高考数学二轮复习专项突破（新高考版）培优点6 向量极化恒等式

培优点6向量极化恒等式

平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且

复:杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清

晰简单.

考点一向量极化恒等式

极化恒等式：0〃=(W")一

变式：(I>A=————j—,

⑵如图，在中，设M为的中点，则然•尼=麻2_1为2=疝2_必论

考向|利用向量极化恒等式求值

例1(1)如图所示，在长方形A8C。中，AB=4小，AQ=8,E,0,尸为线段8。的四等分

点，则恁•后=.

答案27

解析BD=ylAB2+AD2=\2,

・・・A0=6,OE=3,

由极化恒等式知

危病=份一赤=36—9=27.

(2)如图，在△48C中，。是BC的中点，E,尸是AO上的两个三等分点.BACA=4,BFCF

=-1,则丽&:的值为

BD

答案8

解析设BD=DC=m,AE=EF=FD=n,

则人/)=3”.

根据向量的极化恒等式，

得/(^/=助2—m2=9〃2_〃?2=4,①

FB-FC=FD2-DB2=n2一nr=-1.②

5

-2

8-13-

联立①②，解得〃208

7

因此丽.曲=ED2~DB2=4,r-m2=».

o

即症走二3

o

考向2利用向量极化恒等式求最值、范围

例2(1)已知48是圆O的育仔，八B长为2.。是圆O上异干A,B的一点,〜是画。所在

平面上任意一点，贝IJ(说+港)•市的最小值是.

答案

解析如图所示，取。。的中点。，连接P。，因为。为AB中点，

所以(后+而).正

=2POPC,

由极化恒等式得

POPC=pb2-Db2=pb2-^

因此当月为。。的中点，即|国)|=0时，

,ff1

(PA4-PB)/C取得最小值一,

(2)平面向量m)满足12a一力区3,则a功的最小值为

9

答案-8

解析由向量极化恒等式知

(2a+b)2-(2a—b)2

a・b=3

|2+肝一|2°一例2

=8

/、329

>-

\0^

当且仅当|2a+〃|=0,|2。一川=3,

33

-固-

4-2(a,b)一兀时,取最小值.

规律方法利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特

别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.

跟踪演练1⑴如图，在四边形A8C。中，8=6()。，AB=3,BC=6,且病=源己AI)AB=

3

一宗则实数4的值为；若M,N是线段EC上的动点，且|丽=1,则说/•丽的最

小值为.

答案iT

解析依题意得4O〃8C,NBAO=120。,

由ADAB=\AD\-\AB\-cos/BAD

33

-的-

2--2

AD1

因此2=6-

BC

取MN的中点£,连接(图略),

则血+痂=2欣

丽丽马(而十阚2-(而一阚3

=DE2-^NM2=DE2-^.

当点M,N在线段BC上运动时，。后的最小值等于点。到直线8c的距离,

即"sin人呼，

因此於一；的最小值为(鸣2—卜当，

即胸•凉的最小值为宁.

(2)如图所示，正方体A8CD-AIBIGG的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦(我们把球面

上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面.上的动点，当弦MN的长度最大时，

向阮丽的取值范用是

答案10,2]

解析由正方体的棱长为2,得内切球的半径为1,正方体的体对角线长为2小.当弦MN的

长度最大时，MN为内切球的直径.设内切球的球心为0,

则PMPN=PO2-ON2=Pb2-\.

由于p为正方体表面上的动点，故OP£[1,<3],

所以丽屈£[0,2].

考点二等和(高)线解基底系数和(差)问题

等和(高)线

平面内一组基底总，为及任一向量/，OT=人次+〃历(九"£R),若点尸在直线AB

上或在平行于48的直线上，则/+〃=M定值)；反之也成立，我们把直线43以及与直线A3

平行的直线称为等和(高)线.

(I)当等和线恰为直线48时，左=1；

(2)当等和线在。点和直线A8之间时，女£(0,1)；

(3)当直线A8在。点和等和线之间时,火£(1,+8)；

(4)当等和线过O点时，出=0；

(5)若两等和线关于。点对称，则定值玄，幻互为相反数；

(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.

例3(1)在446。中，M为边8c上任意一点，N为AM的中点，俞=派+痴2(九〃ER),

则2+4的值为()

A.；B.|C.1D.1

答案A

解析方法一设8M=f6C(0WWl),

则赢=拓1/=:(赢+丽)

=;八+3俞=;而+5反？

=^AB+^AC—AB)

=(5£)前十^

所以2=＞女,R=g,

所以2+"=T.

方法二如图，过N作3C的平行线，

设2+"=鼠则修典

\AM\

由图易知，号1-；.

\AM\

A

入

BM

(2)如图，圆O是边长为26的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点。，点M为圆上

任意一点，BM=xBA-\~yBD(x,y£R),则2x+y的最大值为()

A

RDC

A.^2B.小

C.2D.2y/2

答案c

解析如图，作出定值人为1的等和线OE,AC是过圆二的点最远的等和线,

则由/=工函+)丽

=函•+yBD=2xBE+vBD9

z•J

当M在N点所在的位置时，2r+y最大,

设2x+y=Z,则*=幽=2,

I两

所以2r+y取得最大值2.

易错提醒要注意等和（高）线定理的形式，解题时一般要先找到A=l时的等和（高）线，以此

来求其他的等和（高）线.

跟踪演练2给定两个长度为1的平面向量而1和协，它们的夹角为专，如图所示，点。在

以。为圆心的时上运动，若无=工为+）方面x,yER）,则x+y的最大值是

答案2

解析方法一以O为坐标原点，后所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图（1）所示,

则41,0）,《一；,坐），

设N/10C=a（a£[o,yj）,

则C(cosa,sina).

cosa=x-

由次=x®+)，励，得＜r

sina=+-)

所以x+）,=cosa+小sina=2sin（a+5

r「八2兀]

又yj,

所以当a=即寸，x+），取得最大值2.

方法二令；v+y—匕在所有与直线八8平行的直线中，力线离圆心最远，如图（2）,即比时〃

取得最大值，结合角度，不难得到女=四=2.

\OE\

专题强化练

1.已知正方形A8C。的面积为2,点。在边上，则访辰的最大值是（）

933

A-B2C-D-

224

答案B

解析如图所示，取CO的中点E,连接PE,由极化恒等式可得丽•元=匠2一反"2=^2—

所以当。与48）重合时,

2.如图，在四边形MNPQ中，若成）=3。，|励=6,|亦|=10,MNMQ=-2S,则/诵"等

于（）

A.64B.42C.36D.28

答案C

解析由亦•通=而一而

=36一永=-28,

解得苏2=64,

所以质2=64,

所以标•»=丽•丽=历2—羽

=100-64=36.

3.若A,B为双曲线冬一9=1上经过原点的一条动弦，M为圆C：f+G，-2产=1上的一个

IO4d

动点，则/讪•曲的最大值为（）

A.号B.7

C.-7D.-16

答案C

解析如图，。为A3的中点，

诵而二丽2-我2,

|MO|nm=|Oq+l=3,

B|min=2〃—8,

所以（立I历）max=9_；X64=_7.

4.如图，△BC。与△ABC的面积之比为2,点P是区域ABDC内任意一点（含边界），目.崩二派

+"/，贝”.+〃的取值范围为（

A.[0,1]

C.[0,3]D.[0,4]

答案C

解析如图，当P位于点A时，a+"）min=0,

当P位于点。时，a+"»ax=3.

5.已知在AABC中，Po是边AB上一定点,满足PoB=%B，且对于边/IB上任一点P,恒

石诵•无》镉.前,贝4()

A.NA8C=90。B./BAC=90。

C.AB=ACD.AC=BC

答案D

解析如图所示，取的中点E,因为P()B=%B,

▲

APEPnB

所以户o为助的中点，取8c的中点。，连接。凡，DP,

则DPo为4CEB的中位线，DPQ//CE.

根据向量的极化恒等式，

有丽元=寿一奇，

PoBPoC=Po52-5fi2.

又丽.正》Rd,

则I而闫而5|恒成立，

必有QPo_L48.因此CEA.AB,

又七为AB的中点，所以AC=BC

6.已知等边△ABC内接于半径为2的圆0,点尸是圆。上的一个动点，则荷•丽的取值范

围是.

答案[-2,6]

解析如图所示，取的中点力，连接C。，因为△ABC为等边三角形，所以。为△ABC

的重心，。在CO上，且。。=20。=2,所以CO=3,48=25.又由极化恒等