浙江省金华市第四中学2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

第第页浙江省金华市第四中学2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列函数中是二次函数的是（）A．y=−3x2+1 B．y=8x+1 C．y=2．下列事件中是必然事件的是（）A．明天太阳从西边升起B．篮球队员在罚球线投篮一次，未投中C．实心铁球投入水中会沉入水底D．抛出一枚硬币，落地后正面向上3．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定4．已知△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：4．若BC=1，则EF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．45．抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（0，4） D．（0，﹣4）6．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（）A．6π B．12π C．15π D．24π7．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C为AB的中点，OC与AB交于点D，若⊙O的半径是10，CD＝4，则AB＝（）A．14 B．15 C．17 D．168．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）A．2 B．22 C．23 D．49．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，若∠ABD=72°，AB=20，则图中阴影部分的面积为（）A．5π B．9π C．10π10．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．12 B．32 C．2 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．已知线段a=9，b=4，则a、b的比例中项线段等于．12．一个扇形的弧长是3πcm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是．13．已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝．14．如图，二次函数y＝x2﹣4x+3（a≠0）的图象经过点A（1，0）且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数y＝kx+b的图象经过点A及点B，则不等式kx+b≥x2﹣4x+3的解集为.15．把一个矩形划分成3个小矩形，并且每一个小矩形与原矩形都相似．若矩形的长为a，宽为b(a＞b)，则的值为.16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ扫过的面积为，线段DH长度的最小值为.三、解答题（本题共8题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：(-218．作图题：⊙O上有三个点A，B，C，∠ABC＝50°，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出你的结论．（1）在图1中作一个100°的角；（2）在图2中作一个130°的角；（3）在图3中作一个40°的角．19．一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．（1）求第一次摸出的球上的数字为奇数的概率；（2）请用树状图或列表法求两次摸出的球上的数字之和不小于3的概率．20．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为70米，此时无人机D距地面AB的高度为74.6米，求小区楼房BC的高度．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73)21．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠PDE＝∠POA；（2）若PC＝12，tan∠APC＝43，求DE22．如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E坐标为（﹣1，﹣10），运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为(3（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标．（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝7，EN＝9，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝（x﹣h）2+k，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则k的取值范围是．23．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a为常数，a≠0）上．（1）若m＝2，n＝4，①求抛物线的解析式；②若点A（t﹣1，y1），B（t，y2）在该二次函数的图象上，且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧，若y1＜y2，求t的取值范围；（2）若﹣1≤m≤0时，总有n≥﹣2，且当3≤m＜4时总有n≤﹣2，求a的值．24．如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在⊙O上，A是弧BD的中点，点E在BC上，连接BD、AE，BD与AE于点F（1）求证：AF=BF；（2）如图2，延长AE交⊙O于点G，连接AO，交BD于点H，求证：AG=2DH（3）如图3，在（2）的条件下，作直径BM交AG于点K，连接AM交BD于点N，当AC是⊙O的直径时，MN=25KF

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确；

B、是一次函数，错误；

C、是反比例函数，错误；

D、自变量x在分母中，不是二次函数，错误.故答案为：A.【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a≠0）且二次函数最高次为二次的函数被称为二次函数，据此逐项分析即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：A、"明天太阳从西边升起"该事件为不可能事件，不符合题意；

B、"篮球队员在罚球线投篮一次，未投中"该事件为可能事件，不符合题意；

C、"实心铁球投入水中会沉入水底"该事件为必然事件，符合题意；

D、"抛出一枚硬币，落地后正面向上"该事件为可能事件，不符合题意.故答案为：C.【分析】根据必然事件的定义：在每次随机试验中一定会出现的事件被称为必然事件，据此逐项分析即可.3．【答案】C【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，

∴d＜r，

∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，

故答案为：点A在圆内．选C4．【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF=1：4，∴BC：EF=1：2，∵BC=1，∴EF=2，故选B．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得线段EF的长．5．【答案】C【解析】【解答】解：把x=0代入抛物线y=2x2+4中，解得：y=4，则抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（0，4）．故选C．【分析】要求抛物线与y轴的交点坐标，即要令x等于0，代入抛物线的解析式求出对应的y值，写成坐标形式即可．6．【答案】B【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，∴圆锥的侧面积为：π×3×4=12π，【分析】根据圆锥的侧面积计算公式：S圆锥侧7．【答案】D【解析】【解答】解：连接OA，如下图：∵⊙O的半径是10，

∴OA=OC=10，

∵CD=4，

∴OD=OC-CD=6，

∵AB是⊙O的弦，C为AB的中点，

∴OD⊥AB，AB=2AD，

在Rt△ADO中，AD=AO2-OD【分析】连接OA，根据题意得到OA=OC=10，进而即可求出CD的长度，然后根据垂径定理得到：OD⊥AB，AB=2AD，最后在Rt△ADO中，利用勾股定理即可求出AD的长度，进而得到AB的长度.8．【答案】C【解析】【解答】解：连接OB，如下图：由题意得到：OB⊥DB，

∵⊙O的半径为2，且四边形OABC为菱形，

∴OB=OA=AB=2，

∴△ABO为等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠ODB=90°-∠AOB=30°，

∴DB=3OB=2【分析】连接OB，由题意得到：OB⊥DB，然后根据圆和菱形的性质得到：OB=OA=AB=2，则△ABO为等边三角形，即可知∠AOB=60°，进而求出∠ODB的度数，最后根据含30°角的直角三角形的性质计算即可.9．【答案】C【解析】【解答】解：连接OD，设AB与CD交于点E，如图，∵CD⊥AB∴CE=DE=12CD，∴S∴阴影部分面积等于扇形OBD的面积又∵∠ABD=72°，OB=OD∴∠ODB=∠ABD=72°∴∠BOD=180°−72°−72°=36°∵AB=20∴OB=∴S故答案为：C．

【分析】连接OD，设AB与CD交于点E，根据垂径定理推出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，再利用扇形面积公式计算即可．10．【答案】A【解析】【解答】解：二次函数y=-x-12①当m<0≤x≤n<1时，当x=m时，y取最小值，

即2m=-m-12+5，

解得：m=-2，

当x=n时，y取最大值，

即2n=-n-12+5，

解得：n=2或-2舍，

②当m<0≤x≤1≤n时，当x=m时，y取最小值，

即2m=-m-12+5，

解得：m=-2，

当x=1时，y取最大值，【分析】先根据题意画出函数图象，在分两种情况讨论，①当m<0≤x≤n<1时，②当m<0≤x≤1≤n时，分别进行分析计算即可.11．【答案】6【解析】【解答】解：设线段x是线段a，b的比例中项，∵a=9，b=4，∴ax∴x2∴x=6，x=−6（舍去）．故答案为：6．

【分析】根据比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可．12．【答案】90°【解析】【解答】解：∵扇形的弧长是3πcm，半径是6cm，

∴3π=nπ×6故答案为：90°.【分析】根据弧长集计算公式：l=n13．【答案】3【解析】【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，

∴x1+x故答案为：3.【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到x114．【答案】1≤x≤4【解析】【解答】解：当x=0时，y=0-0+3=3，

∴C0，3，

∵抛物线的对称轴为：x=-b2a=2，

∵点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，

∴B4，3，

∴当1≤x≤4时，kx+b≥x故答案为：1≤x≤4.【分析】先利用抛物线解析式求出点C的坐标，再确定抛物线的对称轴，进而求出点B的坐标，最后结合图象即可写出不等式的解集.15．【答案】3【解析】【解答】解：∵矩形的长为a，宽为b(a＞b)，

划分后小矩形的长为b，宽为a3，

又∵每一个小矩形与原矩形都相似．

∴ab=故答案为：3​.【分析】根据划分后小矩形的长为b，宽为a3，且每一个小矩形与原矩形都相似．则得到：a16．【答案】52​​​​​​​；【解析】【解答】解：连接EF交PQ于点M，连接BM，取BM中点为O，连接OH、OD，过点O作ON⊥CD于N，如下图：

∵四边形ABCD为矩形，DF=CF，AE=BE，

∴四边形ADFE为矩形，

∴EF=AD=3，

∵FQ∥PE，

∴△MFQ~△MEP，

∴MFME=FQPE，

∵PE=2FQ，

∴EM=2MF，

∴EM=2，MF=1，

当点P与点A重合时，PQ的值最大，此时AE=EM=2，△AEM，△FMQ都是等腰直角三角形，

此时线段PQ扫过的面积为：12×2×2+12×1×1=52，

∴PM=AE2+ME2=22，MQ=FQ2+MF2=2，

∴PQ=PM+MQ=32，

故答案为：52，13

【分析】连接EF交PQ于点M，连接BM，取BM中点为O，连接OH、OD，过点O作ON⊥CD于N，根据已知条件结合相似三角形的判定证明△MFQ~△MEP，则MFME=FQPE，进而可知：EM=2，MF=1，当点P与点A重合时，PQ的值最大，此时17．【答案】解：原式=-12-4×32+2【解析】【分析】根据负整数指数幂和非零数的零次方为1以及特殊角的三角函数值代入计算即可.18．【答案】（1）解：连接OA、OC，如图：

∴∠AOC=2∠ABC=100°，

∴∠AOC即为所求.（2）解：在AC^上任取一点D，连接AD、DC，如图：

∴∠ADC=180°-∠ABC=130°，

∴∠AOC即为所求.（3）解：延长AO交⊙O于点E，连接CE、AC，如图：

∴∠ACE=90°，∠E=∠B=50°，

∴∠CAE=90°-∠E=40°，

∴∠CAE即为所求.【解析】【分析】（1）连接OA、OC，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半即可求解；

（2）在AC^上任取一点，根据圆内接四边形的性质即可得到∠D=130°；

（3）延长AO交⊙O19．【答案】（1）解：第一次摸出的球上的数字为奇数的概率P=2（2）解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的数字和不小于3的结果数为8，所以两次摸出的球上的数字和不小于3的概率＝89【解析】【分析】(1)直接根据概率公式求解即可；

（2）画树状图可知，共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球上的数字和不小于3的结果数为8，根据概率公式计算即可.20．【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示，则∠DAE=75°，∠DCF=45°，

∴△CDF是等腰直角三角形，

∴DF=CF，

在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，

∴AE=DEtan75°≈74.63.73=20(米)，

∴BE=AB-AE≈70-20=50(米)．

∵四边形BCFE是矩形，

答：小区楼房BC的高度约为24.6米．【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，解直角三角形求出DE、DF的长，即可解决问题.21．【答案】（1）证明：∵PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，

∴∠APO=∠EPD，∠PAO=∠E=90°，

∴△APO~△EPD，

∴∠PDE=∠POA（2）解：连接OC、DE交圆于点F，如图：

∴PA=PC=12，

∵tan∠APC=43=ADAP，

∴AD=16，

在Rt△PAD中，PD=AD2+AP2=20，

∴CD=PD-CP=8，

∵tan∠APC=43，

∴tan∠PDA=34=OCCD，

∴OC=OA=6，

在Rt△OCD中，【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到：∠APO=∠EPD，∠PAO=∠E=90°，进而证明△APO~△EPD，即可求解；

（2）连接OC、DE交圆于点F，根据题目已知信息求出CD的长度，再证明△DEP~△OED，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE、DE的长度.22．【答案】（1）解：∵运动员在空中最高处A点的坐标为(34，916)，

∴A为抛物线的顶点，

∴设抛物线的解析式为：y=ax-342+916,

∵抛物线过点0，0，

∴916a=-916（2）解：∵E（﹣1，﹣10），运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，∴当x＝3时，y＝﹣9+32×3＝﹣92，

∴运动员此时距离水面10﹣92∴运动员此次跳水不会失误（3）解：∵EM=7，EN=9，E-1，-10，∴M6，-10，N8，-10，∵入水点为B4，-10，∴-10=4-h2+k，①当抛物线经过点M时，-10=6-h2+k，∴【解析】【分析】（1）根据题意得到A为抛物线的顶点，则利用顶点式设抛物线的解析式为：y=ax-342+916,进而利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，最后令y=-10，求出x的值即可得到点B的坐标；

（2）根据题意得到调整点的坐标为3，-923．【答案】（1）解：①∵m=2，n=4，

∴P2，4，

∵点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣1）2+3（a为常数，a≠0）上，

∴4=a+3，

∴a=1，

∴抛物线解析式为：②由①知该抛物线对称轴为直线x=1，

∴t-1<1t>11-t-1（2）解：当a＞0时，y＞3，与题意不符，

∴