高考数学第二轮复习专练：数列的综合（含答案）

2025版新教材高考数学第二轮复习

6.5数列的综合

五年高考

高考新风向

(创新考法、新定义理解)(2024新课标/,19,17分港)设m为正整数，数列0,。2,...皿,汁2是

公差不为0的等差数列，若从中删去两项的和勾(V)后剩余的4〃z项可被平均分为m组，且

每组的4个数都能构成等差数列，则称数列3M2,../加+2是(5可分数列.

⑴写出所有的(V),13V使得数列0M2,...,06是(iJ)可分数列；

⑵当m>3时，证明:数列初。2,…，丽+2是(2,13)可分数列;

(3)从1,2，…,4m+2中一次任取两个数i和心口记数列⑶血…，丽+2是⑨可分数列的概率

为产,〃,证明:P,〃>"

8

考点数列的综合

1.(2023新课标〃,18,12分，中)已知他〃｝为等差数列为产-6'：?了数记分别为数

Qan，n为偶数.

列｛④｝，｛为｝的前〃项和$二32,7>16.

⑴求｛小｝的通项公式；

(2)证明:当心5时,T“>S〃.

2.（2022新高考/,17,10分，中）记*为数列｛〃〃｝的前〃项和，己知0=1,饯｝是公差为料等差

数列.

⑴求他“｝的通项公式；

（2）证明SU+…+工＜2.

Qia?an

3.（2021全国乙文,19,12分，中）设｛斯｝是首项为1的等比数歹（数列｛仇｝满足仇=等.已知

即3〃2,9的成等差数列.

(1)求｛m｝和｛仇｝的通项公式;

⑵记斗和4分别为｛斯｝和也｝的前〃项和.证明:北碍

4.(2021浙江,20,15分，中)已知数列｛m｝的前〃项和为品。竟,且4S〃+i=3S〃9(〃£N*).

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列｛儿｝满足35+(〃4)斯=0(〃£N"),记｛儿｝的前〃项和为若。玄如对任意〃£N*恒

成立,求实数2的取值范围.

5.(2023天津,19,15分滩)已知｛如｝是等差数列,。2+〃5=16,。5。3=4.

三年模拟

练思维

1.（2024甘肃二诊,17）设数列｛〃〃｝的前n项和为*/尸1,25尸层+〃（〃£V）.

⑴求数列｛如｝的通项公式；

（2）设数列｛儿｝的前〃项和为加且〃〃———，求兀9；

\/an+yjan+i

>

⑶证明:1+••~9r——9»

2\/fl72\/a72jQ]2jQgg

2.（2024江苏盐城六校联考』8）已知｛斯｝是首项为1的等比数列,｛5｝是首项为2的等差数

列,43=岳且O4=bl+b3.

⑴求他〃｝和｛d｝的通项公式；

（2）将伍〃｝和｛d｝中的所有项分别构成集合4,反将AUB的所有元素按从小到大的顺序排列

组成新数列｛金｝，求数列｛c“｝的前50项和550；

即+1，九为奇幽

⑶设数列｛4｝的通项公式为dAb2“卬.〃£叱,记0｝的前〃项和为加若

仁+2,n为偶数,

3%仑22〃+43加14对任意的〃RN”都成立，求正数，的取值范围.

3.(2024江苏连云港灌云高级中学模拟)设是数列｛斯｝的前〃项和，已知

a+为奇数,

0=1,。〃+产2n

an-2nfn为偶数.

⑴证明｛侬2｝是等比数列，并求｛包｝的通项公式;

(2)证明:当论2时0仑S2〃.

4.(2024福建三明质量检测,18)已知数列｛小｝满足sd2...而s=(&)层+TPN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设数列｛m｝的前〃项和为S”,若不等式⑴对仟意的〃金N*恒成立，求实数t的取

值范围；

⑶记3嬴，求证:嗤恃十…心*＜传〃6)

练风向

1.(新定义理解)(多选)(2024安徽安庆二模,11)满足防=2,42=1,4/2=0汁1+%(〃£N*)的数列｛为｝

称为卢卡斯数列，则()

A.存在非零实数f,使得｛如+±斯｝(〃仁N*)为等差数列

B.存在非零实数f,使得｛斯+i+s”｝(〃£N*)为等比数列

C.3a”+2=an+4+a〃(〃£N*)

2024

D.£=1(1)U=672O233

2.(新定义理解)(2024浙江温州第二次适应性考试,18)数列｛〃”｝,｛瓦｝满足:｛儿｝是等比数

歹|」力1=2,〃2=5,且0加+。2岳+…+。〃儿=2(斯3)仇+8(〃£N*).

(1)求为；

(2)求集合A=｛川(.皿)(m)=0店2〃,ieN*｝中所有元素的和;

⑶对数列｛金｝，若存在互不相等的正整数红包…，&代2),使得cg+ca+…+以,也是数列(6｝

中的项，则称数列｛◎｝是“和稳定数列”.试分别判断数列｛%｝,｛儿｝是不是“和稳定数列”.若是,

求出所有)的值;若不是，说明理由.

3.（新定义理解）（2024山东泰安一模』9）已知各项均不为（）的递增数列｛小｝的前〃项和为S“,

且。尸2,〃2=4,。同“+|=25“（，++S112s且n>2）.

⑴求数歹归｝的前〃项和Tn.

（2）定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G数列”.证明：

①对任意K5且AWN：存在“G数列”｛儿｝，使得bk<ak<bk+i成立；

②当Q6且ZWN”时不存在“G数列”｛金｝，使得对任意正整数m<k成立.

4.（新定义理解）（2024河南洛平许济质量检测,19）定义1进位制:进位制是人们为了计数

和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十二

进一，就是十二进制;满六十进一，就是六十进制;等等.也就是说，“满几进一''就是几进制，几

进制的基数就是几,一般地，若攵是一个大于1的整数，那么以攵为基数的上进制数可以表示

为一串数字符号连写在一起的形式

anan\...a\伙)(小,矶…1⑷®N,0<如<匕0%”1,…i必)<k).k进制的数也可以表示成不同位

上数字符号与基数的幕的乘积之和的形式.如7342(8)=7X83+3X82+4X8,+2X8°.

定义2三角形数:形如1+2+3+…+团,即，M"2+1)("P的数叫做三角形数.

⑴若即…9是三角形数，试写出一个满足条件的。的值；

〃九(9)

⑵若11111的是完全平方数，求k的值；

⑶已知G尸11...1，设数列｛金｝的前〃项和为工，证明:当〃>3时$〉也了.

二⑼

6.5数列的综合

五年高考

高考新风向

(创新考法、新定义理解)(2024新课标/,19,17分，难)设m为正整数，数列出见…,痴+2是

公差不为0的等差数列，若从中删去两项“•和为(V)后剩余的4〃z项可被平均分为m组，且

每组的4个数都能构成等差数列，则称数列0q…处,+2是(4)可分数列.

⑴写出所有的(5,1受拒6,使得数列0血…,06是(切可分数列;

⑵当②3时，证明:数列0血…,M+2是(2,13)可分数列;

⑶从1,2,…,4〃计2中一次任取两个数/和05/),记数列即见…,Otm+2是(jj)可分数列的概率

为P,〃,证明:匕片.

O

解析(1)(1,2),(1,6),(5,6).

理由:数列41,他,...,06中删去41,42后,数列43M4,。5,。6是等差数列，所以数列。I,。2,…,〃6是(1,2)

可分数列，同理数列00,…M6是(1,6)或(5,6)可分数列

(2)证明:时，

0,4447,〃10成等差数列;

。3,。6,。9,。12成等差数列；

11M14成等差数列.

，论4时，从05开始每连续4项成等差数列⑼5前12项分组同上，

即0M4M7Mo成等差数列；

43,46,49,412成等差数列;

的,48,。14成等差数列；

〃15,06,417,08成等差数列；

1,。4〃计2成等差数列.证明毕.

⑶证明:从4/71+2个数中任取两个数i和式与)有C乳+2=8病+6m+1种，

①首先证明(4〃+1,4c/+2)(p«/)一定符合题意,eN,且q<m.

4p+l与4q+2之间有4q+2(4p+l)l=4(qp)个数,按从小到大的顺序每4个一组.

4p+l前的4P个数按从小到大的顺序每4个一组.

4夕+2后的4(〃的)个数按从小到大的顺序每4个一组.

故(4p+1,4q+2)(0g〈把〃?)的不同取值有C^+i+("z+1)三(加2+3/〃+2)种.

②其次证明(4〃+2,44+1)0)<[1)-，定符合题意,〃/£?<且q<m,

4〃+1前的4〃个数,按从小到大的顺序每4个一组，

旬+2后的4(〃的)个数按从小到大的顺序每4个一组，

对4Pli,4p12,4〃+3,…,4q,4q7,4/2,一共有4(卯)12个数,

去掉其中第2个与第4(qp)+l个数，即4/7+2与4(7+1.

下面证明去掉后剩下的4(卯)个数可以分成qp组，每组4个数构成等差数列.

该证明实际上为(2)的推广.

令k=qp>2,

4p+1,4〃+1+左4〃+1+2A,4p+1+3A成等差数列；

4〃十3,4〃十3十%,4〃十3十2K4〃十3十3k成等差数列；

4〃+2+太4〃+2+2《4〃+2+3攵,4「+2+4攵成等差数列，

得证，，②得证.

故(4p+2,4g+1)的不同取值有鬃2+1〃『；(屈〃)种，

由①②，分组方法共有3(/〃2+3"?+2)WQ〃2〃?)W(2〃P+2〃?+2)=〃P+"7+1种,

而m2+m+l1_2m+7八•p1

m87n2+6m+l『8(87212+60+1)*'**

考点数列的综合

1.(2023新课标〃,18,12分，中)已知｛斯｝为等差数列力行［册-6rH数记S,7,。分别为数

(2g,n为售数

列｛为｝,｛8｝的前n项和,54=32,0=16.

(1)求｛〃〃｝的通项公式；

(2)证明:当〃>5时,7>S〃.

解析(1)设数列｛〃〃｝的首项为0，公差为&

..力［an~6,八为奇数,

:.b16/2=242,83=436,

•九为偶数,

又八二16,且b\+bi+b3=a1+2a2+ci312=4^212,

467212=16,6/2=7,BP〃i+d=7,①

又S4=32,,・・4m+6d=32,②

由①②得m=5,d=2,

/.atl=5+2(n1)=2n+3.

(2)证明:乃后5+力3+…+b2nl+。2+仇+...+》2”

=a1+43+...+。2〃16〃+2。2+2。4+...+2。2〃

=S2"+〃2+...+。2〃6〃

=S2n+2n2n.

?2n+1=0〃+岳〃+尸S2〃+2/〃+S〃+I6=S2〃+1+2〃2〃6.

当7?>1时,%S2〃=2〃2〃>0,故乃〃>S2“,当心2时，不〃+遥2”+产2376>0,故乃/1兄2“+1.综上，当心5

时,7>S”.

2.（2022新高考/,17,10分，中）记S〃为数列｛斯｝的前n项和，已知〃尸1,｛工｝是公差为：的等差

数列.

⑴求｛〃〃｝的通项公式；

⑵证明:工」+…+工<2.

田。2On

解析(1)依题意得5=〃1=1,

?=：+(〃1)xg=^^,**•3s〃=(〃+2)。〃,

an133

则3S„+1=(??+1+2)〃“+尸(〃+3)〃“+I,

・•.3S"+i3S”=(刀+3)%+i(刀+2)%,

即3%+尸(九+3)。〃+i(n+2)a„,

±i

W67,/+|=(//+2)6M,W^=—.

«nn

由累乘法得皿二妇产警

Q11x2

V1.（n+l）（n+2）

乂。产1,・・金+尸---------,

“产也尸1（稔2）,又0=1满足上式,

・・・小二用（〃中"）.

⑵证明:由⑴知上治：2G-马，

^^…々飞-加&-升…+2（；-总=2（1一.）=2帚2，

3.（2021全国乙文,19,12分，中）设｛小｝是首项为1的等比数歹II,数列｛d｝满足儿普.已知

41,3。2,9。3成等差数列.

（1）求｛小｝和｛仇｝的通项公式;

⑵记S〃和7；分别为他〃｝和｛儿｝的前〃项和.证明:乙专

解析⑴设等比数列｛〃”｝的公比为名

Vtz1,3（72,9^3成等差数列，

6a2=。i•9a3.即6。iq=ai19a\炉.

又・・・｛«〃｝是首项为1的等比数列,

.•.6^=1+942,解彳导91=42=：,

©71-1

,・也华(3-

⑵笫一步:用等比数列前〃项和公式计算5〃.

由等比数列｛小｝的首项和公比知，前〃项和为

&若/牛-削!.

第二步:用错位相减法求Tn.

.•・7；尸加十出十…十仇二ix(g十2x(g十…十〃G)，①

=1HT嗯产(京+9()号

・♦・/；产“9(沪京

第三步:表示黑并利用作差法证得结论.

・・尸尸丫

・~Sn_3;1XU7_-3式3汉/》

・,•陪=家)<0,・・7噂

4.(2021浙江,20,15分，中)已知数列｛小｝的前〃项和为S〃M=4,且4S”+产3S”9(〃£N*).

4

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)设数列｛瓦｝满足36+(〃4)斯=0(〃WN)记｛瓦｝的前〃项和为T〃,若。4观对任意恒

成立,求实数2的取值范围.

解析(1)由4S〃+i=3S〃9,得4s产3sM9(〃N2),贝IJ4知+尸3知(，仑2),又4(0+。2)=3m9,0芸，所以

4

4s=30,所以｛知｝是以］为首项［为公比的等比数列，

44

所以斯=3x(1).

⑵由题意得仇=(〃4)x0n则

33)x9(2)xGy+…+(〃4)、©:洱二(3)乂(1+(2»(，+…+(〃4)xG)n+：两式相减，得

3nn+1

泞尸⑶w+(丁+G)+…+G)(MX(沪，所以…g)，由题意得

4〃xG)n+i'(〃4)xGy恒成立，所以(2+3)〃4会0,记/5)二(2+3)〃4/1(〃£N*),所以解

得3夕

5.(2023天津,19,15分，难)已知｛斯｝是等差数列,〃2+4=16,〃5。3=4.

2n-l

⑴求｛an｝的通项公式及£石2…火〃Ne*).

(2)设｛d｝是等比数列，且对任意的正N*,当2*於2"时力共〃〈仇+i.

①当。2时,求证:2"1<仇<2"+1;

②求｛仇｝的通项公式及前〃项和.

解析(1)设｛〃”｝的公差为力

由题意得｛歌]广=16,解得｛建2，

所以“尸3+2(〃1)=2〃+1.

2n-l

Ei=2“—16Z/~(Z2n-1-^^2n—1+l^~^2n—1+2-^",,1

_2nT[2・2wT+l+2(2n—l)+l]

2

—ZnT.Qn+l+Z.zn—l)

2

=2-^2=-X22/,'=3X22/,2=3X4〃I.

22

(注:项数为(2〃1)2叫1=2〃2"I=2〃|)

(2)①证明:2空正2勺=>2。2怅2吩12n2斗丁2〃+y2底”，即2%1土店2Hl

":bk<Cln<bk+\成立，

超<O,，..也V25且瓦“>2阱工则bQ2kl.

综上,2勺<为<2人+1,证毕.

②设｛〃〃｝的公比为名前n项和为Sth

・・・｛仇｝为等比数列，且代N*01〈仇<2斗1,

・,・2"+”<E+|V2-i+l,

T7__纵+1.3_、2丘1-1_。3

又••吟U=2+灯

AWN：・・・行2,・・・2"1〈从2"匕2"+1,・,・从=2,

：.b,=2n,：.S„=兄（1一4八）二2（1-2力二2，”12

t1-q1-2

三年模拟

练思维

1.(2024甘肃二诊,17)设数列｛为｝的前n项和为*/尸1,25尸层+〃(〃£V).

⑴求数列｛如｝的通项公式；

(2)设数列｛儿｝的前〃项和为加且〃〃———，求兀9；

\/an+yjan+i

>

⑶证明:1+••~9r——9»

22yfa22JQ]2Jaqq

解析⑴因为2s产岛•居所以s尸?，

当〃N2时，%=S〃S产子"粤H二〃，

因为4尸1也满足上式，故“尸〃(〃£N).

(2)因为b〃=—1r，且〃〃=〃(〃£N*),

JQ/i+i

所以b=y-——=y/n+lVn,

nVn+Vn+l(Vn+x/n+1)^Vn+1-Vn)

所以居9=(近«)+(百或)+(av5)+...+(auu历尸mu1=9.

即799=9.

:

(3)证明:由f—^=-^=y=^-7=>=yjn+lVn,

2yjan2Vnvn+\nVn+vn+1

故3+3+^=+..+^^>V2]i=9.

2场2圾2703Zy/agg

所以原不等式成立.

2.(2024江苏盐城六校联考,18)已知｛斯｝是首项为1的等比数列,｛仇｝是首项为2的等差数

歹！],43=从且O4=bl+b3.

(1)求｛«〃｝和｛仇｝的通项公式;

⑵将｛〃〃｝和｛d｝中的所有项分别构成集合A,8,将AU8的所有元素按从小到大的顺序排列

组成新数列｛6｝，求数列｛c“｝的前50项和Sso；

。八+1,"为奇数,

⑶设数列｛4｝的通项公式为d“=二工/田"〃记｛加的前〃项和为若

T+2,n为偶数,

3^,I>22M+14-3/Z/14对任意的〃WN*都成立，求正数/的取值范围.

解析(1)设｛如｝的公比为q(gM),出“｝的公差为d,

因为。3心口。4=81+方3,所以q?=2+d,/=4+2d,

解得(7=2,4=2,所以斯二2对力产2〃.

nl

(2)由⑴知atl=2,bn=2n,

因为数列｛仇｝是正偶数构成的等差数列，数列｛小｝除首项外，其余项都是2的倍数,

所以数列｛c〃｝的前50项和550=1+2X49+写竺'2=2451.

।33,八为奇数,

(3)因为4尸)

bi+2,几为徽；

所以

2

心〃尸"+4+由+&+…+必〃尸(2+23+25+…+22”])+(4+6+8+...+2«)=^-2+—(,71)=?+—+,?

1—4233

,2w+,

由372,fi>2+3/?rl4得3(-9+号+足+止22叫3w14,即％+5对任意的〃£N’都

成乂，

因为〃，+IN2vS+1,〃£N:等号取不到，

n

当n=\时,1+2+1=4,当n=2时,2+1+1=4,

所以正数t的取值范围是0<r<4.

3.(2024江苏连云港灌云高级中学模拟)设*是数列伍〃｝的前〃项和，己知

~a+&n为奇数,

2n

a\=l,an^i=

an-2nf八为偶数.

(1)证明｛S〃2｝是等比数歹％并求｛SA｝的通项公式；

(2)证明:当n>2时,。2”益〃.

解析⑴由已知得。2〃+2二12”+1+2〃+1=/。2,14〃)+2〃+1$2”+1,所以42“+22三(。2〃2).

因为02亭什13，。22=狗,所以皿号,

222Q2n—22

所以｛s“2｝是以3为首项9为公比的等比数列，

所以。2”2=^0，所以。2产G)+2,

所以仅2〃｝的通项公式为S“=G)"+2.

(2)证明:由。2〃=6)+2知s“2=g)+2,

所以々2〃I=42〃22(2〃2)=64〃G),

所以42“1+s“=84〃3•,

所以$2”=31+。2)+(。3+。4)+...+(。2”1+。2“)

=84x13x(3，」+84x23x(3?」++84〃3乂0)=8〃4(1+2+...+〃)3彳+6^+十(3n

二8〃4x33xtt翼1

=2/?2+6n3+3x（i）n=2（n-|）2+|+3xQ）n.

当H>2时如Sz后G）n+2+2（/i-1）2|3xQ）n

令段）二2（x-|）?44x（2）r>

根据函数的单调性可知，当x>2时,«r）单调递增.

又火2）=0,

所以它2时，有心心0,即2（X-|）244XQ）X>0,

所以当n>2时0〃S2仑0,即当n>2时,公仑S方.

4.（2024福建三明质量检测,18）己知数列｛小｝满足ms..加）M+n,〃£N*.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

（2）设数列｛斯｝的前〃项和为若不等式（1）〃514S^对任意的N*恒成立，求实数t的取

值范围；

⑶记为二点，求证号替…气^口心）.

解析（1）因为〃…小①，

所以当n>2时⑼a2…如②（1分）

由岩得呢=25（2分）

因为n=l时a\=2也符合上式，

所以斯二2〃,〃£N*.（4分）

（2）由（1）知,$尸与9二2"】2,（5分）

因为不等式（1-514s■对任意的〃eN*恒成立，

又S〃>0且S”递增，

所以⑴小对任意的〃仁N*恒成立，（7分）

因为Si=2,S2=6,53=14,54=30,（8分）

所以当〃为偶数时於S“+生寸任意的〃£N*恒成立，即t<（Sn+目.

必V、力rnin

因为S2=6>g,所以华半（10分）

当〃为奇数时,对任意的〃WN*恒成立，即r<（sn+当，

因为$=2<g<S3=14,所以（％+=9,正9,

所以t>9.（12分）

综上可知左臂.（13分）

（3）证明:因为/力尸一干;,（14分）

•og2«n2n

所以｛d｝是递减数列，

所以匹二s/K,（15分）

所以暗*需〃鬻寤=2（师师；），

.+%擀+1<2（朋~/^+4bn+i）<2x

V。1Vp2Vplt\z

原不等式得证.（17分）

练风向

1.（新定义理解）（多选）（2024安徽安庆二模,11）满足s=2,s=l,为+2=Q〃+]+〃〃（〃£N"）的数列｛〃〃｝

称为卢卡斯数列，则（BCD）

A.存在非零实数f,使得｛丽+%〃｝（〃任N*）为等差数列

B.存在非零实数f,使得｛如+什心〃｝（〃£N*）为等比数列

C.3a〃+2=an+4+“?（〃£N+）

2024

D.£=1（1）3=420233

2.（新定义理解）（2024浙江温州第二次适应性考试,18）数列｛〃“｝,｛瓦｝满足:｛儿｝是等比数

列,b1=2,672=5，且0bl+。2岳+...+。/〃=2（斯3）Z?〃+8（〃£N"）.

（1）求（In,bn；

⑵求集合A=｛M（w»（.也）=0.二2〃/£N"中所有元素的和;

⑶对■数列｛。/，若存在互不相等的正整数卜,3..,&02）,使得以]+%+—+。勺也是数列｛金｝

中的项，则称数列｛c〃｝是“和稳定数列”.试分别判断数列｛%｝,｛儿｝是不是“和稳定数列”.若是,

求出所有./的值;若不是，说明理由.

解析（l）：ai/?i=2（ai3）4+8,4=2,工。|=2,

又。|〃1+42〃2=2（423）/?2+8力|=2,。2=5,.'〃2=4,

｛仇｝是等比数歹卜,｛仇｝的公比为约2,・••瓦=2”，

bl

当n>2时,。向+。2历也1=2（。加3）1i+8,

则q〃Z?〃=2(a〃3)/为?2(a〃13)bni,

将。产2"代入,化简得。〃=2(。〃3)(即13),

得。〃。川二3(论2),

，｛斯｝是公差为3的等差数列,・,・如“+(〃1)#3加.

(2)记集合A的全体元素的和为S,

集合M=｛ai/2,…,。2〃｝的所有元素的和为A2〃=2"(6；I+1=6〃2+〃,

集合2｛乐岳，…生〃｝的所有元素的和为&〃=三岁=22/2

1—2

集合MCN的所有元素的利为T,则有S=A2〃+B2〃工

对于数列(6｝:当“20(Z£N*)时为2人尸22-=(31产i=3pl(p£N*)是数列伍〃｝中的项(由二项

展开式的特征得到)，

当n=2k(keN*)时，历户262A『2(3pl)=3q20£Nj不是数列｛如｝中的项，

・・.T=4十历+…+〃25其中电〃，』哨(6-1)-1(咫。g2(6〃-1)+1,即公产2(6…)+1］(其中

(“2k+l>a2n22L2

㈤表示不超过实数X的最大整数).

Q七鲁|(的)二|(4瞥1%,

.•岳6声〃+22*.4瞥竽口.

33

⑶当尸3〃z(/〃£N")时,0自+%+…+。勺是3的正整数倍，

故一定不是数列(〃〃｝中的项；

当/=3〃?1(/〃£N*)时,以］+0七+…+。与除以3余1,不是数列｛〃”｝中的项；

当尸3〃?+l("?£N")时,%+*+…+。勺除以3余2,是数列｛小｝中的项.

综上，数列｛知｝是“和稳定数列"，此时j=3m+1(meN*).

数列｛儿｝不是“和稳定数列”，理由如下：

不妨设:\<k\<k2<...<kj,贝ijbkl+bkz+…+bkj>bk.,且

%+瓦2+…+瓦户仇+岳+…十玩尸2/2?+…+2与=2勺+12<2，+1=%.+「

故瓦i+瓦2+…+b勺不是数列｛岳｝中的项.

数列｛为｝不是“和稳定数列”.

3.(新定义理解)(2024山东泰安一模,19)已知各项均不为()的递增数列｛斯｝的前〃项和为S“,

且0=20=4,斯。〃+尸25〃(3“++Sm2%)(〃£N［且佗2).

⑴求数歹忙｝的前n项和Tn.

⑵定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G数列”.证明：

①对任意K5且人£1<存在“6数列”｛仇｝，使得bEaEbk+i成立；

②当k>6旦代N”吐不存在“G数列”©｝,使得G4怎eg对任意正整数m<k成立.

解析（1）小丽i=2S“（S向+S“i2S"）=2S〃3”+g）（〃N）,.・・｛斯｝各项均不为0且递增,工加⑼内）,

•••cZ0L―^n^n+1y（2分）

^n+1-Qi?

...2s〃尸an-ian5N3）,.・.2斯=即而+1On-ia-

an-an-lan+l~anan-an-l

化简得an（an+1+am2a〃）=0（应3）,

。”+1+斯尸2。〃（〃工3）,（4分）

*.*^1=2,672=4,4243=2S2（S3+S|2s2）,々3=6.

.•・〃|+〃3=2。2,

・•・{〃〃}为等差数列，（5分）

/.4“=2",S〃=〃2+〃，（6分）

.1111

•■—=-------=-------（7分）

Snn（n+l）nn+1

：.T„=1i+-i+...+1—.（8分）

223nn+1n+1

（2）证明:设“G数列”的公比为名且q>\.

①由题