计数问题专项讲义：加法原理和乘法原理-小升初数学模块化思维提升

专题1加法原理和乘法原理

小升初数学模块化思维提升

（知识梳理+典题精讲+专项训练）

知拥梳理

1、加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有血种不同

方法，在第二类方法中有叱种不同方法…，在第n类方法中有他种不同方法，

那么完成这件任务共有：n+nh…+mn种不同的方法.

关键问题：确定工作的分类方法.

基本特征：每一种方法都可完成任务.

2、乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有孙种

方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有佗种方法…不管前面n-1步用哪

种方法，第n步总有眺种方法，那么完成这件任务共有：nhXnh…Xnv种不同的

方法.

关键问题：确定工作的完成步骤.

基本特征：每一步只能完成任务的一部分.

I

典取雅饼

【典例一】老师拿来6种不同的画报，4种不同的儿童文学.小明从这两种

书中任意借一本书，请问一共有多少种不同的借法？

【分析】分类选择，从6种不同的画报选择一本，有6种不同的选择方法,

或者从4种不同的儿童文学选择1本有4种选择的方法，一共有6+4=10（种）

借法.

【解答】解：6+4=10（种）

答：一共有10种不同的借法.

【点评】本题考查了分类计数的方法，先求出每一类中有几种选择的方法,

再相加即可求解.

【典例二】2010年南非世界杯足球赛有32支球队参加，第一阶段平均分成

8个小组进行小组循环赛，每组前2名球队进入第二阶段复赛，进行淘汰赛，胜

者进入下一轮，负者淘汰.直至决出宛军球队，请你来算一算，这届世界杯比赛

一共进行了多少场比赛？（注：三、四名决赛也算做一场比赛）

【分析】（1）先分析小组赛，每个小组中的4支球队每两两之间比赛一共

要进行6场比赛，然后求出8个小组要进行多少场比赛；

（2）循环赛进行完之后就还剩下16支球队，它们两两比赛就有8场比赛，

每进行一轮淘汰赛就球队剩下原来的一半，比赛场数又是球队数的一半，直到只

剩一只球队.

【解答】解：每组6场前两名进16强：

6x8-48（场）；

16强进8强是一场定输赢要8场8进4又要4场4进2要2场之后冠亚军

1场.3.4名一场，

48+8+4+2+1+1=64（场）；

答：本届世界杯一共要举行64场比赛.

【点评】小组赛的比赛的比赛场次是简单的组合问题，可以用连线的方法来

分析.淘汰赛每一轮的比赛场次是比赛队伍的一半.

【典例三】小军同学有3顶帽子，5件上衣，4条裤子.

（1）如果小军去上学，每次都穿一件上衣，再配一条裤子，他一共有多少

种搭配法？

（2）小军去上学，每次如果再加戴上一顶帽子，他一共有多少种搭配法？

【分析】（1）从5上衣中选一件有5种选法；从4条裤子中选一件有4种

选法；根据乘法原理，可得共有：5x4=20（种）；

（2）从3顶帽子白选一顶有3种选法；根据乘法原理，可得共有：20x3=60

（种）；据此解答.据此解答.

【解答】解：（1）5x4=20（种）；

答：他一共有20种搭配法

（2）20x3=60（种）；

答：他一共有60种搭配法.

【点评】本题考查了乘法原理，这种类型的题关键是弄清楚怎么分步骤去完

成这件事，每一步有多少种选法.

专项例称

一.选择题（共8小题）

1.小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书.在一次为贫困

学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（）种不同的

捐法.

A.3B.4C.7D.12

【分析】由题意可知，共有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图

书，如果固定科技类图书与故事类图书进行组合的话，则每本科技类图书可分别

与3本不同的故事类图书组合，共有3种组合方法，一共有四本科技类书，根据

乘法原理，所以共有4x3=12种不同的捐法.

【解答】解：4x3=12（种）.

所以共有12种不同的捐法.

故选：Do

【点评】乘法原理与加法原理是数学概率方面的基本原理，理解时要注意这

两种原理的区别.

2.到早餐■店吃早餐，有包子、油条、烧卖三种早点供选择，最少吃一

种，最多吃三种，有（）种不同的选择方法.

A.3B.6C.7D.9

【分析】分别求出吃一种有几种选择方法，吃两种有几种选择方法，吃三种

有几种方法，然后利用加法原理解答即可.

【解答】解：①吃一种，有包子、油条、烧卖三种选择方法，

②吃两种有包子、油条；包子、烧卖；油条、烧卖三种选择方法，

【解答】解：后面6位中的6位都可以从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这

10个数字中选择1个，

l()xl()xl()xl()x10x1()=l(XXXXX)(部)

答：这个城市最多可以安装1000000部电话.

故选：C.

【点评】本题用乘法原理去考虑问题；即做一件事情，完成它需要分成〃个

步躲，做第一步有M种不同的方法，做第二步有％种不同的方法，…，做第〃

步有M八种不同的方法，那么完成这件事就有必x；W2x...xMn种不同的方法.

5.从广场到大十字有两条路选择，从大十字到中医院有四条路选择，如果

小明从广场出发，经过大十字到中医院，共有()种不同的路线选择.

A.6B.7C.8D.不能确定

【分析】从广场到大十字有两条路选择，从大十字到中医院有四条路选择，

根据乘法原理可知共有2x4=8种不同的路线选择.

【解答】解：2x4=8(种)，

答：共有8种不同的路线选择.

故选：C.

【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成

〃个步骤，做第一步有叫种不同的方法，做第二步有此种不同的方法，…，做

第〃步有此种不同的方法，那么完成这件事就有Mx%x…xM“种不同的方法.

6.小娟有4件不同的上衣、3条不同的裙子和2双不同的鞋子，共有()

种不同的穿衣搭配方法.

A.9B.12C.24

【分析】要完成不同的穿衣搭配，需要分三步，第一步从4件不同的上衣取

一件有4种取法；第二步从3条不同的裙子取一条有3种取法；第三步从2双不

同的鞋子取一双有2种取法；根据乘法原理，共有：4x3x2=24(种)，然后即

可判断.

【解答】解:4x3x2,

=12x2,

=24（种）：

答：共有24种不同的穿衣搭配方法.

故选：C.

【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成〃个步骤，散第

一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，...,做第〃步有mn种不

同的方法，那么完成这件事共有N=町xx吗*xmn种不同的方法;本题有三

种衣物，所以需要分三步完成不同的穿衣搭配.

7.学校要为联欢会选送节目，要从3个小品节目中选出1个，从2个舞蹈

节日中选出1个，一共有（）种方案.

A.5B.6C.7

【分析】从3个小品中选一个有3种选法；从2个舞蹈节目中选一个有2种

选法；根据乘法原理，可得共有：2x3=6（:种）；据此解答.

【解答】解：根据分析可得，

2x3=6（种）；

答：一共有6种方案.

故选：Bo

【点评】本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成〃个步骤，做

第一步有M种不同的方法，做第二步有也种不同的方法，…，做第〃步有此种

不同的方法，那么完成这件事就有…种不同的方法.

8.高老师有件事要通知24名同学，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，

最少用（）分钟就能通知到每个人.

A.24B.12C.6D.5

【分析】第一分钟老师和学生一共有2人；

第二分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1x2=2人，第二分钟老师和

学生一共有：2+2=4=2x2人；

第三分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1x4=4人，第二分钟老师和

学生一共有：4+4=8=2x2x2A：

第四分钟老师和学生每人都通知一人，又增加了1x8=8人，第二分钟老师和

学生一共有：8+8=16=2x2x2x2人；

同理，每次通知的学生和老师的总人数，总是前一次的2倍，

所以，2x2x2x2<24+l<2x2x2x2x2,因此，4分钟通知不完，只能5分钟；

所以最少用5分钟就能通知到每个人.

【解答】解：根据分析可知：每增加1分钟收到通知的学生和老师的人数是

前一分钟收到通知的学生和老师的人数的2倍，

所以2x2x2x2<24+1<2x2x2x2x2,即16<25v32;

因此，4分钟通知不完，只能5分钟；所以最少用5分钟就能通知到每个人.

故选：D.

【点评】注意本题为了便于研究规律，不要把老师和学生分隔开研究，这样

有利于使问题简单化；通过本题我们可以总结出这种题的一般规律：有几分钟总

人数就是几个2连乘（2的〃次方）.

二.填空题（共8小题）

9.用1,2,4,5四个数字可以组成—工个没有重复数字且个位上是双数

的两位数，它们分别是.

【分析】先排个位，因为2、4只能放在个位上，所以有2种排法；再排十

位，有3种排法；共有2*3=6种；然后列举即可.

【解答】解：2x3=6（个）

分别是:12、42、52、14、24、54.

答：用1,2,4,5四个数字可以组成6个没有重复数字且个位上是双数的

两位数，它们分别是12、42、52、14、24、54.

故答案为：6;12、42、52、14、24、54.

【点评】本题考查了乘法原理，如果情况数较少可以有枚举法解答，注意要

按顺序写出，防止遗漏.

10.从甲地到乙地可以坐汽车或乘船，从乙地到丙地可以乘坐火车、汽车或

飞机.那么从甲地经过乙地到达丙地，一共有6种走法.

【分析】从甲地到乙地可以坐汽车或乘船，即从甲地到乙地有2种走法；从

乙地到丙地可以乘坐火车、汽车或飞机，即从乙地到丙地有3种走法.所以每一

种从甲地到乙地的走法再到丙地都有3种走法，从甲地到乙地有两种，根据乘法

原理可知，从甲地经过乙地到达丙地，一共有2x3=6种走法.

【解答】解：2x3=6（种）.

答：从甲地经过乙地到达丙地，共有6种走法.

故答案为：6.

【点评】乘法原理：做一件事，完成它需要分成〃个步骤，做第一步有叫种

不同的方法，做第二步有也种不同的方法，…，做第〃步有此种不同的方法.那

么完成这件事共有N—叫〃与...〃％种不同的方法.

11.28人参加乒乓球比赛，采用淘汰赛，要决出冠军，共要比赛27场.

【分析】由于共28人参赛，采用淘汰赛，每场比赛都要淘汰一人，则打

28+2=14场决出14强，打14+2=7场决出前七名，打7+2=3场，一人轮空自动

晋级，决出前四，然后两场决出前2,最后前二打一场决出冠军.根据加法的意

义，共需才丁14+7+3+2+1=27场.

【解答】解：由于28人参赛，

则打先14场决出前14名，再打7场决出前7名，

此时一人轮空，另外6名打三场后，决出前4名，

前4打两场后决出前2名，

最后打1场决出冠军.

所以共需打：14+7+3+2+1=27场才能决出冠军.

故答案为：27.

【点评】在淘汰赛制中，参赛队数与比赛场数的关系为：比赛场数=队数-1.

12.将4枚棋子摆放到如图的方格中，要求母行、每列最多摆一个棋子，共

有36种不同的摆法.

【分析】从列着手，先从正方形最少的列开始摆，第1列有3种摆法，第4

列有2种摆法，第3列还有2种摆法，第2列有3种摆法，根据乘法原理，它们

的积就是全部的摆法.

【解答】解：按照第1、第4、第3、第2列的顺序摆棋子，分别有3、2、

2、3种放法，

因此共有：3x2x2x3=36（种）.

答：共有36种不同的摆法.

故答案为：36.

【点评】先找出每列可以摆的方法有几种，然后根据乘法原理求解即可.

13.学生副餐有一袋牛奶和一份点心，牛奶有4种不同口味，点心有6种不

同花色，共有24种不同的搭配.

【分析】牛奶有4种不同口味，点心有6种不同花色，则每份牛奶可和6种

不同花色的点心进行搭配，即一份牛奶和点心有6种不同的搭配方式，共有4种

口味不同的牛奶，根据乘法原理可知，4种不同口味的牛奶与6种不同花色的点

心共有：4x6=24种不同的搭配方式.

【解答】解：4x6=24（种）：

答：共有24种不同的搭配.

故答案为：24.

【点评】乘法原理：做一件事，完成它需要分成〃个步骤，做第一步有叫种

不同的方法，做第二步有恤不同的方法，…，做第〃步有以不同的方法.那么完

成这件事共有N=町…叫种不同的方法.

14.张老师有50分和80分的邮票各两枚.他用这些邮票能付8种邮资

（寄信时需要付的钱数）.

【分析】由于张老师有50分和80分的邮票各两枚，这些面值的邮票能组合

就能付成6种不同的邮资：

由于50+50=100分的，80+80=160分的，50+80=130分的，50+50+80=180分

的，50+80+80=210分的，50+50+80+80=260分共有6种不同组合，再加上50

分与80分这两种，共有8种，即他用这些邮票能付8种邮资.

【解答】解：由于50分与80分的邮票各两枚能组合成：

50+50=100（分），

80+80=160（分），

50+80=130（分），

50+50+80=180（分）,

50+80+80=210（分），

50+50+80+80=260（分），

6种不同的邮资，

再加50分与80分这两种面值，

共可付6+2=8种不同的邮资.

故答案为：8.

【点评】完成本题要注意有50分和80分的邮票各两枚，而不是只有80分

与50分的共两枚.

15.家里要养一盆花、一种鱼，市场上花有兰花、茉莉花两种，鱼有黄色和

红色两种，可以有的搭配有4种.

【分析】从兰花、茉莉花中选一种有两种选法，从黄色和红色鱼中选一种也

有两种选法，根据乘法原理，一共有2x2=4（种）.

【解答】解：2x2=4（种）

答：可以有的搭配有4种.

故答案为：4.

【点评】本题考查了简单的乘法原理，由于情况数较少可以用枚举法解答，

注意要按顺序写出，防止遗漏；这种类型的题关键是弄清楚怎么分步骤去完成这

件事，每一步有多少种选法.

16.小武有红、黄、白三件上衣和篮、灰2条裤子，现在他要任意拿出一件

上衣和一条裤子配成一套，一共有6种不同的搭配方法,有蓝裤子的搭配有

种.

【分析】从2条裤子中选一条有2种选法、从3件上衣中选一件有3种选

法，共有3x2=6种不同的搭配方法，有蓝裤子的搭配有1x3=3种，据此解答.

【解答】解：3x2=6（种）

1x3=3（种）

答：一共有6种不同的搭配方法，有蓝裤子的搭配有3种.

故答案为：6,3.

【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题，即做一件事情，完成它需要分成

〃个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有区种不同的方法，……，做

第〃步有M“种不同的方法，那么完成这件事就有MjM[XxM“种不同的方法.

三.解答题（共9小题）

17.请用你所学的“解决问题的策略”，解决下面的问题.数学信息（图1）

问题（图2）

郭成镇中心小学星期五菜谱

荤菜大肉排皆一份叁饭含一个荤菜和一个素菜，

肉丸子一共有几种配菜方式？（清你选取一

中合适的策略进行誉试解决）

素菜土亘丝

豆腐

图1图2

【分析】从2种素菜中选一种有2种选法；从2种荤菜中选一种有2种选

法；根据乘法原理，可得共有：2x2=4（种）：据此解答.

【解答】解：根掂分析可得，

共有2x2=4（种），

答：有4种不同的配菜方法.

【点评】本题考查了简单的乘法原理，即做一件事情，完成它需要分成〃个

步骤，做第一步有M种不同的方法，做第二步有％种不同的方法，…，做第〃

步有此种不同的方法，那么完成这件事就有…XM”种不同的方法.由于

情况数较少还可以有枚举法解答，注意要按顺序写出，防止遗漏.

18.请问由A点到G点有多少条不同的路线？（路线或点不可重复.）

【分析】由题意，由A点到G点，要求路线或点不可重复，则从A到B有2

条路线，从8到（C、0、E）有3条路线，从（C、。、E）点到/有3条路线，从

尸点到G点有1条路线，根据乘法原理，用2x3x3xl即可求得由A点到G点共有

多少条不同的路线.

【解答】解：由分析可得：

2x3x3x1=18（条）

答：由A点到G点共有18条不同的路线.

【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成

〃个步骤，做第一步有叫种不同的方法，做第二步有％种不同的方法，…，做

第〃步有M“种不同的方法，那么完成这件事就有必xM2x...xMt1种不同的方法.

19.有一个五位数，万位说：“我不是单数.“千位说：“我不是双数.”

百位说：“若把我放在一个小数的木尾，每当四舍五入时，我总被舍去.”上位

说：“我是一个质数.”个位说：“我既不是合数，也不是质数.”问这样的五

位数有多少个？

【分析】万位说：“我不是单数.”，则万位上可能是2、4、6、8,共4种

选择；千位说：“我不是双数.”，则千位上可能是1、3、5、7、9,共5种选

择；百位说：“若把我放在一个小数的末尾，每当四舍五人时，我总被舍去.”，

则百位上可能是0、1、2、3、4,共5种选择；十位说：“我是一个质数."，

则十位上可能是2、3、5、7,共4种选择；个位说：“我既不是合数，也不是质

数.”，则个位上只能是1,共1种选择：根据乘法原理可知这样的五位数有

4x5x5x4xl=4(X)个.

【解答】解：4x5x5x4x1=400(个)

答：这样的五位数有400个.

【点评】本题需要用乘法原理去考虑问题即做一件事情，完成它需要分成

〃个步骤，做第一步有叫种不同的方法，做第二步有％种不同的方法，…，做

第〃步有M0种不同的方法，那么完成这件事就有必xM、x...xMn种不同的方法.

20.吴老师要从甲城到乙城和丙城两个城市去参观学习，他了解到从甲城到

乙城可乘火车、汽车、轮船：从乙城到丙城可乘.火车、汽车、轮船、飞机.如果

吴老师从甲城到乙城再到丙城一共有多少种不同的走法？

【分析】由题意，从甲城到乙城可乘火车、汽车、轮船，即有3种选择；从

乙城到丙城可乘火车、汽车、轮船、飞机，即有4中选择；如果吴老师从甲城到

乙城再到丙城，要求一共有多少种不同的走法，根据乘法原理，则有3x4=12种

不同的走法.

【解答】解：3x4=12(种)

答：一共有12种不同的走法.

【点评】此题属于加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式

有M种方法，第二类方式有也种方法，…，第N类方式有M(N)种方法，那么完

成这件事情共有照+弧…旭”种方法.

21.小月的叔叔从南京出差去上海，可以乘飞机去，也可以来火车去，还可

以乘汽车或轮船去。一天中从南京到上海有4班不同的飞机，10班不同的火车，

5班不同的汽车和1班轮船。问：一天中乘坐这些交通工具，从南京到上海共有

多少种走法？

【分析】将各种不同的走法相加，即可求出一共的走法种数。

【解答】解：有4班不同的飞机，有4种走法；有10班不同的火车，有10

种走法；5班不同的汽车，有5种走法；1班轮船，有1种走法，即列式为:

4+10+5+1=20（种）

答：小丹的叔叔从南京去上海出差共有20种不同的走法。

【点评】本题侧重考查知识点的能力。本题是一道有关加法原理（分类枚举）

（奥数）的题目，

22.四个学生每人做了一张贺年卡放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能

拿自己做的一张。问：一共有多少种不同的拿法？拿到自己贺年卡的可能性相同

吗？

【分析】根据计数原理求出所拿走的都不是自己所做贺年卡的种数，可设四

个学生分别是A,B,C,。，他们做的贺年卡分别是叫b,c,d；接下来用

列表的方法表示出A拿8做的贺年卡〃的情况，即可得到一共有几种拿法；然后

根据相同的方法求出A拿。或。做的贺年卡的拿法，进一步即可得到答案。

【解答】解：设四个学生分别是A,C,D,他们做的贺年卡分别是明

b,c,do

先考虑A拿8做的贺年卡力的情况（如下表），一共有3种拿法。

ABCD

badc

bcda

bdac

同样，A拿。或。做的贺年卡也有3种拿法。

一共有3+3+3=9（种）不同的拿法。

答：一共有9种不同的方法，拿到自己贺年卡的可能性相同。

【点评】本题是一道关于