江西省抚州市2024-2025学年高一年级下册学生学业质量监测数学试卷（含答案解析）

江西省抚州市2024-2025学年高一下学期学生学业质量监测数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在复平面内，复数z满足匕=3—4i,则^的虚部为（）

A.3/B.-3iC.3D.T

2.如图所示，梯形力'8'C'D'是平面图形488用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2B'C=2,

A'B'=l,则下列说法正确的是（）

C.四边形力8。的周长为5D.四边形48co的面积为3

3.己知向量方=（一1,一2）,i=“4>一1，是"与7的夹角为钝角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

.a、2tanl3.I后，Il-cos50而后,

4.\la=----♦。,一cos6-------------sin6•c・J-»则有（

l-tanir22V2

A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

5.已知圆锥的顶点为S,母线S4,SB所成角的余弦值为:，且该圆锥的母线是底面半径

的J沸，若的面积为5而，则该圆锥的侧面积为（）

A.40xB.（40440>/2）XC.40vLeD.（40-80O卜

6.函数/'（x）=sin（2x+0）的图象向左平移三个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是

奇函数，则tan（p=（）

A.B.&C.--D.坐

试卷第I页，共4页

7.已知非零平面向量㈠、b.e,满足“;4,R—，|=2,若行与I的夹角为:，则上一，：|的

最小值为（）

A.262B.C.2-2D.苧

8.已知V4BC中，角/1、8、。所对的边分别为。、力'C,。是44上的三等分点（靠近

点/）且CQ=2,（af）siM=（c+b）（sinC-sin8）,则〃+26的最大值是（）

A.4B.2JiC.4&D.2

二、多选题

9.若复数z=a+〃i（a/）£R）（i为虚数单位），其中真命题为（）

A.z+z£RB.若a=/）=1,则丁=—4

C.行!为虚数，则z乜为虚数D.若b+i|=l,则廿的最大值为0

10.已知函数/⑴-八八♦♦I上川|夕|:.满足，⑴./；：-i”2,且对任意

xGR,都有/⑴2/（；；,当②取最小值时，则下列说法错误的是（）

A./（A）图象的对称轴方程为*.,AWZ

B./（五）在，，三上的值域为卜G.2〕

12bJL」

V./（x府.；上单调递减

.63.

D.若方程/（Q—1|=I在（0,「〃）上有旦只有5个根，则

II.如图，在正三棱柱为8C—481G中，户、M分别是极8C,吊当的中点，连接8M,CM,

我是线段8M的中点，。是线段44上靠近点8的四等分点，则下列说法正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.平面RPQH平面C】CM

B.直线/IC与平面RPQ所成的角为:

C.三棱锥5-AP0的体积与正三棱柱的体积之比为|：48

D.若力3:244:4,则过/,P,R三点作平面。，截正三棱柱44c所得截

面图形的面枳为二2

4

三、填空题

12.已知COM：-a)=5coM-+a).则tana=_______.

44

13.已知小二(2,4),b=(-1,3),则力在d方向上的投影向量的坐标为

14.如图，在正四棱台48CQ-小与孰口中，/坊=2,48=6,若该四棱台的体积为必叵,

则该四棱台的外接球表面积为.

四、解答题

15.如图，以Qx为始边作角a与伙0<B<a<"),它们的终边分别与单位圆相交于点P、

Q,已知点P的坐标为1-!、：).

“，53csa-5sintz

(II求的值；

sma-cnsa

(2)若OP」_O0,求3sin/3+4cos/3的值.

试卷第3页，共4页

16.已知函数/(x)=2§in：(：-4wr)-6cos2«r_1・0<®<1,且函数y=/(x+兀)的图象

关于N轴对称.

(1)求函数/'(Q的解析式：

(2|函数*(“>:…丽、斗«c：Xj,若g(*)」恒成立，求加的取值范围.

17.在V/AC中，角/、。、C所对的边分别为。、h、C,已知AinJ.J[gosH=0.

(1)求角5的大小:

(2)已知/。=2,设七为/C边上一点，旦8E为角8的平分线.求△/3E的面积.

18.如图所示，正方形44QQ与矩形49CZ)所在平面互相垂直，AB=3AD,JIDA/1D1=O,

E为线段上一点.

EB

(1)当OE//平面。/C,求证：上为力8的中点:

(2)在线段上是否存在点£,使得平面"OE_L平面力"C?若存在，求出点E的位置；若

不存在.请说明理由.

19.已知函数)，=/(x),若存在实数p,令(/)。0),使得对于定义域内的任意实数x,均有

PJ'W=/(x+9)+/(x一4)成立,则称函数/'(x)为“可平衡”函数：有序数对(P，9)称为函

数/()的“平衡”数对.

⑴若/G)=一+1，求函数/(工)的“平衡”数对；

⑵若。=J5,判断/G)=co”是否为“可平衡”函数，并说明理由：

；均为函数/(、)css一0—q；的，，平衡，，数对，求

(3)若p「P2£R,且A.3、%彳

p：+/?；的取值范围.

试卷第4页，共4页

《江西省抚州市2024-2025学年高一下学期学生学业质量监测数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案CDBDCBACABCABD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】根据题意求出2:—4—3i,再由共扼复数定义求出3,即可解题.

(iVWl由iz=3-4i可得：=上出=-(3i+4)=-4-3i,所以z-=-4+3i,所以z的虚部为

1

3.

故选：C

2.D

【分析】由斜二测画法的规则即可判断A；由斜二测画法的规则先判断出四边形A5CQ的形

状，过。作由勾股定理求出CO的长即可判断B；求出四边形力8co的周长即

可判断C：求出四边形/16C。的面积即可判断D.

【详解】

由斜二测画法可知，原图形中在p轴上，在直观图中在)，9轴上，

并且在直观图中的长度为原来的一半，所以在原图中在y轴上

且48=2,故A错误；

由斜二测画法可知，原图形中在x轴上或者平行于x轴的，

在直观图中在x9轴上或者平行于x9轴，并且在直观图中的长度不变,

所以4。在x轴上，8C〃x轴，且彳。=2BC=2,ABAD,

所以四边形48C。为直角梯形.

在四边形月8CZ)中，过。作CM_L4。，垂足为M,

则由勾股定理可知CO=yjCM:+A/D2=>J1:+l:=J5，故B错误；

四边形/5C。的周长为,43+41，二2+1+―+2=5♦石.

答案第I页，共13页

故c错误；

因为四边形48CO为直角梯形，

所以四边形/8CO的面积为S=2・(1+2)，2=3.故D正确.

故选：D

3.B

【分析】利用向量夹用公式及向量共线的坐标表示列式求解参数，再结合充分，必要条件的

定义进行判断即可.

【详解】由向量4二(一1，-2)与Z=(1J)的夹角为钝角，得a.；<0,且。］不共线，

—1—2Z<0|

则〈，，.解得且

Tx-22

所以是啮与％的夹角为钝角”的必要不充分条件.

故选：B

4.D

【分析】利用正切的二倍角公式，余弦的两角和公式，余弦的二倍角公式进行化简，再利用

三角函数的单调性进行大小比较即可.

【祥川】由"网=<an26，

I-tan'K

A=-cos6--sin6=('4-6)=c*=24*»

221f

一丹^耳孚红有一心.

根据正弦函数的单调性可知c>b,

根据正切函数的单调性可知"=由26'>tan25=即~’>$in25二，.

故选；D.

5.C

【分析】先计算出母线S3,S8所成角的正弦值，利用三角形面积公式得到方程，求出母线

长，从而得到底面半径，利用圆锥侧面积公式得到答案.

【详解】母线S/l,S8所成角的正弦值为

答案第2页，共13页

设圆锥的母线长为八则:/-“I"解得/二八3,

故该圆锥的侧面积为“/=2V10-4v1=4()v2x

故选：C

6.B

【分析】根据图象平移的法则先得到g(x)的解析式，再由g(x)是奇函数，得到g(0)=0,

f、

即讨二，。')再利用和角的正弦公式及商数关系即可求出tan@值.

【详解】由函数/(x)=sin(2x+3)的图象向左平移三个单位得到函数g⑴的图象，

可得"(X)=E[2|■»+；卜sin2*咛+夕

因为函数g(x)的定义域为R,且g(x)是奇函数，

所以R(⑴=0,即涧;；♦"=(),

21t2x

即sin丁coss+c(»7§in0=0,

即、,门＞$9——sin。=0.所以tow•=~~~=6.

22C30

故选：B

7.A

【分析】明确1/一。、-1的几何意义，根据圆外的点到圆上的点的距离的取值范围求解.

【详解】如图：

令Ql=«,0&=4,央二七.

答案第3页，共13页

则bT=CS，

又=所以点。在以“为圆心，2为半径的圆上.

所以「，的最小值为：训-2.

又卜叫「4,上108=：,所以当08JL胡时，卜8取得最小值为4x”/=26.

所以卜7的最小值为।2v'I2.

即H-d的最小值为2W-2.

故选：A.

8.C

【分析】先根据正弦定理、余弦定理求角C,再利用向量，结合条件探索的关系，最后

利用基本不等式求a+2b的最大值.

【详解】如图：

由(af)siM=(<?+/))(sinC-sin8),

结合正弦定理，可得：G—».a=(c+b)G—一/二必.

由余弦定理可得：cosC=°r[_-=L又c为三角形内角，所以「二:.

lab24

因为。是上的三等分点(靠近点力)，

所以而=而+；8彳=，月♦：(否=jCS

又CZ)=2,所以;7+4〃+2M=36.

所以(。+26)"—a.2b=36-a.2b=(a+2b)~—36.

又因为o,2”,所知.“-36式"T(O+2疗W48

所以"2/>74(当且仅当。=2/)即。=2石，。=6时取“二”)

答案第4页，共13页

故选：c

9.ABC

【分析】A选项，z+z-=2〃£R：B选项，计算出r=2i»故z"=4i2=—4;C选项，化简

得到,=_二丁-/_丁，由题意得6/0,故2=。+历（。小£与也是虚数，C正确：D选项，

2a'+/>*er+&

根据复数的几何意义得到F+i|=1的几何意义为复平面内，至11（（）,一1）的距离为1的圆，从而

求出H的最大值.

【详解】A选项，z=a+b\,贝ijz=a—bi»故z+z-二为三R,A正确；

B选项，若a=b=1,则z=l+i,z2=（1+i）2=1+2i+i2=2i,

z4=（2i）2=4f=-4,B正确;

_I1a-biabi

C选项.—=T-~~不=:一"

由题意得bW0,故z=a+加（a内£R）也是虚数，C正确；

D选项，|z+i|=1的几何意义为复平面内，至11（0,—1）的距离为1的圆，

故此圆上的点到原点的距离最大值为1+1=2,D错误.

故选：ABC

10.ABD

【分析】首先根据已知条件求出函数/«）的解析式，然后根据正弦函数的对称轴方程公式、

值域、单调性以及正弦函数的图象等性质对选项逐一判断即可.

【详解】因为函数/(X)=2sin(+G)+1满足/("♦/卜§-xJ

所以/G）的图象关于点对称，则有wZ,

I6J6

即9XH*kit.k-/

fl

2'这说明，J；

对任意x£R,都有/（工）2/为最小值.

所以一/0+0=-：+21«1/”/.

则有W=2—£Z,因为⑶>（）,《，■:，

当W取最小值时，则26一k=0,此时ru-2,/7g

答案第5页，共13页

所以函数的解析式为+；川

对于选项A：

令2r+—="+kn,k£Z,则x-'-k-Z,

32122

所以函数的对称轴方程为K-:・?Xw/,所以A错误;

122

对于选项R：因为K-H.所以21,‘,.所以M】|

126363

所以函数的值域为[2,3],所以B错误；

«*「口、-K2n

对于选项C：因为XW.所以2x+；w—.it

63」3L3

结合正弦函数的单调性可知函数在该区间内单调递减，C正确;

对于选项D$|/(x)-l|=2sin|2x+^=1,则

<3/k*/*

令/»+J则X”)Sin/.X=士;在(0,+8)上的图象为

y=gWn

由图可知，要使得函数图象在（0,/〃）与直线的交点只有5个根.

那么〃?应在点瓦/（包括”）之间时符合题意.

所以令"、，’.则2X+==L•UK.AwZ或=+A/,

I3)2RS16

解得x二-三或者x=：+/

174

所以点的横坐标依次为：二：,、：-3：,913：

412412412

所吟〈/»£；：,所以D错误.

故选：ABD.

II.ACD

【分析】对于选项A,要证明两平面平行，需证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行

即可，即证明PQR。//平面GC"；对于选项B，首先找出直线/C与平面RP。所成角，

然后确定其角度的大小即可：对于选项C,根据三棱锥和三棱柱的体积公式进行求解即可:

答案第6页，共13页

对于选项D,先确定平面q截正三极柱的截面图形，然后根据垂直关系和线段关系求解即可.

【详解】对于选项A：

取48中点。，连接CDA/D.

则在ABC。中，BQ=DQ,BP二CP,所以PQ//CQ.

在"MD中，BQ=DQ,BR=RM,所以R0//MQ.

又CD.MDu平面CC,MD.PQ,及。不在平面CC..WD内，

所以「0//平面CQM,/?0//平面（％;时，

RQ=Q,所以平面RP。//平面GCM.所以A止确;

对于选项B：

由A知平面RP。与平面CGM。平行，所以直线力。与平面RP。所成的角也是直线4C与平

面所成的角.因为正三棱柱/BC-A/C,所以4B_LCO,/18_LQM,

又COnOM=O,所以45JL平面CGMO.

所以直线力。与平面CGMD所成的用为上4C0＜上，〃力:：，所以B错误;

对于选项C：

因为MO_L平面/AC，RQ//MD,所以尺。_1_平面8P。.

因为。是的四等分点，P是8C的中点，

所以产--------g

〉…ABCDB

一2

所以三极锥8-AP0的体积与正三棱柱48C-小当G的体积之比为：

答案第7页，共13页

g■★吧!£■!/J.।,所以c正确;

S.m卜由38248

对于选项D：

连接AR并延长交8丛于点E,连接尸£力尸^APE即是平面0截正三棱柱的截面图形.

因为正三棱柱/5C—4氏6,所以ZPJL6c.

因为CG-L平面48C,APr^ABC,所以CG」•/尸.

又egn/c=C,CG,4CL平面AC。鸟，所以力0_1_平面8CG星.

乂PEL平面8CG昂，所以/P±PE.

在4APC中，IP=、;XAC二2、行.

在"中，第条:g=W=L所以8T

所以根据勾股定理EP弋BE・BP

所以MP£=LX26M生=拽!・所以D正确.

522XX

故选：ACD.

12-3

【分析】利用和差角的余弦公式求解即得.

[.：?]fluiNn-a)=5cos(—4a),^cos-cosa4sin-smor=5(005—0'm—sma).

444444

整理得K，、ina2\J5^COS£Z•所以1即。二；.

故答案为：y

13.(1,2)

答案第8页，共13页

【分析】利用投影向量的意义求解.

TTJ

【详解】由d=(2,4),b=(—1,3).得方力=2x(—l)+4x3=10,|d|="2U=26,

所以％在d方向上的投影向量为J-H2)

故答案为：(1,2)

【分析】首先，根据正四楼台的体积公式求出棱台的高：然后，通过建立关于外接球半径的

方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积.

【详解】已知小名=2,43:6,则上底面积$=4,下底面积S=36,体积族旦A,

由棱台体积公式得笠叵=!M4*%+至而52瓜Slh-h=S.

设外接球球心尸到下底面中心O的距离为x，则P到.上底面中心01的距离为♦、/3±x,

由正四棱台的上下底面都是正方形可得八5，01:6,

设外接球半径为人判K--(6.J4(vr：)

展开并化简：/♦IX二FT26X+5-I3=(负值舍去)，

最终外接球表面积：“R二门•士二空三.

1，1

故答案为：等

15.(l)-y：

(2)5.

【分析】(1)利用正切函数定义求出tana,再利用齐次式法计算得解.

(2)利用诱导公式及正余弦函数定义求解.

答案第9页，共13页

…4~,,3c(»a-5Mna3-Shine

【详解】(1)依题意,=--1所以一

1sma-cosatana-I

(2：由。尸JLo。，得6=。-；,

*3x4

则sin(i-sin(a—)=-cosa=".cosfi=cos(a—)»sina«—,

2424

所以3sm37co$?=；X-*4«-=5

16.(l)/(.v)=2sin(岛-1

⑵〃？<3

【分析】(1)利用二倍角公式以及辅助角公式化简原式，再利用题干中偶函数的概念即可求

得解析式.

(2)首先写出函数g(.v)的解析式，再换元构造新函数，利用新函数的导函数解决怛成立问

题即可.

【详解】(1)

./(-V)=2sin2(I：+仅Kj-TlcosZew-1=1-cos--]-\3cas2wx-I=sin2cfx-Gcos2m

(4J

—sin2fl>x--cosIfiix=2sinIlax--|,

22113j

又因为函数y=/(x+兀)的图象关于y轴对称，所以是偶函数,

_；)，所以2e«_g=m.H.

因为〃L*)=2sin24r”+2m

由(><•<：,所以僧二所以/("=23m总

I?\(鸿>)

6)

2>N(X)・・2/[；XI*二、・8sina♦Asin；x・：；«

人I*,所以一广已抖故101.1,

令/sin».因为一、5

则原式二-8/2+2ml,因为g(x)<1恒成立，所以-B/2+2mt-\<0在区间上恒成立,

噌卜。

〃⑴20工

令力(，)=一g+2mt-\,则/“r)=-16/+2m,则有解得〃?<3,或力⑴40无

噌卜0

解，故〃？的取值范围为：m<3

答案第10页，共13页

17.=y

【分析】（1）由正弦定理化简得出tan8的值，结合角8的取值范围可求得角8的值.

（2）利用余弦定理求出c,再利用三角形而积公式列式求出,进而求出A/BE的面积.

[WN11I在V/8C中,由Ain1=正弦定理,得sin/sin8--75sin/lew6.

而sin/>0,则=乂力£（0,兀），所以月二g.

（2）在YABC中，由余弦定理得28=Z）2=o2+c2—2accosB=4+c2—4ccosl20-,

整理得d+2c-24=0,而c>0,解得c=4,

由8E为角B的平分线及SA/8E+S4CBE~SAABC»

得-cBEsin-^-aBEsin-=-otsin—,则BE=—=-,

，a?a）a”4厂a

所以^ABE的面积为S&,=-Lx4•—»--

2323

18.（1）证明见解析

（2师在，当=!”时，

【分析】（1）由题意可知。为力"的中点，由线面平行的性质定理可得。后//8。1,即可得

证：

（2）由面面垂直的性质定理可得-L/C,只需满足力CJ_Q£,即可得4CJ_平面QQE,

从而有平面。QE_L平面在><,故只需找出力C_LOE成立时，求出点E的位置即可.

【详解】（1）证明：因为力小口。为正方形，A.D（\AD}=0,

所以。为为2的中点，

又因为OE〃平面平面力8。n平面0户。=4。一OEL平面43A，

所以OE//BD-

又因为O为力■的中点，所以E为的中点：

2存在，当$£=：4月时，平面QQE_L平面力Q〈，

答案第11页，共13页

理由如下:

因为/14QQ为正方形，所以。

乂因为/I。=平面N