广东省汕头市某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试题（解析版）

2024-2025学年度第一学期期中考试

高一级数学科试题

注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知4=5次训，B={x\0<x<5}f则馆3=（）

A.{x|0<x<1}B,{x|1<x<5}C.{x|0<x<1}D.[x\\<x<5}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义直接求解.

【详解】由A={x|x?l},B=（x|0<x<5},得AcB={x|lWxv5}.

故选：B

2.命题“X/xvO,—十4_120”的否定是（）

A.>0,x24-or-1<0B.Vx>0,x2+ar-1>0

C.Vx<0,x?+ar-1<0D.3x<0,x2+ar-1<0

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.

【详解】全称命题的否定是特称自题，

则命题：▼不V0,12+办一120口勺否定是：Bx<O,x2+ax-\<0

故选：D.

3.将五•拉化成分数指数幕的形式是（）

717|5

A.26B.2%C.23D.2%

【答案】A

【解析】

【分析】由根式与分数指数哥的转换公式即可求解.

【详解】^4.72=4^-22=2^-22=2^,

故选：A.

4.下列函数中既是偶函数，又在［0,48）上单调递增的是（〕

A.y=X3B.y=-

x

C.y=9-x2D.），=N

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案.

【详解】y=X\），=」是奇函数，不符合题意.

X

），二9一/在（0,+CQ）上单调递减，不符合题意.

y二国是偶函数，且）'=凶=<：；：<0，

所以y=凶在（0,+x）上单调递增.

故选：D

5.已知P：2"v8，（I：x（x-3）<0,则〃是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】化简命题P，4,再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】由2、<8,得xv3,即命题〃：x<3；

由.v（x—3）<0,得0<X<3,即命题“：OVX<3,

显然0<x<3成立，xv3必成立：而x<3成立时，0<x<3不一定成立，

所以〃是9的必要不充分条件.

故选：B

6.若“反CWR,4>8>0,则下列不等式正确的是（）

A.—B.«(c2+l)>/7(c2+l)

C.ab<h2D.aJt-c<b+c

【答案】B

【蟀析】

【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可.

【详解】对A,由〃>〃>(),所以错误；

ab

对B,由c2+/>b所以。卜2+1)>4/+1),正确；

对C,由。>■/?>0,所以ab>I」,错误；

对D,由。>〃>0,所以4+c>b+c,错误

故选：B

7.已知函数*=(工—4)(工一。)(其中〃>〃)的图象如图所示，则函数g(x)=优+/?的图象是()

【解析】

【分析】由二次函数的图象可得〃然后结合指数函数的图象分析判断即可.

【详解】由二次函数八幻="一0)*=〃)(其中的图象可得人<一1,0<。<1,

所以y="的图象过点(0,1),且在R上为减函数，则函数g(x)=。'+b递减，排除CD：

因为〃＜一1,所以将y="的图象向下平移网陋＞1)个单位可得g(x)="+方的图象，排除B；

故选：A

8.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价计费方法如表：

每户每月用水量水价

不超过12m3的部分37L/m3

超过12m3但不超过18m3的部分6元/n?

超过18m3的部分9元/nf

若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为()

A.17m3B.18mC.19m3D.20m3

【答案】A

【解析】

【分析】根据收费标准，求出y美于X的分段函数，由水费的值，判断出用水量的范围，求出X的值，即

可求解.

【详解】设用水量为xm3,水费为y元，

当0SE12时,；'=3x,

当12V启18时，＞'=12x3+(x-12)x6=6.v-36,值域为(36,72]

当支＞18时，)，=12x3+6x6+(x-18)x9=9x-90,y＞72

•・•12V烂18,

・•.令6x-36=66,解得x=17,

故此用户居民本月用水量为17m3.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列说法正确的是()

A.若寻函数y=/(x)过点(2,；),则/(力=3

B.函数),=2/表示黑函数

C.若幕函数），=（〃/—2〃L2）X”在（o,+x）单调递增，则6=3

D.察函数的图象都过点（0,0）和（1,1）

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,利用待定系数法求解判断，对于B,根据累函数的定义分析判断，对于C,根据某函数的

性质分析判断，对于D,举例判断即可.

【详解】对于A,设呆函数为/（K）=H,则2"=』=27=>。=-1,所以/（工）=厂1所以A正确,

2

对干B,因为■的系数为2,所以函数y=2）不是鬲函数，所以B错误，

对于C,因为豪函数），=（/??-2〃z-2）xm在（0,+8）单调递增,

m~—2,/n—2=1

所以,解得，〃=3,所以C正确,

rn>0

对于D,因为基函数的图象不过（0,0）,所以D错误.

故选：AC

10.下列各式比较大小，正确的是（）

、一0.6

3

A.5君>5?无B.C.402<206D.3°2>0.23

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用指数函数的单调性逐个分析判断即可.

【详解】对于A,因为），=5、在R上单调递增，且&<2血，所以5石VS?71，所以A错误,

2俨

,因为），=（|）在R上单调递减，且0.6<0.9,

对于B,

ir3>

<20.90.9

所以->|，即I，所以B正确,

<3r>©,

对于C,4°-2=（22）（I2=20-4,因为y=2、在R上单调递增，且0.4v0.6,

所以2°4<2°6,即4°2<206,所以C正确,

对于D,因为y=3、在R上单调递增，且0.2>0,所以3°2>3°=1，

因为y=().2、在R上单调递减，且3>0,所以0.23<0.2°=1，

所以3°2>0.23,所以D正确.

故选：BCD

II..卜列命题中的真命题有(

A.当x〉l时，x+----最小值是3

x-1

X24-5

B./的最小值是2

C.当0<工<10时，/(1°一”的最大值是5

D.对正实数x,y,若1+2丁=3町，，则2x+y的最大值为3

【答案】AC

【解析】

【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解；

对B：令J7W=/，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果;

对C：直接利用基本不等式即可求得结果；

对D：取特殊值，即可判断正误.

【详解】对A：当x>l时，x+---=%—1+—!——F1>2.(x—l)xf-1=3»

x-1x-1V7x-1

当且仅当工一1二」一,即x=2时取得等号，故A正确；

x-l

令=，/+4,则，之2,令/(工)=，+；(d2),

又y=/(力在［2,内)上单调递增，故/(X)2/(2)=g,

S+5

故/(X)的最小值为—»也即厂---的最小值为7,故B错误;

2+42

对C：x(10-x)W；［x+(10-_r)］2=25,当且仅当工=10-兀即x=5时取得等号;

故当OvxvIO时,Jx(l)-x)的最大值是后=5,故CF碓:

对D：因为x>0,y>0,且工+2)=30，显然x=2,y=5满足题意，

9

此时有2<+丁=不>3,故D错误.

故选：AC.

12.已知定义在R上的函数“X)是偶函数，在区间(0,+。)上单调递减，"1)=0,则()

A./(3)>/(4)

B.若则加<一1或m>3

C.若？(工)>0,则

/(百)一/伉)乂)

D.Vxpx2e(YO,0),当时，

士一%2

【答案】ABD

【解析】

【分析】依题意，结合偶函数特征和单调性逐选项判断即可.

【详解】因为定义在R上的函数/(力是偶函数，在区间(0,+力)上单调递减，/(1)=0,

所以区间(—8,0)上单调递增，/(-1)=/(1)=0,

对于A,/(x)区间(0,+动上单调递减，3<4,所以/⑶>/(4),故A正确;

对于B,若/(6―1)v/(2),则“21<2或〃解得帆v1或利>3,故B1E确；

对于C,若当XW(0,1)时,/(x)>o,当%£(1,+8)时，/(%)<0,

当工€(-1,0)时，/(x)>0,当XW(-8,-1)时，/(力<0,当x=0时，/(x)>0,

当X=_l,/(x)=/(-l)=0,当x=l,/(x)=/(l)=0,

所以若4(X)>0,则xe(l,+8)5—1,0),故C错误；

对于D,在区间(—8,0)上单调递增，根据单调性定义，则VAp94y，。)，当工产9时，

>0,故D正确：

X]-x2

故选：ABD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数/(x)=<(5)，X~°,则/(〃')=

2x-l,x>0

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意先求出/(g),再求/(/(；))即可.

【详解】因为《厂⑸

2x-l,x>0

所以=2x——\=0t

2

故答案为：1

14.已知x+x-1=A/5»则X2+X-2=•

【答案】3

【解析】

【分析】X+工7=石两边平方后，求出答案.

22

【详解】因为x+/二石，所以卜+/丫=5,WX+X-=5-2=3.

故答案为：3

15.设函数/(工)=/+(。-2)/+以，且/(x)为奇函数，则”.

【答案】2

【解析】

【分析】根据奇函数性质得到/(—x)=—/(x),代入化简得到答案.

【详解】若函数f(x)=d+(。-2)f+ar为奇函数,

则=+(Q-2)%2—公=一/(1)=_/_(。_2.2_clx,

解得：。=2.

故答案为：2.

16.已知VXER,使得依2一41一+120恒成立，则实数〃的取值范围为.

【答案】[0,4]

【解析】

【分析】分4=0和。工0两种情况分析求解即可.

【详解】当4=0时，120恒成立，所以4=0符合题意，

当。00时，因为VXER,使得0%2—6+120恒成立，

。〉0

所以/\2,八，解得0＜。＜4，

△=(一a)-4〃W0

综上，0＜4工4,

即实数〃的取值范围为[0,4].

故答案为：[0,4]

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数〃％)=2'+；2',且/⑴=/

(1)求。的值；

(2)判断函数/(x)的奇偶性.

【答案】(1)a=-l

(2)/(x)为奇函数.

【解析】

【分析】(1)将分(1)=：代入/(力=2'+'2;解出。的值.

乙X

(2)按照定义法证明奇偶性的步骤，先判断定义域是否关于原点对称，再判断了(-X)与/(6的关系即可.

【小问1详解】

13

由已知可得，/(1)=2+-4/=-,解得：a=-\

【小问2详解】

,X_Z

由(1)知，/(x)=V＞定义域为｛xlxwO｝关于原点史称，

2T_9v/

又『（r）-2__/（尤），所以/（x）奇函数.

?r-3

18.已知函数"x）=一^；.

（1）函数单调性定义证明：函数/（力在（-1,y）上单调递增：

（2）求函数在区间［1,4］上的最大值和最小值.

【答案】（1）证明见解析

（2）最大值为I,最小值为-

2

【解析】

【分析】⑴任取不/1,48），且西<七，然后化简变形/（5）一/（莅），判断符号，从而可得结

论；

（2）由⑴知在区间［1,4］上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值.

【小问1详解】

证明：任取方,工24T”），且为<9，

则f（x）_f（x\=2*-3_2七-3=5（%―-）

1

2X,+1x2+l（X］+l）（x2+1）

因为a，wG（-l,+w）,x.<A-2,所以3F<0,苦+1>0,%+1>0,

所以/（%）一/（&）<。，即/（3）</（马），

所以/（力在（-1,e）上单调递增.

【小问2详解】

由（1）知/（力在区间［1,4］上单调递增，

所以/（'）*=/0）=~，〃元L,==1,

所以函数/'（力在区间［1,4］上的最大值为1,最小值为

19.已知集合A={x|-2Vx<3},集合3={邓一aVxWl+o}.

（1）当a=l时，求AC（48）；

（2）若A是X68的充分条件，求〃的取值范围.

【答案】（1）4c（48）={H-2《X<0或2<xK3}.

(2)a>3.

【解析】

【分析】（1）先求出Q8,再利用交集的定义可求出Ac（Q3卜

（2）由题意得AqB,然后列不等式组可求得答案.

【小问1详解】

当〃=1时，B={x|0<x<2},

所以金8={x|x<。或x>2},

因为A={x|-2KxW3},

故4c(43)={乂-24工<0或2<]43}.

【小问2详解】

因为xwA是XEB的充分条件，所以A=8

1-6Z<-2

所以《

\+a>3

解得。23,

所以。取值范围为〃之3.

20.已知y=/（x）是定义在R上的奇函数，当％之0时，f（x）=x2-2x；

（1）求/⑴,/（一2）的值;

（2）求/*）的解析式.

【答案］（1）/（!）=-1,/（-2）=0

x2-2x,(x>0)

⑵〃x)=<

-x2-2x,(x<0)

【解析】

【分析】（1）根据题意，求出/。）的值，由奇函数的性质计算可得答案;

（2）令x<0,则-x>0,利用奇函数的性质求出/（x）的表达式，综合可得答案.

【小问1详解】

根据题意,当xNO,/(X)=X2-2X,则41)=>—2=—1,

/(x)是奇函数，则/(一2)=—/(2)=0.

【小问2详解】

令x<0,则一x>0,由已知/(一工)=(一一2(—=+2x,

•・・/(x)是奇函数，

当x<0时，./'(x)=-/(-x)=-x2-2x,

-x'-2x,(x<0)

21.己知函数/(x)=-f+2"a+1一病，其中〃iwR.

(1)若/(力在区间［4,6］上具有单调性，求/〃的取值范围；

(2)当x«l,3］时，函数〃x)fl勺最大值为—8,求实数，"的值.

【答案】(I)(-oo,4］U［6,+co)

(2)利=-2或加=6.

【解析】

【分析】(I)利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案：

(2)根据对称轴”=〃?和区间［1,3］的关系，分三种情况讨论，由最大值是-8得到，〃的值.

【小问1详解】

因为二次函数/(大)的图象开口向下，对称釉为x=〃J且/(x)在［4,6］上具有单调性，

所以，当/(X)在［4,6］上单调递减时，/n<4：当/⑴在［4,6］上单调递增时，加26.

所以，实数”的取值范围是(一纥,4］口［6,+。).

【小问2详解】

二次函数/(力的图象开口向F,对称轴为x=，〃，

①当〃zWl时，“X)在［L3］上单调递减，此时/(力2=/(1)=一>+2机，

因为当x«l,3］时,函数“X)的最大值为-8,即一加2+2/7?=-8，

解得“2=4或〃?=一2,所以〃？=一2；

②当1＜加＜30寸，/(X)在(1，M上单调递增，在(〃7,3)上单调递减，

此时/(X)=/("2)=一62+2机2+1-m2=1=-8,无解，所以，〃不存在,

''I1K1X

③当m23时，/(x)在［1,3］上单调递增,

此时/(6皿=/(3)=-9+66+1—/??=-nr+6m-8,

因为当xe［l,3］时，函数的最大值为—8,

所以一+6机一8=-8，解得，刀=6或机=0,所以〃2=6

综上所述，/〃=一2或6=6.

22.已知函数/(x)=+加-12(。,〃£R).

(1)若不等式/。)＞0的解集为(一3,-1),求实数的值；

(2)当〃二3。一4时，求不等式/(x)20的解集.

。=-4

【答案】⑴〈必

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(I)由题意可知o?+&-12=0的两根为—3和—1,然后利用根与系数的关系可求得结果：

(2)当。=0时可得xW-3,当时，/(x)=〃(x+3)［x-'＞然后分。＞0和。＜