高一数学单元复习（人教A版必修第一册）抽象函数的性质及秒杀技巧（4大重点题型）含解析

专题04抽象函数的性质及秒杀技巧

目录

A题型建模・专项突破..............................................................

题型一、抽象函数的定义域（重点）...............................................................

题型二、抽象函数求值（常考点）.................................................................

题型三、抽象函数的单调性.......................................................................2

题型四、抽象函数的奇偶性（难点）...............................................................3

B综合攻坚・能力跃升..............................................................4

A题型建模•专项突破

题型一、抽象函数的定义域

I.（24-25高一上•湖南•阶段练习）若函数/（X）的定义域是[1,7],则函数），=-2）的定义域是______

\Jx-2

2.求下列函数的定义域：

（1）已知函数的定义域为[1,2],求函数y=/（2x+l）的定义域；

⑵已知函数y=/（2x+l）的定义域[1,2],求函数/（X）的定义域；

⑶已知函数y=/（2x+l）的定义域“，2],求函数y=/（2x-i）的定义域.

3.（24・25高一上•上海•课堂例题）（1）已知/（X）的定义域为[3,15],求-2幻的定义域；

（2）若函数/（/）的定义域为[-1』，求〃x+l）的定义域.

题型二、抽象函数求值

1.（24-25高一下•浙江杭州•开学考试）若/。+＞）=/*）+/（剪+个，/⑴=1,则/（-5）=（）

A.1B.10C.15D.21

2.（24-25高一下•广西南宁・期末）已知函数/（另对任意x,）*R都满足/（工+），）=/（戈）+/3-6,且

41）=8,则〃3）=（）.

A.8B.10C.12D.14

3.（24-25高一上•宁夏石嘴山.期末）定义在（0,竹）上的函数“X）满足条件①Vx«O,y）J（x）工0,②

Vxye（0,+oo）,/（冲）=；/（x）/（y）J（x+/=，（；丫（；）,则/仔］的值为（）

/J\x）+J\3Jy）

A.0B.-C.1D.-

33

4.（25-26高一上•全国•课前预习）设函数y=f（x）的定义域为（O,”）JE，）=/（x）+/（y）,若"9）=6,

贝ljf（3©=.

5.（25-26高一上•全国•期末）己知函数/*）的定义域为R,且/*+），）+/&-），）=/（幻/（1），/（1）=1,

则f（0）=.

题型三、抽象函数的单调性

I.（24-25高一下•安徽蚌埠•开学考试）已知函数/（x）的定义域为（0,+8）,对Vx、），«0,田），满足

/（^）=/（x）+/（y）,当时，/（刈＜0,且/（2）=-3,则不等式/（工一7）-/匕）;＞一9的解集为（）

A.（-18）B.（7,8）

C.（8,+oo）D.（0,7）J（8,+oc）

2.（25-26高一上•全国•期末）已知函数/（X）的定义域为R,对任意的。，此R，都有他），

当"0时，/（x）＞I,且/⑼工0,若〃-2）=4,则不等式/（5/-12x）＞16的解集是.

3.（25-26高一上・全国,课后作业圮知函数/仕）满足任意的实数凡〃€1＜,都有〃，〃+〃）=/（，〃）+/（〃）-4,

且当x＞0时，/（A）＞4.

⑴求”0）的值；

⑵判断〃力在（f,E）上的单调性并证明.

4.（24-25高二下♦河北保定•阶段练习）已知函数”力在R上满足/（戈+），）=/。）/（），）+〃（））-1,且当上＞0

时，0v/（x）vl；当“＜0时，/（x）Al.

⑴求了⑼的值；

⑵判断并证明函数/（X）的单调性；

（3）若〃1）=3,求不等式/卜一^）＞4的解集.

5.（24-25高一下•江西新余•开学考试）已知定义域为（一口）的函数/"）满足内，*w（T1）,

L且当4>o时，/W>o.

V-Xix2)

⑴求”())的值；

⑵用单调性定义证明：/(X)在定义域上是增函数：

⑶若H=1,求不等式“x)+f(3x-l)<l的解集，若不存在，请说明理由

题型四、抽象函数的奇偶性

1.(24-25高一下•云南昭通期末)已知函数“X)的定义域为R,且/⑼/0,若〃w)=x+)，，

则()

A./(1)=-1B./(-1)=1C./(x)为增函数D./(X)为奇函数

2.(2025高一•全国・专题练习)(多选题)已知函数/")的定义域为R/(M，)=y2/(x)+//(y),则()

A./(0)=0

B./(1)=0

C./(X)是偶函数

D.若对于任意的有〃“<0,则［(力在(0,1)上单调递增

3.己知函数/(x)的定义域为R,对任意x,y《R都有f(x+y)+〃x-y)=2/(x)f(y),且〃0)工0,判断

/⑴的奇偶性.

4.(24-25高一上•辽宁丹东•期中)定义域为例"0｝的函数满足〃力+/()，)=/(个).

⑴求证：fJ=-/(x)；

(2)求证:为偶函数；

⑶当X>1时，/(A-)>0,求证：/(x)在(O,S)上单调递增，在(-8,0)上单调递减.

5.(24-25高一上•云南大理•期中)已知函数/(x)的定义域为R,并且满足下列条件：对任意x,)*R,都

有f(x+y)=f(x)+f(y)，/(2)=-2,当x>o时，/(x)<o.

⑴求/(0),/(-2)；

(2)证明：/。)为奇函数;

⑶解不等式/.(/-2*-/(3.丫+4)+2>。.

7.（23-24高一上•黑龙江佳木斯•期中）已知函数/（x）对任意的〃力eR,都有/（〃+〃）=/⑷+〃勾-1,

且当x>（）时，/（x）>l.

（1）求证：f（力是R上的增函数;

⑵若行）=仆）-小），/⑵=1,解不等式/（戈）-/（占卜2.

8.（24-25高•上•山西•期中）已知定义在R上的函数/（X）满足：〃x+），）=/（x）+〃），）—3/），—392.

⑴判断），=/（x）的奇偶性并证明；

⑵若/⑵=3,求〃~4）：

（3）若Dx>0,/（x）+.?>0,判断并证明y=/（x）+d的单调性.

9.（24-25高一上•湖南衡阳•期末）已知定义在（0,口）的函数/（"，对任意的x,ye（0,+oo）,都有

/（9，）=/（工）+/（丁），.且当0<x<l时，/（x）>。.

（1）证明：当x>l时，〃x）v。；

⑵判断函数/（x）的单调性并加以证明；

⑶如果对任意的工/£（0,+8）,/12+9）〈/（4）+/（封）恒成立，求实数〃的取值范围.

10.（24-25高一上.黑龙江大庆•期中）设定义在R上的函数/（<）满足：①对Vx,），cR,都有

小)+/3

〃中）=②x>0时，/（x）>0；③不存在xwR,使得『3=1.

1+小)小)

（1）求证：为奇函数;

⑵求证：/（可在R上单调递增;

1+2/(〃?4)

⑶若川）=；，不等式4+5/(mx)

>对V.re[0,+⑹恒成立，试求〃2的取值范围.

5+4/(时2+f^my/x^

专题04抽象函数的性质及秒杀技巧

目录

A题型建模・专项突破..............................................................

题型一、抽象函数的定义域（重点）...............................................................

题型二、抽象函数求值（常考点）.................................................................

题型三、抽象函数的单调性.......................................................................2

题型四、抽象函数的奇偶性（难点）...............................................................3

B综合攻坚・能力跃升..............................................................4

A题型建模•专项突破

题型一、抽象函数的定义域

I.（24-25高一上•湖南•阶段练习）若函数/（X）的定义域是[1,7],则函数），=/（；"-2）的定义域是______

\Jx-2

【答案】（2,3]

fl<3x-2<7

【分析】由题意可得。,解之即可.

x-2>0

[l<3x-2<7

【详解】由题意可得.,解得2<xW3,

x-2>A0

所以函数二22）的定义域是（2,3].

故答案为：（2,3].

2.求下列函数的定义域：

（1）已知函数的定义域为[1，2],求函数y=/（2x+l）的定义域;

⑵已知函数y=/（2x+l）的定义域[1,2],求函数/*）的定义域；

⑶已知函数>=/（2.1+1）的定义域[I,2],求函数y=/（2x-i）的定义域.

【答案】⑴。y]

(2)13,5]

⑶12,3］

【分析】(1)由f(x)的定义域可得142x+Y2,求出x的取值集合即可得出/(2x+l)的定义域；⑵由〃2x+l)

的定义域可得14x42,求出2什1的取值集合即可得出了*)的定义域;(3)由f(2x+l)的定义域可得14x42,

求出2x+l的取值集合即可得出八制的定义域，进而得出2x-l的取值集合，再求出x的取值集合即可；

【详解】(1)设2x+l=f,由于函数y=/«)定义域为［1,2］,

故14Y2,即Y2X+1W2,解得OKXWL

2

所以函数y=/(2x+D的定义域为［0,^］；

(2)设2x+l=f,因为1。42,

所以342X+1M5,即34f45,函数y=/")的定义域为［3,5］,

由此得函数y=/(x)的定义域为［3,5］；

(3)因为函数y=/(2x+l)的定义域为［1,2］,即14x42,

所以3K2X+1W5,所以函数y=/(,i)的定义域为［3,5］,

由3必一心，得2WXW3,

所以函数，=/(2x-l)的定义域为⑵3］.

3.(24-25高一上•上海•课堂例题)(1)已知/(1)的定义域为［3/5］,求/［2-2x)的定义域：

(2)若函数/(丁)的定义域为［-|』］,求〃x+l)的定义域.

【答案】⑴［-3-l］U［3,5］；(2)［-1,0］.

【分析】(1)由“X)的定义域，要求/(f-2x)的定义域，解不等式组，一、一口即可；

x—2K<15

(2)由7(f)的定义域为［-1』，可得OW/G，则要求/(x+l)的定义域，解不等式组］：：；：；即可.

【详解】(1):/(x)的定义域为［3,15］,・♦•要求f(f—2x)的定义域,

x2-2x>3

即解不等式组，解得一3WT或34x45,

X2-2X<\5

故?(/一2x)的定义域为卜3,-1］［3,5］.

(2)•・•/(/)的定义域为［一1』，・・・TKxKl,

贝UOW/WI,即/(x)的定义域为［。』，

..JT+1<1

・•.要求/(x+1)的定义域，即解不等式组［+］之0,

解得—1这xWO,故〃x+l)的定义域为［TO］.

题型二、抽象函数求值

1.(24-25高一下•浙江杭州•开学考试)若f(x+y)=/(x)+/(y)+盯，/⑴=1,则/(-5)=()

A.1B.10C.15D.21

【答案】B

【分析】根据条件通过特值法逐步求出/(0),/(-I),/(-2),/(-4)的值，从而找到了(-5)的值.

【详解】令x=l，y=0,则有/(1+0)=〃1)+/(0)+1/。=八1)+/(0),由于川)=1，则1=1+八。)，故/(。)=0;

令1一巾--1,则有/(0)=.〃1)+/(-1)+»(-1),将已知条件代入，得到0=1+/(-1)—1,因此/(-1)=。；

令x=_],y=T,则有/(―2)=/(_1)+/(_1)+(T)X(T)=O+0+1=1；

令x=-2,y=-2,则有f(-4)=f(-2)+/(-2)+(-2)x(-2)=l+l+4=6；

^x=-4,y=-lt则有/(_5)=/(-4)+/(-l)+(-4)x(7)=6+O+4=IO.

因此，/(-5)=10.

故选：B.

2.(24-25高一下•广西南宁•期末)已知函数/(司对任意x,产R都满足/(x+y)=/(x)+/(.y)-6,且

/(0=8,则〃3)=().

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】令x=y=i可求出/⑵，令x=2、y=i可求比/(3).

【详解】令X=)，=l,则/(2)=/(1)+/(1)-6=10,

令*=2,y=l,则/(3)=/(2)+/(1)-6=12.

故选:C

3.(24-25高一上•宁夏石嘴山•期末)定义在(。，y)上的函数/")满足条件①Dxe(O,+8)J(x)工0,②

vx、)，«o,田)，/(孙)=»3/3J(x+)，)=忍则/得)的值为()

74

A.0B.-C.1D.-

33

【答案】D

【分析】由/⑻="(x)〃y),取X…1可求/⑴，由〃中)=点，*,取X=y=g可求吗｝

再取x=i,y=g，可求结论.

【详解】因为/(町)=g/("/(y)，取x=y=i可得/⑴/⑴〃I),

又『(1)工0,可得/(1)=2,

因为/"+丁)=悬第，取、=)，=；可得/(1)=(泥)

所以唱也卜”出，又呜卜。,

故唱》4，

y

由f(x+y)=/(•)/(y)取x=1,丁=J

小)+/3'

Mil.

可得，仁卜2x44

/⑴+/\I2+4-3)

、乙)

故选：D.

4.125-26高一上.全国•课前预习)设函数)，=〃“)的定义域为。—)J(q)=/(x)+〃y),若〃9)=6,

则f(3@=.

9

【答案】y

【分析】令x=y=3得/(3),再令x=>=百得/(G),最后令人3,尸G,利用赋值法即可求解.

【详解】令x=y=3,则/⑶+〃3)=〃9),即2/(3)=6,可得/(3)=3；

令x=y=+,则/㈣+/㈣=/(3),即2/(4)=3,可得/㈣=小

令”=3,y=石，可得/(3G)=/(3)+/'(G)=3+|=g.

9

故答案为：y.

5.(25・26高一上.全国•期末)已知函数/(X)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=/W(y),/(1)=1,

则/(。)=.

【答案】2

【分析】取特殊值，取X=l,y=。，代入题干关系式即可得结果.

［详解】由/(X+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，取X=Ly=o可得/(D+/(D=/(D/(0),又/⑴=1,所以/(O)=2.

故答案为：2

题型三、抽象函数的单调性

1.(24-25高一下•安徽蚌埠•开学考试)已知函数〃力的定义域为(0,+必)，对Vx、ye(O,-Kx),满足

/(封)=/("+/()，)，当X>1时，/(x)<0,且/⑵=一3,则不等式/(工一7)-/(£|>一9的解集为()

A.(—1,8)B.(7,8)

C.(8,+co)D.(0,7)J(8,-KO)

【答案】B

【分析】令王二孙>0，/=丁>。且x>l,则％>马，利用函数单调性的定义推导出函数/("在(0,+8)上

单调递减，计算得出"8)=-9,恪所求不等式变形为7)>/图，结合函数〃力的定义域和单调性

可得出关于上的不等式组，解之即可.

【详解】因为函数〃力的定义域为(0,+8),

对Vx、ye(0,+oo),满足/(切=/(%)+/(y),

又当x>l时，/(x)<0,

令为=不，>0,苍=.)’>0且X>1,则为>占，

贝毛)=/'(Q，)一/(y)=/(x)<o，

所以/(N)V/(W)，所以“X)在(。,+8)上单调递减，

因为〃2)=-3,所以〃4)=2〃2)=-6,/(8)=/(4)+/(2)=-9,

则不等式/(工一7)-/(目>一9=八8)可化为/"一7)>〃8)+/：£]=/(£|,

A-7>0

所以，―>0,解得7c<8.

u8

X-/<一

X

因此，不等式/(工-7)-/伯卜-9的解集为(7,8).

故选：B.

2.：25・26高一上•全国♦期末)已知函数广⑺的定义域为R,对任意的a,b/R,都有/•(a”)-/(a)f®,

当x<0时，/(A-)>1,且〃。)工0,若/(一2)=4,则不等式/(5丁-12耳>16的解集是.

【答案】卜||<”2.

【分析】先由题设结合赋值法求出/(Y)=16和/(0)=1,接着求出函数/(力是单调递减函数，再利用函

数单调性得5/-12%+4<0,解该不等式即可得解.

【详解】因为对任意的“・beR，都有/(a+»=/(a)/S)./(-2)=4,且〃0)=0.

所以/(T)=[/(—2)1=4?=16.H./(O)=/(O)/(O)=>/(O)=l.

又小小翱=清,

设任意为＜W，则％_七＜0,则/（内―/）=/（内）/（一修）＞L

J\X2jJ7

所以（-w）=/（s）y^j＞i，若〃w）＜o，则当与＜。时，

则”王）7^）＜。，矛盾，所以所以/（%）＞/&），所以函数”X）单调递减,

所以不等式/（5丁-12x）＞16等价于/（5x2-12A）＞/（-4）,所以5号一12xvT,

9

故5/-⑵+4<0,GP(5x-2)(x-2)<0,解得：<x<2.

2

所以不等式/(5/-12耳>16的解集是xq<x<2：

故答案为：｛x|]＜x＜2,

3.（25-26高一上•全国•课后作业圮知函数/（x）满足任意的实数”?,〃wR,都有-4,

且当x＞0时,/（x）＞4.

⑴求”0）的值；

（2）判断/（A-）在（YO,”）上的单调性并证明.

【答案】（1）4

（2）/（可在（70,+oo）上单调递增，证明见解析

【分析】（I）对于给定的函数关系式赋值m=〃=O代入计算即得；

（2）根据函数的单调性的定义，作差比较/（3）与/伍）的大小（菁＞毛），此时需构造〃弓）=/储一天+工2），

利用题设性质证得f&）＞f（x2）即可.

【详解】⑴由题意，对任意的实数皿〃eR,都有〃加+"）=〃6）+/（〃）—4,

令…=0,则/（0）=/（0）+/（0）-4,所以40）=4.

（2）“X）在（-8.y）上单调递增.

证明如下：设百,X26R且%＞工2，则/（内）一/（毛）=/（%一%+刍）一/（占）

=/（与-％）+/（与）-4-/（七）="5-/）-4,

因可＞电，则式1一9＞0，故/（%-々）＞4,

所以/（5）-/（七）＞0,即/&）＞/（王）,

所以/（X）在（〜，+8）上单调递增.

4.(24-25高二下•河北保定•阶段练习)已知函数“力在R上满足/&+)，)=/(耳〃)，)+〃0)-1,且当1>0

时，0</(x)<l；当xv。时，

⑴求”0)的值；

(2)判断并证明函数/(力的单调性：

⑶若/(1)=；，求不等式/卜一》)>4的解集.

【答案】(1)"))=1；

(2)/3)在R上单调递减，证明见解析；

⑶S,-1)52,+oo).

【分析】(1)令x=y=0得八0)=±1,再令y=()并结合已知确定”0)的值；

(2)由/(x+y)=/(x)/(y)得/(芭)=/(内一毛+毛)=/(%-%2)/(工2)，讨论%>工2>。、。>再>占,并结

合f(o)=i及已知即可证：

(3)首先求得/(-2)=4,再依据单调性解不等式求解集.

【详解】(1)令x=y=o,则〃0+0)=〃0)”0)+，(0)-1,故/(0)=1,可得/(0)=±1,

令y=o,则/(犬)=〃力〃0)+〃0)-1，

当/(0)=-1,则/(力=-/(力-2,即=与题设不符，

所以，(0)=1；

(2)/(x)在R上单调递减，证明如下：

当x>0时，0</(人)<1；当x<0时，/(A)>1,

由(1)知/(x+y)=/(x)〃y)，

由/(与)=/(玉-9+电)=/(%-%)/。2)，

当再>工2>0，即0</(王一毛)<1,0</U()<l,0</(x,)<1,

所以/(%)=/&-&)/(9)</(&)，即/*)在(0，—)上单调递减，

当则()</(%-9)<1，/(为)>】，/(王)>1，

所以/(5)=/(%-%)/(%)</&)，即以X)在(—,0)上单调递减,

综上，结合〃0)=1,易知/(X)在R上单调递减，得证.

(3)令丁二一工，则/@)=77^,故/⑴即”T)=2,

f(-x)/(-I)2

所以/(—2)=f(T)/(-l)=4,则/卜一/)>〃_2),

2

rh(2)知，X-X<-2,即X2T-2>0,可得工<一1或X>2,

所以不等式解集为(-1)52,3).

5.（24-25高一下•江西新余•开学考试）已知定义域为（-1/）的函数/（“满足四，王4-1，1）,

=且当x＞0时，/（x）＞0.

⑴求/（0）的值；

⑵用单调性定义证明：/（同在定义域上是增函数；

⑶若吗）=1,求不等式的解集，若不存在，请说明理由

【答案】（1）/（0）=。

（2）证明见解析

（3）存在，解集为

【分析】（1）令%=%=0,即可求解：

（2）由心.苍£（-1.1）,且%＞七，得到0＜广一"＜1,再由当.x＞0时，/（*）＞0,即可求证；

1一%々

（3）由唱=葭得到/（31）＜4）-〃力，再结合性质匕得言），结合定义域和单

调性求解即可.

/\

【详解】（1）因为=f手玉，

V-Xrv2J

令％=”0,可得/（0）-〃0）=〃0）,所以/（（））=（）.

（2）对％,&G（一】]），且百＞修，

则」（菁）一/（七）=/[]"一'",

11-中2J

因为王一工2＞0，1-X1x2＞0,则；]♦＞o,

1一百42

又因为上2_]=百一/-1+中2二1X5）＜0,可得0＜冲＜1,

1-XtX21-X1X21-x）x2\-xix2

/\

且当x＞0时，/W＞0,则/（xj—/（£）=/产次＞0,即/（与）＞/（9），

11一为电J

所以/（X）在定义域上是增函数.

（3）因为函数“X）的定义域为（-1』），则二;:;lie，解得℃＜：.

由=得〃x）+/（3x—1）＜1等价于〃3x—〃x）,

IJ/\-V

且小)一小2)=/(六*|，可得三=/(片)

I3)

由(2)可知：/(x)在定义域上是增函数.

可得3x—lv_^,解得x<!，或3Vx<4(舍去)，故0cx<1，

3T33

故不等式的解集为(0，£].

题型四、抽象函数的奇偶性

1.(24-25高一下•云南昭通・期末)已知函数“X)的定义域为R,且/⑼工。，若〃x)-〃y)-/3)=x+y,

则()

A./(1)=-1B./(-1)=1C./(力为增函数D./(x)为奇函数

【答案】C

【分析】利用赋值法求出〃0)、/⑴及1)的值，从而判断AB；令)，=1,结合/⑴的值，可得/(x)=x+l,

从而判断CD.

【详解】对于A,令x=y=0,JJ!J/(0)[/(0)-l]=0,

又因为/(0)工0,所以"0)=1，

令x=l,y=(),则/(l>/(0)_/(0)=l,解得/(1)=2,故A错误；

对于B,令x=T,y=0,则/(—1)/(0)—/(0)=-1,又/(0)=1，

解得/(-1)=0,故B错误；

对于C,令尸1,则有=

又因为/⑴=2,所以/(x)=x+l,

所以函数)，=/(力为单调递增函数，故C正确；

对于D,由C可知/(x)=x+l,为非奇非偶函数，故D错误.

故选:C.

2.(2025高一•全国•专题练习)(多选题)已知函数/(X)的定义域为RJ3)=产数(x)+x7(y),则()

A./(0)=0

B./(1)=0

C.f(x)是偶函数

D.若对于任意的0cx<1,有/(x)v0,则f(x)在(0,1)上单调递增

【答案】ABC

【分析】令x=y=。、x=y=i代入关系式求值判断A、B：令")，二一1得/(-1)=0,令y=-i求得

〃-力二〃力判断C；令x=)，=；得一片<1,结合已知有/(；)>/(£[判断D.

【详解】A：令x=y=O,/(O)=Ox/(O)+Ox/(O)=O,对；

B：令x=y=l,/(l)=lx/(l)+lxf(l),则/(1)=0,对；

C：令x=)，=TJ(l)=/(—l)+〃T)=2f(-l),则f(T)=O,

令了=-1，/(-”=/(小巧/(_1)=/()

又函数/("的定义域为R,所以/(力为偶函数，对：

乂对于任意的0<x<l,有f(x)<。，则/《卜。，所以

所以/(力在(0,1)上不可能单调递增，错.

故选：ABC

3.已知函数/(x)的定义域为R,对任意x,)*R都有/(x+)，)+/(x—A=2/(x)/(y),且〃0)工。，判断

/(》)的奇偶性.

【答案】偶函数

【分析】通过赋值找到/(x)与/(t)的关系，从而确定奇偶性.

【详解】令1=尸0,则〃0)+/(0)=2/(0)/(0),S[J2/(0)=2/(0)/(0),

・・・/(0)工0,解得"0)=1.

再令x=0,则/()，)+/(—y)=2〃0)/(y)=2/()，)，移项可得〃—y)=〃y),

・・・f(x)是偶函数.

4.(24-25高一上•辽宁丹东•期中)定义域为｛NxwO｝的函数/(')满足/(力+/()，)=/(口).

(1)求证：f-j=;

⑵求证：/(x)为偶函数；

(3)当x>l时，/(刈>0,求证：/*(*)在(0,+»)上单调递增,在(-8,0)上单调递减.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】⑴取“=y=i计算出"1)=0,再取此即可；

(2)取y=-l,再取x=y=-l计算出〃-1)=0即可；

(3)利用定义法证明函数在(0,+句上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在(一双。)上的单调性.

【详解】(1)取4=y=l代入/(力+/(封=/(十)，得/⑴=0,

取？」代入/(力+/(y)=/(⑹：

X

丁。，故f5T⑸

(2)取y=T代入/(0+/(加((肛),得f(M+f(T)=f(T),

取尸y=-i代入/(%)+〃y)=〃孙)J(T)+f(-i)"(i),所以/(T)=o,

所以/(K)-/(-K)，因为当4«况入<0｝时，所以/(力为偶函数.

/、

X

(3)设内,%«0,+8),不<毛，则上>1，由题设/2>0.

百

所以“占)-/(%)=/(9)+/-=/X?>0J(X2)>/(xJ，/(x)在(0，+8)上单调递增.

\%17XI

因为“X)为偶函数，所以〃一±)>/(-%)，而一X],0),f>F，所以“X)在(T、0)上单调递

减.

5.(24-25高一上•云南大理•期中)已知函数〃工)的定义域为R,并且满足下列条件：对任意kyeR,都

有f(x+y)=/(x)+/(y)，/(2)=-2,当x>0时，f(x)<0.

⑴求〃。)，〃-2)；

(2)证明:/(X)为奇函数;

(3)解不等式—〃3x+4)+2>0.

【答案】(1)/(。)-0，/(一2)二2：

(2)证明见解析:

⑶11，6).

【分析】(1)由题意赋值x=)，=。得/(。)=0,再赋值x=2和)，=-2即可求解/(—2)=2.

(2)赋值丁=一工结合奇函数定义即可证明.

(3)先由函数单调性的定义证明函数/(可在R上单调递减，再结合/(2)=-2即可将不等式等价转化为

“2_2X<3X+6,解该不等式即可得解.

【详解】(1)令x=y=O,则〃0)=/(0)+〃0)=2/(0),“⑼二。，

令工=2,y=-2,则〃0)=/⑵+/(-2),

v/(0)=0,/(2)=-2,.-./(-2|=2.

(2)•,•函数””的定义域为R,则定义域关于原点对称，

•・•对任意七y《R,都有f(x+y)=/(x)+/(y),

由(1)知，/(o)=o.

令y=-x,贝iJ/(x-x)=/(x)+/(-x)=o,即/(-x)=-/(x),

.••/(力是奇函数.

(3)任取N/eR,且所以用一％2>。，则由题意得/(%-%)<0,

所以f(西)=/(百一/+七)=/(百一七)+F(/)，

•••/(玉)-/伍)=/(内-占)<。,

•'•/(A)<，(王)，•'•/(%)在R上为减函数•

因为/(2)=-2,/(/-2»-/(34+4)+2>0/(/一2X)一/(3%+4)-/(2)>()

^/(x2-2x)>J、(3x+4)+〃2)=/(x2-2xj>/(3x+6)<=>x2-2x<3x+6

<=>x2-5x-6<0»解得一lvxv6，

/(』—2.r)—/(3x+4)+2>0的解集为(—1,6).

6.：24-25高一上•河南•阶段练习)已知函数/a)的定义域为R,对任意实数〃，也都有/(〃-□)=/(〃)-/⑺

成立,且当"0时,r(«xo.

⑴判断了")的奇偶性：

(2)证明：/0)在R上单调递增；

⑶判断命题”对任意正有理数r,炉、x)=/(次)”的真假，并说明理由.

【答案】(1)奇函数

(2)证明见解析

(3)直命题，理由见解析

【分析】(1)由条件，通过赋值依次证明/(())=()，由此证明/("为偶函数，再证明"0

时『(-〃)工，(〃)不成立，证明不是奇函数；

(2)任意取且…,结合条件证明/(“)</"),可得结论：

(3)要证明原命题只需证明V肛"=成立.，再证明〃心)=械(6，由此可得

~fW=/f-l,最后证明(x)=即可.

m\m7m\mJ

【详解】⑴因为对任意实数〃，也都有=/(")一/"),

所以f3-〃)=/3)-f(〃),所以/(。)=0,

在■〃7)=/&)一/⑺中,令〃=0得，/(-v)=/(0)-/(v),

所以/(7)二一/00,所以/J)是奇函数，

因为当〃<0时，/(w)<o,y(-w)=-/(«)>o,所以当(一〃)工/(〃),所以/(x)不是偶函数

(2)证明：任意取〃,i，eR,且"人则〃-"0,所以/(〃一历<0,

所以/(«)-/(V)=/(M-V)<0,即/(〃)</(V),

所以/(X)在R上单调递增.

(3)命题”对任意正有理数是真命题.理由如下：

因为「是一个正有理数，所以广="，科〃cN”,

!71

所以原命题等价于V机,〃eN*,-/(x)=/偿J成立.

tnm)

/(/U-)=/((n-l)x+x)=/((〃-1)/)+f[x)=f[{n-2)x+x)+f{x}

=/((«-2)x)4-2/(%)==f(x+x)+(n-2)/(x)=2/(%)+(n-2)/(x)=nf(x),

所以，*)=/(小土]=切闫，所以，〃幻=/田，

Vw)v阳)mJ

所以(切―/㈣==d巴x]，

m〃7。」m\m)\m)

所以对任意正有理数r,炉(x)=f(rx)成立，

所以原命题是一个真命题.

B综合攻坚•能力跃升」

1.(24-25高一上•辽宁丹东•期末)若函数/(M的定义域为R,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/(1)=1,

则f(4)=()

A.0B.1C.2D.-1

【答案】D

【分析】令X=l，产0可求出/(0)的值，令x=y=i可求出〃2)的值，令x=y=2可求出/(4)的值.

【详解】令X=l,y=0可得2〃1)=〃1)/(0),故/(0)=2,

令工=y=l可得”2)+/⑼=[〃1)1=1,即〃2)+2=1,解得〃2)=-1,

令x=),=2可得/(4)+/(0)=[/⑵]2=1,即/(4)+2=1,解得〃4)=一1.

故选:D.

2.(24-25高一上•江苏盐城•阶段练习)已知函数/(力的定义域为R,对于任意实数x,y满足

〃x+y)=/("(y),K/(i)=2,则瑞+瑞++耦=<>

A.1012B.2023C.2024D.4046

【答案】C

【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解.

【详解】对于任意实数x,y满足/(x+y)=./W(y)，

所以当y=1时,/U+i)=/(x)/(D=2f(x),

IXM/(2)+/(4)/(2024)_2/(1)2/(3)2/(2023)

''/(I)/(3)“2023)/(I)f(3)f(2023)

=2+2+••+2=2x1012=2024.

故选：C

3.(24-25高一上•湖北•期末)(多选题)已知函数/(x)的定义域为R,V.v,yGR./(xy)+xy=.v/'(>')+>/(x),

则()

A./(0)=0B.+

C.八©为减函数D./(X)为奇函数

【答案】ABD

【分析】由条件等式取x=y=l,可求/。)，取x=y=-l,可求/(T),取x=y=o,求/(0),判断A,

取)，=乂.-0),判断B,结合减函数定义及/(l)J(-l)的大小判断C,取y=-l,结合奇函数定义判断

X

D.

【详解】因为DxywR,/(A3')+A3?=rf(y)+yf(x),

令工=y=l,可得/(1)+1=/(1)+/(1),则=

令力=)，=_1,可得+则/(_1)=_].

对于A选项：令x=y=0,可得"0)=0,所以A正确；

对于B选项：令y=」(xH0)可得/(1)+1=灯(』]+,/("=2,所以B正确；

对于C选项：因为/(-1)=-1、/(1)=1,所以/(“不可能为R上减函数，故C错误：

对于D选项：函数/("的定义域为R,定义域关于原点对称，

令y=1,可得/(x)x=xf(1)/(X),

所以〃一力=一/(力，所以/(%)为奇函数，所以D正确.

故选：ABD.

4.(24-25高一上•广东汕尾•期末)(多选题)已知x=l是函数〃力的一个零点，若VxeR,都有

/(x)+〃y)+i=/(x+y)，则()

A./(-2)=-3B.7(2025)=2024

C./6)有最大值D.f(x)+l是奇函数

【答案】ABD

【分析】利用赋值法可判断A；令)，=1,得/(x+l)=/(x)+l,进而求得/(2025)=2024；构造函数

/(力=1一1可排除C,设g(x)=/(x)+i,则g(x)+g(y)=g(x+y),令—即可证明函数g("=/(x)+i

是奇函数.

【详解】由题意，/(1)=0,令x=0,y=0,则〃o)+〃o)+l=/(o+o),解得/(0)=-1,

对于A,令x=Ly=-i,则/⑴++1=-1),解得/(—1)二一2,

令x=-l，y=T，则/(一1)+〃-1)+1=/(-1-1)，解得〃-2)=-3,故A正确：

对于B,令y=l,则/(x+l)=/(x)+/(l)+l=〃x)+l,

则“2025)=/(2024)+1=〃2023)+2=.=/(1)+2024=2024,故B正确;

对于C,设函数〃x)=x-l,

此时/⑴=0,〃力+")，)+1=工-1+尸1+1=(1+)，)-1二/(.叶),)，符合题意；

此时，/(4)的值域为R,则尢最大值，故C错误；

对于D,设g(%)=/(x)+l,

因为VxwR,有〃x)+/(y)+i=/(x+y),

即4eR,有/a)+l+〃y)+l=〃x+y)+l,

所以VxwR,有g(x)+g(y)=g(x+y),

令》=一“，则g(x)+g(T)=g(())=〃())+l=0,所以函数g(%)是奇函数，

即函数/(司+1是奇函数，故D正确；

故选：ABD.

5.求下列函数的定义域：

(1)己知函数/(x)的定义域为卜N2],求函数)，=/(/-1)的定义域.

⑵已知函数y=〃2x+4)的定义域为[0』，求函数/(%)的定义域.

(3)已知函数/(力的定义域为[T2]