高考数学一轮复习压轴题：极值点偏移问题（解析版）

专题8极值点偏移问题

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点，近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现与函数极值点偏移有

关的函数与不等式问题（如2022高考全国卷甲理22）,已知函数），=/（幻是连续函数,在区间（内,马）内

有且只有一个极值点%,且/（%）=/（%），若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点/=土/，我们

称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点

土土上的情况，我们称这种状态为,，极值点偏移”此类问题背景新颖，教材中乂没有涉及，不少同学望

2

而生畏，本专题给出此类问题的常用解法，共同学们参考.

二、解题秘籍

（一）通过对称化构造新函数破解极值点偏易问题

【以例及类】已知函数/（司=粕一、.

⑴求函数/（x）的单调区间：

⑵已知函数g（x）的图像与〃x）的图像关于直线对称,证明:当％＞1时,/（力＞8（元）；

（3）如果%=/，且/（%）=/（毛），证明：内+公＞2.

【分析】⑴由/（了）=-*（1一%）可得/（力在（-0,-1）上递增,在（一1,+00）上递减；

⑵g（x）=/（2—xb构造函数人力=/（“一/（2-月,尸（同二%-1乂。・2一©-）由b（“单调性可

得上＞1时/（克）＞尸（1）=0；

（3）假设芭＜1＜工2,由（2）得/（工2）＞/（2—W），即/（M）＞/（2—工2），由/（工）在（YO,T）上递增，可得

2＞2-X2,X]+X2＞2.

该题的一问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观

展示如下：

该题是这样一个极值点偏移问题：对于函数/（"二犹一＞已知/（x,）=证明X+%＞2.

再次审视解题过程，发现以下三个关键点：

①々，%的范围（0＜X＜1＜/2）；

②不等式〃x)>/(2—x)(x>l)；

③将占代入(2)中不等式，结合/(x)的单调性获证结论.

小结：用对称化构造的方法求解极值点偏移问题大致分为以下三步：

①求导，获得了“)的单调性，极值情况，作出/(x)的图像由/(%)=〃£)得内,马的取值范围(数形结合);

②构造辅助函数(对结论不+吃>(v)2x。,构造F(x)=〃x)-/(2xo-x)：对结论不巧>(<)%；,构造

/2\

F(X)=/(A-)-/丛)，求导，限定范围(*或々的范围)，判定符号,获得不等式；

\xJ

③代入西(或七)，利用/(内)=/优)及/(X)的单调性证明最终结论.

下面给出第(3)间的不同解法

【解析】法一：尸(%)=(1一工)二，易得“X)在(一8,1)卜单调递增，在(I,+8)卜单调递减.大一―8时，

/Wf-00,/(0)=0,xf+30时,/(x)-0,函数/(x)在x=1处取得极大值/(I),且/⑴=1,如图所

e

示.

由f(X)=/*2)，内羊工2，不妨设可<工2，则必有°<%<1<工2，

构造函数F(x)=/(l+x)-/(1-X),X6(0,1],

则F\x)=f(l+%)+r(l一冗)=W(e2x—1)>0,所以F(x)在xc(0,1]上单调递增,F(x)>F(0)=0,也

即f(1+x)>/(I-兀)对xe(0,1]恒成立.

由0v4v1v%，则1一斗£(0J],

所以/(l+(l-xl))=/(2-x1)>/(l-(l-x1))=/(xl)=/(x2),即/(2-内)>/(々)，又因为

2-X^X2G(1,+CO)，且/O)在(1,4~0。)上单调递减，

所以2一3<x2，即证$+1>2.

法二：欲证王+工2>2,即证%>2-菁，由法一知0<X［<1<x2，故2-工［,%£(1,+°°),乂因为/(x)在

(1,+8)上单调递减，故只需证/(&)</(2-王)，又因为/(%)=/(%)，

故也即证/($)</(2-$)，构造函数”(戈)=/G)-/(2T),X€(0,1),则等价于证明“。)<0对

(0,1)恒成立.

由H'(x)=fXx)+f\2-x)=--(1一/厂2)>。，则，⑺在％C(O,D上单调递增，所以“(XXMLQO,

ex

即已证明H(x)v0对xe(0,1)恒成立，故原不等式X,+X2>2亦成立.

法三：由/(芭)=/(左),得反一勒=/"必，化简得蜻-'=三…①,

百

不妨设X,>%,由法一知%<1<x，.令z=x,-X］，则/>0,电=/+内,代入①式，得d=上上，反解出

X

t2t2f

X)=———，则百+x,=2玉+/=-；——+f,故要证：X1+x,>2,即证：———+/>2,又因为"一1>0,等价

e-1~e-1-e-1

于证明:2/+(1-2)(d-l)>0…②，

构造函数G(/)=2r+(z-2)(^-1),(/>0),则Gz(r)=(/-1)^+1,G\t)=tef>0,

故GQ)在re(0,+a))上单调递增，G'(，)>G'(())=O，从而G⑴也在re(0,+oo)上单调递增，

G(r)>G(O)-O,即证②式成立，也即原不等式%十出>2成立.

法四：由法三中①式，两边同时取以e为底的对数，得左一％=In上=Inx,-In芭,也即、当一“*=L从而

Xjx2-%

玉+1

/、In元，一Inx.x^+x.,局x.,

LL

%)4-x2=(玉+x2)---=------=---In—=-----In—,

々-内々-芭凡强_1%

王

xt+1

令7二=«〉1)厕欲证：耳+元>2,等价于证明：一hu>2…③，

X,/-I

构造M(t)=(Z+1)lnZ=(1+—)lnr,Q>l),MM'(f)=L"n/,

t-\t-\r(r-l)~

又令(p(t)=r-\-2t\ntAt>D，则(pit)=2t-2(ln/+1)=2Q-1-In，)，由于f-1>Inf对Vf£(1,+8)恒

成立，故“⑺>0,0。)在，£(1,+8)上单调递增，所以以[)>以1)=0，从而M'⑺>0,故M⑺在

，£(1,+8)上单调递增，由洛比塔法则知：

limM(z)=lim(Z+1)lnZ=lim"必必=lim(lnr+—)=2、即证M(t)>2即证③式成立，也即原不

X-*A->lt—\XTl(/_])，XTlf,

等式玉+w>2成立.

【例l】(2023届贵州省威宁彝族回族苗族自治县高三数学样卷圮知函数/3=(2x+a)hu=3(xi)M>0.

⑴当时，/(x)>0,求〃的取值范围.

⑵若函数/")有两个极值点对王，证明：A+/>2e

【解析】⑴当^时，小―甯鲁在港1恒成立,

3x-2.vln.r

令g(x)=xe[l,+oo),

3+Inx

-(3+2Inx)Inx

则g'(x)=<0

(3+InA)2

・•・函数g(x)在以内)上单调递减,

/.5(.v)<g(l)=l,

•1-。的取值范围是[1,e).

(2)函数/(x)=(2x+a)lnx-3(x-a),。>0.

「，/、…2x+a.a,«+2.¥lnx-x

贝ni|Jlf'(x)=2Inx+------3=2lnx+——1=------------

XXX

附数/*)有两个极值点巧，*2，

•・J'(x)=0有两个正实数解0方程a=x-2Nnx有两个正实数解=函数)，=。与函数〃(x)=x-2xlnx,

xw(0,+oo)的图象有两个交道.

/r(.v)=l-2-2lnx=-21nx-l,令〃(x)=0,解得X=7，

当0<%<2时"(6>0,则〃3单调递增，当工>2时”(x)<0,则〃(x)单调递减,

••・函数心)的极大值即最大值为心卜强

又0<%<9时”6=Ml_2lnx)>0,且当x->0时,

〃(幻->0,又〃⑷=0,

2

二0<av-^=

不妨设°<玉<%<修

-12一局>；o2

要证明M+占>2e2。.h(x2)<h\-^=-xijcx>h(xj<h

令F(A)=/Z(X)-h川—一却,<。,也=0.

所以F'(x)=1-21nx-2+1-2In(j-x)-2

"弓7

-AJ-2>-2xIn-2=0,

4

21

当且仅当不=k一仁即工=需时订又等号,

••・函数尸（外在«0,%）

单调递增,

0,/.F(x)<0,即

因此X1+/>2e1成U-

（二）含参函数问题可考虑先消去参数

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元王,々的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想

尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

由于可导函数〃力的极值点是/'（X）的零点，也是方程/（力二0的实根，所以有些与零点或方程实根有关

的问题可以利用求解极值点偏移问题的方法去解决.

【一题多解】已知函数/（戈）=皿1一依,。为常数,若函数/（五）有两个零点内,々，

试证明：

【分析】法一：消参转化成无参数问题：

]n

/（X）=0<=>Inx=ar<=>InX=ae\x^x2是方程f（x）=0的两根，也是方

程=的两根，则In%,In/是工=。婷，设%=瓜菁,%=口1/、g（x）=xe-',则g（%）=g（%），从而

2

X]A2>e<=>Inx,+Inx2>2<=>«）+w2>2，此问题等价转化成为【例1】，下略.

法二：利用参数。作为媒介,换元后构造新函数:

不妨设％A8，

*/Inx{-ax[=O,lnx2—ax2=0,.*.In+Inx2=a(xt+x2),lnx,-Inx2=a(xx-x2),

..InA-lnp=a，欲证明王扃>/，即证m%+In%>2.

2

*/InX)+Inx2=a(x+.r2),即证a>--------

A+x2

・•・原命题等价于证明.%—♦/〉2，即证：ln±>2(xf)，令，=%,((>]),构造

X］-X2X)+x2x2X]+x2x2

g⑴=In/-子>1,利用g(r)单调性求解,下略.

法三：直接换元构造新函数：

In%_Inx_In%_xi，设为<为/=，

Cl-------=------二2-----=二—~±,(>1),

ln.t,%用

则…工山江

InxiIn%

In/tint

反解出：InXy=Inx2=IntxA=In/4-InX)=In/+——

r-1t-\

故x1x2>/oIn%+Inw>2=上|Inr>2，转化成法二，略.

【例2】(2024届浙江省名校协作体高三上学期联考)函数/(x)=，e'-e(x-1尸有两个极值点

与,々(5<玉).其中acR.e为自然对数的底数.

(1)求实数〃的取值范围；

(2)若邙+(e-2)A*2+2(1-e)之2(%-1)(9-1)恒成立，求4的取值范围.

【解析】(1)由于r(x)=ae;2e(.・l),

由题知/'(x)=0有两个不同实数根，即a=2e(「l)有两个不同实数根.

e

令g(x)=2e(：7),则《心卜?'e—'〃。,解得工工2,故g(x)在(e,2］上单调递增，在［2,中动上单调

ee

2

递减，且KfF时，g(x)->7>,x->+8时，g(x)->0,g(2)=-,故g(x)的图象如图所示，

调递增，在(内,七)上单调递减，在(孙田)上单调递增，/(X)的极大值点为巧，极小值点为％.

故/(力=讹'-&工-1)2有两个极值点时，实数4的取值范围为(05).

(2)由于5+(6-2)^+2(1-6)>2(^-l)(x5-l)<=>e(^-l)4-(e-2)(A2-l)>/l(x1-l)(x1-l)

若设％=3-1名=$一1(。<4<，2)，贝I上式即为M+(e-2)弓之％，2

由⑴可得卜£=,>1,两式相除得e'E=],即/=1吟>0,

1

[ae'=2t2>0%/,

由用+(e-2)”羽•J得也—J[冈+(e-2)q]N力也后§

*1

2+(e—2)4—ejr/八e

所以人-------i—匕，令/&.)=""

In；fjInr

则几在(1,+oo)恒成立，由于“⑴二[伞—2)/+e]ln-2/(e2)/+e,

令夕S=[(e_2)/+e]lm_2/_(e_2)/2+e,则d(，)=2(c_2)/ln"2_(e_2)/+：,

^(/)=2(e-2)lnr+2(e-2)-p—e+2,

显然W"(f)在(l,+8)递增，

又有9〃(l)=-2<0"(e)=3e-6」>0,所以存在代(l,e)使得w"&)=0,

e

且易得在(L。)递减,(岳田)递增,又有0,⑴=0"(e)=e2—2e—1>0,

所以存在乙«Le)使得尹(4)=。，目.易得0(/)在(14)递减，&,”)递增，

乂夕⑴=O(e)=0,贝ijl<x<e时、0。)v0”(/)v0,x>e时，</?(/)>0,//(r)>0,所以易得/?(/)在(l,e)上递

减，在(e,+8)上递增，则力⑺…=〃(e)=(e-l)2,

所以丸的取值范围为

(三)对数平均不等式

a-b

两个正数。和力的对数平均定义：L(丁份二1n4—ln〃'

a(a=b).

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

y[^b<L(ayb)<—(此式记为对数平均不等式)

2

取等条件：当且仅当。=〃时，等号成立.

【例3】设函数/(x)=/-ax+a(a£R),其图象与x轴交于A区,0),Z?(x2,0)两点，且x,<x2.

(1)求实数。的取值范围：

(2)证明：/'(，&)<()(/'(旧为函数/(x)的导函数)：

【分析】(1)/(幻=6、一。/€(当。《0时,/'。)>0在/?上恒成立,不合题意

当〃>0时，/(x)min=/(Ina)=a(2-Ina)

当f(x%n2°，即°。</时,/(幻至多有一个零点，不合题意，故舍去；

当f(x)min<o,即时，由/(1)=«>0、且/*)在(_8/na)内单调递减，故/*)在有且只有一

个零点：由/(Ina~)=a2-2a\na-i-a=a(a+1-2In«),

2,

令y=〃+l-21na,a>/,则y'=l——>0,故。+l-21na>/+l-4=/-3>。

a

所以/(In/)>o,即在(ina,21na)有且只有一个零点.

⑵由(1)知,/。)在(-00,1114)内递减,在(1|14,+€0)内递增,且/\1)=6>0

2

所以1<%<Ina<9<2Ina,因为/(尤J=e"-a*+a=0,fix2)=e'-cuc2+a=0

ex'eX2ex'~lex：~'(西—1)一(应一1)r---------------

a=-----=------、即-----=-----，所以1=--------------------=--------->J(x-1)(苍-1)

-——

X|-1x,—1X)1x21ln(X1-1)—ln(x21)

所以百工2一(玉+々)<°、要证：/'(小为七)4°•只须证e场<a,即6E<\na

故,y]x]x2<x,-ln(x,-1),JxW〈&-ln(x2-1)

所以+Z一1n（x】一1）（/一1），所以-＜%）+x2）+1）＜^+x2-2^^2

因为王々一（内+工2）＜°•所以1。（为X2一（为+々）+1）＜InI=0,而玉+%2-＞0

所以ln（x/2一（司+々）+1）＜芭+W-2也/2成立，所以/'（）＜0

【评注】根据对数平均不等式求解的步骤是：

1.通过等式两边同取臼然对数或相减等配凑出In玉-InX2及王一看，

2.通过等式两边同除以Inx,-lnx,构建对数平均数,一，

In玉-Inx2

3.利用对数平均不等式将、一“转化为止也后再证明3+%,＜2%（或%+乂＞2%）.两种方法

Inx}-lnx22

各有优劣，适用的题型也略有差异.

（H）一题多解赏析

【例4】已知/(x)=xlnx——nix2-xjneR.若/（X）有两个极值点』，12,且X＜工2,求证：X\X2＞e2

【分析】解法一

欲证x^x2>e?,需证InXj+Inx2>2.

若f（x）有两个极值点』，々，即函数/'（x）有两个零点.又/'（R）=lnx-〃ZY,所以,内，々是方程/'（x）=°

的两个不同实根.

lnx-rjvc=0In内+Inx

于是,有(1，解得〃z=2

Inx-nvc=0

22内+x2

In%-mxx=0

另一方面，由v，得In-Inxx=mQ2-xj,

Inx2-nix2=0

___,„Inx,—Inx.Inx.+Inx,

从11叫可r得,——=------L=——!-------.

x2-X[X]+x:

.7\(1+强]In强

于是/哼+叱=(”-呻肥+%)=1纪%

^1-1

玉

乂0<%々，设2=歪，则/>।•因此/n%+In占=(1/>1

*t-\

要证lnx+lnx,>2,即证：('+'加>2/>1.即：当f>1时，有hv>\"一".构造函数

-t-\r+l

馋)=1111-坐?,/之1,利用力(/)为(1.+00)上的增函数求解.

解法二

欲正中2>e?,需证In%+1门2>2.若有两个极值点再,々，即函数/'(%)有两个零点•又

r(x)=lnxrnr、所以，芭，/是方程/'("=0的两个不同实根.显然"?>0、否则，函数/'(可为单调函数,

不符合题意.

由<；：；］：：:二In%+lnx2+/)，问题转化为证明再+々>2，构造函数

函数且(工)=/'(工)一/'(2一，根据g(R)在0」］上递增，可得g(x)<gj，］=O,

\iiijyniyyinj

所以/'(x)<r2-x),设X<，<］2,由r(x)在(o-)上递增可证.

解法三

由苞，々是方程r(x)=o的两个不同实根得〃7=处，令g(x)=皿,屋内

)=g(9)'由于

，㈤=1.因此,g(x)在(l,e)T.(e,+»)J.

X

2/2\

设1<玉ve<々，需证明中2>e'，只需证明%>一£(0,e),只需证明/(%)>/一，即

X2\X27

->0.

\X2jV

re2\

即M"=/(X)-/—(XG(1,(0)./f(x)=(i?(17)>0故〃")在(［,e)T、故

\XJxe

X/2\2

h(x)</i(e)=03P/(x)</-；.令工=冷则/(工2)=/(』)</—，因为工2,上€(5+8)，/(力

在(e,+oo)l,所以/>—2

，即x1x2>e.

解法四

InX1一=0得《=傩/i

设4=\nx£(0,1),芍=ln%£0,田),则由=；=-—2<0,

]In占-〃a,=0

I，4t2=me

kgk

则F1—.欲证x,x2>e?,需证InX+In居>2,即。+弓〉2，把％/代入整理得

e-1

〃(1+屋)—2(/—1)<0.构造g(x)=k(l+i)—2(/一1)证明.

Inx-inx-0得小=吗=乙=尸2,设"=壮(01),

设4=ln%€(0,1),r=lnxjw(l,+8),则由}y

2In-mx=0

yt2=me2t2t2

1k

rlllkinkn

则4=---------.欲证X].5〉e)需证In”]+Inx,>2,即只需证明乙+t2>2,即

k-\k-\

(A+l)lnA2(1)骼D<0,设g的=ln"为D(Zo(0,l)),

——1—>2<=>lnZ:<-^——-f<^\nk

k+\

gQ)=/%>0,故g(z)在(O,1)T,因此g(A)vg(i)=o,命题得证.

k(k+1)

(五)2022届高考全国卷甲理22题解析

极值点偏移问题前几年高考曾经考查过，2022年高考全国卷甲理再次考杳极值点偏移问题，该题有一定难

度，但用前面介绍的方法可以轻易解决，下面给出两种解法，共同学们参考:

[ft5]已知函数/(工)=—-lnx+x-«.

X

(1)若“X)2。,求〃的取值范围;

(2)证明：若“力有两个零点演,马，则平2Vl.

【解析】解法一:

(1)因为/(x)=J-lnx+x-a,

fix)=e--+\=-i

XX

令fax。,得*=i

当x£(O,l),/Z(x)<0,/(x)单调递减；当xe(1,+8),>0,/(x)单调递增,

所以/(x)N/(l)=e+l-a,

若f(x)20,则e+1—a>03Pa<e+l,

所以。的取值范围为(—8,e+1].

(2)由(1)知，xw(0,l)J(x)单调递减;当xe(l,+oo)J(x)单调递增,

若“力有两个零点内,在则一个零点小于L一个零点大于1,不妨设％<1<%

要证<1，即证X<」"，

X2

1(।A

因为X，一£(°，l),即证/(%)>/-，因为/(%)=/(%),即证/(占)>/

e—।

即证----Inx+x-xer-Inx——>0,XG(l,+oo),

XX

ev-If\\

下面证明x>l时,----xe'>O,lnx--x--<0,

x21x)

一

设g(x)=-----xer,x>1,

x

pl/II\r_1

设夕(x)=­(x>l)，w'(x)=--------ev=——e'>0,

XyXJX

所以夕(x)>°(l)=e,而1

QX1

所以J—e'>0,所以，(幻>0,

x

所以以外在（l,*c）单调递增

即g(x)>g⑴=0,所以M一起；>0

X

/।1(O।

令/2(x)=lnx——x——,x>1

21X)

7、11(1A2x—x2—1—(x—I)2

__-i+—=——j—=\/<o,

x2\x~J2x~2x~

所以版划在(L+8)单调递减、

即/2(x)</?(l)=0,所以<0；

21X)

v

e-11

llnx-1

综上，——xe-2x——>0,所以内工2<L

x2(X

解法二：

(1)因为/(x)=J-lnx+x-a=ev-,nr4-(x-Inx)-a,

设i=g(x)=x-ln无，贝ljg'(x)=l—L=£Z1(X>O),

XX

所以xw(O,l)时g，3<0,g(x)递减,xc(l,+oo)时以(x)>0,g(x)递增,

，=g(x)Ng⑴=1,

设f(x)=/?(。=占+，-〃(年1)，则〃⑺为增函数.力(1)之"1)=。+1-〃，

若/(X)20,则©+1—4之0、即44©+1,

所以〃的取值范围为(-m,e+l].

(2)由(I)知“X)有两个零点知了2,则方程x-lnx=/有两个实根内,々，

因为XG(0,1)时g(X)递减,XG(l,+co)时g(A-)递增，

不妨设0<占<1<x2,

V-r

由工]一|nx=x,-Inx2=/~—=1,

lnx,-In%]

所以要证XM<1，即证6

即证

设=〃7（机>1）.即证〃?一~--2In/w>0,

I19<1\

设F（m）=m----21nMm>1）,则F,（m）=l+-^--—=--1>0,

mnrm\m>

所以F(，〃)为增函数,>尸⑴=0,

所以X9<1成立.

三、典例展示

【例1】(2024届四川省广安友谊中学高三上学期9月月考)己知函数/(力=三-3+工

(1)讨论函数/(M的单调性；

⑵若不等式8(司=//")+(』一1)山—/一工"有解，求实数/的取值范围；

⑶若函数〃(x)=/(x)-a(aeR)有两个零点打，小证明：KF<1.

【解析】(1).../(力=g_/+//a0,/),/，(力=^^_\+]=侬+：(%―1).

X】XA

.门«l,y)J'(x)>0J(”单调递增；

x«0,l)/(x)v0J(x)单调递减;

(2)雇6=//(刈+卜2一])成一_?一小，有解，

所以g(x)鼠g(x)=x?--lar+x+(x2-l)lav-x5-x=%ex-liu-x,x>0,

\x/

^*(x)=(x+l)ev---1=(x+l)eA--!^-=(A+1)ev--1,

.VX〈eV)

A>

z(A)=e<_l,f(x)=e+4°，")单调递增，

AX

xf0，M%)f-oo,r(l)=e-lXUo£(0,1)次'。)=/小)=0,一=一，4£(。，/)，(力<0,8(%)单调递减；

xe(%,+<»),g'(x)>O,g(x)单调递增;x0=In—=-lnr(>

•Vli%o

所以g(x)min=sM=/e"-lii¥0-^=l-lnA0-^=l,

所以CL

(3)〃(x)=/(x)-a(awR)有两个零点收，必

〃(％)■；lavIxa-O有两个根x/,X2,不妨设办<七，由<1)可知两根也是/(“)与》=〃的两个交点,

且%>1,于是°<一<1,由于/(X)在(0,1)单调递减，故中：2<1等价于/(%)>/'.

\xi)

而Mx)=〃(毛)=°J(x)=/(w)，故玉工2<1等价于,.①

\X27

设I。)=/。)一/1;，则①式为，(w)>o.

(A-1)e'+x-xer-1

因为—叫小

设k(x)=el+x-xer-1

1I1

当工>1时，^(x)=eT-e'+-er+l>0,故2(x)在(1,2)单调递增,

X

所以文箝>&(1)=0,从而“x)>0,因此f(x)在―)单调递增.

又々>1，故/(毛)>«1)=0,故/(工2)>/(十)，于是百勺<1.

［例2］(2024届浙江省名校协作体高三上学期7月适应性考试)已知函数/*)=xlnx-2x-a有两个零点

(1)证明:-eva<0；

2

(2)求证：®A-(A-2<e；②玉+石<陵.

［解析］⑴由f'(x)=lnx-l,当xw(O,e)时八x)<0,xe(e,+8)时f\x)>0,

所以在((),e)上单调递减，在(e,y)上单调递增，则/“)min=/(e)=-c—a<()，

所以〃〉_e,

当二€(0,1)时x\nx<0,-2x<0,所以fM=x\nx-2x-a<-a,

若-aWO,即。20时，则xe(0,l)时/(x)v。，此时〃。在(0,e)上不存在零点,

要使/")有两个零点，故-e<〃<0.

⑵①要证不妨设。<玉(eV/，则证乂<一，

2

因为/(-V)在(e,y)上单调递增，即证/(%)=/*,)</(-),

%

22222

令g*)=/(x)—/(J),xc(O,e),则+

XXXX"

所以g(x)在xw(O,e)单调递增,所以ga)vg(e)=O,即玉得证;

②引理1：当xe(0,e)时/(x)<-x-a：

证明：^xe(0,e)|Ft/(-r)=xlnx-2.r-«<x-2x-tt=-x-«,得证.

利用引理1：/(占)=0<一斗一〃，所以药<—。①，

引理2：f[x}>x-e2-a：

证明：令h(x)=/(x)-x+e2+«=.vlnx-3x+e2,

则力'(x)=lnx-2,当xe((),e2)时h'(x)<0,xe(e'y)时〃'(x)>0,

所以〃(x)在(0d)上单调递减，在@,+8)上单调递增，所以/?(工)2贴2)=0,

利用引理2,因为引心4-2)=。<。，所以修<广，

所以/。2)=。>X2-/-4,所以②，

2

由①，②知：x.+x2<e.

【例3】(2023届江苏省常州市高三上学期期末)已知函数/a)=l+】nx+2水aeR).

⑴讨论函数/(幻的单调性；

(2)若八2存在两个零点为，巧，求〃的取值范围，并证明：-4-—>-4«,

X\X2

【解析】(1)因为函数的定义域为(。,转)，r(x)=』+2a=处"，

X«A

当〃20时，r(x)>0,/*)在(0,”)上递增；

当〃<0时，由广(*)=0得，x=--,

2a

时，r(x)>o,/(幻递增；

I2a)

(1、

xe--,+00时，f(x)<0,/(X)递减.

I2aJ

综上，当。20时，在(0,+oo)上递增；

当〃<0时，/(X)在伍-』-]上递曾在(-1，+二|上递减.

(2)由(1)知，〃<0且/(-力卜1«-2)>0,解得一;<〃<0,

当二<"0时，d=&0,所以/。)在化-上存在唯一零点，记为4;

2le；eVe2aJ

因为二+1=安>0,所以2>—；，因为dl)=l+】nfl)+2,

a-2a2a-cr2aI。JI")«

],、?

设，=__>2,^(/)=l+2ln/-2r,则g'(f)=--2<0,

所以g⑴在.（2,+8）上递减，

所以g（/）＜g（2）=21n2-3v0,田/（5卜0,

所以/*）在［上存在唯一零点，记为巧,

因为〃的取值范围是卜；,0.

l+ln$+2时=0今ye>]

因为《

1+Inx2+20r2=U'、*

1+In%+2ax=02a(-I)

则＜}

Inr

I+In/+Inx,+2atx[=0

2必2一])

/Inz

I'I

要证ML，只要证只要证匕―,

设尸⑺=f」-21nf,r>1,

贝ljr(/)=l+l-1="11>0,所以F(t)在(1,-KO)上递增,

所以尸«）＞/（1）=0,得证.

【例4】（2023届江西省九江第一中学高三上学期12月月考）已知函数/（x）=f-or+ahu-有两个极值点演,

(1)求。的取值范围；

、2424

(2)证明：/(西)+/(与)+—+—<161n2.

X\X2

【解析】3)f,(x)=2x-a+-=2x2~ax+a

XX

/（X）有两个极值点毛，才2,则，W=0在（°，+“）上有两个实数根4，々，

所以2x2-ax+a=0在(O,+“)上有两个实数根七，x?

△=/-8〃>0

^>o解得a>8,

则护2

，>0

2

故”的取值范围为1>8,

(2)由⑴知中2=微，%+工2=3，且。>8,

〃-24242.2,2424

J("i)+J(*2)------------=X-a%—alnX]+/一。与+-------

再X?$X,

/\2/、24(x,+x,)

=(x)+x2)-2X}X2-a(x+&)+aliu：/+-------------—

X\X2

G~aa

ci-a+.t/iln—a+,i24=-----~---u+.alin-a+,2c4,，

72242

2

令g(〃)=-——a+aln@+24(a>8),g，(a)=—+ln—,

222

令力⑷=g，(a)=—"I+In]=—；+，=<0在a>8上恒成立,

所以力(4)=/(〃)=一5+皿5在〃>8单调递减，故g'(n)=-S+lnS<g<8)=-4+In4<0,

因此g(a)在〃>8单调递减，故g(a)<g(8)=-16—8+81n4+24=16ln2,

故?(〃)=_——a+aln—+24<16In2,得证.

42

【例5】(2023届广东省高三上学期第一次联考)已知函数/3)=lnx,^(x)=av2-2av(«^0).

(1)若a=3,判断函数y=fix)-g⑴的单调性：

(2)若函数〃@)=/(%)+g(x)的导函数"⑶有两个零点%,为。<々),证明:h(x2)-h(xl)>f(2a)+g(\).

【解析】⑴若。=3,则y=/(x)-g(x)=lnx-3f+6x(x>0),

..,।,1,-6.v~+6x+16x~—6x—1

所rc以y=一一6x+6=------------------=-------------------,

xxx

Hr•6厂—6^—1ZM3+x/15

由y=------------------>0，得0cx<-----------；

'x6

,6x—-6x—1坦3+V?5

由"-----------<0，得x>-----------.

■x6

所以y=/3-g(x)在(0,注叵上单调递增，在(二叵，内|上单调递减.

⑵因为函数〃(X)=/(X)+g(X),所以/?(.r)=Inx+ax2-2ax(x>0),

11

m的卜以ihio(x)、=—+,o2ax-