计数问题专项讲义：田忌赛马问题-小升初数学模块化思维提升

专题7田忌赛马问题

小升初数学模块化思维提升

（知识梳理+典题精讲+专项训练）

知例梳理

1、田忌赛马：

田忌赛马说的是田忌和别人赛马的故事，大概如下：用自己的劣等马对决对手的

优等马用自己的优等马对决对手的中等马用自己的中等马对决对手的劣等马这

个故事告诉我们一个道理，从管理学角度叫“策划和决策”，策划计划的重要性.

2、深层意义：

通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步

培养应用意识，提高解决实际问题的能力.只要能从解决问题的多种方案中寻找

出最优的方案，初步体会优化思想的应用.

3、应用举例：

一位镇长想起了田忌赛马的故事.不与强者争一时的长短，而是依据自己的实际,

错开优势，以长击短，因此取胜.联想到招商引资，如果也能注意扬长避短，制

造“错位”优势，可能还是打破僵局、走向成功的一个高招.

典我楷史

【典例一】以小胜大.

丁：・丁•：（三局两％:

♦♦・♦♦:♦:

优优YY

比赛规则：每人出3次牌不准重复，YY先出牌，点数大的获胜.

优优要想取胜，应该采取怎样的策略？请填写如表.

YY优优获胜者

第一^为5

第二场7

第三场3

【分析】根据田忌赛马的对策，优优应以自己最小的对YY最大的点数，优优负

一局；然后以最大的点数对YY第二大的点数，优优获胜；第三局，优优以自己

第二大的点数对丫丫最小的点数，优优获胜.据此优优以三局两胜取得胜利.

【解答】解：优优要想取胜，出牌顺序如下：

YY优优获胜者

第一场56优优

第二场72YY

第三场34优优

按此顺序出牌，优优以三局两胜获胜.

【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关

键.

【典例二】四（1）班和四（2）班比赛打乒乓球，每班选出打乒乓球最好的5名

同学，共打5场球，5局3胜.（每班名次相同的选手实力相当）

第一名第二名第三名第四名第五名

四（1）班王强李清波黄艳林刘云飞龚正坤

四（2）班夏章虎张佳乐李文奇刘依依马潇

如果比赛中每个人都发挥正常，四（2）班怎样对阵才能获胜？

【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，要使四（2）班胜出，则可以

让四（2）第一名对四（1）的第三名：四（2）的第二名对四（1）的第四名；四

（2）的第三名对四（1）的第五名，四（2）班的第四名对阵四（1）班的第二名，

四（2）班的第五名对阵四（1）班的第一名.这样能保证三场比赛四（2）胜出.根

据5场3胜的规则即可得出四（2）胜出.

【解答】解:

第一场第二场第三场第四场第五场

四（2）班夏章虎张佳乐李文奇刘依依马潇

四（1）班黄艳林刘云飞龚正烽李清波王强

四（2）班的结赢赢赢,输输

果

根据5场3胜的规则，可知四（2）班胜出.

【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关

键.

I专项制称I

一.选择题（共6小题）

1.四年级举行100米赛跑，四（1）班的3位选手的成绩分别是：A、18秒，

B、16秒,C、21秒。四（2）班的3位选手的成绩分别是：甲、15秒，乙、

20秒，丙、23秒。四（1）班选手比赛顺序是BfAfC。如果采取三局两胜制，

四（2）班要想获胜，需要选择比赛顺序（）

A.甲-乙-丙B.丙->甲7乙C.乙一丙-甲D.甲f丙7乙

【分析】（1）班选手比赛顺序是3—AfC,根据田忌赛马的原理，可以让（2）

班采取甲T乙T丙的顺序，即可嬴得比赛。

【解答】»:16>15,第一局（1）班胜；

18<20,第二局（2）班胜；

23<21,第三局（2）班胜。

如果采取三局两胜制，（2）班可选择甲->乙->丙的比赛顺序才能获胜。

故选：A。

【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关

键。

2.小力和小云用扑克牌比谁的数大，嬴两局者获胜。小云手中有9、6、4三张

牌，已知小力的出牌顺序是10、7、5,小云的出牌顺序应该为（）才能获胜。

A.9、4、6B.6、9、4C.4、9、6

【分析】小力的出牌顺序是10、7、5已经确定，小云如果要获胜，只能先出自

己手中点数最小的牌，然后用自己点数最大的牌去和小力的7—起出，用自己点

数第二大的6去和小力的5—起出，则小云嬴两局，才能获胜。由此解答。

【解答】解：第一局：小力出10,小云出4,小力获胜；

第二局：小力出7,小云出9,小云获胜；

第三局：小力出5,小云出6,小云获胜；

所以小云的出牌顺序应该为4、9、6才能获胜。

故选：C。

【点评】此题考查田忌赛马的应用。

3.甲队运动员平时1分钟拍球个数为1号142下、2号163下、3号180下；乙

队运动员平时1分钟抬球个数为1号121下、3号168个。如果采取三局两胜

制，甲队队员按序号依次拍球，乙队队员按2号、3号、1号的顺序拍球，若乙

队获胜，则乙队2号运动员1分钟至少要拍（）下。

A.143B.164C.181

【分析】可以借助“田忌赛马”的故事，拿乙队拍的最少的对阵甲队最多的；乙

队用1号对甲队的3号，乙队用3号对甲队的2号，乙队用2号对甲队的1号，

乙方即可获胜，由此可求出乙队2号至少要拍的个数。

【解答】解：乙队用1号对甲队的3号，负一场：乙队用3号对甲队的2号，胜

一场；乙队用2号对甲队的1号，又胜一场。这样乙三局两胜，乙方即可获胜。

要想乙队获胜，乙队2号运动员一分钟至少要拍143个。

故选：Ao

【点评】此题是最佳对策问题，解答此题关键是要保证乙队有两局要比甲队拍的

个数多。

4.“比大小”游戏，游戏规则是：①对阵3次，出大者赢，赢两次者获胜，②

每人每次只能出一张卡片，③第1次谁先出卡片，后两次还是谁先.左边三张是

小明的卡片，右边三张是小军的卡片，小明先出10,小军出（）才有可能获

胜.

S30300

A.5B.7C.9D.无法确定

【分析】小明第一次出的是10,小军出哪个都比10小，都是输，既然都是输，

要拿出最小的5与之对阵，这样剩下的两张都比小明的大，都会嬴，根据游戏规

则，小军以2:1胜.

【解答】解：如图

最终小军以2:1获胜.

故选：A.

回——结果小军赢

小明小军

Q——>0结果小军赢

小明小军

叵|—►0结果小明赢

小明小军

【点评】类似“田忌赛马”，第一次小明拿出的数最大，小军拿无论拿哪个都是

输，只拿出最小，剩下两个大数再与小明比.

5.在湃河区全民运动会的田径项目中，短跑赛场上有两组队员正在准备比赛，

采取三局两胜制。如果比赛中每个人都发挥正常，按照（）方案安排出场顺

序，二组才能获胜。

第一名第二名第三名

一组A:15秒8:20秒。:23秒

二组甲：16秒乙：21秒*丙：24秒

A.丙-A,乙-B,甲-CB.丙-B,乙■€,甲-A

C.丙-A,乙-C,甲-BD,丙-C,乙-A,甲-B

【分析】速度快的获胜，则秒数最小的胜，可以根据选项依次比较两组各自获胜

的次数，采取三局两胜制。据此选出二组获胜的七场顺序

【解答】解：A.丙-A一组胜，乙-B一组胜，甲-C二组胜，总体一组胜；

B.丙-B一组胜，乙■€二组胜，甲-A一组胜，总体一组胜；

C.丙-A一组胜，乙（二组胜，甲-B二组胜，总体二组胜;

D.丙-C一组胜，乙-A一组胜，甲-B二组胜，总体一组胜。

故选：C。

【点评】掌握田忌赛马策略的精髓是解决本题的关键。

6.王明和李红玩扑克牌比大小游戏，采取三局两胜制。王明的三张牌分别是9、

7、4,李红的三张牌分别是8、5、1。王明先出4,李红要想获得最后的胜利应

该出（）

A.8B.5C.1D.无法确定

【分析】王明先出4,李红要想赢，应该出5,掂此选择。

【解答】解：王明先出4,李红要想获得最后的胜利应该出5。

故选：Bo

【点评】本题主要考查了田忌赛马的应用C

二.填空题（共6小题）

7.东东和爸爸打牌，有人取三张牌，东东取的是10,6,2,爸爸取的是11,9,

3,规定每人每次出一张，大牌吃小牌。如果爸爸先出，东东获胜的策略是11一

2,9-,3-o

【分析】东东和爸爸各取三张牌，同等级的牌中，爸爸的牌都比东东的牌大。根

据“田忌赛马”故事的原理可得，田忌的上等马能胜齐王的中等马，田忌的中等

马能胜齐王的下等马；田忌调整了马出场的顺序，最终获胜。以此类推，爸爸出

11,则东东出最小的2,东东输；第二次爸爸出9,东东出最大的10,东东赢；

第三次爸爸出3,东东出6,东东嬴，这种情况可以使东东获胜。由此解答即可。

【解答】解：由分析得：

第一次：爸爸出11,则东东出最小的2,东东输：

第二次：爸爸出9,东东出最大的10,东东赢；

第三次：爸爸出3,东东出6,东东赢；

三局两胜，这种情况可以使东东获胜。

答：东东获胜的策略是：11—2,9—10,3—6O

故答案为：2,10,6O

【点评】此题考查田忌赛马问题的应用。熟练掌握其原理，然后根据其原理解答

即可。

8.小明和小东玩纸牌匕大小游戏，小明手中的牌是8、6、4,小东手中的牌是7、

5、3,每人每次出一张牌，各出三次，嬴两次者性。若小明先出8,则小东只有

出3应对才有获胜的可能。

【分析】根据“田忌赛马”的故事，用3对8,输一次；用7对6、5对4,赢二

次，由此即可赢两次胜；据此解答。

【解答】解：若小明先出8,则小东只有出3应对才有获胜的可能。

故答案为：30

【点评】本题主要是根据“田忌赛马”的故事，用最差的和对方最好的比，揄一

局，用中等的和对方最差的比，用最好的和对方较差的比，这样就可以胜二局，

从而获胜。

9.四年级举行100米赛跑.，一班的3位选手的戌绩分别是4:16秒，秒，

C:21秒。二班的3位选手的成绩分别是甲：15秒，乙：20秒，丙：23秒。一班

的选手比赛顺序是AfB.C,如果采取三局两胜制，二班按丙一甲f乙

的比赛顺序就能获胜。

【分析】一班选手比赛顺序是Af8-»C,根据田忌赛马的原理，可以让（2）班

采取丙“甲~乙的顺序，即可赢得比赛。

【解答】解：23>16,第一局（1）班胜；

15<19,第二局（2）班胜；

20<21,第三局（2）班胜。

答：一班的选手比赛顺序是AfBfC,如果采取三局两胜制，二班按丙->甲7

乙的比赛顺序就能获胜。（答案不唯一）

故答案为：丙T甲->乙。（答案不唯一）

【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关

键。

10.小明有4,7,10三张扑克牌，小东有3,5,9三张扑克牌，规定每人每次

出一张，大牌嬴小牌，三局二胜。如果小明出牌的顺序为10,7,4,小东要按

3,9,5的顺序出牌才能获胜。

【分析】小明的出牌顺序已经确定，小东如果要嬴，只能先出自己手中点数最小

的牌，然后用自己点数最大的牌去和小明的7—起出，用自己点数第二大的5去

和小明的3—起出，方能赢二局，三局二胜，小东获胜。

【解答】解：根据田忌赛马的知识：小东要按3,9,5的顺序才能获胜。

答：小东要按3,9,5的顺序出牌才能获胜。

故答案为：3,9,5O

【点评】本题考查了田忌赛马问题的应用。

11.四（1）班和四（2）班举行100米赛跑，采取三局两胜制。两个班各选出3

位选手。（1）班的3位选手的成绩分别是4:17秒，B:16秒,C:20秒。（2）班

的3位选手的成绩分别是甲：15秒，乙：18秒，丙：23秒。如果（1）班的选手

比赛顺序是Ar8-C,那么（2）班选手以甲77的比赛顺序才

能获胜。

【分析】此题可以结合田忌赛马的故事进行解答，（2）班的第一名是15秒，成

绩最好，可以和（1）班的第一名或第二名一组；让四（2）班的第二名乙与

班的第三名C一组，让四（2）班的第三名丙与（1）班剩下的一人一组，这样能

保证四（2）班胜出2局.根据三局两胜的规则即可得出四（2）班胜.

【解答】解：根据题干分析可得:

四（1）班派出选四（2）班派出选获胜班级

手手

第一组A甲四(1)

第二组B丙四(2)

第三组C乙四(2)

（1）班选手比赛顺序是Af87C;如果采取三局两胜制，（2）班可选择丙7

甲f乙的比赛顺序才能获胜。

故答案为：甲、丙、乙（前两空内容位置可互换）。

【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关

键。

12.小红和洋洋玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出3次，赢两次

者获胜。小红拿的是方块，洋洋拿的是梅花，你觉得小红获胜的可能性大。

理由是。

【分析】根据9>8,7>6,5>4,可得小红获胜的可能性大；据此求解即可c

【解答】解：我觉得小红获胜的可性大。

理由超：9>8,7>6,5>4。

故答案为：小红；9>8,7>6,5>4o

【点评】解答本题的关键是根据两人拿的牌的大小。

三,解答题（共10小题）

13.妈妈和兰兰玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一张牌，各出3次，赢两次

者胜。左边三张是妈妈拿到的牌，右边三张是兰兰拿到的牌。请问兰兰有可能获

胜吗？如果兰兰要想荻胜，该怎么出牌？请你在表中列举出来。（写出扑克牌上

的数字）

场次妈妈自的牌兰兰出的牌获胜方

第一次

第二次

第三次

妈妈的牌：兰兰的牌:

■■L_?J

【分析】根据“田忌赛马”的故事，兰兰用3对9,输一局；6对5,8对7,胜

二局，由此即可能3局2胜获胜。

【解答】解：

场次妈妈日的牌兰兰出的牌获胜方

第一次93妈妈

第二次78

第三次562+

答：兰兰可能获胜。

【点评】本题主要是根据“田忌赛马”的故事，用最差的和对方最好的比，揄一

局，用中等的和对方最差的比，用最好的和对方最差的比，这样就可以胜二局，

从而获胜。

14.小芳和小威两人轮流写下面两个字的笔画。

小芳想获胜，请你帮她出出主意，她是先写还是后写，如何写？

每次只能写

I画或2画走响…

小威该写了敌后一个字的

我后一画律就获胜J

小芳

【分析】根据题意，“走”和“向”一共有12画，只有写第12画的人才算获胜。

为了抢到12,那就必须抢到9,这样无论对方叫“10”或“11”，你都获胜。而

为了抢到9,也可以此类推。

【解答】解：小芳想要获胜，就先写。“走”和“向”一共有12画，先写者首

先写两画，然后第二个人接着无论写一画或两画，先写者都与第二个人写的函数

凑成3面，如此循环，最后剩下的肯定是第11、12和13画，第二个人无论再写

一画或两画，先写者一定能抢到最后一画。

【点评】本题的关键是写字先后顺序，并且每次写的笔画数和对方合起来是三笔，

即对方写a（德人2）画，你就写（3-幻画。抢数游戏.它的本质是一个是否被“3”

整除的问题。

15.皮皮和思思玩扑克牌比大小的游戏。每人每次出一张牌，各出3次，赢两次

者胜。

皮皮先出，出牌顺序如图所示。那么，思思怎么出牌才能获胜？请你填一填。

笫一次笫二次第三次

皮皮395

思思4——

2皮皮拿到的牌思思拿到的牌

」

【分析】根据田忌赛马的方法，制造"错位''优势，皮皮先出牌，思思可用最大

的牌对皮皮次大的牌，用最小的牌对皮皮最大的脏，用次大的牌对皮皮最小的牌。

这样思思就会2胜1负，从而取胜；据此解答即可。

【解答】解:

第一次第二次第三次

皮皮395

思思427

故答案为：4,2,70

【点评】本题主要考查了学生利用“田忌赛马”的方法来解决问题的能力。

16.

拍球比赛（三局两胜）

第一队陆莎杜雯陶然

230205180

第二队宋圆肖刚刘佳

220190165

如果比赛中每个人都能正常发挥，第二队怎样对阵才能获胜？

【分析】三局两胜：如果比赛中每个人都能正常发挥，第二队可以这样对阵：第

二队的第三名对第一队的第一名，165<230,此局第二队负；第二队的第一名对

第一队的第二名，220>205,此局第二队胜；第二队的第二名对第一队的第三名，

190>180,此局第二队胜。据此三局两胜，即可使第二队胜出。

【解答】解：第二队的第三名对第一队的第一名，165<230,此局第二队负；

第二队的第一名对第一队的第二名，220>205,此局第二队胜；

第二队的第二名对第一队的第三名，190〉180,此局第二队胜。

据此三局两胜，即可使第二队胜出。

【点评】此题主要考查了最佳对策问题，结合田忌赛马的故事分析解答是解题关

键。

17.森林运动会开始了，场上甲、乙两组选手正准备参加短跑比赛，采取三局两

胜制。如表是参赛选手的最好成绩。

甲组猎豹9.0秒小鹿9.5秒狗9.9秒

乙组狮子9.3秒羚羊9.6秒兔子10.0秒

你认为乙组有获胜的可能吗？如果有，应该怎样合理安排比赛场次？

场次甲组乙组

第一场猎豹

第二场

笫三场

【分析】让乙组跑得最慢的和甲组跑得最快的赛跑，乙组跑得最快的和甲组跑得

第二快的赛跑，乙组跑得第二快的和甲组跑得最慢的赛跑即可保证乙组获胜。

【解答】解：如下表所示：

场次甲组乙组

第一^次猎豹兔子

第二场小鹿狮子

第三场狗羚羊

故答案为：猎豹；兔子；小鹿；狮子；狗；羚羊。

【点评】本题考查了田忌赛马的应用。

18.在四年级羽毛球单打比赛中，四(1)班和四(2)班分别派出了3名选手。

四(1)班：

第一名小勇

第二名小刚

第三名小强

四(2)班：

第一