高一数学单元复习（人教A版必修第一册）二次函数、分段函数、幂函数的图像与性质（6大重点题型）含解析

专题05二次函数、分段函数、黑函数的图像与性质

目录

A题型建模-专项突破...............................................................1

题型一、二次函数的单调性.......................................................................1

题型二、二次函数根的分布问题（难点）...........................................................1

题型三、二次函数的最值（值域）问题.............................................................2

题型四、分段函数的求值、图像与不等式（重点）..................................................3

题型五、分段函数的性质（常考点）...............................................................4

题型六、基函数的图像与性质.....................................................................5

B综合攻坚-能力跃升..............................................................8

A题型建模•专项突破

题型一、二次函数的单调性

I.（24-25高一下•湖南怀化•期末）函数/（x）=V+W+3卜+1在区间（YO,3］上是单调递减的，则实数。的

取值范围是（）

A.（3,+oo）B.（-oo,3］C.（f-9］D.（-9,-K»）

2.（24-25高一上•广西钦州•阶段练习）是“函数/（可=-3/+2（1-间汇-5在区间（YO,6］上单调

递增”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.若/3=-2工2-（2八1）入+3在卜1,2］上是单调函数，则"勺取值范围是（）

3

A.—,+cc

2

4.（25-26高一上•全国•课前预习）函数y=2/+4x+5的单调递减区间为,单调递增区间为.

5.若［0,」8）是函数/（汇）=炉-2（a+4的单调递增区间，则实数〃的值为.

6.（23-24高一上.广东江门•期中）如果函数=f-26+2在区间（3,+8）上是增函数，则。的取值范围

为;

7.若函数-2x+4在区间［1,3］上不具有单调性，则实数〃的取值范围是.

题型二、二次函数根的分布问题（难点）

1.（2025高一•全国•专题练习）已知方程2丁-（6+1）工+〃7=0有两个不等的正实数根，则实数小的取值范

围为.

2.（24-25高一上•天津•阶段练习）已知方程丁+（〃?-2卜+5-加=0的两根都大于2,则实数小的取值范围

是—.

3.（2025高一•全国•专题练习）若一元二次方程f+（m-1）文+6+2=。一个根大于1,另一个根小于1,则

实数机的取值范围为.

4.（24-25高一上•上海•阶段练习）若函数/（"=/+如+4在区间（1,+00）内有两个不同的零点，则实数利

的取值范围为.

5.（2025高一上•全国・专题练习）已知y=/+火+〃在Tvxvi上有两个零点，则/一2〃的取值范围是.

6.（24-25高一下•湖北•开学考试）若函数/a）=m?+2x-1在（-1,3）上有且仅有一个零点，则，〃的范围

是.

7.（24-25高一下•江苏南京•期中）方程x2-加“+>-1=0的一根在（1,2）内，另一根在（3,4）内，则实数，〃的

取值范围是—.

8.（2025高-•全国・专题练习）若方程/一4〃a+2/〃+6=0有且只有一个根在区间（-3,0）上，则实数〃?的

取值范围为.

题型三、二次函数的最值（值域）问题

I.二次函数/（x）=—W+x—2,XG［-1,1］,则函数/（x）在此区间上的值域为（）

7-|「

A.-4,--B.-4,-4C.H，-21D.-2,--

_4J4J*■」［4

2.（24-25高一上•陕西咸阳•开学考试）若函数y=f—2x+3的定义域为（-1,〃?），值域为［2,6）,则实数血的

值可能为（）

A.0B.1C.2D.4

3.（24-25高一上•广东广州•期中）若函数/。）=-/+2公+1-4/引0,1］的最大值为2,则。的值为（）

A.1或2B.-1或-2C.-1或2D.1或—2

4.（24-25高一下•湖南•阶段练习）（多选题）已知函数〃力=父+21+1在区间［-2,田上既有最大值又有

最小值，则实数〃的值可以是（）

A.—1B.—C.0D.1

2

5.（24-25高一上.重庆沙坪坝.期末）已知函数/（曰=/-依”+1.

⑴若“x+2）为偶函数，解不等式:/（x）<IO；

⑵已知函数/（另在口,口）上的最小值为2a,求实数”的值.

113

6.（24-25高一下•安徽阜阳•阶段练习）设函数/（x）=-/f+〃*+：_

⑴若函数/“）在卜1』］上是单调函数，求实数〃?的取值范围；

⑵若切=0,是否存在实数〃，力，使得函数/（刈的定义域为S，句，值域为［2〃,2可，若存在，求出［小句；若

不存在，说明理由.

题型四、分段函数的求值、图像与不等式（重点）

1.（25-26高一上.辽宁・期中）已知函数/（力='：一心「,则/（/（-1））=_____.

X4-X-1,X>1

［ZZ-3,/7>10

2.（24-25高一下•四川德阳・期末）己知函数〃〃）=1/（/（〃+5））,"1O（〃WN），则/（9）=

3.已知=若/（4<3,则实数〃的取值范围是__________.

-2x-l,x<0

4.（2025高一•全国•专题练习）已知定义在R上的函数/（》）=I；，*。］］则使得〃/（力）=1成立的整

数x的集合为.

/、［x（x-4）,x>0,

5.（24-25高一上•广东广州•期末）已知困数/（x）=（\J八

x（x+4）,x<0.

⑴求/⑴J（-3）J（a+l）的值;

（2）用定义证明函数/（'）在区间（2,田）上是增函数；

⑶求不等式/（"之x的解集.

6.（25-26高一上.全国•单元测试）设/（x）为定义在R上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当0工大<2

时，是线段04;当XN2时，图象是顶点为。（3,4）,且过点（2,2）的二次函数图象的一部分.

（2«-6）X+5,A<2

2.已知函数是减函数，那么〃的取值范围是（）

—,x>2

lx

A.（0,3）B.[2,3）C.（0,2]D.（0,3]

（3a—l）x+4«xv1

3.（24-25高一上•江苏南通・期中）已知函数/3）=12工-满足：对任意和々cR，当4产々时，

x~-ar+6,x>1

都有【/（%）-/（9）〕（％-占）>。成立，则实数〃的取值范围是（）

A.（1,1JB.g,2]C.[2,+oo）D.11,2]

4.36高一上•河南驻马店•开学考试）（多选题）已知函数/（上管口；；是R上的增函数,

则，的取值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.I

5.（24-25高一下.上海.期中）己知函数），=[（2一"）：+3〃?，的值域为R,则实数/〃的取值范围为

x,

-x2+2x,（x>0）

6.已知/（x）=«0,。=0）是奇函数.

X2+（x<0）

（1）求实数〃7的值;

（2）作尸〃力的图象;

（3）若函数f（x）在区间[-1M-2]上单调递增，求〃的取值范围.（不必写出演算过程）

题型六、嘉函数的图像与性质

B.①)7,②=③)，=，，®y=x-l

C.①丁=./,②),=13,③),=),④)，=/

D.①②、,一口，®y=x~,®y=x-l

J-人J一人

2.（24-25高一上•福建厘门・期末）函数）,=f的大致图象为（）

3.（25-26高一上•云南•期中）已知幕函数/"）=:，且则下列选项中正确的是（）

11’,

B./(—)</(T7)</0)</(«)

ah

,,11

D./(/)</(/)</(齐)</(〃)

b“武

4.（24-25高一上・甘肃白银•阶段练习）设y=7'3,必=产，'3=125,则()

A.y2>y3>B.必>另>,’2

C.%D.y3>y2>y,

5.已知〃=如=如=出"=出2,则（）

A.a>b>c>dB.c>a>b>d

C.a>c>b>dD.c>a>d>b

6.（23-24高一上.浙江金华・期末）（多选题）已知f（x）=xa（aeR）,则下列说法正确的是（）

A.当。=一1时，/0）的值域为RB.当二=3时，/（兀）>/（3）

C.当a=；时，/（丁）是偶函数D.当a=g时，/。）是奇函数

7.（23-24高一上.安徽黄山•期末）（多选题）已知点（G,立）在幕函数“X）的图象上，则/（“（）

3

A.偶函数B.奇函数

C.在（0,+◎上单调递减D.在（0,+8）上单调递增

8.（24-25高一上・甘肃•期末）（多选题）已知寻函数/*）=（渥-函数/（x）在区间（0,+8）上单

调递减，则下列正确的是（）

A.m=-2

B.函数,f(x)的图象经过点(-1』)

C.若f<0,则

D.若a>b>0,则学)

9.(25-26高一上•全国•课后作业)比较下列各组数的大小.

(】)3.1/与油

(2)卜立户与卜石齐

55

⑶().316,0.35%•

10.(24-25高一上•广东广州•期中)已知函数/(“=X±(/〃€N')，该函数定义域为［0，”)且函数图象经

过点(2,夜)

⑴确定小的值：

(2)求满足条件f(2-a)>的实数。的取值范围.

11.(24-25高一上•黑龙江•期中)已知函数/("="-2〃?-2)/(〃蚱1<)为恭函数，且“X)在(0,+功上

单调递增.

(1)求小的值;

(2)若/(l-2a)+〃2—a)>0,求实数。的取值范围.

12.(23-24高一上.广西玉林•期口)已知寤函数/(x)=--2”(加wz),且在(0,+8)上单调递减.

(1)求机的值；

⑵若/(a+2)</(1-2〃)，求实数〃的取值范围.

13.(23-24高一上•四川成都•期中)已知暴函数/(4)=”■(,〃wZ)的图象关于〉轴对称，且/⑺在(0,+力)

上单调递增

⑴求加的值及函数“X)的解析式；

⑵若丁(。+2)</(心),求实数。的取值范围.

14.(24-25高一上•北京•期中)已知常函数/。)=(3，〃2-2〃7),〈"(〃?£即在定义域上不单调.

(I)求函数/(x)的解析式；

⑵函数/*)是否具有奇偶性？请说明理由；

⑶若/3+1)+/(2〃-3)<0,求实数〃的取值范围.

B综合攻坚•能力跃升

1.（24-25高一上•上海长宁・期末）如图是4个幕函数在第一象艰内的图像，则（）

B.b<a<c<d

C.a<b<d<cD.b<a<d<c

2.（25-26高一上•全国•课后作业）已知函数〃制=1：+"，是R上的减函数，则实数"的取值范围

x~-av+l,j<0

是（）

11「1、（1

A.[0,+8）B.0,-C.0,-D.（-oo,0）U-,+℃

3.（24-25高一下•广西柳州•期中）是“二次函数/（0=加--+1在区间（L+oo）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（24-25高一上•浙江杭州•期中）己知函数/3=/_卧+1心卜闻，且小）的最大值为/（〃），则实

数”的取值范围是（）

A.[收)B.[2,+co)C.[3,+co)D.(-oo,-l]kj[2,+oo)

JC।2JV<]

5.（24-25高一上•陕西咸阳•阶段练习）（多选题）已知函数/（»=•2二一「钎则下列关于函数/W的

结论正确的是（）

A./（/（-0）=1B.若〃x）=3,则%的值是1或6

C./(x)的值域为(YO,4)D.〃司<1的解集为（f,l）

1

6.（24-25高一上•安徽合肥•阶段练习）（多选题）已知基函数/（工）的图象经过点-y则（）

A./（"的定义域为全体实数

B./(x)的值域是(0,y)

C./(x)为偶函数

D.若£*>。，则上/卜/叫小)

(3/〃-l)x+4〃，,x<1,、、)，，，,、

7.(24-25高一上•辽宁大连•期中)(多选题)已知函数/*)=4+2对—।为定义在R上的减

函数，下列说法正确的是()

A.〃，的取值范围为

B.VaeR,/(«2)</(«-1)

C.若(初,则。的取值范围是(-2,*o)

D.函数的值域为R

8.(25-26高一上•全国•期中)函数y=/-2尔+3在区间［2,3］上不具有单调性，则”的取值范围为.

(。一2)x+3,xK2

9.(2025高一•全国・专题练习)已知函数/(x)=(〃)，若对R上的任意实数为，/(％尸占)，

恒有(苦-9)［/(芭)-/(々)］<0成立，那么实数。的取值范围是

10.(24-25高一上•上海•期末)已知函数/(幻=-尸+4H1在区间［QM上的值域为［1,5］,则川的取值范围

是.

11.(23-24高一上•辽宁沈阳•期末)若函数/(»=亦-2成+1在(0,2)上有2个零点,则。的取值范围是.

12.(23-24高一上.全国•课后作业)若函数/("=加P-工-1在区间(0,1)上恰有一个零点，则实数〃的取

值范围是.

—x-l,x>0

13.(24-25高一上•江苏宿迁•期中)已知函数4.i)=；，则/(〃1))=________，若/(«〃))<

-,x<03

则”的取值范围是.

14.已知鼎函数/(幻=(>+〃1)/为偶函数.

⑴求痔函数/0)的解析式，判断了(X)在(-8,0)上的单调性，并用定义证明;

⑵解不等式/(2x-l)>/(x-2).

15.(25-26高一上•全国•单元测试)已知函数/(%)=卜x，0Wx<2,

—x2-3x,x>2.

2

⑴求/(()),“2)的值；

⑵若〃，")=一1，求，"的值；

⑶作出函数的大致图象，并求/(工)48的解集.

16.(23-24高一上•安徽六安•期口)己知幕函数“同=(4+3〃7-9卜恒(〃蚱/?)为偶函数.

⑴求/(工)的解析式；

⑵若(2_〃声>(2CL1声，求实数〃的取值范围.

17.(23-24高一上.山东泰安・期口)已知累函数/(工)=(〃72+〃?_11卜亍的图象过原点，

(1)求实数m的值;

(2)判断函数/(切的奇偶性并证明：

(3)若置e[0,3],/(x2-4-«)+/(x-av)<0,求实数〃的取值范围.

18.(2025高一•全国•专题练习)已知关于x的方程V—2x+a=0.

(1)当〃为何值时，方程的两根都大于0?

(2)当。为何值时，方程的一个根大于1,另一个根小于1?

(3)当。为何值时，方程的一个根大于T且小于1,另一个根大于2且小于3?

19.(24-25高一上•山东潍坊・期末)已知二次函数〃x)=x2_2ax+4(a£R)

(1)若/(刈的一个零点在(0,1)内，另一个零点在68)内，求。的取值范围；

(2)求fix)在区间[0,1]的最小值g(a).

20.(24-25高一上•浙江杭州•期天)已知函数/(x)=2以2+4工+1.

⑴若a=l,求函数/(x)的单调区间；

⑵若函数/(')在区间(-覃)上单调递增，求实数。的取值范围；

(3)若函数/(x)在区间(-覃)上有且仅存一个零点，求实数。的取值范围.

21.(24-25高一上•广东茂名♦阶段练习)已知函数g(x)=-f+2x+L

(IRxeR,用"?(x)表示/(x),&(%)中的最小者，记作机(.r)=min{/(x),g(x)},当々=1时，分别用图象

法和解析法表示函数〃z(x),并写出的单调递增区间：

⑵设=.向-川，求〃(力的最小值伊

专题05二次函数、分段函数、黑函数的图像与性质

目录

A题型建模・专项突破...............................................................1

题型一、二次函数的单调性.......................................................................1

题型二、二次函数根的分布问题（难点）...........................................................1

题型三、二次函数的最值（值域）问题.............................................................2

题型四、分段函数的求值、图像与不等式（重点）..................................................3

题型五、分段函数的性质（常考点）...............................................................4

题型六、寡函数的图像与性质.....................................................................5

B综合攻坚・能力跃升..............................................................8

A题型建模•专项突破

题型一、二次函数的单调性

I.（24-25高一下•湖南怀化•期末）函数/（x）=f+（〃+3）x+l在区间（YO,3]上是单调递减的，则实数。的

取值范围是（）

A.（3,+oo）B.（-oo,3]C.（re,-9]D.（-9,-K»）

【答案】C

【分析】利用二次函数的性质求解参数范围即可.

【详解】由题意j（»=f+g+3）x+i的图象开口向上，对称粕为直线X=-吟，

因为“X）在区间（9,3]上单调递减，所以一等23,

解得4W（-8,-9].

故选：C.

2.（24-25高一上•广西钦州•阶段练习）是“函数/3=-3/+2（1-⑼x-5在区间（。,6]上单调

递增”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据函数/(x)的单调性可得出关于实数小的不等式，解出〃，的取值范围后判断.

【详解】若函数1(%)=-3日+2(l-m)x-5在区间(Y),6］上单调递增,

则」J——>6,解得m4一17,〃?<一17可推出用4-17反之不行，

6

因此，”?<-17”是“函数/(6=-3工2+2(1-〃7卜-5在区间(-00,可上单调递增”的充分不必要条件,

故选:B.

3.若〃"=-2/_(2八1)»3在卜1,2］上是单调函数，则々的取值范围是()

{3}n「93］(9］c(9］「3)

A.［于+叼B.C.［f，一司D.1—，一可出了+叼

【答案】D

【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可.

【详解】因为函数/(］)=-2/-(2八1)"3的图象开||向下，对称轴为］=一把一，

若“X)在［T2］上是单调函数，则一等3T或—经/A2,解得心］或女丁，

所以人的取值范围是-lIUT'+s)

故选：D.

4.(25-26高一上•全国•课前预习)函数)，=2/+以+5的单调递减区间为,单调递增区间为

【答案】(F，-1)(-】，+00)

【分析】根据二次函数性质直接可得.

4

【详解】y=2/+4x+5的图象开II向上，对称轴为直线工=一二=一1,

2x2

则该函数的单调递减区间为(-8,-1)，单调递增区间为(-1,+8).

故答案为：(-8,-1)；(-1,-KO).

5.若［0,田)是函数=f-2次+4的单调递增区间，则实数。的值为.

【答案】0

【分析】求出函数的单调递增区间，进而求出。值.

【详解】函数/(x)=f-2火+4的单调递增区间是［&y),

依题意，［o,y)=&+8),所以〃=0.

故答案为：o

6.(23-24高一上.广东江门•期中)如果函数/。)=/-2公+2在区间(3,y)上是增函数，则。的取值范围

为一;

【答案】(-3］

【分析】求出对称轴，结合二次函数的性质可得.

【详解】〃")=父-26+2的对称轴为…,且开口朝上,

因函数fM在区间(3,+8)上是增函数，则a43,

故。的取值范围为(3,3］.

故答案为：(-8,3］.

7.若函数/(x)=aF—2x+4在区旬［1,3］上不具有单调性，则实数〃的取值范围是.

【答案】刖

【分析】讨论两种情况，其中，。工()时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间IL3］上不具有单调性,

可判断对称轴在区间(1,3)上，进而得到答案.

【详解】。=0时，/(x)=-2x+4,-2<0,/(x)在［1,3］上单调递减，具有单调性，不符合题意；

-721

"0时，/(x)=ad-2x+4的图象为抛物线，对称轴为工=-丁=丁=一，

2a2aa

根据题意，/(x)在［1,3］上不具有单调性，

所以解得!vavl.

a3

故答案为：

题型二、二次函数根的分布问题(难点)

1.(2025高一•全国・专题练习)已知方程-(/〃+1)丹〃?=0有两个不等的正实数根，则实数加的取值范

围为.

【答案】0<〃?<3-2夜或/〃>3+2上

【分析】构造函数/(x)=2W-(〃2+l)x+m,因为方程的两根都是正实数，所以两根在同一区间(0,也)内,

所以要考虑对称轴、判别式、特殊点的函数值三个因素.

A>0,

(W+1-8/w>0

-(/??+1)

【详解】设f(x)=2Y一+l)x+"7,易得,-2x2>。加/»>-1,,

m>0,

/(0)>0,

,“3-2夜或机)3+2>/1「

从而j'/所以0<机<3-2及或〃?>3+2夜即为所求的取值范围.

m>0,

故答案为：0<机<3-2&或加>3+2a.

2.（24-25高一上•天津•阶段练习）已知方程％2+（〃7-2卜+5-“=0的两根都大于2,则实数m的取值范围

是—.

【答案】一5<"1«-4

【分析】分析函数的图象特征，列出不等式组求解即可.

【详解】根据题意，二次函数），=f+（，〃-2）x+5-加的图象与x轴的两个交点都在点（2,0）的右侧，

3.（2025高一•全国•专题练习）若一元二次方程f+（"?-l）x+〃z+2=0一个根大于1,另一个根小于1,则

实数小的取值范围为.

【答案】（一双一1）

【分析】由题意，利用三个二次的关系作出对应的一元二次函数的图象，列出不等式求解即得.

【详解】设/（6=/+（〃?-1）工+加+2,如图所示，

要使方程的一个根大于1,另一个根小于1，需使/（1）=2帆+2<0,解得帆<7,

所以实数〃?的取值范围为（-*-1）.

4.（24-25高一上•上海•阶段练习）若函数〃制=9+侬+4在区间。,+8）内有两个不同的零点，则实数加

的取值范围为.

【答案】-5<m<-4

［分析］利用根的分布列出限制条件可得答案.

/(l)=l+w+4>0

【详解】要满足题意，贝卜,解得-5</"-4.

A=,/?2-16>0

故答案为：-5<m<^

5.(2025高一上•全国•专题练习)已知)，=/+办+〃在-l<x<l上有两个零点，则/一2》的取值范围是.

【答案】(。，2)

【分析】设函数在设vxvl上的两个零点分别为不与,结合韦达定理得在-2b=x：+小据此可求其取值

范围即可.

【详解】设函数在Tcxvl上的两个零点分别为X，巧，

则-1<芭<1,-1<x,<1,

由根与系数的关系可知％+占=-%内占=b,

所以〃=一(百+x2)yb=xix2,

XX

因此/一2〃=[一(5+x2)]--2%jX2=x：+x；+2XIX2-2,2=x：+x：.

又04%：Vl,04x；<l,且百工再,M0<a2-2Z?<2.

故答案为：(0⑵

6.(24-25高一下•湖北•开学考试)若函数〃x)=〃£+2x-1在(-1,3)上有且仅有一个零点，则，〃的范围

是.

【答案】一u{-l}

【分析】由二次函数的区间根问题可得.

【详解】当〃2=()时，21一1=0,所以K=；,满足题意；

当加工0时，△=(),m=-\,令j(x)=0解得x=l,满足题意，

△手0时，/(T)/⑶<0，即〃7工-1且(所3)(9m+5)<0,解得一9〃?<3；

-1)=0时，加=3,此时/(x)在(-1,3)上.只有一个零点x二；;

f(3)=0时，，”=[,此时f(x)在(-1,3)上只有一个零点%=|;

综上所述〃，的范围是-Q5-小

故答案为：-/3

7.(24-25高一下•江苏南京•期中)方程胃-2小十〃『-1=0的一根在(1,2)内，另一根在(3,4)内，则实数，〃的

取值范围是—.

【答案】(2,3)

【分析】设/(幻=丁-2〃次+加2一］,根据根的分布情况，得到不等式，求出答案.

【详解】设/(x)=x2-2mx+in2-1,开口向上，

〃1)>。

由题意得解不等式得〃昨(2,3)

/(4)>0

实数〃2的取值范围是(2,3).

故答案为:(2,3)

8.(2025高一•全国•专题练习)若方程丁-4/址+2/〃+6=0有且只有一个根在区间(-3,0)上，则实数的

取值范围为.

【答案】(-3.——nj{-n

14

【分析】利用三个二次的关系，得到函数外力二%2-4〃氏+2〃7+6有且只有一个零点在区间(-3,())上，借助

于根的判别式，零点存在定理，结合区间端点的函数值，列出不等式求解即得.

【详解】设/(力=«-4〃氏+2〃?+6,

依题意，函数/(“有且只有一个零点在区间(-3,0)上，可以分成三类情况：

~3

①由△=\6m~-4(2m+6)=0解得m=一1或〃?=—.

2

当初=7时，f(x)=f+4X+4=(X+2)2,此时函数恰有一个二重根-2在区间(TO)上，符合题意：

当阳=］时，/(x)=f-6X+9=CV-3)2,此时函数“X)的实根3不在区间(一3,0)上，不合题意.

②由一(一3)〃0)<0可得(I4〃7+15)(〃Z+3)<。，解.得一3<〃?<一容

③令/(0)=0,得加=-3,此时方程/+12］=1*+12)=0的另一根为/二一12区(一3,0),不合题意；

令-3)=0,得加=—得，此时方程7人2+30人+27=0的另一根为工=一2«-3,0),符合题意.

综上，可得实数〃?的取值范围为(-3,-与11{-1}.

14

故答案为：13弋u{-l}

题型三、二次函数的最值（值域）问题

I.二次函数/（"=-W+X-2,.r«-川，则函数“X）在此区间上的值域为（）

7"1「5"!「7-

A.-4,--B.-4,--C.H，-2|D.-2,--

_4JL4」*'J4_

【答案】A

【分析】根据二次函数的性质求解即可.

【详解】解：f（x）=-x2+x-2=-^x-^

则f（"a=/'（；）=-（，/（x）min=f（T）=T,

7~

所以函数/（X）在此区间上的值域为-4，-w.

故选：A.

2.（24-25高一上•陕西咸阳•开学考试）若函数y=f-2x+3的定义域为（-1,〃。，值域为［2,6）,则实数机的

值可能为（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根据二次函数的对称性作出判断.

【详解】函数），=/一2工+3=（工一1）2+2,

当工=-1时，y=6；当x=1时，y=2；

故选：C.

3.（24-25高一上•广东广州•期中）若函数/（%）=-炉+25+1_〃,工£［0,1］的最大值为2,则〃的值为（）

A.1或2B.T或-2C.T或2D.1或-2

【答案】C

【分析】通过讨论〃<0,0<«<1.确定函数单调件,确定最大值点,即可求解.

【详解】函数/(幻=-/+2仆+”。的对称轴为x=a,图象开口向下.

当〃<0时，函数/。)=-2+2十+1_0在区间［0J是减函数,

，/(X)max=/(0)=1-。，由1-4=2,得4二一1.

当0<〃Wl时，函数(x)=-f+2or+l-。在区间［0M是增函数，在。,1］上是减函数,

J'Mmax=/(«)=-a'+2/+］_4=/_a+1.

由“‘一a+l=2,计算;Ila=L：也或a=L：虫,

22

,/0<tz<1,

二•两个值都不满足.

当〃>1时，函数/*)=-/+2级+1_々在区间［0,1］是增函数，

=f(\)=-\+2a+\-a=a,

d=2.

综上可知4=-1或a=2.

故选：C.

4.(24-25高一下•湖南•阶段练习)(多选题)已知函数〃力=父+21+1在区间卜2,a)上既有最大值乂有

最小值，则实数〃的值可以是()

A.—1B.—C.0D.1

2

【答案】BC

【分析】结合函数/(力的图象，却可得出〃的范围.

【详解】/(x)=a+i)2,结合函数“力的图象可知，

当〃«T,0］时，/(x)既有最大值又有最小值，

5.(24-25高一上•重庆沙坪坝•期末)已知函数/(x)=d+a+|.

⑴若〃x+2)为偶函数，解不等式：f(x)GO；

⑵已知函数/(x)在口,y)上的最小值为2a,求实数〃的值.

【答案】⑴{+UK5}

(2)1

【分析】（1）分析可知，函数/（X）的图象关于直线X=2对称，由二次函数的对称性可求得Q的值，然后

利用一元二次不等式的解法解不等式即可；

（2）对实数。的取值进行分类讨论，分析函数“司在口,#可上的单调性，结合/'（Mm=2。可求得实数〃的

值.

【详解】（1）因为函数」（x+2）为偶函数,即〃2-力=/（2+0,

所以，函数“X）的图象关于直线*=2对称，所以,^=2,可得a=4.

所以，/（力=/-4%+5,

由f（x）K10可得/一4X一5«0，解得一14X45,

因此，不等式人力工10的解集为mTW5}.

（2）由于/（x）的图象为开口向上，对称轴为直线x=],讨论如下：

若即0>2时，函数/（x）在】《匕单调递减，任+8）上单调递增，

此时/（x）min=/（羡）=一?+〃+1=24，可得/+々-4=0,解得。=±2&—2（舍）；

若即402,此时函数/（力在口,y）上为增函数，

贝k'（x）min=/（1）=2=勿=>。=1，合乎题意・

综上，4=1.

113

6.（24-25高一下•安徽阜阳•阶段练习）设函数/。）=-弓/+〃氏+

（1）若函数/（X）在上是单调函数，求实数〃?的取值范围；

⑵若加=0,是否存在实数4〃，使得函数/（x）的定义域为以回，值域为[2a,2b],若存在，求出[外加；若

不存在，说明理由.

【答案】（D（F,-l]U[l，y）

（2）存在，,,句=[1,3]或[凡句=-2-Vr7,^

【分析】（1）利用二次函数的性质求出对称轴，再结合单调函数的性质求解参数范围即可.

（2）对外力的大小情况分类讨论，结合二次函数的性质求解符合情况的区间即可.

【详解】（I）由二次函数性质得了（"）的对称轴x=〃?，

因为函数/（x）在卜1』上是单调函数，

所以m«-1或/〃之1,则实数m的取值范围是（-OO,T]31,E）.

ii?

(2)若，〃=0,则/(幻=-]/+^,

假设存在实数外力，使得函数的定义域为［。，回，值域为［2〃,2句,

分以下情况讨论：(i)若acbWO,函数人幻在［。向上单调递增,

〜、1213r

)+——=2«(A-八

f(a=—2a"2修2+4々+13=0

由题意得

”)=_4+U=2b历+4〃+13=0

22

«=-2±V17一

解得,-,与"bWO矛盾，排除,

b=-2±4n

(ii)^0<a<bt函数若")在［4以上单调递减,

f(a)=一■-«2+—=2/?

22/+4/?+13=0

由题意得

6+4。+13=0

f(b)=--b2+—=2a

22

a=]

解得此时M=[L3],

(iii)若a<O<b,函数/(x)在［a,0］上单调递增，在［0,以上单调递减,

由题意得2b==，解得6=:，因为/(〃)=一］上丫+上=史>(),

24八，2(4J232

113

J(〃)=-+彳=2a,所以/+4a-13=0,

解得a=—2—Ji7,此时［。同=-2-717,-^,

综上所述，存在实数。也［。回=［1,3］或［a,b卜-2-717,^,

使得函数的定义域为［。力］，值域为［2a,切.

题型四、分段函数的求值、图像与不等式(重点)

1.(25-26高一上•辽宁•期中)已知函数=,WiJ/(/(-l))=

x~+x-\,x>\

【答案】5

【分析】根据分段函数解析式，先求出/(7)的值，再代入求出/(/㈠))即可.

【详解】根据题意知/(-1)=卜1一1|=2,

则f(/(T))=/(2)=22+2—1=5.

故答案为：5

\n-3,n>10

2.(24-25高一下•四川德阳・期末)已知函数“〃)=1/(/5+5))/<10(〃£3，则"9)二

【答案】8

【分析】根据分段函数的解析求解函数值即可.

【详解】因为小)=[〃/一(〃3,〃〃2+10协”1。(〃吨，

所以/(9)=/(/(14))=/(14-3)=/(11)=11-3=8.

故答案为：8.

3.已知若/(〃)<3,则实数〃的取值范闱是________.

-2x-l,x<0

【答案】(-2,3)

【分析】分情况讨论，解出不等式即可.

【详解】当《,c。时，I/解得0Wa<3；

a~-2a<3[-1<a<3

a<0,<0

当VO12时，C»解得—2<a<()；

-la-1<3-2<a

综上所得，a的取值范围是-2va<3.

故答案为：(-2,3).

4.(2025高一.全国•专题练习)已知定义在R上的函