二次函数的实际应用综合训练（40题）解析版 -九年级数学上册（浙教版）

二次函数的实际应用综合训练（40题）

一、选择题（10题）

1.（2024•红塔区二模）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度〃（单位：米）与经过的时间，（单

位：秒）满足函数关系式〃=-5P+15/,那么球弹起后又回到地面所经过的时间/是（）

A.4秒B.3秒C.2秒D.1秒

【分析】令力=0,求出，的值即可.

【解答】解：•・》=・5P+I5f,

・•・当〃=0时，即：0=・52+⑸，

解得：/=（）或/=3,

・•・球弹起后又回到地面所经过的时间/是3秒.

故选：B.

【点评】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，是解题的关键.

2.（2024•滨海新区二模）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线

将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度”.（单位：加）与飞行时间f（单位：s）之间

具有函数关系力=20「5汽有下列结论：

①小球从匕出到落地用时为4s；

②小球飞行的最大高度为20,“：

③小球的飞行高度为15〃?时，小球飞行的时间是l.v.

【分析】根据函数表达式，可以求出力=（）的两根，两根之差即为小球的S行到落地的时间，求出函数的

最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20—5/2=15的意义为。=15时所用的时间，据此解

答.

【解答】解：令〃=0,则20L5P=O,

解得八=0,々=4，

・•・小球从飞出到落地用时为4s,

故①正确：

h=20t-5/2=-5(/2-4/)=-5(/-2)2+2(),

•・•・5<0,

，力的最大高度为20小，

故②正确；

令6=15,则201・5户=15,

解得八=1-2=3，

・•・小球的飞行高度是15加时，小球的飞行时间是一或3s,

故③错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键.

3.(2024•榆社县模拟)如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口,4处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度

y(〃?)与水平距离x(〃?)之间的关系如图2所示，点8为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，

且AOJ_OC,垂足为点。，OA=2m.若BD=6m,00=2”，则OC的长为()

图1图2

A.4mB.5mC.(乃一2)mD.(V6+2)m

【分析】根据题意可得月(0,2),B(2,6),设抛物线的表达式为y=a(.r-2)2+6.将.4(0,2)代

入，求出a的值，即可解答.

【解答】解：'：OA=2m,BD=6m,OD=2m,

：.A(0,2),B(2,6),

设抛物线的表达式为y=aG--2)2+6.

将％(0,2)代入，得4a+6=2,

解得a=-1.

・•・抛物线的表达式为y=-（x-2）2+6.

令y=0,贝ij-（x-2）2+6=0.

解得必=遍+2,x2=-V64-2（不合题意，舍去）.

的长为（乃+2）m.

故选：D.

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式.

4.（2023•石家庄模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度6（单位：利）与小球运动时间/（单位:

$）之间的函数关系如图所示，下列结论：

①小球在空中经过的路程是4（）〃「

②小球抛出3秒后，速度越来越快：

③小球抛出3秒时速度为0；

④小球的高度〃=30、时,f=L5s.

其中正确的是（）

C.②③D.②③④

【分析】根据函数的图象中的信息判断即可.

【解答】解•：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40/〃；故①错误;

②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；

③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0,故③正确；

④设函数解析式为：h=a（L3）2+40,

c40

把O（0,0）代入得0=a（0-3）2+40,解得4=一彳，

40、

.,.函数解析式为力=一（L3）2+4（）,

40、

把人=30代入解析式得，30=-—（1-3）2+40,

解得:7=4.5或f=1.5,

，小球的高度力=30阳时，E=1.5s或4.5s,故④错误;

故选：c.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属r,中考基础题，常考题型.

5.某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8

件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件

的定价为（）

A.21元B.22元C.23元D.24元

【分析】根据“利润=（售价-成本）X销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间

的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答.

【解答】解：设定价为x元，每天的销售利润为八

根据题意得：y=（x-15）[8+2（25-x）]=-2v2+88x-870,

・・・y=-2X2+88X-870=-2（x-22）2+98,

•・"=-2<0,

・•・抛物线开口向下，

・'•当x=22时，y出大值=98.

故选：B.

【点评】此题考查二次函数的实际应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键

是二次函数图象的性质.

6.（2022秋•和平区期末）某农场要建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，

并在如图所示的两处各留1加宽的门.已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28加，则当能建

成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（）米.

1-门一门一1

A.4B.5C.6D.8

【分析】设垂宜于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为28+2-3x=3（）-3x,表示出总面积S=x

（30-3x）=-3X2+30X=-3（x-5）2+75即可求得面积的最值.

【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，

则平行于墙的材料长为28+2・3x=30・3x,

则总面积S=x(3()3x)3x2130x=3(.v5)2i75,

・•・当x=5时，能建成的饲养室面积最大为75平方米，

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大.

7.（2024•广东模拟）位于我市平远中行镇的秉虹桥，始建于明朝嘉靖年间，是赣粤盐米占道上一颗璀璨的

明珠，它是形状大小相同的双孔石拱桥，每个孔内侧呈抛物线型，如图1，当一个孔的水面宽度为10米

时，则拱顶离水面的高度为5米，若以一个孔的拱顶为坐标原点，桥面为x轴（不考虑拱部顶端的厚

度），竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系如图2,可计算出当一个孔的水面宽度为12时，则拱顶离

水面的高度为（）米.

图1图2

A.7.2B.6.5C.5.6D.6

【分析】依据题意，设抛物线的解析式为又由题意，抛物线过点（5,-5）,从而求出。=一

可得抛物线的解析式为尸一*，再由一个孔的水面宽度为12时，可令x=6,求出了即可得解.

【解答】解：设抛物线的解析式为y=a”，

又由题意，抛物线过点（5,-5）,

-5=25a.

1

・"二-『

；・抛物线的解析式为y=-

当一个孔的水面宽度为12时，令x=6,

1。

・'.y=——x62=-7.2.

故拱顶离水面的高度为7.2米.

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键.

8.（2024•雁塔区校级四模）如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地

面的高度都是8小，公司想在大门两侧距地面5机处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（)

C.2V3mD.4m

【分析】建立坐标系，抛物线的顶点坐标为（0,8）,设抛物线解析式为y=ad+8,又知抛物线过（4,

D）,可求出a.把y=5代入函数表达式即可解决问题.

【解答】解：以地面所在直线为x轴，过大门最高点垂直于地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如

设抛物线解析式为_y=a3+8,

又知抛物线过（4,0）,

，0=16a+8,

1

解得：。=-5,

••y=——V2+8,

把y=5代入y=-,

解得：x=土石,

故两壁灯之间水平距离为2V6.

故选：A.

【点评】本题主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决

实际问题.

9.12024♦和顺县一模）如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图.示意图中曲线4可近似看作一条抛物

线，四边形力8C。为矩形且支架力从CD,G〃，MV均垂直于地面8c.已知BC=6米，43=2米，以

BC所在的直线为x轴，线段5C的垂直平分线为），轴I,建立平面直角坐标系X。，（规定一个单位长度代

表1米），若点M的坐标为（1,3）,则抛物线的表达式为（）

A.y=~sx2+~^

17106

c丫二营+WT

【分析】依据题意得，抛物线的对称轴是y轴,故可设抛物线为y=a/+力，再由。（3,2）,M（1,3）,

可得方程组成仁士々？，进而计算可以得解.

【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴是y轴,

故可设抛物线为丁=。/+爪

又,：D（3,2）,M（1,3）,

.[9a+h=2

•,ta+/i=3,

1.25

・•・抛物线的解析式为y=--v2+—.

oo

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据题意由待定系数法求解是关键.

10.（2024•立山区模拟）如图，小明站在原点处，从离地面高度为1机的点力处抛出弹力球，弹力球在4

处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第

一次着地前抛物线的解析式为），=]G2）2D,弹力球在，处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出

的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为05〃，高为05〃的圆柱形筐，筐的最左端距离原

【分析】先把点/坐标代入y=a（x-2）2+2求出。=一；，令y=0,解方程求出点4坐标，再根据弹

力球在4处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，且两条抛物线形状相同，可以设

弹力球第一次着地后的抛物线解析式为》=一]（x・〃）2+l,再把点8坐标代入解析式求出人然后令y

=0.5,解方程求出x,再根据框的底面直径求出框最左端距离原点的取值范围，从而得舟结论.

【解答】解：•••点/（0,1）是抛物线（x-2）2+2的起点，

A1=a（0-2）2+2,

解得：a=-J,

，第一次着地前抛物线的解析式为y=（x-2）2+2,

当y=0时，一*（x-2）2+2=0,

解得：X]=2+2&,X2=2-2V2（舍去），

・••点8的坐标为（2+2V2,0）,

•••两条抛物线是形状相同的两条抛物线，且着地后抛物线的高度是着地前抛物线高度的一半，

・•・设弹力球第一次着地后的抛物线解析式为（%-/?）2+1,

将点力代入该解析式，得加=2遮（舍去），的=2近十4,

・•・弹力球第一次着地后的抛物线解析式为y=（X-2V2-4）2+1：

•••弹力球第一次着地后的抛物线的对称轴为直线x=2加+4,

•・•点8的横坐标为2立+2,

・•・点B到第一次着地后的抛物线的对称轴的距离为2&+4-2&一2=2,

・•・点C的横坐标为2&+4+2+2=272+6,

・••点C（2V2+6,0）,

・•・弹力球第二次着地点到点。的距离为（2V2+6）〃厂

•・•圆柱形筐的高为（）5〃，

，当y=0.5时，一:（x-2鱼-4）2+I=O.5,

解得.勺=4+3近.X2=4+V2（舍），

•・•箧的底面半径为05”，直径为1m,

・•・当弹力球恰好落入框内，框的最左端到原点的距离〃的取值范围为3+3鱼<“W4+3日

・•.〃的值可以是8,

故选:B.

【点评】本题考查二次函数的应用，解一元二次方程，平移，掌握二次函数的性质以及平移的性质是解

题关键.

二、填空题（10题）

11.（2023•襄阳模拟）如图，用一段长为16〃?的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长

展为当这块矩形场地的面积最大时，平行于墙的一边长为k

【分析】设与墙垂直的一边长为m?,然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析

可求出答案.

【解答】解:设与墙垂直的一边长为切?，则与墙平行的一边长为（16-2x）m,

,矩形围栏的面积为x（16-2r）=-2X2+16X=-2（x-4）2+32,

■:-2<0,

・•・当x=4时，矩形有最大面积为32〃户，

此时与墙垂直的一边长为4小，与墙平行的一边长为8/〃，符合题意，

故答案为：8.

【点评】本题考查二次函数的应用，准确识图，掌握二次函数的性质是解题关键.

12.（2024•喀什地区二模）如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面2万时，水面宽4m.若水面再上升1.5雁,

则水面的宽度为m.

4m

【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了

多少，本题得以解决.

【解答】解：如图建立平面直甭坐标系,

设抛物线的解析式为y="2,

由已知可得，点（2,-2）在此抛物线上，

则・2=aX22,

解得a=一今

.1,

•­y=-2x~,

1.

当y=・0.5时,一次2=・os

解得x=±l,

此时水面的宽度为2m,

故答案为：2.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平

面直角坐标系.

13.（2023•遵化市二模）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩

。距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱儿?=1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下

方，则茶几到灯柱的距离AE为米.

【分析】以所在直线为x轴、48所在直线为），轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析

式，再求出了=1.5时x的值的即可得出答案.

【解答】解：如图所示，以4E所在直线为x轴、48所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

，点B与点、D关于对称轴对称，

・"E=2X1.6=3.2（m）；

方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6,2.5）,

设抛物线的解析式为7=〃（x-1.6）2+2.5,

将点6（0,1.5）代入得,2.56〃+2.5=1.5,

1

解得a=-A

7Z.7bo,

1.

・•・抛物线的解析式为y=（'・L6）2+2.5,

当y=1.5时，一与（x-1.6）2+25=1.5,

Z.DO

解得x=0（舍）或x=3.2,

所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米,

故答案为：3.2.

【点评】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析

式与点的坐标的能力.

14.（2023•沈阳模拟）某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，那么每天可

销售21件，经调杳发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么每天销售利

润最大时，该商场销售•件该种商品所获利润为元.

【分析】根据利润=数量x每件的利润建立力与X的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论.

【解答】解：设销售单价x元，商场每天获得的利润为"元，则

W=（x-15）[21-3（x-20）]=-3x2+126x7215=-3（x-21）2+108,

当x=21时，w景大=108,

・••当售价为21元时，每天获得的最大利润为108元.

・••该商场销售一件该种商品所获利润为6元，

故答案为：6.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大.

15.（2024•滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面

有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建

1c

立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为y=若露在墙壁外面的钢管的长度

勿=0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度48=1米.要使钢管中流出的水都落在

水池里，那水池宽至少是米.

【分析】依据题意，令y=-l,则^=一/避=-1,求出x后即可判断得解.

【解答】解：由题意，•・•令y=-1,则y=-$2=-i,

AX2=4.

.*.x=-2或x=2（舍去）.

・•・水池宽至少是2+02=2.2（米）.

故答案为：2.2.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.

16.（2023春•东莞市校级月考）如图，有长为24〃?的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃/4CQ

的面积最大为

【分析】设篱笆的宽48为x,长8。为(24-3x),列出面积S与x的函数关系式，求出最值.

【解答】解：设篱笆的宽48为x米，长8c为(24-3x)米，

.'.5=x(24-3x)=-3.V2+24x=-3(x-4)2+48,

•・•墙长不限，

当x=4时，24-3x=12,S值最大，此时S=48.

故答案为：48.

【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数的综合运用，考查学生根据图形信息列出二次函数，本题

难度适中，经常在考卷中出现，解决问题的关键是弄清题意，艰据公式列出面积与x的关系.

17.(2024•宝应县二模)要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头,

使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1〃?处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3

米，水管长应为____米.

/二

【分析】设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+限用待定系数法求得抛物线的解析式，再令1=0,求得)

的值，即可得出答案.

【解答】解：设抛物线的解析式为y=a(x-//)2+〃，

由题意可知抛物线的顶点坐标为(1,3),与x轴的一个交点为(3,0),

：.0=a(3-1)2+3,

3

解得：a---,

3

・•・抛物线的解析式为：丁=一彳(1-2)2+5,

39

当x=0时，y=—1(0-1)24-3=—.

J水管的长度。1是的.

9

故答案为：

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键.

18.（2024•白山二模）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为13的奖杯,

4.

杯体轴截面48c是抛物线y=+6的一部分，则杯口的口径力C长为.

Ox

【分析】求出点4C的坐标，即可求出杯口的口径力C长.

【解答】解：•••00=13,

・••点。的坐标为。（0,13）,

4\

当y=13时，-x24-6=13,

/7

7

解得x=±5，

77

13）,C（-,13）,

77

・•・〃•=5-（-5）=7,

故答案为:7.

【点评】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定

系数法求点的坐标是解题的关键.

19.（2023•朝阳区二模）如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长48=3相，BC=4m,抛物线

的最高点石到8C的距离为4川，在该抛物线与力。之间的区域内装有一扇矩形窗户/G〃K,点G、，在

边力。上，点从K在该抛物线上.按如图所示建立平面直角坐标系.若G，=2〃?，则矩形窗户的宽尸G

的长为w.

"至K

BOI~C~~

【分析】根据抛物线在坐标系的位置，可设抛物线的表达式为卜=妙2+和依题意得点E（0,4）,点。

（2,3）在抛物线的图象上，抛物线解析式可求；根据G〃=2加可确定〃（1,3）,再把x=l代入解析

式求出相应的y值，然后再减去3,即可得到尸G的长.

【解答】解:设抛物线表达式为y=a『+c,

由图象可知：E（0,4）,点。（2,3）,

.传=4

••l4a+c=3，

解得卜=T，

（c=4

；・抛物线的表达式为y=—%2+4,

GH=2,

：,H（1,3）,

1、15

当x=l时，^=-Tx12+4=―,

■44

153

：.FG=HK=—-3=~（〃］），

44

3

・•・矩形窗户的宽FG的长为刀〃，

3

故答案为：

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结

合的思想解答.

20.（2024•绿园区校级开学）某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱力。和点高均为0.75

米，门宽48为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面48的最大高度为4.8米,

工人师傅站在倾斜木板力〃上，木板点〃一端恰好落在门拱上且到点力的水平距离4N为7.5米，工人

师傅能刷到的最大垂直面度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度为米.

【分析】先根据题意建立如图所示坐标系，然后利用待定系数法即可求出函数表达式，然后求出点必坐

标，再求出直线。必的解析式，设工人能够刷到的最大高度点为E,过E作x轴的垂线交直线于点

F,设点£■的坐标为（w,-0.2（而-4.5）2+4.8）,则尸（小，04??）,求出ER再根据石尸=2.4,解出阳

的值，从而得出结论.

【解答】解：以力为坐标原点，48所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示:

由题意知，抛物线顶点。的坐标为(4.5,4.8),

设抛物线的表达式为(x-4.5)2+4.8,

•：AD=0.75,

：.D(0,0.75)

，将点。代入抛物线解析式得，0.75=4.52a+4.8,

解得a=-0.2,

・••抛物线对应的函数的表达式为y=-0.2(x-4.5)2+4.8,

将x=7.5代入y=-0.2(.v-4.5)2+4.8中，得y=3,

・•・点”坐标为(7.5,3),

・•・设直线QW的解析式为y=kx(々工0),

将点M(7.5,3)代入得，75k=3,

・M=0.4,

・•・直线OM的解析式为y=0.4x,

设工人能够刷到的最大高度点为E,过上作工轴的垂线交直线OM于点F,

二设点E的坐标为(m,-0.2(m-4.5)2+4.8),则尸(m,0.4m),

：.EF=-0.2(/H-4.5)2+4.8-0.4阳=-0.2//r+1.4w+0.75=-0.2-3.5)2+3.2,

•・•师傅能刷到的最大垂直高度是2.4/77,

・•・当斯=2.4时,UP-0.2(w-3.5)2+3.2=24

解得W=L5,〃?2=5.5,

V5.5-1.5=4(〃?)，

・•・工人师傅刷不到的最大水平宽度为4/〃,

故答案为：4.

【点评】本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、

应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键.

三、解答题（20题）

21.（2024•罗湖区校级模拟）深圳某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品

的试销期间，为促销，企业决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按30U0元销售；若

一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单

价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件.

（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？

（2）设商家一次购买这种产品x件，该企业所获的利润为y元.在企业规定范围内，商家购买多少件时，

企业可获得最大利润？最大利润是多少？

【分析】（1）依据题意，设商家一次购买该产品x件时，俏售单价恰好为2600元，再根据一次购买该种

产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，得出3000・10（x-10）

=2600,进而可以得解；

（2）依据题意，分别根据当0<xW10时、当10〈xW50时和当50VxW60时分别求出最值即可得解.

【解答】解：（1）由题意，设商家一次购买该产品x件时，铛售单价恰好为2600元.

3000-10（X-10）=2600,

解得：x=50.

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元.

（2）由题意，①当OVxWlO时，y=（3000-2400）x=600.r,

・••当x=10时,歹域大=600XI0=6000（元）；

②当10VxW50时，

y=f3000-10（x-10）-24001.V

=-10^+700.¥

=-10（x-35）2+12250,

・••当x=35时，y最大=12250（元）.

③当50VxW60时，y=（2600-2400）x=200x,

・••当x=60Fbf,y鼓大=200X60=12000（元）

综上所述，当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元.

【点评】本题主要考杳了二次函数的应用以及二次函数最值问题，解题时要能读懂题意并杈据已知建立

函数关系式是关键.

22.（2022秋•龙岩期末）如图，现打算用60〃?的篱笆围成一个“日”字形菜园力（含隔离栏E”）,菜

用的一面靠墙墙MN可利用的长度为39机.（篱笆的宽度忽略不计）

（1）菜园面积可能为252〃户吗？若可能，求边长力4的长，若不可能，说明理由.

（2）因场地限制，菜园的宽度48不能超过8〃?，求该菜园面积的最大值.

rAEDN

BFC

【分析】（1）设的长为川小则8c的长为（60-3x）〃?，根据矩形的面枳=252列出方程，解方程取

符合题意的值即可；

（2）设44的长为#〃，菜园面积为“〃2,根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值.

【解答】解：⑴设48的长为X”?，则的长为（60-3x）m,

根据题意得：x（60-3x）=252,

解得x=6或x=14,

当x=6时，8c=60-18=42>39,舍去；

当x=l4时，50=60-42=1809,满足题意，

，花园面积可能是252〃落此时边48长为14w；

（2）设48的长为*〃，菜园面积为J”，，

由题意得：y=x（60-3x）=-3X2+60X=-3（x-10）2+300,

V-3<0,

・••当x〈10时，y随x的增大而增大，

•・"W8,

工当x=8时，y最大，最大值为288.

答：该菜园面积的最大值为288平方米.

【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关健是找到等豉关系列出方程和解析式.

23.（2024•通海县模拟）在美丽的泉州，流行一种簪花，色彩绚丽美观，展现了人们的朴素美与对生活的

热爱，簪花文化的传播，也带动了簪花的销售.某商店购进•批成本为每件30元的簪花，销售时单价不

低于成本价，且不高于50元，据市场调查分析发现，该簪花每天的销售量y（件）与俏售单价x（元）

之间满足一次函数关系，且当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件.

（1）求出y与x之间的函数关系式.

（2）当销售单价定为多少时，才能使销售该种簪花每天获得的利润”，（元）最大？最大利润是多少？

【分析】（1）设歹与x之间的函数关系式为卜=米+〃（女#0）,根据“当销售单价为35元时，可销售90

件；当销售单价为45元时，可销售70件”列式求解，即可解题.

（2）最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，根据利润=（售价■成本）X销售量，可用x表

达利润w,再利用二次函数的最值问题求解即可.

【解答】解：（1）•・•该簪花每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，

，设歹与x之间的函数关系式为y=Ax+6（"W0）,

•・•当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售7（）件，

.（35k+b=90

••（45k+b=70'

解得｛空温，

・••设y与x之间的函数关系式为y=-2t+160；

（2）由题知：卬=（%-30）（-2x4-160）

=-2X2+220X-4800

=-2（x-55）2+1250，

*/-2<0,

Ax<55时，3随x的增大而增大，

又30W/W50,

・•・当x=50时，w有最大值为-2X（-5）2+1250=1200（元）,

・•・当销售单价为50元时，该商店获得的利润最大，最大利润为1200元.

【点评】本题考查本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，正确记忆相关知识点是解题关键.

24.（2024•东台市一模）社区利用一块矩形空地48c。建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知

56米，/〃=32米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖•

的面积为880平方米.

（1）求道路的宽是多少米？

（2）该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车

位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金

收入最大？

【分析】（1）根据题意列出方程（56・入）（32-2v）=880,解方程即可：

（2）设月租金上涨。元，停车场月租金收入为w元，根据每个车位租金X租出去的车位=总租金列出

函数解析式，由函数的性质求最值.

【解答】解：（1）设道路的宽为x米，根据题意得，

（56-2x）（32-2x）=88（）,

解得：x1=38（舍去），.0=6，

答：道路的宽为6米；

（2）设月租金上涨。元，停车场月租金收入为w元，

a1

根据题意得：w=（200+。）（60-0=-（a-50）2+12500,

1

V->0,

KJ

・•・当。=50时，月租金收入最大为12500元,

答：每个车位的月租金上涨5（）元时，停车场的月租金收入最大.

【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，找到等量关系列出解析式是解答本题的关键.

25.（2024•咸阳模拟）《三辅黄图》提到：“谶桥在长安东，跨水作桥，汉人送客至此桥，折柳赠别.”如图①

是流桥旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线形，它距离地面的高度y（m）

与到树干的水平距离x（〃力之间满足关系式y=-『+及+c,已知这枝垂柳的始端力到地面的距离=

5〃?，末端8恰好接触地面，且到树干底部的水平距离08=5机.（注：树干近似看作直线）

（!）求该抛物线的函数表达式.

（2）踩着高跷的小明头顶距离地面2加，他从点。出发向点8处走去，请计算小明走了多少米时，头顶

刚好碰到这枝垂柳？

①②

【分析】（1）依据题怠，得该抛物线经过点力（0,5）和点8（5,0）,进而建立方程组计算可以得解；

（2）依据题意，在y=-F+4x+5中，令y=2,从而可得-『+4x+5=2,求出x后即可判断得解.

【解答】解：（1）由题意，得该抛物线经过点/（0,5）和点8（5,0）,

cc=5

Al-52+5b+c=0*

.（b=4

,*lc=5,

・•・该抛物线的函数表达式为沙=十公十5.

（2）由题意，在y=-/+4户5中，令y=2,

・•・-X2+4X+5=2.

AXI=2-V7（不符合题意，舍去），X2=2+V7.

，小明走了（2+x/7）m时，头顶刚好碰到这枝垂柳.

【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并灵活运用二次函数的性质是关键.

26.（2023秋•驻马店期末）如图①，桥拱截面。历1可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面

宽。4=8〃?，桥拱顶点占到水面的距离是4〃?.

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为1.2加的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距。点04〃时，桥下水位刚好在。力

处，有一名身高1.68〃?的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由

（假设船底与水面齐平）.

①②

【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点8（4,4）,先设抛物线的顶点式y="G-4）

2+4,再根据图象过原点，求出。的值即可；

（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出,的值，然后和1.68比较即可.

【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽是8加，桥拱顶点8到水面的距离是4〃?，

结合函数图象可知，顶点8（4,4）,点。（0,0）,

设二次函数的表达式为（x-4）2+4,

将点O（0,0）代入函数表达式，

解得：a=-J，

，二次函数的表达式为丁二-3（x-4）2+4,

即y=—32+2X（0WxW8）；

（2）工人不会碰到头，理由如下：

•・•小船距O点04〃，小船宽12〃，工人直立在小船中间，

1

由题意得：工人距。点距离为0.4+5x1.2=1,

，将=1代入y=—/2+2X,

7

解得：V=1=1.75

VI.75m>1.68w,

・••此时工人不会碰到头.

【点评】本题考杳二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键.

27.（2024•淮滨县校级模拟）小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈

旭物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度），（〃?）与距离浇水装置

的水平距离x（相）之间的函数图象，如图所示，已知点力（0,1）,抛物线顶点坐标为点8（2,3）.

（1）求水流所形成的抛物线的表达式.

（2）小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置

不能浇到古树的原因.

（3）通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小

保持不变，若想让（2）中的占树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？

请直接写出答案.

【分析】（1）根据题意用待定系数法求解析式即可:

（2）令v=0,解一元二次方程，求出的x与5比较即可：

（3）设此浇水装置需向上平移则平移后的解析式为j，=-g（x-2）2+3+/,然后把（5,0）代入

解析式求出,即可.

【解答】解：（1）设水流所形成的抛物线的表达式为y=a（x-2）2+3.

把点力（0,1）代入，得1=4〃+3,

1

解得Q=-3，

1c

・•・水流所形成的抛物线的表达式为y=—5（x—2）2+3；

（2）令y=0,贝ij——2/+3=0,

解得x=2+n（负值己舍去）.

V2+V6<5,

・•・此浇水装置不能浇到古树；

（3）喷水装置移动之后水流的形状、大小保持不变，

・•・设此浇水装置需向上平移”人则平移后的解析式为y=（x-2）2+3+/,

把x=5,y=0代入解析式得，（5-2）2+3+r=0,

3

解得/=5，

乙

3

・•・此喷水装置需要向上移动的最小距离是了〃.

【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式.

28.（2024•宛城区校级三模）如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点/为顶点,

其高为9米，宽OE为18米，以点。为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系.矩形43CQ是

安装的一个“光带”，且点4。在抛物线上，点从。在上.

（1）求该抛物线的函数表达式；

(2)求所需的三根“光带”45,AD,OC的长度之和的最大值，并写出此时。8的长.

y

'M

JK.

CER

【分析】(1)利用待定系数法即可求解；

设点力的坐标为(〃?，一用〃?的值表示出AD,0c的长度，得到关于/〃的二次函数，

利用二次函数的性质求解即可.

【解答】解：(1)由题意知，顶点历(9,9),E(18,0),

可设该抛物线的函数表达式为(x-9)2+9,

•・•抛物线过原点O(0,0),

：.a(0-9)2+9=(),

解得a=一义,

・•・该抛物线的函数表达式为y=-1(x-97+9=—方2+2h

(2)设点力的坐标为(m,-^77t2+2m),则08=用，AB=DC=-+2m,

根据抛物线的轴对称性质，可得OB=CE=m,

故4c=力。=18-2加，

11229.45

*.AB+AD+DC=—乎［92+2m+18—2m--^rn92+2m=-^m.72+2m+18=——(zm——)2+—,

2

・・•-g<0,

945

.•・当。8=m=5米时，三根“光带”长度之和的最大值为—米.

乙乙

【点评】本题考查了二次函数口勺应用，正确记忆相关知识点是解题关键.

29.(2024•永城市校级一模)某校举办“集体跳长绳”体育活动，若在跳长绳的过程中，绳只到最高处时

的形状是抛物线型，示意图如图所示，以的中点。为原点建立平面直角坐标系(甲位于无轴的点E

处，乙位于x轴的点。处)，正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为力点，B点、,且44的水平距

离为4加，绳子甩到最高点。处时，他们握绳的手到地面的距离4E与8。均