2021北京重点校高一（上）期中数学试卷试题汇编：函数的基本性质章节综合2

1/12021北京重点校高一（上）期中数学汇编函数的基本性质章节综合2一、单选题1．（2021·北京市十一学校高一期中）设奇函数的定义域为，当时，是增函数，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．以上结果都不对2．（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在上的函数，其中表示不超过的最大整数，，给出下列四种说法：①，使得是一个增函数；②，使得是一个奇函数；③，使得在区间上有唯一零点.其中，正确的说法个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2021·北京·北师大二附中高一期中）已知函数f(x)=x|x|，若对任意的x≤1有f(x+m)+f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是()A．(-∞，-1) B．(-∞，-1] C．(-∞，-2) D．(-∞，-2]4．（2021·北京·清华附中高一期中）下列函数中，值域为且为奇函数的是（）A． B． C． D．5．（2021·北京·北师大二附中高一期中）已知函数g(x)=f(x)+2，若f(x)是奇函数，且g(1)=3，则g(-1)=()A．-1 B．-3 C．1 D．36．（2021·北京·人大附中高一期中）张老师国庆期间驾驶电动车错峰出行，并记录了两次“行车数据”，如下表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW·h/公里）剩余续航里程（单位：公里）2021年10月2日20003802021年10月3日2200166（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量＝累计耗电量累计里程，剩余续航里程＝剩余电量平均耗电量），下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（）A． B． C． D．二、多选题7．（2021·北京市十一学校高一期中）下列四个函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（）A． B． C． D．三、填空题8．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数，若对于，，，都有，则实数的取值范围为________.9．（2021·北京·人大附中高一期中）若不等式对一切恒成立，则实数x的取值范围是______.10．（2021·北京·清华附中高一期中）函数的值域是_______________11．（2021·北京市十一学校高一期中）已知，函数的零点在区间中，则的值是______.12．（2021·北京市十一学校高一期中）已知函数为定义在上的奇函数，若时，，则________.13．（2021·北京四中高一期中）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．14．（2021·北京市十一学校高一期中）下列函数中，值域为R且为奇函数的有_____________.①②③④⑤15．（2021·北京市十一学校高一期中）写出“函数在区间上单调递减”的一个充分不必要条件：___________.16．（2021·北京市十一学校高一期中）函数是定义在R上的奇函数，，且对于都有，则不等式的解集为___________.17．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定义在非零实数上的奇函数，满足，则等于______.18．（2021·北京市十一学校高一期中）已知是函数的反函数，若的图象经过点，则的图象一定经过点______________.四、解答题19．（2021·北京·清华附中高一期中）已知是定义在上的函数，满足下列两个条件：①当时，恒成立；②对任意的，都有．（1）求和的值；（2）证明：为奇函数，并且；（3）若在区间上单调递减，直接写出关于的不等式的解集20．（2021·北京市十一学校高一期中）已知定义在上的奇函数.（1）求的值；（2）用单调性的定义证明的单调性；（3）若对于，不等式恒成立，求的取值范围.21．（2021·北京市十一学校高一期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得，都有，且，则称为上的函数.（1）已知函数，函数，判断与是否为区间上的函数，并说明理由；（2）已知函数，且是区间上的函数，求正整数的最小值；（3）如果是定义域为上的奇函数，是否存在实数，使得当时，，且为上的函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.22．（2021·北京·人大附中高一期中）已知函数且.（1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；（2）证明函数在上是增函数.23．（2021·北京·北师大二附中高一期中）己知函数(b，c为常数)，f(1)=4，f(2)=5.（1）求函数f(x)的解析式；.（2）用定义证明∶函数f(x)在区间(0，1)上是减函数.24．（2021·北京·北师大二附中高一期中）设是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的解析式；（2）若时，方程仅有一实根或有两个相等的实根，求实数的取值范围.25．（2021·北京八十中高一期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且．（1）求函数的解析式，以及零点．（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明．（3）判断函数在区间上的单调性．（只需写出结论）（4）在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域R上的示意图．26．（2021·北京·清华附中高一期中）已知函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）当时，求函数在区间上的最大值；（3）若，函数的图像恒在图像下方，求实数的取值范围．27．（2021·北京四中高一期中）已知函数．（1）应用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增；（2）求在区间上的最大值与最小值．注：证明（1）只能用函数单调性定义证明．五、双空题28．（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数满足，且时，则：（1）__________；（2）当时，_________.

参考答案1．C【分析】当时，不等式显然成立，再讨论当时不等式的解集，综合即得解.【详解】解：奇函数在上为增函数，（1），函数在上为增函数，且（1），当时，不等式显然成立，当时，则不等式等价为时，，此时；当时，，此时，综上不等式的解为或，故不等式的解集为：.故选：C2．B【分析】举反例和，，得到①②错误，计算满足有唯一零点，得到答案.【详解】①，，故①错误；②若，使得是一个奇函数，则，，，，故假设不成立，②错误；③当时，，当时，，当时，满足在区间上有唯一零点，③正确.故选：B.3．C【分析】首先结合已知条件可知为奇函数，利用奇偶性的对称性和函数解析式求出单调性，然后将不等式转化为，结合函数单调性和恒成立含义即可求解.【详解】因为，所以，故为奇函数，因为当时，单调递增，故在上单调递增，因为对任意的x≤1有f(x+m)+f(x)<0恒成立，所以当时，恒成立，从而，即对任意的x≤1恒成立，从而，即实数m的取值范围是.故选：C.4．C【分析】利用基本初等函数的奇偶性与值域可判断各选项.【详解】对于A，函数为偶函数，值域为，不满足条件；对于B，函数为非奇非偶函数，值域为，不满足条件；对于C，令，该函数的定义域为，，函数为奇函数，当时，，当时，，所以，函数的值域为，满足条件；对于D，函数为奇函数，值域为，不满足条件.故选：C.5．C【分析】结合已知条件首先求出，然后利用奇函数的性质求出，进而即可求出.【详解】由题意可知，，则，因为是奇函数，所以，故.故选：C.6．B【分析】根据题目中耗电量的定义，算出形势200公里的平均耗电量乘以公里数即为答案.【详解】解：由题意得：累计200公里内的平均耗电量：行驶100公里的耗电量：故选：B7．AB【分析】根据函数解析式直接判断各选项中函数的奇偶性及其在区间上的单调性，即可得出合适的选项.【详解】对于A选项，因为的定义域为，其定义域关于原点对称，且，所以函数为偶函数，又该函数在区间上单调递减，故A正确；对于B选项，因为的定义域为R，其定义域关于原点对称，且，所以函数偶函数，又该函数在区间上单调递减，故B正确；对于C选项，因为的定义域为，其定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故C不正确；对于D选项，因为的定义域为，其定义域不关于原点对称，函数是非奇非偶函数，故D不正确.故选：AB.8．【分析】先求出，进而求出与的解析式，，，都有，等价于，有，对进行分类讨论,求出实数的取值范围【详解】因为，令，则所以，故所以，令，，，都有等价于，有当，即时与在上单调递减，故，所以，解得：结合得：当，即时在上单调递减，在单调递增；在上单调递减，，所以，化简：，解得结合得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，，所以，解得结合得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，所以，解得结合求得：当，即时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且对称轴更靠近，故，所以，解得结合得：当时与在上单调递增，故，所以，解得结合得：综上所述：故答案为：9．【分析】利用变换主元法将看成自变量，将看成参数即可求解.【详解】解：不等式对一切恒成立将看成自变量，将看成参数，将不等式化为：对一切恒成立令即对一切恒成立等价于即解得：或所以实数x的取值范围是：【点睛】关键点睛：当所给不等式或者等式有两个变量时，将已知变量看成自变量，所求变量看成参数，即变换主元法进行求解.10．【分析】利用双勾函数的单调性可求得函数的值域.【详解】任取、且，即，则，，，所以，函数在上单调递减，同理可证函数在上单调递增，所以，，又因为，，，所以，，因此，函数的值域为.故答案为：.11．【分析】先判断出函数在R上单调递增，又由，，可得出存在唯一的零点在区间中，由此可得答案.【详解】解：因为函数在R上单调递增，又，，所以函数存在唯一的零点在区间中，又函数的零点在区间中，所以，故答案为：.12．【分析】根据奇函数的定义求得当时，函数的解析式，以及，可得函数的解析式.【详解】解：因为函数为定义在上的奇函数，所以，且，又时，，所以当时，时，所以，所以，故答案为：.13．【分析】根据定义运算法则化简，画出的图像，结合图像可求出c的取值范围【详解】因为，所以由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，的取值范围是.故答案为：14．②③⑤【分析】根据奇偶函数的定义及常见函数的性质即得.【详解】对于①，为偶函数，故①错误；对于②，为奇函数且值域为R，故②正确；对于③，为奇函数且值域为R，故③正确；对于④，为非奇非偶函数，故④错误；对于⑤，为奇函数且值域为R，故⑤正确.故答案为：②③⑤.15．（答案不唯一）【分析】由函数在区间上单调递减可得，再利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由函数在区间上单调递减可得，所以“函数在区间上单调递减”的一个充分不必要条件为.故答案为：（答案不唯一）16．【分析】由题可得函数在上为增函数，函数在上为增函数，不等式等价于或，解之即得.【详解】∵函数是定义在R上的奇函数，，∴，又都有，∴函数在上为增函数，函数在上为增函数，∴由得，由得，由得，或，∴.故答案为：17．【分析】由可得，再根据奇函数的定义，即可求解.【详解】∵，∴，∵为定义在非零实数上的奇函数，∴，即，∴.故答案为：.18．【分析】由题可得函数的的图象经过点，再利用图象的平移即得.【详解】因为的图象经过点，所以函数的的图象经过点，所以函数的图象一定经过点.故答案为：.19．（1），.（2）证明见解析（3）【分析】（1）令，可得求得，再令，可得求得.（2）分别令和，求得，进而得到，得出函数为定义域上的奇函数，再令，结合，即可得到.（3）根据函数为奇函数，得到，转化为，由函数在区间上单调递减，且，证得函数在区间上单调递增，结合，列出不等式组，即可求解.（1）解：因为函数满足，且当时，恒成立，令，可得，因为，所以，令，可得，即，因为，且当时，恒成立，所以.（2）解：由题意，函数的定义域关于原点对称，令，可得，令，可得，用代换，可得，所以，因为，，所以，所以函数为定义域上的奇函数.令，可得，因为，可得，即.（3）解：因为函数为奇函数，可得，则不等式，即为，因为，所以，由函数在区间上单调递减，且，设且，可得，则所以，即，所以函数在区间上单调递增，所以不等式转化为，解得，解不等式的解集为.20．（1）（2）单调递增，证明见解析.（3）【分析】（1）由奇函数列方程，可求出a；（2）先判断在R上单减，利用单调性的定义可证明；（3）利用为奇函数及在R上单增，将不等式转化为对任意恒成立，利用分离参数法求出k的范围.（1）解：∵为定义域为的奇函数，∴，所以.经检验成立（2）解：由（1）知：，则在R上单增，下面进行证明：任取，且，∴∵为增函数，，∴，∴，∴，∴在R上单增.（3）解：∵为奇函数，∴对任意，不等式恒成立可化为：对任意恒成立，又在R上单增，不等式等价于对任意恒成立，即恒成立.记，，只需，所以，所以的取值范围是.【点睛】方法点睛：（1）函数奇偶性的应用：①一般用或；②有时为了计算简便，我们可以对x取特殊值:或；（2）证明函数的单调性一般用：①定义法；②导数法；（3）分离参数法是解决恒（能）成立问题的常用方法.21．（1）函数是区间上的函数，不是，理由见解析；（2）1；（3）存在，.【分析】（1）利用上的函数的定义检验函数和即得解；（2）化简得对于恒成立，求函数的最值即得解；（3）利用得到，再作出函数的图象分析即得解.（1）解：对于函数，，,，所以函数是区间上的函数.对于函数函数，,,,，所以函数是区间上的函数.（2）解：因为函数，，,,且是区间上的函数，所以对于恒成立，所以对于恒成立，因为是增函数（增函数+增函数=增函数），所以，所以正整数的最小值为1.（3）解：由题得，所以.当时，，由于函数是奇函数，所以函数的图象如图所示，，因为为上的函数，所以对于恒成立，所以，因为，所以.22．（1）是奇函数，证明过程见解析；（2）证明过程见解析.【分析】（1）先求出函数的表达式，再利用奇偶性的定义即可判断；（2）根据单调性的定义进行证明即可.（1）函数在其定义域上是奇函数，证明过程如下.证明：函数且，即的定义域为，关于原点对称又函数在其定义域上是奇函数（2）证明：设，，且，则又，，即函数在上是增函数.23．（1）（2）证明见解析【分析】(1)结合已知条件利用待定系数法求解即可；(2)首先设任意的，，且，然后利用作差法比较和大小，再结合函数单调性的定义即可证明.（1）由题意可知，，解得，，故函数f(x)的解析式为：.（2）设任意的，，且，则，因为，，且，所以，，即，从而，即，故函数f(x)在区间(0，1)上是减函数.24．（1）（2）【分析】（1）当时，可得，所以，结合函数的奇偶性，即可求解.（2）根据题意，转化为仅有一个负根或有两个相等的实根，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.（1）解：当时，可得，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，所以，又由，所以函数的解析式为.（2）当时，方程仅有一实根或有两个相等的实根，即仅有一个负根或有两个相等的实根，，即仅有一个负根或有两个相等的实根，，当时，即时，方程仅有一个负根，符合题意；当时，即时，方程为，解得或，不符合题意；当时，即时，方程的两个根同号，由，解得或，若，方程为，解得，不符合题意；若，方程为，解得，符合题意，综上所述，或，即实数的取值范围.25．（1），零点为；（2）在上是单调递减，证明见解析．（3）函数在区间上单调递增．（4）函数图象见解析；【分析】（1）依题意根据奇函数的性质得到，再由，即可求出、，从而求出函数解析式，再令，求出，