河北省保定市2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题（含答案）

绝密★启用前二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是

河北省保定市2026届高三上学期期中考试A.若a|c|>b|c,则a>b

B.若0<a<b<1,则a²+b²<a+b

数学C.若a<b<0,则

(时间120分钟，满分150分)D.若c<0,则a>b>0

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。10.已知指数函数f(x)过点,则

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。A.f(x)=2*

在(-∞,0)上单调递增

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。B.g(x)

C.方程g(x)=2的解仅为2

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目D.方程g(x)=a恰有两个解，则a的取值范围为(1,2)

要求的.11.记S,为数列{a}的前n项和，已知a₂=2a₁=2,3an+2=an+1+2an,则

1.已知集合A={x|2≤x≤8},集合,则AUB=A.{an+1-a}成等比数列

A.{x|1<x<5}B.{x|1<x≤8}B.当n为奇数时，

c.{x|2≤x<5}D.{x|5≤x≤8}

2.设向量a=(-1,2),b=(2,-1),则(a·b)(a+b)等于

A.(1,1)B.(-4,-4)C.-4D.(-2,-2)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

3.已知复数z满足z(1+2i)=i,则z的虚部为

12.集合A={x|m-2<x<m+1},已知等差数列{a,}的前n项和为Sₙ,公差为d,当a₃=2且{S}单调

D递增时，d的取值集合为B,若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则m的取值范围是

4.已知tana=-√2,则13.不等式的解集是

D14.设函数f(x)=|2*-a|(a>1),则方程f(f(x))=0根的个数为其所有根之和的取值范围

B.3-√6为

5.已知数列{a}中，a₁=-2,a²=a+1+7,则a₂02=四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.-3B.-2C.2D.315.(本小题满分13分)在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA=3sinC,

6.若函数上恰有3个极值点，则@的取值范围是(1)

(2)若D为边BC上靠近点B的三等分点，AD=2√6,求△ABC的面积.

7.记S,为数列{a}的前n项和，设甲：{a}是等比数列，乙：{Sn+2-S}是等比数列，则

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲是乙的既不充分也不必要条件

8.已知a>0,函数f(x)=xe-a(x+Inx)+2存在零点，则实数a的最小整数值是

A.2B.4C.5D.6

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18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=x(Inx-1).

16.(本小题满分15分)在直角△ABC中，点D为斜边BC上的一点且满足,点E为AD的中点，

(1)讨论f(x)的单调性；

若设AB=a,AC=b,且|a|=3,|b|=6.

(2)(i)求处的切线方程和f(x)在(e,0)处的切线方程；

(1)用a,b表示EC,EB;

若方程有两个不同的实根证明：

(2)求∠BEC的余弦值.(ii)f(x)=mx₁,x₂,

19.(本小题满分17分)若数列{a,}满足对于Vn∈N,,且an+1,则称数列{a}是调和分裂数列.

17.(本小题满分15分)已知函数对于调和分裂数列{a,回答下列问题：

(1)证明：函数f(x)的图象关于(0,2)对称；(1)若a₁=1,证明：数列{a²}的前n项和

(2)若对Vx≥2,不等式f(m·2ˣ-1)+f(-4)≥4恒成立，求实数m的取值范围.

(2)是否存在{aₙ}使得a₂,a₃,a₄,a₅,a₆构成等差数列?若存在，请直接写出a₂至a₆的值，若不存在请

说明理由；

(3)对于给定的正整数k,若存在{a},使得以am为首项的连续2k+3项依次构成等差数列，求m

的最小值.

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数学参考答案

1.B解析：-x²+6x-5=-(x-1)(x-5)>0,解得1<x<5,所以B={x|1<x<5},

所以AUB={x|1<x≤8},故选B

2.B解析：因为a=(-1,2),b=(2,-1),

所以a·b=(-1,2)·(2,-1)=-2-2=-4,a+b=(-1,2)+(2,-1)=(1,1),

故(a·b)(a+b)=-4×(1,1)=(-4,-4),故选B.

3.C解析：由题意得，,所以z的虚部为,故选C.

4.A解析：由,知sina>0,cosa<0,由题意即sina=-√2cosa,由

sin²α+cos²α=1,得,所以,故选A.

5.C解析：因为a₁=-2,a+1=a²-7,

所以a₂=4-7=-3,a₃=9-7=2,a₄=4-7=-3,a₅=9-7=2,所以a₂025=a₃=2,故选C.

6.D解析：由w>0,

由于y=cosx的极值点为x=kπ,k∈Z,所以f(x)的极值点对应的取0,π,2π或-π,0,π,所以

解得,故选D.

7.D解析：对于充分性，当a=(-1)”时，{a}是等比数列，但Sₙ+2-Sn=aₙ+2+an+1=(-1)"+²+(-1)#+

=(-1)"+¹(-1+1)=0,但等比数列的各项均不为0,故此时{Sₙ+2-S„}不是等比数列，故充分性不成立，

对于必要性，不妨令{S+2-S}的公比为1,则a++a+2=a₁+a₂,于是显然可得azk-1=a,a₂k=a₂,

k∈N,不妨取a₁=0,a₂=1,此时S+2-Sₙ=1,{Sₙ+2-S}是等比数列，但{a}不是等比数列，故

必要性不成立，于是甲是乙的既不充分也不必要条件，故选D.

8.C解析：由题意知，定义域为(0,+),因为a>0时，f(x)=xe-a(x+Inx)+2=0有解.

不妨令xe=t∈(0,+∞),则上式转化为t-alnt+2=0有解，又因为a>0,所以,不妨令

,求导得,所

单调递减且φ(4)>0,φ(5)<0,所以存在正实数t₀∈(4,5),使得φ(t₀)=0,即函数

h(t)在(0,t₀)单调递增，(t₀,+∞)单调递减，所!.所以，a

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的最小整数值为5,故选C.

9.ABC解析：因为a|c>b|c,所以a|c-b|c=|c|(a-b)>0,因为|c>0,所以a-b>0,即a>b,

A正确；因为0<a<b<1,所以a²-a=a(a-1)<0,b²-b=b(b-1)<0,所以a²+b²<a+b,B正确；

因为a<b<0,所以,C正确；因,且c<0,所以

即ab(a-b)>0,则a>b>0或0>a>b或a<0<b,D错误，故选ABC.

10.BC解析：由题设f(x)=a*,因为过点,解得,A错误；当x<0时，

所以g(x)在(-∞,0)上单调递增，B正确；当x≥0时，所以

g(x)=log₂(x+2)=2,解得x=2,当x<0时，所以g(x)=2*+1=2,解得x=0,不符合题意，

所以方程g(x)=2的解仅为2,C正确；当x≥0时，易知g(x)单调递增，所以g(x)≥g(0)=1,所

以g(x)∈[1,+∞],当x<0时，由B知g(x)单调递增，g(x)<g(0)=2⁰+1=2,又g(x)>1,所以

g(x)∈(1,2),综上，方程g(x)=a恰有两个解，则a的取值范围为(1,2),D错误，故选BC.

11.ABC解析：由题意可得3an+2=an+1+2a,即

又a₁=1,a₂=2,故{an+1-a}是以1为首项，为公比的等比数列，A正确；

…,

则上式累加可即

,当n为奇数时，

即,B正确；由

无解，故{aₙ}中不存在连续三项成等差数列，C正确；

D错误，故选ABC.

12.答案：1≤m<2

解析：由{a}为等差数列，且a₃=2,

所以a=2+(n-3)d=nd-3d+2,a₂=2+(2-3)d=2-d>0,解得d<2,

因为{S„}单调递增，则{a}从第二项开始，各项均为正数，且又因为a>0(n≥2)恒成立，所以数列

{a}为常数列或递增数列，所以d≥0,所以实数d的取值集合B=[0,2].若“x∈A”是“x∈B”

的必要条件，则,故答案为1≤m<2.

13.答案：(-2,2)

解析：不等式可化为,即,所以x²-4<0,

数学答案第2页(共6页)

所以(x-2)(x+2)<0,所以-2<x<2,不等式解集是(-2,2).

14.答案：(1)2(2分);(2)(0,+∞)(3分)

解析：令f(x)=0,得x=log₂a,因此f(f(x))=0的根必然满足f(x)=log₂a.对于|2*-a|=log₂a,

当x<log₂a时，a-2ˣ=log₂a,解得x₁=log₂(a-log₂a).当x>log₂a时，2ˣ-a=log₂a,解得

x₂=log₂(a+log₂a),故有两根，且x₁+x₂=log₂[a²-(log₂a)²],令函数g(a)=log₂[a²-(log₂a)²],

令F(a)=a²-(log₂a)²

∴F(a)在(1,+∞)单调递增，且F(a)>F(1)=1

易得外层函数y=log₂x也单调递增，故由复合函数的单调性可知函数g(a)单调递增，

故x₁+x₂=g(a)>g(1)=0,故答案为2;(0,+∞).

15.答案：

解析：(1)因为sinA=3sinC,所以a=3c,…………(2分)

由余弦定理得,…………………(4分)

则b=2√3c,所……………………(6分)

(2)由题意得……………(7分)

在△ABD中，由余弦定理得,…………(9分)

所以c=3,……………………………(10分)

所以a=9,(11分)

……………(12分)

……………………(13分)

16.答案：

解析：(1)因为,所以,………………(2分)

数学答案第3页(共6页)

…………………(3分)

所以………………………(4分)

……………………(5分)

(2)以A为原点，分别以AB,AC所在直线为x轴，V轴，建立平面直角坐标系

则B(3,0),C(0,6),由(1)知E(1,1)………………(7分)

所以EB=(2,-1),EC=(-1,5)………………………(8分)

所以EB·EC=2×(-1)+(-1)×5=-7…………………(9分)

EB|=√2²+(-1²=√5,|EC=√(-1)²+5²=√2.…………………(11分)

因为EC,EB的夹角是∠BEC,

所以∠BEC的余弦值是…………………(15分)

17.答案：(1)证明略；

解析：(1)f(x)的定义域为R……………………(1分)

………………(2分)

…………………(5分)

所以函数f(x)的对称中心为(0,2)……………………(6分)

(2)由(1)f(4)+f(-4)=4………………………(7分)

则f(m·2*-1)+f(-4)≥4,即f(m·2*-1)≥4-f(-4)=f(4)…………………(9分)

由复合函数单调性可得，函数f(x)在R上单调递增……………(10分)

所以m·2*-1≥4……………………(12分)

即m·2*≥5,即……………(13分)

在[2,+∞]上单调递减……………………(14分)

所以…………………………(15分)

18.答案：(1)见解析；(2)(i);y=x-e(ii)证明见解析

解析：(1)f(x)=xlnx-x,x∈(0,+∞)…………(1分)

数学答案第4页(共6页)

所以f'(x)=Inx,……………………………(2分)

当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，………………(3分)

x∈(1,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增……………………(4分)

……………………(5分)

…………………(6分)

所以f(x)在处的切线方程为,即…………(8分)

因为f(e)=0,f'(e)=1,所以f(x)在(e,0)处的切线方程为y=x-e,(10分)

(ii)由(i)知，f'(x)=Inx,当x∈(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，

x∈(1,+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增.

因为f(x)=m有两个不同实根x₁,x₂,不妨设x₁<x₂,则0<x₁<1<x₂,