对数（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（人教A版必修第一册）解析版

第16讲对数

【人教A版2019】

■内首航

思维导图

「模块一：对数的概念

夯基•基础知识梳理・■模块二：对数的运算

L模块三：对数的实际应用

「题型1对数的概念的理解

一题型2指数式与对数式的互化

对数。题型3对数的运算性质的应用

，题型4运用换底公式化简计算

」提升,必考题型归纳一

一题型5指、对数方程的求解

一题型6带附加条件的指、对数问题

一题型7运用换底公式证明恒等式

I题型8对数的实际应用

课后作业（19题）

思维导图

对数的定义

对数的性顺:①log/=0.Qg,M=l(a>OJLRl).负数和。没仃对数.

对数的定义、性②对数恒等式：〃='=N(20Q0.1L).

"质与对数恒等式

对数。指数”的关系，当。>0,ILgl时,gNox=bg“N

常用对数：以10为底的对数叫做常用对数

I常用对数与自然T

」自然对数：以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数

对数

1

积的对数：正因数积的对数等于同一底数的各因数的对数的和

商的对数：两个正数的商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除

L数的对数

目的对数：正数幕的对数等于导指数乘同一底数的目的底数的对数

换底公式：设a>0.11存1.cX),ILnei.b>o.则k»g“〃・兽也

log.a

对数的运算--对数的换底公式L

1

.对数运算的常用指对互化

技巧

分为两类：(1建立对数式，在此基础上进行一些实际求值；(2)建立指

数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对

对数的实际数进行计算

-

应用

模块一N对数的概念龙

知识梳理

1.对数的定义、性质与对数恒等式

(I)对数的定义；一般地，如果不=可(4>0,且在I)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作尸Io8

其中a叫做对数的底教，N叫做真数.

(2)对数的性质：

①log01=0,log”a-1(。>0,且〃羊1),负数和0没有对数.

②对数恒等式:aW=MN>0,a>0,且存1).

(3)对数与指数的关系：

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当。>0,且"1时，a'=N0x=Tog“N.

用图表示为：

骞值真数

I

a'=/V<=>log#=x

[底数|

指数对数

2.常用对数与自然对数

名称定义符号

常用对数以10为底的对数叫做常用对数logioTV简记作1gN

以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e

自然对数bgcN简记作InN

=2.71828

题型归纳

【题型1对数的概念的理解】

【例1】（24-25高一上•全国•随堂练习）对数logg+3）（5-。）中实数a的取值范围是（）

A.(-oo,5)B.(-3,5)C.(-3,-2)U(—2,5)D.(—3,+8)

【解题思路】根据对数真数和底数的性质进行求解即可.

【解答过程】因为对数式的底数为大于零不等于I的实数，真数为正实数,

p-a>0（Q<5

所以有1a+3>0=Q>-3=>a6（-3,-2）U（-2,5）,

（a+3Hl（aH-2

故选：C.

【变式1.1］（24・25高一上•全国•课后作业）有下列说法：

①以10为底的对数叫作常用对数；

②任何一个指数式都可以化成对数式；

③以e为底的对数叫作自然对数；

④零和负数没有对数.

其中止确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案.

【解答过程】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确，

只有当a>0且awl时，指数式a4=N才可以化成对数式，②错误，

故选：C.

【变式1.2］（24-25高一上•贵州贵阳•阶段练习）使式子k）g（3x—i）（2—x）有意义的》的取值范围是（）

A.x>2B.|<x<2C.3<x<2且x行D.x<2,

【解题思路】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解.

（3x-1>0

【解答过程】由式子log（我一i）（2-外有意义，则满足卜％-1工1,解得］vx<2旦

（2-x>0

故选：C.

【解答过程】(I)由G)Y=32,得log：32=—5.

(2)由103=1000,得lgl000=3.

(3)由e?=%,得Inx=2.

【变式2.3](24-25高一下•全国裸堂例题)将下列指数式与对数式进行转换：

(1)34=81；

(2)54=%；

(3)logi27=-3；

3

(4)log2A-3.

【解题思路】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化.

【解答过程】(I)根据指数式与对数式的互化，可知34=81可化为log381=4.

(2)根据指数式与对数式的互化，可知5后=%可化为logs%=，

(3)根据指数式和对数式的关系，1强27=-3可化为。-3=27.

(4)根据指数式和对数式的关系，1脸：=一3可化为2-3=：.

88

模块二对数的运算小I

知识梳理

1.对数的运算性质

如果〃>0,且硝,M>0,N>0/£R,那么我们有:

运算数学表达式自然语言描述

正因数积的对数等于同一底数的各因数的

积的对数loga(MN)=lcg“M+log”

对数的和

两个正数的商的对数等于同一底数的被除

面的对数log,果=log.A/-log“N

数的对数减去除数的对数

正数幕的对数等于幕指数乘同一底数的幕

塞的对数

的底数的对数

2.对数的换底公式及其推论

(I)换底公式:设〃>0,且分1,c>0,且HI,b>0,则log/=I：：/；，

(2)换底公式的推论:

①；log“〃•log/,a=l（a>0,且力>0,且厚1）；

②log,力•log」。•log,"=log/（a>0,且且屏l,c>0,且由,d>0）；

③log/b"=；log“b（〃>0,且c#1,h>0,m^0,nER）.

3.对数运算的常用技巧

（1）在对数运算中，先利用塞的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数累的形式，使寤的底数最简，

然后用对数运算法则化简合并.

（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数

的积、商、鼎再运算.

（3）指对互化:M=NQ〃=log“N（a>0,且/1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应

注意互化.

题型归纳

【题型3对数的运算性质的应用】

|【例3］（24-25高三上•湖南邵阳•期中）已知ab装l,logazn=2,log》zn=5,则logab机=（）

A.-B.-C.-D.-

107107

【解题思路】应用对数运算律结合已知计算求解.

【解答过程】因为abHljogam=2,\oghm=5,则log^a=；,logmb=

则logmab=logma+logmb=?+：=《'

则1°gabm=\=m.

故选：D.

【变式3.1］（24-25高一上•上海期中）设。是不等于1的正数，M,N是任意给定的正数，。是任意给定

的实数，则下列性质中错误的是（）

A.logaa=1B,loga-=logaM-log«/V

c

C.logaM=clogaMD.loga（MN）=logaM•logaN

【解题思路】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可：对于D：举反例说明即可.

【解答过程】因为。是不等于1的正数，M,N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，

对于选项A:10gaQ=l,故A正确；

对于选项B：loga^=logaM-loga/v,故B正确;

c

对于选项C：logaM=clogGM,故C正确；

对于诜项D：例如Q=M=N=2,

则loga(MN)=log24=2JogaM=logaN=log22=1,

此时loga（MN）HlogaM•logaN，故D错误；

故选：D.

【变式3.2］（24-25高一上.江苏扬州•阶段练习）若logzWi+log/=2,则十几=（）

A.3B.4C.9D.16

【解题思路】根据对数的运算性质即可求解.

【解答过程】由log2m+log4n=2可得210g47M+log4n=2,

222

i^log47n+log4n=log4（7nn）=2,故爪2/=4=16,

故选：D.

【变式3.3]（24-25高一上•全国•课后作业）若a>0且a工1,b>0,c>0,九、meN+,n>1»给出下

27

列等式：①loga（/?2-。2）=2]ogab-21oga。；®（loga3）=21oga3;③logaVF^=；logaR®logaX=

Toga；其中成立的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】利用对数的运算性质判断①②④即可.

【解答过程】因为Q>0且QHl,b>0,c>0,九、meN+,n>1,

对于①，2logad-21ogac=loga^,①错；

2

对于②，（loga3）=loga3-loga3*21oga3,②错;

对于③，loga=log,M=；loga匕，③对；

对于④，-loga]=Toga%T=loga%，④对.

故正确的个数为2.

故选：B.

【题型4运用换底公式化简计算】

S［例4］（24-25高一上・甘肃武威・阶段练习）已知lg2=a,lg3=b,则log3（）18=（

A.a+2bD・舒

匕一1B・第

【解题思路】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解.

【解答过程】由题意，嗨。18=^=麝=鬻=鬻

故选：B.

【变式41］（24-25高一上•安徽•阶段练习）已知。＞Q,b＞。且ab=1,若loga%=3,logdx=4,K01ogadx=

A.-12B.-7C.-7D.-12

【解题思路】先根据指数式对数式互化求出Qb,再根据换底公式转化再根据l0gaQb=b求

lOg工

解即可.

【解答过程】由loga%二3/ogb%=4,得口3=%,/?4=%,即a=a,b=/，

所以ab=X3-X4=xiz,所以logab%=,1=->==

7

小附IOgxX12

故选:C.

【变式4.2](24-25高二下•天津河东•期末)若2芯=6,y=log，则x+2y的值是()

A.3B.log23C.8D.-3

【解题思路】根据给定条件，利尼指数式与对数式互化关系及对数换底公式及运算法则计算即得.

【解答过程】由2*=6,得x=Iog26,而y=log4：

所以％+2y=log26+Zlog4-=log26+—f=log26+log2-=log2B=3.

故选：A.

【变式4.3](24-25高一上•山东•阶段练习)已知m>0,n>0,log〃(3m)+log?n=log怖(2/+九)，则

log2m-log4n的值为()

A.-1或0B.1C.-1D.1或0

【解题思路】由题设等式，利用对数运算性质化简得47n2=〃或m2=小再利用对数的换底公式化简所求，

分别代入求值即可得解.

rl2

【解答过程】因为log百(3m)+log3=log3(97n)+log3n

2222

=log3(9mn)/iog^3(27n+n)=log3(2m+n),

2

所以由log6(3zn)+log3n=log^(2m+n),

得9/九=(2m2+n)2,化简得4血4—5m2n+n2=0,

即[4/—n)(m2—n)=0,解得4m2=n或病=儿

又log2nl-log4n=log4m2_]Og4n=log4—,

故当47九2=九时，log2m-log4n=log4j=-1；

当m2=川时，log27n-log4n=log2l=0；

综上，Iog2m-log4九的值为一1或。.

故选：A.

【题型5指、对数方程的求解】

例5](24-25高一上•上海•随堂练习)设方程(lgx)2-1g/-3=0的两实根是。和b,则lcg°b+\oga

若b

等于()

A.1B.-2

C.一日D.-4

3

【解题思路】解方程得出lgQ=3,忸力=-1,再由换底公式计算即可.

【解答过程】方程(Igx)?—Igx?-3—0可化为(Igx)?—21gx—3=0,BP(Igx—3)(lgx+1)—0,

解得Igx=3或Igx=-1,不妨设]gQ=3,Igb=-1

loga6+logi)a=g+g=Y+^=-y.

故选：c.

【变式5.11(24-25高一上•北京大兴・期末)方程log?/=1的解集为()

A.{1}B.{-1,1}

C.{V2}D.{-V2,V2}

【解题思路】先根据真数大于零解得xV0或%>0,再将1转化为Iog22,即可解得x=±&,都使得方程

有意义，即可知正确选项.

【解答过程】由题意，x2>0,解得XV0或%>0,

2

filog2x=1,得log2%2=log22r则％2=2,解得％=±yf2,所以方程log2/=1的解集为{一遮，&}.

故选：D.

【变式5.2](24-25高三上•浙江•开学考试)方程1嗝%=log6X-log产的实数解有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解题思路】由换底公式变形解对数方程即可.

【解答过程】logx=7^=77,7^=logx“ogg所以Inx=0或Inx=与要=2ln6=ln36,

3insinoin96ins

所以t=1或x=36,

所以方程log3%=log6x•log4的实数解有2个.

故选：C.

【变式5.31(24-25高一•山东枣庄•课后作业)若方程(3A+(lg7+Ig5)lgx4-lg7-lg5=0的两根为a、0,

则a/=()

A.Ig7-lg5B.Ig35C.35D.2

【解题思路】运用一元一次方程根的求法，结合对数性质可解

【解答过程】(lgx)2+(lg7+lg5)lgx4-lg7-lg5=0,分解因式得到(Igx+lg7)(lgx+lg5)=0,

Mlgx+Ig7=0,Igx+lg5=0,ffllgx=-lg7,igx=-Ig5.

解得x=期％=p所以a.£=5.

故选：D.

【题型6带附加条件的指、对数问题】

3X-2V

【例6】（24-25高一上•贵州•期中）己知5%=2,5y=3,则5k的值为（）

A.迎B.2C.&D.丝

34981

【解题思路】先利用对数与指数的互化求出”,y,再利用对数的运算法则求解即可.

【解答过程】因为5*=2,5y=3,所以x=log52,y=log53,

所以宁=31唯21唯3=喀8产9=11（）g51=脸竽

所以5殁%咨

故选：A.

【变式6.1]（24-25高一上•黑龙江•期中）若2"=3,y=log83则X+3y的值是（）

A.3B.log34C.2D.-2

【解题思路】根据指数与对数运算法则计算可得结果.

【解答过程】由2"=3,得％=log23,又y=log8g=]log2%

所以x+3y=log23+log2^=log24=2.

故选：C.

【变式6.2]（24-25高一上•上海•期中）（1）已知lg2=a,Ig3=b,试用a、b表示log215,

（2）已知34=6、=2,求的值.

xy

【解题思路】（1）利用换底公式却对数的运算性质可得结果：

（2）由指数式和对数式的互化得出x=log32,y=log62,再利用换底公式结合对数的运算性质计算可得

结果.

【解答过程】1）叫…评蟹=安=一

(2)因为3*=6尸=2,则x=log32，y=log62,则工=log23,-=log26,

“y

■■213

所以，=210g23-log26=log29-log26=log2T=log23-1.

xy，

【变式6.3]（24-25高一上•山东淄博・期中）⑴若£+;H=2或，求/+%-2的值;

（2）已知10。=2,100=3,用a,b表示logsl2.

【解题思路】（1）根据指数运算即可得到答案；

（2）根据对数运算性质和换底公式即可.

【解答过程】已知小+无q=2值将其两边平方得（小+工/）2=（2鱼产

根据完全平方公式（疾+x-2）2=x+2x%2xx~2+%-1=%+2+x-1=8.

则x+x-1=8—2=6.再将％+x-1=6两边平方得（工+x-1）2=62=36.

-2

所以/+2+工-2=36,则/+X=36-2=34.

（2）因为log512=詈.

而Igl2=lg（3x22）=lg3+21g2,

已知10。=2,10）=3,所以lg3=b,lg2=Q,则lgl2=b+2a.

又Ig5=Igy=1-lg2=1-a.

所以logsl2=

【题型7运用换底公式证明恒等式】

【例7】（24-25高一上•陕西渭南•阶段练习）已知：2、=3丫=12，01,求证：-+

SXyZ

【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明.

【解答过程】设2*=3、=12Z=ah1,显然a>0,

则x=loga,y=log3a,z=log2,可得［=log2=log3,；=log12,

212xayaza

+=

所以:Z21oga2+10ga3=loga4+loga3=loga12=p

【变式7.1］（24-25高一上•全国•课后作业）设》a=yb=zc,其中x,y,z均大于0,且都不为J=L

abc

求证：z=xy.

【解题思路】令Xa=yb=zC二k女>0且攵工1,即可表示出a、b、C,再由三+：='换底公式及对数

，abc

的运算性质计算可得.

【解答过程】依题意a、b.c均不为0,

令/=yb=z，=k,k>0且上学1,

贝h=log^k,b=\ogyk,c=\ogzk.

因为上+所以］i+.=.1.>

abclogxklogy/clog2/c

Bpiogkx+\ogky=logfcZ,

所以logkQry）=logkz,即z=xy.

【变式7.2］（24-25高一上•上海•班堂练习）⑴利用关系式log0N=b=a"=N证明换底公式：logaN=

lognN

（2）利用（1）中的换底公式求值:log225log34-logs9;

（3）利用（1）中的换底公式证明:logad-logdc-logca=1.

【解题思路】（I）由题设条件结合对数的运算证明即可；

（2）利用换底公式证明即可；

（3）利用换底公式证明即可.

【解答过程】解答：（1）证明:

设a=N,则logm。。=logmN,化为blogm。=logmJV,

又b=logaN,所以10gaN=£^;

(2)解:晦25•晦4.log?=蕾•需•署=8；

（3）证明:

logad.loghc.logca=ggg=l.

所以log。％•logftc-logca=1.

【变式7.3］（24・25高一下•上海•课后作业）已知在△力8c中，ZC=90°,角A,B,C所对应的三条边长分

别为〃，h,c.求证：log（“c）Q+log（c-b）Q=21og（b+c）a・log（c-b）a・

【解题思路】利用直角三角形的勾股定理、对数的运算性质以及对数的运算法则可以证明等式成立.

【解答过程】证明：在△ABC中，因为乙。=90°,所以。2一川=。2,

因为log(b+c)a+log(c-b)a

-log(i)a+loga=10ga(C—)+10ga(C+b)

—log(b+c)a/og(c-b)a(c+d)

222

=logaKc-b)(c4-b)]=loga(c-b)=logaa=2,

所以log(b+c)a+嘀〜)。=210g沙+c)a•log(c_d)a.

模块三飞对数的实际应用

啕知识梳理

1.对数的实际应用

在实际生活中，经常会遇到一些指数或对■数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数

学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

（1）建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；

（2）建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.

题型归纳

【题型8对数的实际应用】

【例8】（24-25高一上•贵州六盘水・期末）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古

希措天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天

体的星等值叫，g和它们对应的亮度当，％满足关系式g-F=-2.51g叁则（）

A.2等星的亮度是7等星亮度的100倍

B.7等星的亮度是2等星亮度的100倍

C.2等星的亮度是7等星痉度的10倍

D.7等星的亮度是2等星亮度的10倍

【解题思路】设2等星的亮度是x,7等星亮度是户由题中所给信息结合对数运算性质可得答案.

【解答过程】设2等星的亮度是X,7等星亮度是6则7-2二-乙5馆：=吆?=-2=?=+，即2等星

的亮度是7等星亮度的100倍.

故选：A.

【变式8.1]（24・25高一上•湖南•阶段练习）8月15日是全国生态日,2024年全国生态日的主题是加快经

济社会发展全面绿色转型.2005年8月15日，习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，

这一科学论断是习近平生态文明思想的核心理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花.

党的十八大以来，我国经济发展与生态环境保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展.在生态环境质量明显

好转的同时.，经济总量从2012年53.9万亿元升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023

年的年平均增长率约为（）（参考数据,电2.338«0.369,lg2.489«0.396,1O0034«1.081,1O0036«1.086）

A.6%B.7%C.8%D.9%

【解题思路】设年平均增长率为r，列式运算得解.

【解答过程】设我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率为厂，

则由题意53.9（1+r）u=126,

即（1+丁产=2.338,即lg（l+r）=管詈=0.034,

...「«io0034-1»0.08.

故选：C.

【变式8.2]（24-25高一上•云南昆明•阶段练习）声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，

数量级相差很多，因此通过声强级L来表示声强强度大小，规定声强级L=10】g；（单位：分贝），其中为

标准声强.若声强。是声强，2的150倍，则声强A的声强级比声强/2的声强级大多少分贝（）（结果四舍

五入保留整数）（Ig3«0.48,lg5«0.7）

A.14B.21C.22D.23

【解题思路】求出声强对应的声强级，再结合对数性质和公式运算即可.

【解答过程】设声强A的声强级为〃，声强％的声强级为G，

则4-L2=lOlgg-101g勺=101g?,由题知?=150,

<010l2l2

则A-L2-101gl50=10（1+lgl5）-10（1+lg3+lg5）«104-10x1.18«22,

故选：C.

【变式8.3]（24-25高一上•上海金山•期中）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马,易放难收”（明•《增

广贤文》）是勉励人们专心学习的.假设初始值为1,如果每天的“进步率”都是1%,那么一年后是

（1+I%）365=1.01365；如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是（1-1%765=0.99365.一年后，，进步

者”是“退步者”的儡=端#65«1481倍.照此计算，大约经过（）天，“进步者”是“退步铲的2倍（眨

近似取鱼计算）.

A.33B.35C.37D.39

【解题思路】列出方程^^）n=2,并根据已知数据求解即可.

【解答过程】设经过n天后“进步者”是“退步者”的2倍，则（悬=2.

故n」og2潴=1,根据已知条件有365“og2黑"log21481=10+log2翳"10.5,

所以71k空34.76右35（天）.

10.5

故选：B.

课后作业（19题）

一、单选题

I.（24-25高一上•江苏南通•阶段练习）计算22+1喻5=（）

A.7B.9C.10D.20

【解题思路】利用指数运算及对数的定义计算得解.

【解答过程】22+,°825=22-210g25=4x5=20.

故选：D.

2.（24-25高一上•全国•课后作业）若代数式log8（7-2X-3）有意义，则实数%的取值范闱为（）

A.（—co,—1）B.（—1,3）

C.(3,4-00)D.(-co,-1)U(3,4-co)

【解题思路】由对数的真数大于。列式即可求.

【解答过程】由题可得好一2%-3>0,解得“<一1或%>3,

故实数X的取值范围为（—8,-1）u（3,+oo）.

故选：D.

3.（24-25高一上•安徽蚌埠•阶段练习）若小=2（a>0,a#1）,则有（）

A.loga2=bB.log2a=b

C.2a=bD.2b=a

【解题思路】利用指数式与对数式的互化直接判断即可.

【解答过程】当Q>0,Q*1时，由心=2及对数定义得loga2=b.

故选：A.

4.（24-25高一上•山东荷泽•阶段练习）已知a=lg3,b=lg5,则用a,b表示lg75为（）

A.a+2bB.2abC.SabD.3b—a

【解题思路】根据对数的运算律，可得答案.

【解答过程】因为a=lg3,b=lg5,所以Ig75=lg（3x52）=lg3+21g5=a+2b.

故选:A.

,O4

5.（24-25高一上•广东佛山•阶段练习）计算:Iog23-Iog34+3^=（）

A.2B.4C.5D.6

【解题思路】由对数的运算公式及换底公式，计算即可.

【解答过程】log23-log34+3即=iog23.阴+4=2+4=6.

故选：D.

6.（24-25高一上・江苏南京•阶段练习）若a=log35,5b=6,则帅一log?2=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【解题思路】指数式化为对数式，利用对数运算法则和换底公式进行求解.

【解答过程】由5b=6nb=Iogs6,

故叱-log32=log35-log56-log32=log35•鬻-log32=log36-log32

=log3\=1唯3=1.

故选：A.

7.（24-25高一上•江苏南通・期末）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星

发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名

航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火蓊的最大飞行速度V满足公式：v=

wln（l+3）,其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w为火箭发动机喷流相

对火箭的速度.当M=3nl时，v=5.544千米/秒.在保持w不变的情况下，若m=20吨，假设要使v达到

8千米/秒，则M大约为（）结果精确到1,参考数据：e2«7.389,ln2«0.693）

A.98吨B.108吨C.118吨D.128吨

【解题思路】根据所给条件先求出w,再由u=8千米/秒列方程求解即可.

【解答过程】因为当时，u-5.544,

£5445.544

所以w=

In421n2

由y…(1+3)=舒n(1+劫=8,

得In(1+葬)=2,

所以l+5、e2«7.389,

解得M=127.78工128（吨），

即M至少约为128吨.

故选：D.

8.（24-25高二上•天津•期中）已知%>0,y>0,电铲+lg2y=lg8,则七+：的最小值是（）

A.3B.-C.-D.9

415

【解题思路】先运用对数的运算性质化简已知式为2%+y=3,结合所求式的结构，将其化成（2x+l）+y=

4,利用常值代换法将所求式凑成积为定值，借助于基本不等式求解即得.

【解答过程】由他4"+1g2y=lg8可得：lg22»y=lg23,

即2无+y=3,则（2x+1）+y=4

则3+1=7（717+-）[（2x+1）+训

2x+ly4v2x+ly八''八

=l[5+_Z_+l（^±l）]>£+lx2

4L2x+lyJ44y/2x+ly4

当且仅当士=雪2时，等号成立.

2x+ly

ry=4（2X4-1）（x=-

由2x+l-y解得：）I

1（2%+l）+y=4[y=-

即当x=：,y=;时，三+±的最小值是《

o3zx+iy4

故选：B.

二、多选题

9.（24-25高一上•四川南充•阶段练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（）

A.e。=1与Ini=0B.8-3=：与logj=一：

C.log39=2与95=3D.log77=1与=7

【解题思路】利用指数式与对数式互化关系，逐项确定得答案.

【解答过程】对于A,由0。=1,得lnl=0,A正确：

对于B,由8飞=§,Wlog81=B正确；

对于C,由log39=2,得32=9,C错误：

对于D,由log77=l,得7】=7,D正确；

故选：ABD.

10.（24-25高一上•全国•课后作业）下列命题正确的是（）

A.若loga工=3,则x=2媚

B.若叫乂2=一.则%=64

163

C.若%I*则％=4

4

2

D.若loga2b=1,则Q=b

【解题思路】对于ABC：根据对数的定义结合指数寻运算求解；对于D：举反例即可.

【解答过程】对于选项A；若log岳c=3,所有X=（四『=2日，故A正确；

对于选项B：若logx2=—；，贝次一彳=白=2-3

16316

所以%=（2-4）4=26=64,故B正确；

对于选项C：因为log3；=-2,即”g3：=%-2=/=%

可得/=*即％=±2,故C错误；

2

对于选项D：例如Q=2,匕=一2,则Q2=〃=4,可得loga2b=1,

符合题意，但a=-6,故D错误：

故选：AB.

11.（24-25高一上•河北保定•阶段练习）若实数％>0,y>0,a>0,且mH0,n/0,则下列

各式中，恒成立的是（）

x+yxy

A.a=a+aB.Ioga，=logaA--logay

n

C.10gamX=^logaXD.Igxn=

【解题思路】根据指数箱的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD.

【解答过程】对于A,谟+^二口巴0匕故A错误；

对于B,log。：=log。％-lOga'，故B正确；

对于C,lOgam”='[ogM，故C错误；

对于D.lg./=它.故D正确.

故选：BD.

三、填空题

12.（24-25高一上•江苏无锡•阶段练习）已知2a=3,log5=b,则8a々匕=」左_.

4TZ5

【解题思路】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解.

【解答过程】由Iog45=8,得针=5,而2a=3,

所以泮-2b="=1^21二（2。）3:33:27

-

以8-82b-Q2b）3-（4”3-53125,

故答案为：M

13.（24-25高一上•安徽亳州・期末）计算lg2-lgi+31g5-log32-log49+2脸4=6.

【解题思路】根据对数的运算法则即可计算.

（解答过程】原式=】g2+lg4+3lg5-log32--^―+4=31g2+31g5-1+4=3—1+4=6,

,°g32

故答案为：6.

14.（24-25高一上•河北保定•阶段练习）一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期

为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）、那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要工—年Ug2x0.3）

12X

【解题思路】设经过％年后的一万只兔子有y只，依题可得y=IO-2后，令y=108,求解即可.

【解答过程】设经过为年后的一万只兔子有y只，

根据倍增期为21个月，可得y=IO4.2登，

令y=l（）8,则2亍=103则?=logzlO,=白,

7Ig2

则.1=白“白。23,故大约需要23年，

lg20.3

故答案为：23.

四、解答题

15.(24-25高一上•全国•课堂例题)将下列指数式与对数式互化:

(l)log216=4；

(2)logi27=-3：

3

(3)logs100x4.606；

(4)43=64；

(5)3-2=

(6)107=o.OOl.

【解题思路】运用指数对数互化规则“底不变，其他换“，可转化.

【解答过程】(I)log216=4,运用指数对数互化规则“底不变,其他换”,可转化为24=16.

(2)logi27=-3,运用指数对数互化规则“底不变，其他换“，可转化为@)7=27.

(3)log5100