第22讲 圆（练习）【3大考点22大题型】（举一反三）（原卷版）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

页第22讲圆【3大考点22大题型】考点一考点一圆的相关概念及性质【题型1利用垂径定理求解】1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m，CD=2.5m，则拱门所在圆的半径为（A．1.25m B．1.3m C．1.4m2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（）A．61° B．63° C．65° D．67°3．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为寸．4．（2023·青海西宁·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF5．（2023·浙江·中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=8，DE=2．

(1)复习回顾：求AB的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC，点G是BC上一动点，连接AG，延长CG交AB的延长线于点F．①当点G是BC的中点时，求证：∠GAF=∠F；②设CG=x，CF=y，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF，BG，当△CDF为等腰三角形时，请计算6．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【题型2利用弧、弦、圆心角关系求解】1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AM=AN，DM=DN．求证：∠AMD=∠AND．【模型应用】（2）如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）【拓展提升】（3）如图3，AC为⊙O的直径，AB=BC，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．求证：2．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求证：(1)AC＝BD；(2)△ABE∽△DCE．3．（2024·海南·中考真题）如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD，点P在CD上，若∠PCB=130°，则A．105° B．100° C．90° D．70°4．（2023·河北·中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P

A．a<b B．a=b C．a>b D．a，b大小无法比较【题型3利用圆周角定理及其推论求解】1．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF(1)求证：BC⋅DF=BF⋅CE；(2)若∠A=∠CBF，tan∠BFC=5，AF=45，求CF2．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（

）A．2 B．22 C．233．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D．则AB+ACAD的值为（

A．2 B．3 C．22 D．4．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD=1，则AE的最大值为，最小值为【题型4利用圆内接四边形求角度】1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E=（

）A．56° B．60° C．68° D．70°3．（2017·湖北荆州·中考真题）如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形.若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是．4．（2022·山东威海·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．(1)若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；(2)若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．5．（2024·山东枣庄·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．（1）求证：DP//（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）当AB=5cm，AC=12cm时，求线段【题型5利用圆的有关性质解决最值问题】1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD=2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（

A．8 B．6 C．4 D．32．（2024·黑龙江·中考真题）如图，在RtΔAOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的点，则PC+PD的最小值为．3．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．【操作发现】小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①小明发现：CE与⊙O的位置关系是__________，请说明理由：【实践探究】连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．请求出当AB=310．BC=6时，CF【问题解决】在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD:DB与点F分线段DE所成的比DF:FE始终相等．请予以证明．4．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．(1)求证：DC是∠ADB的平分线；(2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；(3)若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．5．（2024·浙江宁波·中考真题）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD上存在点E，满足AE=CD，连接BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点（1）若∠DBC=α，请用含α的代数式表列∠AGB．（2）如图2，连接CE,CE=BG．求证；EF=DG．（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，AD=2．①若tan∠ADB=32②求CG的最小值．【题型6利用圆的有关性质解决翻折问题】1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在扇形OAB中，∠AOB=100°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的长为．

2．（2024·四川成都·中考真题）如图，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，AB=BC，点E在BC上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A′重合，点B与B′重合，连接EB′，EC，EA′．设EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c．请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=；当n=12时，p=．（参考数据：3．（2024·广东深圳·中考真题）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，链接PC．（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为弧ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交弧BC于点F（F与B、C不重合）．问GE▪GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．4．（2024·浙江金华·中考真题）在扇形AOB中，半径OA=6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．（1）如图1，若∠O=75°，且BO′与AB所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．（2）如图2，BO′与AB相交于点D，若点D为AB的中点，且PD//OB，求【题型7利用圆的有关性质求取值范围】1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系，并求S的最大值？（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．2．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数y=x2−6x+8的图像与x轴分别交于点A,B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M

(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．3．（2024·云南·中考真题）已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC∥OP，M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）设OP=32（3）设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围．考点二考点二与圆有关的位置关系【题型8点和圆的位置关系】1．（2022·吉林·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021·湖北鄂州·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，BC=3．点P为ΔABC内一点，且满足PA2+PC2=ACA．3 B．33 C．3343．（2024·湖北宜昌·中考真题）在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F4．（2021·贵州遵义·中考真题）点A是半径为23的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB．（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整．解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．∴OO′＝BO＝6又∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝60°，AB＝BC∴∠OBO′＝∠ABC＝60°∴∠OBA＝∠O′BC在△OBA和△O′BC中，OB=O'B∠OBA=∠O'BC∴（SAS）∴OA＝O′C在△OO′C中，OC＜OO′+O′C当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C即OC≤OO′+O′C∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是．（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．【题型9直线和圆的位置关系】1．（2024·湖南娄底·中考真题）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l:y=512x只有一个公共点时，点AA．(−12,0) B．(−13,0) C．(±12,0) D．(±13,0)2．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．平行3．（2024·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直线AB与⊙OA．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切4．（2022·上海·中考真题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，CD=16，BC=AD+6，如果以CD为直径的圆与梯形ABCD各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么ADA．5<AD<16 B．5≤AD<8 C．5≤AD≤8 D．0<AD<55．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是．【题型10利用切线的性质求线段长或角度】1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．(1)求证：∠ABC=2∠ACD；(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径．2．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在△ABD中，AB=BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E．(1)求证：DE⊥BE；(2)若AB=56，BE=5，求⊙O3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．(1)求证：AD平分∠CAE；(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半径．4．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、(1)求证：△ABC∽(2)若AC=5，CD=4，求⊙O的半径．5．（2024·四川泸州·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点D，点E在⊙O上，AC=CE，CE交AB于点F．(1)求证：∠CAE=∠D；(2)过点C作CG⊥AB于点G，若OA=3，BD=32，求FG【题型11证明某条直线是圆的切线】1．（2024·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，sinD=352．（2024·内蒙古·中考真题）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF=∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若CD=8①求DE的长；②求⊙O的半径．3．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若E为AH的中点，求EFFD4．（2022·四川德阳·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD=2∠BAD．(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)如果AB=10，CD=6，①求AE的长；②求△AEF的面积．5．（2022·四川·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有一点P，满足∠PBD＝∠DAB．过点P作PN⊥CD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H．（1）求证：BP是⊙O的切线；（2）如果OA＝5，AM＝4，求PN的值；（3）如果PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP．【题型12应用切线长定理求解】1．（2021·四川泸州·中考真题）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是A．8179 B．10179 C．2．（2024·湖北武汉·中考真题）图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（

）A．51213 B．125 C．33．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，点A、B为切点．连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D．已知PA=6，AC=8，则CD的长为．4．（2024·辽宁营口·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：CD=AD+CE．（2）若AD=4CE，求tan∠EGF5．（2024·山东东营·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，（1）求证：OD∥（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长．【题型13三角形的外接圆】1．（2022·山东滨州·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为（

A．45 B．35 C．432．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP

3．（2024·山东济南·中考真题）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,3)、B(−2,−2)、C(4,−2)，则△ABC外接圆上劣弧

4．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点5．（2024·山东潍坊·中考真题）如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连结BD、DC．（1）求证：BD=DC=DI；（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．【题型14三角形的内切圆】1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，等腰ΔABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB=AC=5，BC=6，则DE的长是()A．31010 B．3105 C．2．（2024·广西玉林·中考真题）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为()A．r B．32r C．2r D．53．（2022·山东潍坊·中考真题）(多选)如图，△ABC的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接EF,DE,DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB,BC于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于12GH的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线BP．下列说法正确的是（A．射线BP一定过点O B．点O是△DEF三条中线的交点C．若△ABC是等边三角形，则DE=12BC D．点O4．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．5．（2024·广西桂林·中考真题）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式—海伦公式S=pp−ap−bp−c（其中a，b，c是三角形的三边长，p例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算：∵a＝3，b＝4，c＝5∴p=a+b+c∴S=p事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．根据上述材料，解答下列问题：如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9（1）用海伦公式求△ABC的面积；（2）求△ABC的内切圆半径r．【题型15三角形外接圆与内切圆综合】1．（2024·山东滨州·中考真题）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A．2 B．22−2 C．2−2 2．（2023·山东聊城·中考真题）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（

）

A．15° B．17.5° C．20° D．25°3．（2024·湖北荆门·中考真题）如图，ΔABC内心为I，连接AI并延长交ΔABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（

）A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D（1）求证：△BFD∽△ABD；（2）求证：DE=DB．考点三考点三与圆有关的计算【题型16正多边形与圆】1．（2023·安徽·中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC,OD，则∠BAE−∠COD=（

）

A．60° B．54° C．48° D．36°2．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB上，则∠CME的度数为（

）

A．30° B．36° C．45° D．60°3．（2024·浙江湖州·中考真题）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（

）A．60° B．70° C．72° D．144°4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．5．（2024·内蒙古呼和浩特·中考真题）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比5−12≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD

（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；（2）求证：BMBN=BN（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知MNBM也是一个黄金分割数，据此求sin【题型17求弧长】1．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，∠C=70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则DE的长度为（

）

A．π9 B．5π9 C．102．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m

A．300πm B．200πm C．150πm3．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若AB=23，则花窗的周长（图中实线部分的长度）=．（结果保留π4．（2023·湖北黄石·中考真题）“神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知PF≈64009km，∠FOQ=20°,cos20°≈0.9，则圆心角∠POQ

5．（2023·湖南常德·中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA=2，∠AOB=90°【题型18求某点的弧形运动路径长度】1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB=23，BC=3，点P从B点出发，在△ABC内运动且始终保持∠CBP=∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长为2．（2024·湖北黄冈·中考真题）如图所示，将一个半径OA=10cm，圆心角∠AOB=90°的扇形纸板放置在水平面的一条射线OM上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB沿射线OM翻滚至OB再次回到OM上时，则半径OA的中点P运动的路线长为cm3．（2024·广西桂林·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3   ,   AD=3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点

4．（2022·江苏连云港·中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．(4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_____．5．（2021·湖南株洲·中考真题）将一物体（视为边长为2π米的正方形ABCD）从地面PQ上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点B与斜面EF上的点E重合，先将该物体绕点BE按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置，再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置（此时点B2与点G重合），最后将物体移到车厢平台面（1）求线段FG的长度；（2）求在此过程中点A运动至点A2【题型19求不规则图形的面积（含扇形）】1．（2023·山东滨州·中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙

A．14πcm2 B．13π2．（2021·湖北十堰·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是．3．（2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，________．求证：________．

从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．（2）在（1）的前提下，若AB=6，∠BAD=30°，求阴影部分的面积．4．（2023·四川乐山·中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB′C′的位置，那么可以得到：AB=AB′，AC=AC′，BC=B

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（

）”处应填理由：____________________；（2）如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′

①请在图中作出点O；②如果BB′=【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．

【题型20利用弧长或扇形面积公式求半径】1．（2024·浙江丽水·中考真题）已知圆弧的度数为80°，弧长为16π，则圆弧的半径为．2．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，点M