(2023・全国•高三专题练习)解下列关于x的不等式(〃-力1—―>0(。<“<1).

【答案］卜［a<xv/-

【分析】根据原不等式中参数的范围判断其对应一元二次方程根的大小，进而确定不等式的

解集即可.

【详解】依题意(〃-力［-习>°'且°<"1，

所以(x—-,］v0,且解得a<x〈L,

所以原不等式的解集为

举一反三

练习26.已知函数〉二口/一（2。+1）工+2.

（I）当〃=3时，求关于.1的不等式）小。的解集.

⑵若〃>0,求关于x的不等式）”。的解集.

【答案】（1）g，2

⑵答案见解析

【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；

（2）不等式因式分解得到（公-1）（>2）<0,分与三种情况,

求出不等式的解集.

【详解】（1）〃=3时，3A2-7x+2<0.解得：^<r<2,

・■

故解集为：，2；

(2)。＞0时，at~—(2a-l)x+2＜。,

变形为(a'T)(x-2)W0,

1

当ae[0,/J时，(or-l)(x-2)W0,解得2=4

当a=g时，解得x=2,

当a/"+oo］时，（依一以%—2）40,^-<x<2,

12/a

综上：当〃€（（）,；）时，解集为2,1,

当时，解集为{2},

当ae（；，+°0时，解集为：2.

练习27.（2023秋・河北唐山•高三统考期末）（多选）已知关于x的不等式ad+bx+c>。的

解集为,，则下列结论正确的是（）

A.a>0

B.c＜0

C.a+b>0

D.关于x的不等式上+1+心。的解集为{x|-3<x<-l}

【答案】BC

【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得

a=3c,h=Tc(avO),进而结合选项即可求解.

【详解】由不等式ar?+版+c>0的解集为卜g<x<l•，所以1和1是方程处2+法+°=0的

h1.

—=—卜I

a3

两个根，由根与系数的关系可得，解得

c1

—=-x1

a3

a=3c,b=-4c(«<0),

故A错误，B正确，a+b=-c>0,故C正确，

彳、等式ex?+bx+a>()变为ex2—4cx+>0nx2—4x-+3<0.解得{乂1vxv3},故D错误.

故选：BC

练习28.(2023春•重庆永川•高一重庆市永川北山中学校校考开学考试)已知函数

f(x)=x2-(a+4)x+4a

⑴解关于x的不等式/(x)v。；

(2)若关于x的不等式/(x)+4x<。的解集为(〃?,〃)(机>0,">0),求〃?+4〃的最小值.

【答案】(1)答案见解析

⑵36

【分析】(1)分类讨论参数范围，根据一元二次不等式的解法得出答案；

(2)根据一元二次不等式的解集结合韦达定理确定参数范围和〃?、〃与参数关系，构造

,求出其值，结合基本不等式中常数的妙用解出答案.

inn

【详解】(1)因为/*)=/一(。+4)工+4〃=(工一4)(工一4),

所以f(x)〈0,即(x-4X才-a)v0.

当。=4时，不等式/")<()的解集为。.

当。>4时,不等式/。)<。的解集为(4M.

当a<4时，不等式/(幻<0的解集为(〃,4).

(2)由题意，关于x的方程/一如+公二。有两个不等的正根，

△=/-]6”0,

由韦达定理知一"+〃=〃>。，解得a>16.

mn=4a>0,

,11m+na1

则h—=----=-=~,

mnnm4a4

,“/Jl1；Ju4〃

m+4〃=4（m+4〃）—+—=45+—+—,

\inn）

...si.八八g、i4〃〃?、cl4nm.

因为〃7>0,77>0,所以一+—>2J-----=4,

ninVinn

当且仅当〃?=2〃，且,+].=!，即〃z=12,〃=6时，等号成立，

此时a=18>16,符合条件,则〃?+4〃N36.

综上，当且仅当。=18时，〃2+4〃取得最小值36.

练习29.（2023・湖南长沙,高二长郡中学校考学业考试）若关于x的不等式2依2_以〈5-2

只有一个整数解，则实数。的取值范围是（）

A.—<a<\B.\<a<2C.\<a<2D.-1<6/<1

2

【答案】C

【分析】分。=0,4>。,“<。讨论解不等式，根据只有一个整数解建立.不等关系求解即可.

【详解】不等式2ax2—4x<ar—2化为2ax——（4+a）x+2v0,L![J（2x—1）（6iv—2）<0,

当a=0时，不等式化为（21-1）（-2）<0,得有无数个整数解，不符合题意；

当。>0时，由关于x的不等式2奴2一曲<奴-2只有一个整数解，可知5<士,

2a

177

不等式（2.1）（公—2）<（）的解为由题意.1<^<2,解得1K.V2：

当〃<0时，不等式（2x—1乂2）<0的解为或K<[,有无数个整数解，不符合题意.

综上，实数〃的取值范围是1Wav2.

故选：C

练习30.（2023•北京东城统考二模）^{A|O<x<l）n{x|x2-2x+m>O}=0,则实数，〃的一

个取值为.

【答案】〃?=0（答案不唯一）

【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式/一24+”?>0的解集为（e,0）U（2,小）的子

集即可满足题意.

【详解】因为{MY—2x+〃〉0}关0,

且当△二4一4/〃40时，即小£1时，{x|O<x<l（n{x|x2-2x+m>O）*0,

当A>0时,即〃/>1时，才有可能使得{邓）4」41}03炉-2X+/>0）=0,

当x2-2x+〃?=0的两根冈〔好是0,2时，即/〃=0,此时/_2_r>0的解集为（F,。）U（2,也）刚

好满足{和W1}nMx2-2x+m>O）=0,

所以〃区0,所以实数，〃的一个取值可以为〃7=0.

故答案为：〃?=。

题型七一元二次不等式的恒成立问题

例13.（2023・四川德阳・统考模拟预测）已知“：任意xeRaF-Qx+iNO,则

〃是夕成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】A

【分析】根据•元二次不等式恒成立解得9：0<«<4,结合充分、必要条件的概念即可求

解.

【详解】命题9：一元二次不等式公2-ar+lNO对一切实数x都成立，

当〃=0时，1>0,符合题意；

a>0a>（）

当〃工0时，有〈A/八，即12//八，解为。6（0,4],

A<0-4々40

:40<a<4,又/）：0<«<2,

设4=[0,2],8=[0,4],则A是8的真子集，

所以〃是“成立的充分非必要条件，

故选：A.

例14.（2023春・湖南长沙•高一长沙市明德中学校考期中）若玄4。,4],使得不等式

/一2]+〃>0成立，则实数〃的取值范围（）

A.a>-\B.a>1C.a>8D.a>-S

【答案】D

【分析】由题意可转化为3xw[0,4],使。>-寸+21成立，求-2+2%的最小值即可.

【详解】因为*e[0,4],使得不等式f—2x+a>0成立，

所以玉£[0,4]，使得不等式«>-x2+2x成立，

令/（x）=-x2+2.r,xe[0,4],

因为对称轴为x=l，xw[0,4],

所以/（幻小=〃4）=-8,

所以〃>一8，

所以实数。的取值范围为(-8,+8).

故选：D.

举一反三

练习31.(2023・全国两三专题练习)已知函数/。)=21£口，若不等式/2(6+/(称—〃?>。

在R上恒成立，则实数小的取值范围是.

【答案】(-8,0].

【分析】利用换无法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得

答案.

【详解】令/(x)=«，>0),H(/)=J4-ZJ>0,

因为“a)=a+》2—；在区间(o,+oo)上是增函数，

所以〃(/)>〃(())=0.

因此要使/+r>加在区间(0,+8)上恒成立，应有m<0,即所求实数m的取值范围为(一*。1.

故答案为：(-8,。].

练习32.(2023・全国•高三专题练习)不等式o?-2x+l>0(«eR)恒成立的一个充分不

必要条件是()

A.d>\B.a>\C.0<tz<-D.a>2

2

【答案】D

【分析】先求得不等式2.r+l>0(々£口)恒成。：的充要条件，再找其充分不必要条件.

【详解】不等式以2_21+]>0(aeR)恒成立，显然〃=0不成立，

故应满足4八.解得。>1，所以不等式如2_24+1>()(aeR)恒成立的充要

条件是a>l,A、C选项不能推出a>l,B选项是它的充要条件，。>2可以推出但

反之不成立，故〃>2是。>1的充分不必要条件.

故选：D

练习33.(2023秋•内蒙古呼和浩特•高三统考期末)若不等式2或+依一]<。对一切实数X

O

都成立，则&的取值范围是()

A.-3〈左<0B.-3〈攵<0

C.攵4-3或kNOD.女<-3或々20

【答案】A

【分析】由2履2+依-J<0对一切实数x都成立，结合函数的性质分成k=0,AwO讨论进

8

行求解.

【详解】2依、点一（<0对•切实数x都成立，

O

3

①％=0时，-d<0恒成立，

O

k<o

②々工0时，L,2；八，解得一3<々<0,

△二k~+3ak<0

综上可得，-3<Z:<0.

故选；A.

练习34.（2022秋•湖南张家界•高三张家界市民族中学校考阶段练习）“〃<0”是“关于4的不

等式以2+奴-1<0对任意实数x恒成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】先根据关于x的不等式依2+a『i〈o对任意实数尸恒成立得出-4<a?0,再艰据

取值范围的关系判断即可得出答案.

【详解】因为关于x的不等式冰2+⑪-1<0对任意实数x恒成立，

当。=0时，不等式可化为-1<（）恒成立；

a<0

当时，要使不等式恒成立，则有（A2,八解得：-4V”O；

综上：实数。的取值范围为：-4va?0,

若“vO成立，则-4Va?0不一定成立；反之也不成立，

所以“a<0”是“关于x的不等式加1<0对任意实数x恒成立”的既不充分也不必要条件,

故选：D.

题型八一元二次不等式的有解问题

例16.（2023・全国•高一专题练习）若关于x的不等式』一4工一2-d0有解，则实数。的取

值范围是（）

A.{a\a>-2}B.{a\a<-2}C.{小2-6}D.-6}

【答案】C

【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.

【详解】若关于1的不等式/一4工一2-〃40有解，

则△=16+4（2+a）N0,解得

故选：C.

例17.（2022秋•安徽马鞍山•高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）不等式

,<24、对于Vxe[0,2]恒成立，则。的取值范围是.

【答案】(一,。)

【分析】由题意结合指数函数的单调性，得〃<W+4x对于Vxe[0,4恒成立，设

/(X)=X2-4X,结合二次函数的性质可求得答案.

【详解】由flY,<24t得24+“<2妙，得-.r2+r/<4.j即avx2+4.r对于Dxe[0.2]恒成立，

/(X)=X2+4X=(X+2)2-4,显然/(力开口向上，对称轴为4二一2,

所以/%)在[0,2]上单调递增，当x=0时，/(“取得最小值0，

则〃<0,即a的取值范围为(一。,0).

故答案为：(-8,0).

举一反巨

练习35.(2023・全国•高三专题练习)若不等式21-1>〃?卜2—1)对任意〃24_川恒成立，实

数x的取值范围是.

【答案】(G-L2)

【分析】把题意转化为训丫-1)一2》+1<0,设/(〃?)=，〃[2-1)-24+1,由一次函数的单

调性列不等式组，即可求解.

【详解】2x-1>,〃(/-1)可转化为,〃(丁一1)-2x+1<。.

设/(m),则/(/〃)是关于m的一次型函数.

2

要使小/〃、)〈。恒成立，只需]/,(1)=X-2X<0

解得6-1vx<2.

故答案为：(6-1,2)

练习36.(2022秋上海金山高三上海市金山中学校考期末)若关于x的不等式x2十尻十

的解集非空，则实数。的取值范围是_____.

【答案】(f,0]U[4,+oo)

【分析】运用判别式求解.

【详解】由题意知△=〃一4〃20,解得〃W0或624,

・・・b的取值范围是(f,0]U[4,”)；

故答案为：(YO,0]U[4,抬a).

练习37.(2023・全国•高三专题练习)已知集合A={x|-2KxKO},

B=<aRxeR,V-ar+；<0,,则AP|8=().

A.[1,2)B.[-2,-1]C.12,1)D.[—2,-1)

【答案】D

【分析】由题得A>0.解出〃的范围，再根据交集含义即可得到答案.

【详解】因为3L、eR,X2-ax+-<0,

4

所以"一1>0,所以a>l或〃<一1,

所以8={a|。>1或a<T),

所以Ac8=[—2,T).

故选：D.

练习38.(2022秋・北京•高三统考阶段练习)若存在xe[0J],有Y+(l-a)x+3-a>0成立，

则实数。的取值范围是_________.

【答案】(7,3)

【分析】参数分离可得a<*+"+3,设“x)=vr十3,将存在问题转化为。<“/)皿,

+1X"I1

求出函数的最大值，即可得到实数〃的取值范围.

【详解】解：将原不等式参数分离可得a<.+:+3,设/3=-+X+3.

x+1x+\

已知存在xe[0,l],有12一。一4)工+3一。>0成立，则。</(司

令f=x+l,则〃力=(1)2；1+3=号2=/+“,/e[l,2],

由对勾函数知/(x)在

[1,石)上单调递减，在(5,2]上单调递增，

375

/(1)=1+--1=3,〃2)=2+h1=；,

所以/3皿=川)=3,即"3,

故答案为：(-8,3).

练习39.(2023・全国•高三专题练习)若不等式丁+依一2>0在口,5]上有解，则。的取值范

围是()

232323

A.(一>—J]B.(-a),一~—)C.(—―,+co)D.(1,+«))

【答案】c

【分析】由已知可得在区间［1,5］上有解，求出=在区间［1,5］上的最小值,

XX

即可得出实数〃的取值范闱.

【详解】因为关于1的不等式d+or-Z>。在区间［1,5］上有解，

2

所以在区间［1,5］上有解，

设/*)=*7，xe［l,5］,其中f(x)在区间［1,5］上单调递减,

•X,

所以/“)有最小值为〃5)=］-5=-胃，

JJ

所以实数〃的取值范围是［-三23，内).

故选：C.

练习40.(2022秋•广西桂林•高三校考阶段练习)若关于x的不等式9一4工-2-〃>0在区间

［1,4］内有解.，则。的取值范围是.

【答案】(F-2)

【分析】将问题转化为〃<丁一4X一2在区间［L4］内有解，从而求得/(x)=f-4x-2的最大

值即可得解.

【详解】因为丁-©_2-〃>0在区间［L4］内有解，

所以avdTx-2在区间［1,4］内有解,

^/(A-)=X2-4X-2,则f(x)开口向上，对称轴为x=2,

所以/(x)在［1,2)上单调递减，在(2,4］上单调递增，

22

X/(l)=l-4xl-2=-5./(4)=4-4X4-2=-2,故/(力1m、二-2,

所以av-2,HPe(-oo,-2).

故答案为：(—》,-2).

题型九一元二次不等式的实际应用

例18.(2020秋.黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨三中校考阶段练习)某种饲料原来每袋成本为10

元，售价为15元，每月销售8万袋.

(1)若售价每袋提高1元，月销化：量将相应减少2000袋，要使月总利润不低于原来的月总利

润(月总利润=月销售总收入一月总成本)，该饲料每袋售价最多为多少元？

(2)厂家决定下月进行营销策略改革，计划每袋售价x(x216)元，并投入9(x76)万元，'乍为